Miei soliti dubbi concettuali/formali Fisica (grandezze vettoriali)
Salve ragazzi. Come al solito nel mio percorso da autodidatta sono incappato più dubbi più che altro formali, ve li espongo. Studio di 3° superiore, non universitario.
1) Primo dubbio, sappiamo che un vettore è composto da:
- modulo o intensità
- direzione
- verso
Bene, il mio primo dubbio riguarda il modulo.
Se devo scrivere che un oggetto in caduta libera è soggetto all'accelerazione di gravità g, quale è la scrittura corretta tra queste due:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
oppure:
$|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$
Il dubbio nasce dal fatto che non ho capito se devo intendere il "modulo" in Fisica come il "modulo" in Analisi, che per definizione è sempre positivo. Sui libri spesso trovo scritto che $|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$ , ma non presenta un'incongruità nel segno una tale scrittura? Oppure mi sbaglio e quel meno è dovuto al "verso" e quindi è giustificata?
Il segno non va considerato e quindi scritto solo nelle formule? In questo caso io avrei lasciato così:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
e poi magari per calcolare lo spazio percorso avrei scritto:
$|\vec{x}|=|\vec{x_0}|+|\vec{v_0}|t+1/2(-|\vec{g}|)t^2$ ma solo ora avrei introdotto il segno meno, non prima.
2) Il secondo dubbio riguarda la scomposizione di un vettore nelle sue componenti.
Supponiamo di avere un vettore inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'asse x. Bene, per poter lavorare con questo vettore dobbiamo scomporlo nelle sue componenti.
Il dubbio è: le componenti di un vettore sono scalari o vettoriali? Spesso ho letto che vengono considerate scalari, ma come può allora la loro somma dare un vettore, non trattandosi di vettori?
Io scriverei che:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $\vec{Fx}=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $\vec{Fy}=\vec{F}sen\alpha$
invece sul libro viene messo:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $Fx=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $Fy=\vec{F}sen\alpha$
Ogni volta che scompongo un vettore io continuo a mettere la freccetta che indica un vettore anche sopra le componenti, sbaglio? (considerate che il libro non introduce i versori, essendo delle superiori!)
1) Primo dubbio, sappiamo che un vettore è composto da:
- modulo o intensità
- direzione
- verso
Bene, il mio primo dubbio riguarda il modulo.
Se devo scrivere che un oggetto in caduta libera è soggetto all'accelerazione di gravità g, quale è la scrittura corretta tra queste due:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
oppure:
$|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$
Il dubbio nasce dal fatto che non ho capito se devo intendere il "modulo" in Fisica come il "modulo" in Analisi, che per definizione è sempre positivo. Sui libri spesso trovo scritto che $|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$ , ma non presenta un'incongruità nel segno una tale scrittura? Oppure mi sbaglio e quel meno è dovuto al "verso" e quindi è giustificata?
Il segno non va considerato e quindi scritto solo nelle formule? In questo caso io avrei lasciato così:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
e poi magari per calcolare lo spazio percorso avrei scritto:
$|\vec{x}|=|\vec{x_0}|+|\vec{v_0}|t+1/2(-|\vec{g}|)t^2$ ma solo ora avrei introdotto il segno meno, non prima.
2) Il secondo dubbio riguarda la scomposizione di un vettore nelle sue componenti.
Supponiamo di avere un vettore inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'asse x. Bene, per poter lavorare con questo vettore dobbiamo scomporlo nelle sue componenti.
Il dubbio è: le componenti di un vettore sono scalari o vettoriali? Spesso ho letto che vengono considerate scalari, ma come può allora la loro somma dare un vettore, non trattandosi di vettori?
Io scriverei che:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $\vec{Fx}=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $\vec{Fy}=\vec{F}sen\alpha$
invece sul libro viene messo:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $Fx=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $Fy=\vec{F}sen\alpha$
Ogni volta che scompongo un vettore io continuo a mettere la freccetta che indica un vettore anche sopra le componenti, sbaglio? (considerate che il libro non introduce i versori, essendo delle superiori!)
Risposte
come consiglio ti dico di approfondire l'argomento vettori su un libro di algebra lineare, dispense o altro (e mi dispiace non poterti consigliare subito cose online perchè non le conosco)
senza sta a fa ragionamenti troppo filosofici un vettore è un oggetto che, se rappresentato in una certa base, quella classica della fisica è quella x y z dello spazio (le tre dimensioni), diventa una collezione di tre oggetti scalari, che sono le coordinate di quel vettore rispetto la tua base. un esempio banale, considera la posizione di un punto rispetto a un sistema di riferimento. dirai che per arrivarci mi devo muovere di 5m lungo x 3m lungo y -2m lungo z... ecco un vettore è l'insieme di queste quantità e si può per esempio scrivere $\vec v=((5),(3),(-2))$
il modulo di un vettore è la sua intensità. pensa di congiungere il tuo punto nello spazio con una freccia. la lunghezza della freccia è il modulo ed è sempre positivo. in questo caso $|\vec v| =sqrt(5^2 +3^2 +(-2)^2)$ che è un teorema di pitagora in 3 dimensioni praticamente
le componenti di un vettore sono quindi la proiezione della freccia lungo le direzioni del mio sistema orientato. nel solito esempio 5 3 -2 sono le sue 3 componenti
la somma di scalari è un vettore perchè fai una somma di più oggetti scalari COMPONENTE PER COMPONENTE.
