Miei soliti dubbi concettuali/formali Fisica (grandezze vettoriali)
Salve ragazzi. Come al solito nel mio percorso da autodidatta sono incappato più dubbi più che altro formali, ve li espongo. Studio di 3° superiore, non universitario.
1) Primo dubbio, sappiamo che un vettore è composto da:
- modulo o intensità
- direzione
- verso
Bene, il mio primo dubbio riguarda il modulo.
Se devo scrivere che un oggetto in caduta libera è soggetto all'accelerazione di gravità g, quale è la scrittura corretta tra queste due:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
oppure:
$|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$
Il dubbio nasce dal fatto che non ho capito se devo intendere il "modulo" in Fisica come il "modulo" in Analisi, che per definizione è sempre positivo. Sui libri spesso trovo scritto che $|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$ , ma non presenta un'incongruità nel segno una tale scrittura? Oppure mi sbaglio e quel meno è dovuto al "verso" e quindi è giustificata?
Il segno non va considerato e quindi scritto solo nelle formule? In questo caso io avrei lasciato così:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
e poi magari per calcolare lo spazio percorso avrei scritto:
$|\vec{x}|=|\vec{x_0}|+|\vec{v_0}|t+1/2(-|\vec{g}|)t^2$ ma solo ora avrei introdotto il segno meno, non prima.
2) Il secondo dubbio riguarda la scomposizione di un vettore nelle sue componenti.
Supponiamo di avere un vettore inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'asse x. Bene, per poter lavorare con questo vettore dobbiamo scomporlo nelle sue componenti.
Il dubbio è: le componenti di un vettore sono scalari o vettoriali? Spesso ho letto che vengono considerate scalari, ma come può allora la loro somma dare un vettore, non trattandosi di vettori?
Io scriverei che:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $\vec{Fx}=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $\vec{Fy}=\vec{F}sen\alpha$
invece sul libro viene messo:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $Fx=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $Fy=\vec{F}sen\alpha$
Ogni volta che scompongo un vettore io continuo a mettere la freccetta che indica un vettore anche sopra le componenti, sbaglio? (considerate che il libro non introduce i versori, essendo delle superiori!)
1) Primo dubbio, sappiamo che un vettore è composto da:
- modulo o intensità
- direzione
- verso
Bene, il mio primo dubbio riguarda il modulo.
Se devo scrivere che un oggetto in caduta libera è soggetto all'accelerazione di gravità g, quale è la scrittura corretta tra queste due:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
oppure:
$|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$
Il dubbio nasce dal fatto che non ho capito se devo intendere il "modulo" in Fisica come il "modulo" in Analisi, che per definizione è sempre positivo. Sui libri spesso trovo scritto che $|\vec{g}|= - 9,81 m/(s^2)$ , ma non presenta un'incongruità nel segno una tale scrittura? Oppure mi sbaglio e quel meno è dovuto al "verso" e quindi è giustificata?
Il segno non va considerato e quindi scritto solo nelle formule? In questo caso io avrei lasciato così:
$|\vec{g}|= + 9,81 m/(s^2)$
e poi magari per calcolare lo spazio percorso avrei scritto:
$|\vec{x}|=|\vec{x_0}|+|\vec{v_0}|t+1/2(-|\vec{g}|)t^2$ ma solo ora avrei introdotto il segno meno, non prima.
2) Il secondo dubbio riguarda la scomposizione di un vettore nelle sue componenti.
Supponiamo di avere un vettore inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'asse x. Bene, per poter lavorare con questo vettore dobbiamo scomporlo nelle sue componenti.
Il dubbio è: le componenti di un vettore sono scalari o vettoriali? Spesso ho letto che vengono considerate scalari, ma come può allora la loro somma dare un vettore, non trattandosi di vettori?
Io scriverei che:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $\vec{Fx}=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $\vec{Fy}=\vec{F}sen\alpha$
invece sul libro viene messo:
vettore: $\vec{F}$
componente lungo x: $Fx=\vec{F}cos\alpha$
componente lungo y: $Fy=\vec{F}sen\alpha$
Ogni volta che scompongo un vettore io continuo a mettere la freccetta che indica un vettore anche sopra le componenti, sbaglio? (considerate che il libro non introduce i versori, essendo delle superiori!)
