Metodo delle immagini
Salve ragazzi , ho questo problema :
Si abbiano due fili paralleli indefiniti carichi con densità lineare costante $\lambda$ e $-\lambda$ , distanti $2a$ .
Determinare le superfici equipotenziali del campo elettrostatico da essi generato;
Usare tale risultato per risolvere , con il metodo delle immagini , il problema del potenziale generato da un filo rettilineo indefinito avente densità lineare di carica costante $\lambda$ , posto parallelamente all'asse di un cilindro conduttore infinito di raggio $R$ e distante $d$ dall'asse con $d>R$ .
Per quanto riguarda il primo punto ho calcolato i campi elettrostatici dei due fili e poi li ho sommati in modo da trovare il campo elettrostatico totale , ovvero : $E=2K_e \lambda [ \frac{1}{r}+\frac{1}{r-2a} ]$ dopodiché integrando trovo il potenziale , lo pongo uguale a zero in modo da avere le superfici equipotenziali di raggio $r$
$\phi=2K_e \lambda [ \ln(r) + \ln(r-2a) ] + c =0 $
Poi mi si chiede di usare tale risultato , sempre se è corretto , per svolgere il punto 2.
Ora io ho pensato di posizionare un'altro cilindro delle stesse dimensioni ad una distanza $-d$ alla sinistra del filo conduttore e lo pongo parallelamente ad esso , e poi? E' corretto procedere cosi?
Si abbiano due fili paralleli indefiniti carichi con densità lineare costante $\lambda$ e $-\lambda$ , distanti $2a$ .
Determinare le superfici equipotenziali del campo elettrostatico da essi generato;
Usare tale risultato per risolvere , con il metodo delle immagini , il problema del potenziale generato da un filo rettilineo indefinito avente densità lineare di carica costante $\lambda$ , posto parallelamente all'asse di un cilindro conduttore infinito di raggio $R$ e distante $d$ dall'asse con $d>R$ .
Per quanto riguarda il primo punto ho calcolato i campi elettrostatici dei due fili e poi li ho sommati in modo da trovare il campo elettrostatico totale , ovvero : $E=2K_e \lambda [ \frac{1}{r}+\frac{1}{r-2a} ]$ dopodiché integrando trovo il potenziale , lo pongo uguale a zero in modo da avere le superfici equipotenziali di raggio $r$
$\phi=2K_e \lambda [ \ln(r) + \ln(r-2a) ] + c =0 $
Poi mi si chiede di usare tale risultato , sempre se è corretto , per svolgere il punto 2.
Ora io ho pensato di posizionare un'altro cilindro delle stesse dimensioni ad una distanza $-d$ alla sinistra del filo conduttore e lo pongo parallelamente ad esso , e poi? E' corretto procedere cosi?
Risposte
Vista l'ora, giusto un paio di veloci consigli: prima di tutto ti conviene usare per i due fili una posizione simmetrica rispetto all'origine (-a, +a), occhio poi alla somma dei campi elettrici in quanto è una somma vettoriale (inutile), ti converrà invece sommare i potenziali relativi ai due singoli fili (come hai sostanzialmente già indicato), servirà scegliere un particolare punto (retta) a potenziale nullo (per esempio l'origine ... o l'asse z) e i due potenziali li ricaverai dall'integrazione dei due campi via integrale di linea su una retta radiale congiungente il centro dei fili al generico punto P (da a a r1 e da a a r2), in questo modo otterrai un potenziale complessivo U(P) proporzionale al logaritmo del rapporto r1/r2, rapporto che sarà quindi esplicitabile in funzione del parametro U=k e che scritto in coordinate cartesiane evidenzierà che le superfici equipotenziali non sono altro che delle superfici cilindriche che contornano simmetricamente entrambi i fili.
Se provi a disegnare (qualitativamente) il campo elettrico, capirai subito come sono messi questi cilindri e capirai pure come rispondere alla seconda domanda, in quanto uno dei cilindri che contorna un filo carico potrà essere immaginato corrispondente al "cilindro conduttore infinito" parallelo all'altro filo carico, indicato dal testo.
Se provi a disegnare (qualitativamente) il campo elettrico, capirai subito come sono messi questi cilindri e capirai pure come rispondere alla seconda domanda, in quanto uno dei cilindri che contorna un filo carico potrà essere immaginato corrispondente al "cilindro conduttore infinito" parallelo all'altro filo carico, indicato dal testo.