senza sta a fa ragionamenti troppo filosofici un vettore è un oggetto che, se rappresentato in una certa base, quella classica della fisica è quella x y z dello spazio (le tre dimensioni), diventa una collezione di tre oggetti scalari, che sono le coordinate di quel vettore rispetto la tua base. un esempio banale, considera la posizione di un punto rispetto a un sistema di riferimento. dirai che per arrivarci mi devo muovere di 5m lungo x 3m lungo y -2m lungo z... ecco un vettore è l'insieme di queste quantità e si può per esempio scrivere $\vec v=((5),(3),(-2))$
il modulo di un vettore è la sua intensità. pensa di congiungere il tuo punto nello spazio con una freccia. la lunghezza della freccia è il modulo ed è sempre positivo. in questo caso $|\vec v| =sqrt(5^2 +3^2 +(-2)^2)$ che è un teorema di pitagora in 3 dimensioni praticamente
le componenti di un vettore sono quindi la proiezione della freccia lungo le direzioni del mio sistema orientato. nel solito esempio 5 3 -2 sono le sue 3 componenti
la somma di scalari è un vettore perchè fai una somma di più oggetti scalari COMPONENTE PER COMPONENTE.
Ogni volta che scompongo un vettore io continuo a mettere la freccetta che indica un vettore anche sopra le componenti, sbaglio? (considerate che il libro non introduce i versori, essendo delle superiori!)
Dipende da quello che stai facendo. Due esempi:
Vuoi scomporre la forza peso per capire qual è la direzione dove il corpo scivola in un piano inclinato. Prendi $F$ e lo scomponi in $vec(F)cos alpha$ e $vec(F)sin alpha$. Questi sono due vettori e vanno trattati come tali.
Invece, se vuoi fare un prodotto scalare, per esempio per trovare il lavoro:
$L=vec(F\cdot) vec(s) = F_s s cos alpha$
Qui $F_s$ è uno scalare. E' il modulo del vettore proiettato lungo $vec(s)$
Per il primo problema:
$ |\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2) $
Credo tu abbia ragione, questa formula è sbagliata. Io non la ho mai vista. Però non va bene nemmeno come la scrivi tu
$ |\vec{x}|=|\vec{x_0}|+|\vec{v_0}|t+1/2(-|\vec{g}|)t^2 $, perché stati considerando la velocità iniziale sempre positiva (e potrebbe non esserlo) e anche la posizione iniziale sempre positiva. Dovresti scrivere:
$ |\vec{x}|=|\vec{x_0}+\vec{v_0}t+1/2(-|\vec{g}|)t^2| $
In questo modo consideri la accelerazione di gravità sempre diretta verso il basso e gli altri vettori manterranno il loro segno.
la somma di scalari è un vettore perchè fai una somma di più oggetti scalari COMPONENTE PER
COMPONENTE
Non credo che questa frase abbia senso.
si scusa nella mia testa aveva un senso. ma è sempre così, se devi spiegare non va bene che le cose abbiano senso solo nella tua testa e non è facile accorgersene.
lascia perdere quell'ultima mia frase che ho detto.
lascia perdere quell'ultima mia frase che ho detto.
"eugeniobene58":
...
le componenti di un vettore sono quindi la proiezione della freccia lungo le direzioni del mio sistema orientato. nel solito esempio 5 3 -2 sono le sue 3 componenti
Dimmi se ho capito:
scomponendo un vettore sugli assi, ottengo i tre vettori che lo compongono. Tra tutte le possibili scomposizioni, la particolarità di questi 3 vettori (ognuno parallelo ad uno degli assi cartesiani) è che hanno ognuno rispettivamente 2 coordinate nulle (nel caso ci troviamo in 3 dimensioni). In questo modo ogni componente si può considerare sia uno scalare che un vettore, difatti uno scalare, uno spazio di n dimensioni, potrebbe essere considerato come un vettore con n-1 coordinate nulle. Da quello che ho capito allora:
Posso scrivere sia $\vec{Fx}=\vec{F}cos\alpha$ che $Fx=\vec{F}cos\alpha$, entrambe sono corrette.
Infatti $\vec{Fx}≡Fx$ dove $vec{Fx}$ è un vettore con n-1 coordinate nulle e $Fx$ è uno scalare.
