Metodo delle immagini
Salve ragazzi , ho questo problema :
Si abbiano due fili paralleli indefiniti carichi con densità lineare costante $\lambda$ e $-\lambda$ , distanti $2a$ .
Determinare le superfici equipotenziali del campo elettrostatico da essi generato;
Usare tale risultato per risolvere , con il metodo delle immagini , il problema del potenziale generato da un filo rettilineo indefinito avente densità lineare di carica costante $\lambda$ , posto parallelamente all'asse di un cilindro conduttore infinito di raggio $R$ e distante $d$ dall'asse con $d>R$ .
Per quanto riguarda il primo punto ho calcolato i campi elettrostatici dei due fili e poi li ho sommati in modo da trovare il campo elettrostatico totale , ovvero : $E=2K_e \lambda [ \frac{1}{r}+\frac{1}{r-2a} ]$ dopodiché integrando trovo il potenziale , lo pongo uguale a zero in modo da avere le superfici equipotenziali di raggio $r$
$\phi=2K_e \lambda [ \ln(r) + \ln(r-2a) ] + c =0 $
Poi mi si chiede di usare tale risultato , sempre se è corretto , per svolgere il punto 2.
Ora io ho pensato di posizionare un'altro cilindro delle stesse dimensioni ad una distanza $-d$ alla sinistra del filo conduttore e lo pongo parallelamente ad esso , e poi? E' corretto procedere cosi?
Si abbiano due fili paralleli indefiniti carichi con densità lineare costante $\lambda$ e $-\lambda$ , distanti $2a$ .
Determinare le superfici equipotenziali del campo elettrostatico da essi generato;
Usare tale risultato per risolvere , con il metodo delle immagini , il problema del potenziale generato da un filo rettilineo indefinito avente densità lineare di carica costante $\lambda$ , posto parallelamente all'asse di un cilindro conduttore infinito di raggio $R$ e distante $d$ dall'asse con $d>R$ .
Per quanto riguarda il primo punto ho calcolato i campi elettrostatici dei due fili e poi li ho sommati in modo da trovare il campo elettrostatico totale , ovvero : $E=2K_e \lambda [ \frac{1}{r}+\frac{1}{r-2a} ]$ dopodiché integrando trovo il potenziale , lo pongo uguale a zero in modo da avere le superfici equipotenziali di raggio $r$
$\phi=2K_e \lambda [ \ln(r) + \ln(r-2a) ] + c =0 $
Poi mi si chiede di usare tale risultato , sempre se è corretto , per svolgere il punto 2.
Ora io ho pensato di posizionare un'altro cilindro delle stesse dimensioni ad una distanza $-d$ alla sinistra del filo conduttore e lo pongo parallelamente ad esso , e poi? E' corretto procedere cosi?
Risposte
Se le convenzioni sono quelle bisogna modificare il calcolo del potenziale e quindi tutto da rifare; io direi che conviene indicare con r1 il raggio dal filo carico positivamente in (0,a).
Ah va bene, ma il calcolo precedente è esatto?
Direi di si, sia per il raggio sia per la distanza $d$ dall'origine.
Ora non ti resta che ricavarti k in funzione di a, R e d.
Ora non ti resta che ricavarti k in funzione di a, R e d.
Da dove dovrei ricavare k? dalle espressioni di d e R no perché non sarà funzione delle tre variabili a,d,R..
Si, devi associare il generico $k$ ad una particolare circonferenza (cilindro) e per farlo userai la relazione dell'ordinata $d$ del suo centro e la relazione $R^2=d^2-a^2$; ricavato $k$ andrai a sostituirlo nella uguaglianza esponenziale, e da questa ti ricaverai il potenziale $\phi$ associato a detto cilindro, in questo modo disporrai del potenziale
$\phi(d,R,\lambda)$
che ti permetterà anche di ricavarti la capacità $C(d,R)$ del condensatore che ha per armature due cilindri conduttori paralleli con distanza assiale $d$ e raggio $R$ [nota]E volendo anche di diverso raggio:R_1, R_2.[/nota]
$\phi(d,R,\lambda)$
che ti permetterà anche di ricavarti la capacità $C(d,R)$ del condensatore che ha per armature due cilindri conduttori paralleli con distanza assiale $d$ e raggio $R$ [nota]E volendo anche di diverso raggio:R_1, R_2.[/nota]
Quindi trovato k e posto $k=e^{\frac{2\pi \epsilon_0\phi}{lambda}}$ avrò che :
$\phi (d,r,\lambda)=\frac{\lambda \ln(k)}{2\pi\epsilon_0}$ FINE PROBLEMA . e poi
$C(d,R)=\frac{Q}{\phi}$ ?
$\phi (d,r,\lambda)=\frac{\lambda \ln(k)}{2\pi\epsilon_0}$ FINE PROBLEMA . e poi
$C(d,R)=\frac{Q}{\phi}$ ?
"MillesoliSamuele":
Quindi trovato k e posto $k=e^{\frac{2\pi \epsilon_0\phi}{lambda}}$ avrò che :
$\phi (d,r,\lambda)=\frac{\lambda \ln(k)}{2\pi\epsilon_0}$ FINE PROBLEMA .
Si, una volta trovato che
$k=(d+a)/R$
e sostituito $a$ con $a(d,R)$, il problema sarà sostanzialmente finito.
"MillesoliSamuele":
... e poi
$C(d,R)=\frac{Q}{\phi}$ ?
Non proprio, chiaramente andremo a calcolare una capacità per unità di lunghezza e quindi a numeratore $\lambda$, ma a denominatore devi usare la differenza di potenziale fra i due cilindri, che non è pari al potenziale di uno di essi.
Non capisco come ricavare la k...
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la pazienza , senza di te non avrei mai svolto tale problema.
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la pazienza , senza di te non avrei mai svolto tale problema.
"MillesoliSamuele":
Non capisco come ricavare la k...
Per esempio, dalla
$d=\frac{a(1+k^2)}{k^2 -1}$
avrai
$k^2=(d+a)/(d-a)$
mentre dalla
$R^2=d^2-a^2$
avrai
$ d-a =R^2/(d+a)$
che sostituita nella prima ti permetterà di risolvere.
"MillesoliSamuele":
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la pazienza ...
Di nulla, così faccio un po' di "ripasso".
BTW posta comunque il risultato per la capacità, potrebbe essere utile per qualche futuro lettore.
Grazie mille ancora
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