E' un'esercizio bello tosto! Nel Jackson sono trattati molti esercizi svolti col metodo delle immagini , nessuno che presenta cilindri , alcuni li abbiamo svolti pure in classe . Ora grazie ai tuoi consigli riprovo a svolgere l'esercizio e non appena credo di aver combinato qualcosa di utile posto il mio pensiero con relativo disegnino
"MillesoliSamuele":
E' un'esercizio bello tosto! Nel Jackson sono trattati molti esercizi svolti col metodo delle immagini ...
Usate il Jackson? ... Gran Bel testo
... Posso sapere cosa e dove stai studiando?"MillesoliSamuele":
... riprovo a svolgere l'esercizio e non appena credo di aver combinato qualcosa di utile posto il mio pensiero con relativo disegnino
... per il disegno ti consiglio FidoCadJ
Sono iscritto al Corso Di Laurea in Fisica a Catania e gran parte del nostro programma è trattato nel Jackson ,che ci è stato consigliato dal professore stesso , ma non è l'unico testo che ha consigliato! ha fatto altri nomi come il Resnick e altri libri che vengono usati solitamente . Personalmente studio Fisica II dai suoi appunti ( Meravigliosi ) e quando ho dubbi consulto il Jackson , ma dei 30 ragazzi circa che seguivano il corso non lo adoperava quasi nessuno ( lo amo anche per la sua trattazione matematica , è fantastica ) e i Landau volume 1,2 e 8 ( la relatività , si trova nel volume 2 , è trattata benissimo ) . Proprio l'altro ieri ho svolto l'esame scritto ( sono quasi sempre tosti ) con 3 problemi , uno è questo , l'altro mi hai risposto poche ore fà e l'altro ancora l'avevo casualmente già svolto e postato un paio di giorni fa ( è di relatività ) .
Per quanto riguarda FidoCadj , non riesco ad aprirlo su Ubuntu e non capisco perché
Per quanto riguarda FidoCadj , non riesco ad aprirlo su Ubuntu e non capisco perché
Da premettere che negli ultimi giorni ho una confusione immensa, ho provato a far qualcosina e sono giunto a :
$\phi_1=-int_a^{r_1} \frac{\lambda}{2\epsilon_0 \pi r} dr = -\lambda \frac{\ln(\frac{r_1}{a})}{2\pi\epsilon_0}$
$\phi_2=-int_a^{r_2} \frac{-\lambda}{2\epsilon_0 \pi r} dr = \lambda \frac{\ln(\frac{r_2}{a})}{2\pi\epsilon_0}$
Sommando : $\phi =\frac{ \lambda [ \ln( \frac{r_2}{r_1}) ]}{2\pi\epsilon_0}=C$ da cui
$\frac{r_2}{r_1}=e^{\frac{2\pi\epsilon_0 C}{\lambda}}$
Ma sinceramente non ne sono convintissimo...
$\phi_1=-int_a^{r_1} \frac{\lambda}{2\epsilon_0 \pi r} dr = -\lambda \frac{\ln(\frac{r_1}{a})}{2\pi\epsilon_0}$
$\phi_2=-int_a^{r_2} \frac{-\lambda}{2\epsilon_0 \pi r} dr = \lambda \frac{\ln(\frac{r_2}{a})}{2\pi\epsilon_0}$
Sommando : $\phi =\frac{ \lambda [ \ln( \frac{r_2}{r_1}) ]}{2\pi\epsilon_0}=C$ da cui
$\frac{r_2}{r_1}=e^{\frac{2\pi\epsilon_0 C}{\lambda}}$
Ma sinceramente non ne sono convintissimo...
"MillesoliSamuele":
... sono giunto a :
$\phi =\frac{ \lambda [ \ln( \frac{r_2}{r_1}) ]}{2\pi\epsilon_0}=C$ da cui
$\frac{r_2}{r_1}=e^{\frac{2\pi\epsilon_0 C}{\lambda}}$
Ma sinceramente non ne sono convintissimo...
Proprio così, ora non ti resta che porre per comodità$k=e^{\frac{2\pi\epsilon_0 C}{\lambda}}$
e quindi sviluppare il rapporto quadratico fra i raggi,
$\frac{r_2^2}{r_1^2}=k^2$
usando la loro rappresentazione cartesiana, al fine di rendere evidente la natura circolare di queste linee equipotenziali e di conseguenza quella cilindrica delle superfici equipotenziali.
Da questo risultato potrai come dicevo andare a rispondere alla seconda domanda e anche (volendo andare oltre) ricavarti, per esempio, la relazione notevole per la capacità fra due cilindri conduttori.