Inoltre potrei anche scrivere che $Fx≡|\vec{Fx}|$, dove $Fx$ è uno scalare e $|\vec{Fx}|$ è il modulo (o intensità) del vettore considerato.
"Spremiagrumi":
Per il primo problema:
$ |\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2) $
Credo tu abbia ragione, questa formula è sbagliata. Io non la ho mai vista.
Allora, anche se fissato un sistema di riferimento con l'ordinata positiva se verso l'alto, la scrittura corretta è:
$ |\vec{g}|= 9,81 m/(s^2) $ dato che il modulo (o intensità) di un vettore è SEMPRE (chiedo conferma) positivo. Quindi posso paragonare il "modulo" fisico al "modulo" dell'analisi matematica in quanto entrambi sono definiti positivi. Giusto?
Poi il modulo $|\vec{g}| $viene associato al segno "meno" quando la uso nelle formule vettoriali (cioè dove conta anche il verso, cosa che non è rilevante per l'energia che non è vettoriale, ad esempio).
Consideriamo però questo esempio:
Fissiamo un sistema di riferimento con l'ordinata positiva se verso l'alto. La velocità di un corpo in caduta libera per 3 secondi è:
$\vec{v}=\vec{g}t$ , passando ai moduli (o alle intensità), si ha:
$|\vec{v}|=(-|\vec{g}|)t$, da cui:
$|\vec{v}|=(-9,81 m/s^2)3s$, e quindi:
$|\vec{v}|= - 29,43 m/s$. Questa scrittura è stata ottenuta con passaggi leciti, come ne spiegate l'incongruenza dei segni tra il primo membro che è un modulo e il secondo membro che è negativo?
Mi sono un po' perso ... ma provo a dire la mia ...
Un vettore puoi sempre scomporlo nella somma di quanti vettori tu voglia.
Per esempio prendiamo un piano ed un vettore in esso contenuto e fissiamo un sistema di riferimento (per esempio il consueto "asse delle $x$" orizzontale e positivo verso destra e "l'asse delle $y$" verticale e positivo verso l'alto).
Il nostro vettore $\vecu$ puoi vederlo come somma di altri due vettori, per esempio $\vecp$ e $\vecq$ per cui $\vecu=\vecp+\vecq$.
È possibile prendere i due vettori in modo che siano paralleli agli assi coordinati e quindi possiamo esprimere il nostro vettore $\vecu$ in questo modo $\vecu=\vecu_x+\vecu_y$ dove $\vecu_x$ e $\vecu_y$ sono due vettori paralleli ai consueti assi cartesiani.
Dati però due vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi (che chiamo per esempio $\veci$ e $\vecj$) posso esprimere il mio vettore $\vecu$ in questo modo $\vecu=u_x\veci+u_y\vecj$ dove $u_x$ e $u_y$ sono le coordinate lungo gli assi (e quindi dotate di segno).
Attenzione: non ho parlato di versori ma solo di vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi, ok?
Premesso questo veniamo al nostro problema ...
Qual è la velocità di un corpo in caduta libera con partenza da fermo?
$\vecv=\vecat$ dove $\veca$, in assenza di altre forze, è l'accelerazione di gravità.
Se scompongo questa "formula" nel modo precedente e assumo che il simbolo $g$ sia un numero positivo pari a $9,8$ (che è la convenzione di solito usata) e il SdR sia quello di prima avrò $\veca=-g\vecj$ da cui $\vecv=-g\vecjt$ od anche $v_y\vecj=-g\vecjt$ (e da quest'ultima si giunge a $v_y=-g*t$)
Può andare?
Cordialmente, Alex
Un vettore puoi sempre scomporlo nella somma di quanti vettori tu voglia.
Per esempio prendiamo un piano ed un vettore in esso contenuto e fissiamo un sistema di riferimento (per esempio il consueto "asse delle $x$" orizzontale e positivo verso destra e "l'asse delle $y$" verticale e positivo verso l'alto).
Il nostro vettore $\vecu$ puoi vederlo come somma di altri due vettori, per esempio $\vecp$ e $\vecq$ per cui $\vecu=\vecp+\vecq$.
È possibile prendere i due vettori in modo che siano paralleli agli assi coordinati e quindi possiamo esprimere il nostro vettore $\vecu$ in questo modo $\vecu=\vecu_x+\vecu_y$ dove $\vecu_x$ e $\vecu_y$ sono due vettori paralleli ai consueti assi cartesiani.
Dati però due vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi (che chiamo per esempio $\veci$ e $\vecj$) posso esprimere il mio vettore $\vecu$ in questo modo $\vecu=u_x\veci+u_y\vecj$ dove $u_x$ e $u_y$ sono le coordinate lungo gli assi (e quindi dotate di segno).
Attenzione: non ho parlato di versori ma solo di vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi, ok?
Premesso questo veniamo al nostro problema ...
Qual è la velocità di un corpo in caduta libera con partenza da fermo?