Risposte
Alex, lo avevo bell'e capito che parla da matematico!
Ma a me i vettori , a parte essere elementi di uno spazio vettoriale , servono per fare un po' di fisica.
Ma a me i vettori , a parte essere elementi di uno spazio vettoriale , servono per fare un po' di fisica.
La sua versione però sarebbe questa:
"Ma a me i vettori, a parte essere utili ai fisici, servono per fare matematica"
"Ma a me i vettori, a parte essere utili ai fisici, servono per fare matematica"
In parte ti ha risposto Alex. La mia risposta sarà sicuramente troppo tecnica per l'autore della discussione. Non sto dicendo che siano sbagliate, sto dicendo che non mi piace il modo in cui i fisici introducono i vettori.
Come ha detto Alex per me un vettore non possiede una metrica. La metrica, ovvero la lunghezza, è fornita dalla norma, che a sua volta viene indotta dal prodotto scalare. Nota che per me il prodotto scalare è una qualsiasi forma bilineare simmetrica definita positiva. Quello che generalmente viene usato è il prodotto scalare standard. Se hai una norma ma non il prodotto scalare allora viene a mancare il concetto di angolo, ma possiedi quello di lunghezza.
Detto questo, tolta la norma e il prodotto scalare, non ti è possibile confrontare i moduli di due vettori che non abbiano la stessa direzione. Perché non possiedi né proiezioni, né angoli, né lunghezza intrinseca. Insomma, gli spazi vettoriali non sono esattamente la stessa geometria euclidea di Euclide. Infatti nella geometria sintetica è come dici tu, negli spazi vettoriali invece il concetto di misura deriva dalla norma. È evidente che si scelga la norma in modo tale da rendere la lunghezza della lunghezza di riferimento uguale a \(\displaystyle 1m \). In sostanza una cosa è il modello, un'altra è il mondo che ci circonda.
Comunque non ho mai detto che mi piacciano le coordinate, anzi devo dire che le evito il più possibile. Sinceramente comunque trovo che varie volte l'uso degli angoli da parte dei libri di fisica possa essere evitato. Vedila come una opinione personale.
Sui vettori liberi ho capito quello che intendi: lo spazio vettoriale che agisce in modo semplicemente transitivo su, sostanzialmente, se stesso per costruire lo spazio affine.
Questo ovviamente ignorando il fatto che la teoria fisica classica possiede più struttura del solo spazio affine e che i vettori andrebbero meglio intesi in termini di elementi dello spazio tangente della geometria differenziale. Sempre che non si arrivi a trattare moving frames e Jets.
Hai perfettamente ragione, stavo solo esprimendo la mia opinione sulla terminologia più appropriata. Tra l'altro ho a che fare con l'algebra lineare in italiano solo sul forum.
Ho corretto.
Come ha detto Alex per me un vettore non possiede una metrica. La metrica, ovvero la lunghezza, è fornita dalla norma, che a sua volta viene indotta dal prodotto scalare. Nota che per me il prodotto scalare è una qualsiasi forma bilineare simmetrica definita positiva. Quello che generalmente viene usato è il prodotto scalare standard. Se hai una norma ma non il prodotto scalare allora viene a mancare il concetto di angolo, ma possiedi quello di lunghezza.
Detto questo, tolta la norma e il prodotto scalare, non ti è possibile confrontare i moduli di due vettori che non abbiano la stessa direzione. Perché non possiedi né proiezioni, né angoli, né lunghezza intrinseca. Insomma, gli spazi vettoriali non sono esattamente la stessa geometria euclidea di Euclide. Infatti nella geometria sintetica è come dici tu, negli spazi vettoriali invece il concetto di misura deriva dalla norma. È evidente che si scelga la norma in modo tale da rendere la lunghezza della lunghezza di riferimento uguale a \(\displaystyle 1m \). In sostanza una cosa è il modello, un'altra è il mondo che ci circonda.