"RenzoDF":
...e quindi sviluppare il rapporto quadratico fra i raggi,
$ \frac{r_2^2}{r_1^2}=k^2 $
usando la loro rappresentazione cartesiana, al fine di rendere evidente la natura circolare di queste linee equipotenziali e di conseguenza quella cilindrica delle superfici equipotenziali.
Non ho capito benissimo cosa intendi , concettualmente sò che , in questo caso ,le linee equipotenziali devono essere circolari mentre le superfici equipotenziali devono essere cilindriche , ma $ \frac{r_2^2}{r_1^2}=k^2 $ mi sembra una retta
"MillesoliSamuele":
... ma $ \frac{r_2^2}{r_1^2}=k^2 $ mi sembra una retta
Una retta
... stai scherzando?Hai provato a seguire il consiglio di passare alle coordinate cartesiane?
Me ne sono reso conto ora! Avevo visto tutt'altro ! Ma come la riconduco all'espressione Cartesiana?
"MillesoliSamuele":
... come la riconduco all'espressione Cartesiana?
Sostituendo ai due raggi le loro funzioni ri(x,y).
Avevo sbagliato a fare i conti per questo credevo fosse una retta pardon!
$r_1 ^2=x^2+(y-a)^2$ mentre $r_2 ^2=x^2+(y+a)^2$ sostituendo e facendo i conti avrò :
$x^2(1-k^2)+y^2(1-k^2)-4ay+a^2(1-K^2)=0$ che è l'equazione di una circonferenza!
$r_1 ^2=x^2+(y-a)^2$ mentre $r_2 ^2=x^2+(y+a)^2$ sostituendo e facendo i conti avrò :
$x^2(1-k^2)+y^2(1-k^2)-4ay+a^2(1-K^2)=0$ che è l'equazione di una circonferenza!
Quasi.
... poi, una volta corretta, ti conviene dividere per $1-k^2$ ... e ricavarti raggio e distanza dall'origine.
... poi, una volta corretta, ti conviene dividere per $1-k^2$ ... e ricavarti raggio e distanza dall'origine.
Riguardando il disegno e la notazione ho :
$r_1 ^2=x^2 + (y+a)^2$ mentre $r_2 ^2=x^2 + (y-a)^2$ quindi
$x^2 +y^2 +2ay\frac{1+k^2}{k^2-1} + a^2=0 $ ??
Ha raggio $R=\frac{2ak}{k^2 -1}$
Mentre la distanza dall origine è $\frac{a(1+k^2)}{k^2 -1}$
$r_1 ^2=x^2 + (y+a)^2$ mentre $r_2 ^2=x^2 + (y-a)^2$ quindi
$x^2 +y^2 +2ay\frac{1+k^2}{k^2-1} + a^2=0 $ ??
Ha raggio $R=\frac{2ak}{k^2 -1}$
Mentre la distanza dall origine è $\frac{a(1+k^2)}{k^2 -1}$
"MillesoliSamuele":
Riguardando il disegno e la notazione
Quale disegno?
Se non mettiamo in chiaro la geometria non possiamo andare avanti!
BTW ad ogni modo occhio ai segni.
Mi riferivo al disegnino dei due fili che ho sul quaderno 
ho corretto mi era sfuggito un meno , cosi va bene?
ho corretto mi era sfuggito un meno , cosi va bene?
Puoi postare il disegno?
Ora come ora no perché non ho il quaderno con me, domani mattina lo posto
Non mi fa caricare la foto! Comunque sono i due fili posti parallelamente ,il primo passante nel punto (0,-a) e il secondo (0,a) entrambi i fili sono paralleli all asse x.
Ho rifatto i conti e modificato il messaggio precedente.
Ho rifatto i conti e modificato il messaggio precedente.
"MillesoliSamuele":
Non mi fa caricare la foto!
Mah, magari puoi provarci più tardi.
"MillesoliSamuele":
Comunque sono i due fili posti parallelamente ,il primo passante nel punto (0,-a) e il secondo (0,a) entrambi i fili sono paralleli all asse x.
Se mi fornisci le coordinate in quel modo io tenderei ad interpretare $x=0$ e $y=\pma$ e quindi se poi sono paralleli all'asse x, significa che tutte le relazioni scritte finora sono errate in quanto i raggi r1 e r2 verrebbero a trovarsi sul piano yz, non sul piano xy.
Meglio aspettare l'immagine, prima o poi vedrai che riuscirai a caricarla.
Sorry! paralleli all'asse z.
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