$\vecv=\vecat$ dove $\veca$, in assenza di altre forze, è l'accelerazione di gravità.
Se scompongo questa "formula" nel modo precedente e assumo che il simbolo $g$ sia un numero positivo pari a $9,8$ (che è la convenzione di solito usata) e il SdR sia quello di prima avrò $\veca=-g\vecj$ da cui $\vecv=-g\vecjt$ od anche $v_y\vecj=-g\vecjt$ (e da quest'ultima si giunge a $v_y=-g*t$)
Può andare?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Mi sono un po' perso ... ma provo a dire la mia …
………………..
Dati però due vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi (che chiamo per esempio $ \veci $ e $ \vecj $) posso esprimere il mio vettore $ \vecu $ in questo modo $ \vecu=u_x\veci+u_y\vecj $ dove $ u_x $ e $ u_y $ sono le coordinate lungo gli assi (e quindi dotate di segno).
Attenzione: non ho parlato di versori ma solo di vettori di lunghezza unitaria paralleli agli assi, ok?
I due vettori di lunghezza unitaria sono segmenti orientati, la cui lunghezza è misurata rispetto ad una lunghezza assunta come unità di misura (come del resto qualunque vettore) , e rispetto a tale unità questa lunghezza vale $1$ . Perciò si chiamano proprio versori : la lunghezza unitaria può essere 1 cm, 1m, 1"….quella che volete.
Il vettore $ \vecu=u_x\veci+u_y\vecj $ è scomposto in due vettori componenti: dovremmo essere precisi e dire appunto " i componenti" $u_x\veci$ e $u_y\vecj $ , perché i vettori sono di genere maschile.
Invece $u_x$ e $u_y$ sono "le componenti" , di genere femminile, e sono nient'altro che il risultato del prodotto scalare per i versori :
$ \vecu*veci =(u_x\veci+u_y\vecj)*\veci = u_x $ , e analogamente per $u_y$ , che si ottiene dal prodotto scalare di $\vecu$ per $\vecj$ .
LA definizione di prodotto scalare di due vettori è : $\veca*\vecb = a*b*cos\alpha$ , dove $a$ e $b$ sono i moduli dei vettori , e $\alpha$ è l'angolo compreso . Per note proprietà del coseno : $cos\alpha = cos (-\alpha)$ .
Quindi, quando calcoliamo la componente di un vettore secondo un asse, questa risulta dotata di segno : può essere positiva, negativa o nulla, in funzione dell'angolo $\alpha$ .
Il "modulo" invece è il numero che esprime la grandezza del segmento rispetto all'unità di misura. Perciò il modulo non ha segno.
Premesso questo veniamo al nostro problema ...
Qual è la velocità di un corpo in caduta libera con partenza da fermo?
$ \vecv=\vecat $ dove $ \veca $, in assenza di altre forze, è l'accelerazione di gravità.
Se scompongo questa "formula" nel modo precedente e assumo che il simbolo $ g $ sia un numero positivo pari a $ 9,8 $ (che è la convenzione di solito usata) e il SdR sia quello di prima avrò $ \veca=-g\vecj $ da cui $ \vecv=-g\vecjt $ od anche $ v_y\vecj=-g\vecjt $ (e da quest'ultima si giunge a $ v_y=-g*t $)
Può andare?
$g$ non è un numero positivo pari a 9.8 secondo convenzione, è un simbolo per l' accelerazione di gravità intesa come scalare; 9,8 è la misura della accelerazione di gravità in unità $m/s^2$ . SE cambiamo unità, cambia la misura. Il vettore $vecg$ , essendo diretto verso il basso, ha componente negativa su $y$ se l' asse $y$ è diretto verso l'alto, pari a $-g$ , ha componente positiva se l'asse $y$ è diretto verso il basso.
Se scrivo, per un corpo lanciato con una certa velocità iniziale vettoriale $vecv_0$ :
$ vecv = vecv_0 + vecg*t $
scrivo una giusta relazione vettoriale, una somma di vettori, indipendente dagli assi. I vettori sono stai inventati per liberarsi dalla schiavitù degli assi cartesiani .
Ma per fare dei calcoli ci servono le componenti cartesiane, purtroppo.
Allora, supponiamo che $vecv_0$ sia in direzione obliqua rispetto ai due assi $x,y$, e formi una angolo $\theta$ con l'asse $x$.
Quando la proietto sui due assi, $x$ orizzontale e $y$ verticale orientato verso l'alto, devo eseguire il prodotto scalare di $vecv$ per ciascuno dei due versori. Ottengo :
$v_x = v_0 * cos\theta = v_(0x)$
$ v_y = v_0*cos(90°-\theta) - "g"t = v_(0y) - "g"t $
Sheldon, ma queste cose non le insegnano più all'università ?
"navigatore":
... Perciò si chiamano proprio versori : la lunghezza unitaria può essere 1 cm, 1m, 1"….quella che volete. ...