Comunque non ho mai detto che mi piacciano le coordinate, anzi devo dire che le evito il più possibile. Sinceramente comunque trovo che varie volte l'uso degli angoli da parte dei libri di fisica possa essere evitato. Vedila come una opinione personale.
Sui vettori liberi ho capito quello che intendi: lo spazio vettoriale che agisce in modo semplicemente transitivo su, sostanzialmente, se stesso per costruire lo spazio affine.
Questo ovviamente ignorando il fatto che la teoria fisica classica possiede più struttura del solo spazio affine e che i vettori andrebbero meglio intesi in termini di elementi dello spazio tangente della geometria differenziale. Sempre che non si arrivi a trattare moving frames e Jets.
"navigatore":Nel mio corso di studi in matematica, comunque, i coefficienti li ho sentiti chiamare, appunto, coefficienti, componenti oppure con il termine coordinate. Per i vettori nelle direzioni degli assi io uso il termine proiezioni sugli assi e non ricordo di averli mai sentiti chiamare diversamente.
Le definizioni finora date sono perfettamente valide, il fatto che non le abbia sentite non ha importanza : il vettore, il componente (che è un vettore), la componente (scalare con segno) , il modulo .
Hai perfettamente ragione, stavo solo esprimendo la mia opinione sulla terminologia più appropriata. Tra l'altro ho a che fare con l'algebra lineare in italiano solo sul forum.
"navigatore":
E attenzione , perché nell'espressione dello spazio il termine che contiene $"g"t^2$ deve essere moltiplicato per $1/2$ , altrimenti Newton si offende.
Ho corretto.
Dimenticavo le direzioni. Lì mi riferivo solo al fatto che trovavo più naturale identificare le direzioni con le semirette piuttosto che con le rette. Insomma era un commento “leggero”.
La mia risposta sarà sicuramente troppo tecnica per l'autore della discussione. Non sto dicendo che siano sbagliate, sto dicendo che non mi piace il modo in cui i fisici introducono i vettori.
È chiaro, lo capisci da solo, che le risposte vanno calibrate sul livello delle domande, e nell'ambito di competenza della domanda stessa.
Purtroppo per te che sei un matematico, e fortunatamente per coloro che invece studiano la fisica, i vettori sono introdotti dai fisici in quella maniera "semplificata" che abbiamo visto, che ai matematici non piace, però è di gran lunga più facilmente utilizzabile da parte degli studenti e dei fisici stessi, almeno livello di fisica elementare.
per me il prodotto scalare è una qualsiasi forma bilineare simmetrica definita positiva
ma se per esempio ti metti a parlare di relatività , la forma bilineare simmetrica non è definita positiva : può essere positiva, negativa, nulla. La geometria non è più euclidea, è pseudo-euclidea. Quindi la norma quadra di un 4-vettore (in rel. un vettore ha 4 componenti ) può avere qualunque segno : dipende.
Quello che generalmente viene usato è il prodotto scalare standard
si, ma sempre nella geometria euclidea. Nella geometria pseudo-euclidea non è più il prodotto scalare standard.
Sinceramente comunque trovo che varie volte l'uso degli angoli da parte dei libri di fisica possa essere evitato. Vedila come una opinione personale.
ok, rispetto le opinioni personali. MA gli angoli sono tanto utili e carini, in fisica elementare ….!
Questo ovviamente ignorando il fatto che la teoria fisica classica possiede più struttura del solo spazio affine e che i vettori andrebbero meglio intesi in termini di elementi dello spazio tangente della geometria differenziale.
sicuramente, mi sono sciroppato sufficienti dosi di geometria differenziale quando ho deciso di studiare la relatività generale, a partire dai concetti di spazio topologico, varietà differenziabili , spazio tangente $T_P(M)$ in P ad M, spazi duali , tensori , calcolo e analisi tensoriale, forme differenziali ecc ecc.