Dato che lui ha escluso i versori allora li ho volutamente esclusi anch'io. Idem col resto, ci sono molti modi per arrivare "alle" componenti di un vettore, ho semplificato un po' (anche perché ero sicuro che saresti intervenuto per chiarire e soprattutto completare
)"navigatore":
$g$ non è un numero positivo pari a 9.8 secondo convenzione, è un simbolo per l' accelerazione di gravità intesa come scalare; ...
Non metto certo in dubbio la tua affermazione ma ti posso assicurare che ho letto spesso quello che ho scritto e cioè che $g$ è SOLO un numero positivo pari a $9,8$ o al valore che interessa al momento ...
Cordialmente, Alex
Dato che lui ha escluso i versori allora li ho volutamente esclusi anch'io. Idem col resto, ci sono molti modi per arrivare "alle" componenti di un vettore, ho semplificato un po' (anche perché ero sicuro che saresti intervenuto per chiarire e soprattutto completare
D'accordo, l'avevo capito. MA i versori sono un concetto utile, perché non usarlo ?
Non metto certo in dubbio la tua affermazione ma ti posso assicurare che ho letto spesso quello che ho scritto e cioè che g è SOLO un numero positivo pari a 9,8 o al valore che interessa al momento ...
Da quanto abbiamo detto, dovrebbe ormai essere chiaro che $g = 9.81 m/s^2$, non è solo il numero $9.81$ , o chi per esso. Ci vuole pure l'unita di misura, oltre al numero! Altrimenti , come faresti a scrivere : $v_y = v_(0y) - "g"t $ ? tutti i termini devono avere la dimensione di una velocità, ma questo lo sai benissimo.
Per esempio, si può dire in maniera altrettanto valida che, vicino alla terra, si ha all'incirca : $g = 35 (km)/(h*s)$ , (poco più), e cioè che la velocità vicino alla terra di un corpo in caduta libera varia , ogni secondo, di 34 km/h .
Quindi quello che hai letto ( e ci credo!) è una bella sciocchezza !
Cordialità anche a te Alex.
"SheldonLeeCooper":
Fissiamo un sistema di riferimento con l'ordinata positiva se verso l'alto. La velocità di un corpo in caduta libera per 3 secondi è:
$\vec{v}=\vec{g}t$ , passando ai moduli (o alle intensità), si ha:
$|\vec{v}|=(-|\vec{g}|)t$, da cui:
$|\vec{v}|=(-9,81 m/s^2)3s$, e quindi:
$|\vec{v}|= - 29,43 m/s$. Questa scrittura è stata ottenuta con passaggi leciti, come ne spiegate l'incongruenza dei segni tra il primo membro che è un modulo e il secondo membro che è negativo?
Non ho letto le altre risposte, quindi non so se hai già risolto questo problema, comunque questi passaggi non sono leciti.
Come ti ho fatto notare prima questa formula $ |\vec{v}|=(-|\vec{g}|)t $ è sbagliata
Devi scrivere
$ |\vec{v}|=|(-|\vec{g}|)t| $
così ne ottieni il modulo.
Infatti $vec(g)=-|vec(g)|$, quindi scrivere (il meno tiene conto del verso e quindi del versore, anche se non lo vogliamo scrivere)
$ \vec{v}=\vec{g}t $ o
$ \vec{v}=(-|\vec{g}|)t $
è la stessa cosa. Quindi nella seconda formula se prendi il modulo del primo termine devi prendere il modulo anche del secondo termine. Così ottieni la formula che ti ho scritto.
"navigatore":
D'accordo, l'avevo capito. MA i versori sono un concetto utile, perché non usarlo ?
Sì, certo, in una spiegazione completa ci stanno "bene", ho voluto semplicemente seguire la sua strada.
"navigatore":
Quindi quello che hai letto ( e ci credo!) è una bella sciocchezza !
La vedo in modo diverso, nel senso che, dato il contesto in cui erano situate tali affermazioni (e che non ricordo più in dettaglio ...), lo scopo fosse quello di sottolineare che $g$ non rappresentasse un vettore ma uno scalare, il quale peraltro "si prendeva" l'unità di misura nel momento "dell'utilizzo".
Adesso però, fuori contesto, non saprei dire quante fossero inappropriate tali affermazioni ...
Cordialmente, Alex
La vedo in modo diverso, nel senso che, dato il contesto in cui erano situate tali affermazioni (e che non ricordo più in dettaglio ...), lo scopo fosse quello di sottolineare che g non rappresentasse un vettore ma uno scalare, il quale peraltro "si prendeva" l'unità di misura nel momento "dell'utilizzo".
Adesso però, fuori contesto, non saprei dire quante fossero inappropriate tali affermazioni ...
Il vettore $vecg$ del campo gravitazionale ha evidentemente un modulo, che nelle vicinanze della terra vale : $g = 9.81 m/s^2$ : di qui non si scappa. Ed è fuor di dubbio che il modulo di un vettore è uno scalare.
Ma dire che $g$ "si prende l'unità di misura nel momento dell'utilizzo" , che cosa significa? È una grossa improprietà di linguaggio, anzi per me una sciocchezza dal punto di vista della fisica!
Tutti ragioniamo sulle formule, in cui usiamo grandezze fisiche indicate con lettere, e solo al momento finale della risoluzione di un problema mettiamo dei numeri al posto di quelle grandezze. Ma non sono numeri e basta ! Si tratta di grandezze con dimensione fisica, e le dimensioni sono importanti per arrivare al risultato dimensionalmente corretto, altrimenti si possono commettere errori enormi !
Comunque, le scritture complicate riportate da Sheldon e evidenziate da Spremi sono confuse, fuorvianti e come sottolineato da Spremi alcune sono pure sbagliate. Si possono scrivere in maniera più semplice, senza tanti segni di "modulo" !
Sono d'accordo ma l'inappropriatezza di una frase dipende molto dal contesto in cui è fatta; anche qui non sempre c'è la massima formalità, no? 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Almeno nelle questioni di base, come la definizione di vettore, scalare, il componente, la componente , il modulo, bisogna essere precisissimi. E si cerca di esserlo anche qui.
Altrimenti regna il caos. Che per fortuna talvolta non manca.
Altrimenti regna il caos. Che per fortuna talvolta non manca.
Butto anche la mia.
Quando scompni il vettore $\vec{p}$ su due assi di riferimento, come ti hanno gia' detto prima, puoi usare o 2 vettori o due scalari.
Ai miei tempi, e credo che ancora sia cosi, i due vettori costituenti si chiamavano I COMPONENTI DEL VETTORE.
I moduli di questi vettori componenti si indicavano cone LE COMPONENTI (cambia solo l'articolo, ahime')
Quindi le componenti di $vec{P}$ sono $P_x$ e $P_y$
I componenti (sottinteso "i vettori componenti") sono $vec{P_x}$ e $vec{P_y}$
Facci caso, il libro probabilmente usa questa dicitura
Quando scompni il vettore $\vec{p}$ su due assi di riferimento, come ti hanno gia' detto prima, puoi usare o 2 vettori o due scalari.
Ai miei tempi, e credo che ancora sia cosi, i due vettori costituenti si chiamavano I COMPONENTI DEL VETTORE.
I moduli di questi vettori componenti si indicavano cone LE COMPONENTI (cambia solo l'articolo, ahime')
Quindi le componenti di $vec{P}$ sono $P_x$ e $P_y$
I componenti (sottinteso "i vettori componenti") sono $vec{P_x}$ e $vec{P_y}$
Facci caso, il libro probabilmente usa questa dicitura
"SheldonLeeCooper":
1) Primo dubbio, sappiamo che un vettore è composto da:
- modulo o intensità
- direzione
- verso
Queste strane opinioni dei fisici
. Per i matematici un vettore non ha nessuna di queste 3 cose, ciò che fa si che il vettore li abbia è la presenza di un prodotto scalare, che introduce il concetto di modulo e di angolo. Per la stessa ragione non ha alcun senso definire il prodotto scalare attraverso il coseno (seppur ovviamente il particolare prodotto scalare scelto sia compatibile con il concetto di angolo usato in altri contesti e la formula sia utile quando si ha a che fare con particolari problemi). Il fatto che esista una distinzione tra direzione e verso mi fa tra l'altro sorridere (insomma una direzione contiene al suo interno anche il verso secondo me, ho trovato sempre la cosa poco intuitiva).Comunque sarebbe più appropriato parlare di vettori applicati, e in questo caso vi è un quarto elemento fondamentale: il punto su cui il vettore è applicato.
Nel mio corso di studi in matematica, comunque, i coefficienti li ho sentiti chiamare, appunto, coefficienti, componenti oppure con il termine coordinate. Per i vettori nelle direzioni degli assi io uso il termine proiezioni sugli assi e non ricordo di averli mai sentiti chiamare diversamente.
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Venendo alle questioni più prettamente fisiche, il modello matematico non possiede unità di misura intrinseche. D'altra parte, nel momento in cui un modello assume un significato fisico allora intensità e direzione di ogni vettore contenuto nel modello devono essere sia fisicamente sensati che misurabili sperimentalmente. Pertanto l'unità di misura è qualcosa di intrinsecamente legato al vettore (la stessa cosa vale per ogni elemento del modello).