Ma noi parlavamo di vettori nello spazio euclideo tridimensionale, in cui è sufficiente introdurre i concetti nella maniera adeguata a capire forze, velocità, accelerazioni…della fisica classica. Te lo immagini he cosa vorrebbe dire, per uno studente alle prime armi in fisica 1 , introdurre i vettori come "elementi di uno spazio vettoriale" che devono soddisfare a certe regole dell'algebra….?
Certo, qualche purista della matematica storcerà il naso di fronte alle mie considerazioni, ma credimi, è già difficile far capire la fisica agli studenti nella maniera semplice . Prove ne sia l'argomento del topic!
"vict85":
[quote="Spremiagrumi"]Se prendo la formula di prima posso scrivere
$|a|=|+-|b|+-|c|+-|d||$ (dove per $+-$ intendo: prendi il segno giusto!). E quindi i moduli spariscono. Li ho lasciati perché si capiva bene dove andavo a modificare la formula.
Quel discorso non funziona neanche se hai a che fare con la somma di vettori ortogonali tra di loro. Funziona solo con i reali.[/quote]
Lo so. Infatti, nell'equazione oraria che abbiamo preso in considerazione tutti i vettori sono presi nella stessa direzione $vec(j)$
Ma se lavori in una direzione allora non devi usare il valore assoluto, perché altrimenti ti perdi in giro il verso.
Ragazzi, ma perché non togliete di mezzo quei valori assoluti che complicano inutilmente la scrittura ?
Corpo lanciato verticalmente verso l'alto ? Asse $y$ orientato verso l'alto ?
$yvecj = y_0vecj + v_0tvecj + 1/2"g" t^2vecj$
proiettando sull'asse :
$y = y_0 + v_0t - 1/2"g" t^2$
Corpo lanciato verticalmente verso l'alto ? Asse $y$ orientato verso l'alto ?
$yvecj = y_0vecj + v_0tvecj + 1/2"g" t^2vecj$
proiettando sull'asse :
$y = y_0 + v_0t - 1/2"g" t^2$
"vict85":
Ma se lavori in una direzione allora non devi usare il valore assoluto, perché altrimenti ti perdi in giro il verso.
Infatti, se guardi la mia formula, ho scritto davanti al valore assoluto un $+-$ scrivendo: prendi il segno giusto. Così tieni conto anche del verso.
Ragazzi, ma perché non togliete di mezzo quei valori assoluti che complicano inutilmente la scrittura ?
Ripeto: ho lasciato il segno di valore assoluto solo per far vedere dove andavo a modificare le formule dato che le formule di sheldon lo avevano. E' vero: complica le cose e non serve a nulla qui.
Ma se fai il valore assoluto e poi moltiplichi per il segno quello che ricavi è il numero di partenza. Concordo con Navigatore, l'uso di quei valori assoluti è assolutamente inutile e complica la scrittura.
"vict85":
Concordo con Navigatore, l'uso di quei valori assoluti è assolutamente inutile e complica la scrittura.
Concordo pure io.
Ma se fai il valore assoluto e poi moltiplichi per il segno quello che ricavi è il numero di partenza.
Si, e sai fai il valore assoluto del numero di partenza ottieni questo positivo.
Un esempio.
Pippo lancia un oggetto verso l'alto. La forza di gravità agisce verso il basso. La velocità iniziale del corpo è $3 m/s$. Pippo lancia l'oggetto da una buca a $-10 m $ di altezza sul livello del mare. A che altitudine si trova l'oggetto dopo $50 s$ (ipotizzando che passi dentro il terreno).
Usando le "mie" formule:
$x=-|10|+|3|*50-1/2|9,8|*50^2=-12110$
naturalmente se faccio il valore assoluto del vettore posizione ho:
$|x|=|-|10|+|3|\cdot 50-\frac{1}{2}\cdot |9,8|\cdot 50^2|=|-12110|=12110$
(mi mette la sbarretta dopo il $3$ e quella prima del $9,8$ più grandi, non riesco a scriverlo meglio).
Questo è quello che volevo dire, inutile quanto volete ma tutto giusto.
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