Comunque \(\displaystyle \lvert \vec{x} \rvert = \bigl\lvert \vec{x}_0 + t \vec{v}_0 - 2^{-1}\vec{g} t^2 \bigr\rvert \) o eventualmente \(\displaystyle \lvert \vec{x} \rvert = \bigl\lvert \vec{x}_0 + t \vec{v}_0 + 2^{-1}\vec{g} t^2 \bigr\rvert \) se supponi che il vettore \(\displaystyle \vec{g} \) sia verso il basso. Non capisco da dove esca fuori il modulo intorno a \(\displaystyle \vec{g} \): l'accelerazione va aggiunta come vettore (anche perché la somma di un vettore con uno scalare non ha senso). Anche perché \(\displaystyle \lvert \vec{x} + \vec{y} \rvert \neq \bigl\lvert \lvert\vec{x}\rvert + \lvert\vec{y}\rvert \bigr\rvert \). Usando forse un fatto che l'autore della discussione non conosce \(\displaystyle \lvert \vec{x} + \vec{y} \rvert^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \lvert \vec{x}\rvert^2 + \lvert \vec{y}\rvert^2 + 2\vec{x}\cdot\vec{y} = \lvert \vec{x}\rvert^2 + \lvert \vec{y}\rvert^2 + 2\lvert\vec{x}\rvert\,\lvert\vec{y}\rvert \cos \alpha \) (anche se personalmente trovo l'ultimo passaggio un po' inutile). Con la somma di 3 vettori le cose sono simili, richiedono un paio di calcoli in più.
[EDIT] Ho corretto un piccolo errore di disattenzione.
Non capisco da dove esca fuori il modulo intorno a $vec(g)$
Non ho capito se è riferito anche a me dato che anche io ho mantenuto il modulo per $g$, comunque
Lui sbagliava facendo
$a=b+c+d$ implica che $|a|=|b|+|c|+|d|$
Quando ho scritto la formula
\( \displaystyle \lvert \vec{x} \rvert = \bigl\lvert \vec{x}_0 + t \vec{v}_0 - \vec{g} t^2 \bigr\rvert \)
ho mantenuto la scrittura $-|g|$ sottointendendo $-|g|hat(j)$, dato che i versori non gli piacciono.
Se prendo la formula di prima posso scrivere
$|a|=|+-|b|+-|c|+-|d||$ (dove per $+-$ intendo: prendi il segno giusto!). E quindi i moduli spariscono. Li ho lasciati perché si capiva bene dove andavo a modificare la formula.
"Spremiagrumi":
Se prendo la formula di prima posso scrivere
$|a|=|+-|b|+-|c|+-|d||$ (dove per $+-$ intendo: prendi il segno giusto!). E quindi i moduli spariscono. Li ho lasciati perché si capiva bene dove andavo a modificare la formula.
Quel discorso non funziona neanche se hai a che fare con la somma di vettori ortogonali tra di loro. Funziona solo con i reali.
@vict85
mi meraviglio molto di certe osservazioni sulle "strane idee dei fisici" , che strane non sono ma sono perfettamente lecite e corrette, come sa un qualsiasi studente che ha seguito un corso di Meccanica razionale (ora si chiama Fisica matematica? ) .
Innanzitutto…..:
……non è corretto. Un vettore ha un modulo indipendentemente dalla definizione di prodotto scalare. Il concetto di "modulo" non è affatto introdotto dal prodotto scalare. Il modulo è la grandezza del vettore riferita ad un segmento assunto come unità di misura : si tratta del semplice rapporto tra segmenti.
Se sto trattando di velocità, per esempio, e assumo che $1 cm = 1m/s$ , un vettore lungo $3 cm$ significa una velocità di $3m/s$ . Non c'è bisogno di introdurre coordinate cartesiane , componenti o altro, per definire il modulo di un vettore, almeno in fisica. Se poi ho le componenti , allora posso scrivere : $v = sqrt( v_x^2 + v_y^2 +v_z^2) $ , ma sempre di velocità si tratta .
La "direzione" è nient'altro che la retta di azione del vettore stesso. E siccome una retta si può percorrere in due versi, bisogna scegliere anche il "verso" per il vettore. Forse qui c'è un po' di ridondanza, ad ogni modo i trattati di Meccanica razionale del passato, su cui ho studiato io, facevano questa distinzione.
Per quale "stessa ragione" ? Il prodotto scalare di due vettori $veca$ e $vecb$ è definito, per le necessità della fisica classica, da : $ veca*vecb = a*b*cos\alpha $ .
Non è vero che….:
…il prodotto scalare si può definire , esattamente alla stessa maniera di prima, per i vettori "liberi" , che sono una classe di equivalenza di vettori paralleli ed equipollenti, se mi ricordo bene.
Se $veca$ e $vecb$ sono due vettori liberi nello spazio euclideo tridimensionale, per definire l'angolo tra essi prendo un punto $P$ qualsiasi , traccio da P due vettori paralleli ad $veca$ e $vecb$ , e determino l'angolo. E questo basta e avanza, per le "strane " necessità dei fisici.
Le definizioni finora date sono perfettamente valide, il fatto che non le abbia sentite non ha importanza : il vettore, il componente (che è un vettore), la componente (scalare con segno) , il modulo .
Meglio togliere di mezzo tutti quei segni di "modulo" , non servono se non a confondere le idee. E attenzione , perché nell'espressione dello spazio il termine che contiene $"g"t^2$ deve essere moltiplicato per $1/2$ , altrimenti Newton si offende.
mi meraviglio molto di certe osservazioni sulle "strane idee dei fisici" , che strane non sono ma sono perfettamente lecite e corrette, come sa un qualsiasi studente che ha seguito un corso di Meccanica razionale (ora si chiama Fisica matematica? ) .
Innanzitutto…..:
Per i matematici un vettore non ha nessuna di queste 3 cose (modulo, direzione, verso) ciò che fa si che il vettore li abbia è la presenza di un prodotto scalare, che introduce il concetto di modulo e di angolo
……non è corretto. Un vettore ha un modulo indipendentemente dalla definizione di prodotto scalare. Il concetto di "modulo" non è affatto introdotto dal prodotto scalare. Il modulo è la grandezza del vettore riferita ad un segmento assunto come unità di misura : si tratta del semplice rapporto tra segmenti.
Se sto trattando di velocità, per esempio, e assumo che $1 cm = 1m/s$ , un vettore lungo $3 cm$ significa una velocità di $3m/s$ . Non c'è bisogno di introdurre coordinate cartesiane , componenti o altro, per definire il modulo di un vettore, almeno in fisica. Se poi ho le componenti , allora posso scrivere : $v = sqrt( v_x^2 + v_y^2 +v_z^2) $ , ma sempre di velocità si tratta .
La "direzione" è nient'altro che la retta di azione del vettore stesso. E siccome una retta si può percorrere in due versi, bisogna scegliere anche il "verso" per il vettore. Forse qui c'è un po' di ridondanza, ad ogni modo i trattati di Meccanica razionale del passato, su cui ho studiato io, facevano questa distinzione.
Per la stessa ragione non ha alcun senso definire il prodotto scalare attraverso il coseno (seppur ovviamente il particolare prodotto scalare scelto sia compatibile con il concetto di angolo usato in altri contesti e la formula sia utile quando si ha a che fare con particolari problemi)
Per quale "stessa ragione" ? Il prodotto scalare di due vettori $veca$ e $vecb$ è definito, per le necessità della fisica classica, da : $ veca*vecb = a*b*cos\alpha $ .
Non è vero che….:
Comunque sarebbe più appropriato parlare di vettori applicati, e in questo caso vi è un quarto elemento fondamentale: il punto su cui il vettore è applicato.
…il prodotto scalare si può definire , esattamente alla stessa maniera di prima, per i vettori "liberi" , che sono una classe di equivalenza di vettori paralleli ed equipollenti, se mi ricordo bene.
Se $veca$ e $vecb$ sono due vettori liberi nello spazio euclideo tridimensionale, per definire l'angolo tra essi prendo un punto $P$ qualsiasi , traccio da P due vettori paralleli ad $veca$ e $vecb$ , e determino l'angolo. E questo basta e avanza, per le "strane " necessità dei fisici.
Nel mio corso di studi in matematica, comunque, i coefficienti li ho sentiti chiamare, appunto, coefficienti, componenti oppure con il termine coordinate. Per i vettori nelle direzioni degli assi io uso il termine proiezioni sugli assi e non ricordo di averli mai sentiti chiamare diversamente.
Le definizioni finora date sono perfettamente valide, il fatto che non le abbia sentite non ha importanza : il vettore, il componente (che è un vettore), la componente (scalare con segno) , il modulo .
Meglio togliere di mezzo tutti quei segni di "modulo" , non servono se non a confondere le idee. E attenzione , perché nell'espressione dello spazio il termine che contiene $"g"t^2$ deve essere moltiplicato per $1/2$ , altrimenti Newton si offende.
@navigatore
vict85 parla da matematico a cui basta uno struttura algebrica chiamata spazio vettoriale che possiede certe caratteristiche, indipendentemente dall'uso che ne facciano fisici, ingegneri e quant'altri.
Come dice questo " ... the objects in a vector space V are called vectors, no matter what else they might really be, simply by virtue of being elements of a vector space ..." (slegati perciò da segmenti, direzioni, versi, angoli, ...)
I fisici invece usano i vettori (e le loro proprietà) come meglio credono ... e fanno bene
Cordialmente, Alex
vict85 parla da matematico a cui basta uno struttura algebrica chiamata spazio vettoriale che possiede certe caratteristiche, indipendentemente dall'uso che ne facciano fisici, ingegneri e quant'altri.
Come dice questo " ... the objects in a vector space V are called vectors, no matter what else they might really be, simply by virtue of being elements of a vector space ..." (slegati perciò da segmenti, direzioni, versi, angoli, ...)
I fisici invece usano i vettori (e le loro proprietà) come meglio credono ... e fanno bene
Cordialmente, Alex
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