Meteorite da lontano
nel suo post del 02/06/2004 08:23:14 in "università/esercizio fisica" cannigo pone un provocatorio problema:
"Prendi quella palla e mettila a 1 anno luce dalla terra, e quando ti arriva più sul piede? ..."
immaginiamo di "spegnere" per qualche tempo l'attrazione newtoniana di tutti i corpi celesti del circondario (tranne la terra) per non disturbare la traiettoria della palla.
il problema è già apparso su scala ridotta ("università/Una caduta ....fatale", di karl, fine febbraio).
io trovo t ~= 1/2 * 1,025*10^17 s
qualcuno me lo può confermare?
(prego, almeno entro il giorno precedente l'impatto, così vado dal barbiere per la cerimonia).
tony
p.s. se andasse dritto dritto, a che velocità si schianterebbe al suolo?
"Prendi quella palla e mettila a 1 anno luce dalla terra, e quando ti arriva più sul piede? ..."
immaginiamo di "spegnere" per qualche tempo l'attrazione newtoniana di tutti i corpi celesti del circondario (tranne la terra) per non disturbare la traiettoria della palla.
il problema è già apparso su scala ridotta ("università/Una caduta ....fatale", di karl, fine febbraio).
io trovo t ~= 1/2 * 1,025*10^17 s
qualcuno me lo può confermare?
(prego, almeno entro il giorno precedente l'impatto, così vado dal barbiere per la cerimonia).
tony
p.s. se andasse dritto dritto, a che velocità si schianterebbe al suolo?
Risposte
bravo, vedi che il buon vecchio fortran ha ancora qualcosa da dire!
dato il raggio della terra è molto minore della distanza e la massa
del meteroite è stata supposta trascurabile rispetto alla massa della
terra t=Pigreco*sqrt(d^3/(8GM)) dovrebbe dare lo stesso risultato
ciao a tutti
del meteroite è stata supposta trascurabile rispetto alla massa della
terra t=Pigreco*sqrt(d^3/(8GM)) dovrebbe dare lo stesso risultato
ciao a tutti
quote:
Originally posted by Angela4
dato il raggio della terra è molto minore della distanza e la massa
del meteroite è stata supposta trascurabile rispetto alla massa della
terra t=Pigreco*sqrt(d^3/(8GM)) dovrebbe dare lo stesso risultato
ciao a tutti
Angela,
la formula funziona alla grande! Come l'hai ottenuta? C'entra per caso una delle tre leggi di keplero?
credo che le tre leggi di keplero si occupino dei corpi che orbitano, non di quelli che cadono, cmq in tutti i nostri ragionamenti ci siamo scordati del fatto che la terra nel tempo che il nostro corpo cade, ruota attorno al sole con "ehm, una certa insistenza"...
quote:
Originally posted by GIOVANNI IL CHIMICO
credo che le tre leggi di keplero si occupino dei corpi che orbitano, non di quelli che cadono, cmq in tutti i nostri ragionamenti ci siamo scordati del fatto che la terra nel tempo che il nostro corpo cade, ruota attorno al sole con "ehm, una certa insistenza"...
quello che dici è esatto tuttavia un'orbita molto sciacciata potrebbe approssimare una traiettoria rettilinea: immaggina una ellisse con semiasse inferiore uguale a zero. In tal caso dalle leggi di keplero potrebbe venir fuori la fantastica legge di Angela.
Inoltre hai anche ragione sull'interferenza di altri corpi celesti ma, come specificato da tony nel primo post di questo topic, si sta immaginando di spegnere tutte le altre influenze. Così, tanto per giocherellare un po' con l'equazione differenziale.
Che ne dici?
Dico che sono d'accordo sul fatto di giocherellare e di non considerare l'influenza di altri corpi, ma il fatto è che è il bersaglio stesso a spostarsi, si potretbbe considerare un sistema di riferimento inerziale e fisso con centro nel sole (detto sistema delle stelle fisse) e un sistema non inerziale rototraslante con sei gradi di libertà, con centro nella terra e asse verticale parallelo all'asse di rotazione...con discrete nozioni di meccanica razionale si potrebbe risolverlo in maniera anche "semplice"....anche perchè tutti i dati sulla rotazione della terra e la rivoluzione sono noti...basterebbe saper come impostare il sistema di 6 equazioni che descrivono il sistema...
Giovanni siamo perfettamente daccordo,
però qui si sta giocherellando con un problema che non sta né in cielo né in terra. Abbiamo la terra che, in assenza di sollecitazioni ad essa esterne, si muove di moto rettilineo uniforme (per semplicità non prendiamo in considerazione il moto di rotazione attorno all'asse terrestre) e quindi può essere assunta come origine di un sistema di riferimento inerziale. Poi abbiamo un corpo distante 1 anno luce la cui massa (mettiamo un granello di sabbia) non può avere alcun effetto significativo sulla terra neanche in 10 miliardi di anni. Tale granello di sabbia sta inizialmente fermo rispetto al sistema di riferimento inerziale individuato dalla terra. Ed infine non c'è più alcun ulteriore astro a perturbare questa configurazione. La domanda è: quanto tempo impiegherebbe il granello per raggiungere la terra?
E' solo un problema matematico che non ha alcuna aderenza con la realtà che, come fai giustamente notare tu, è parecchio più complessa.
Però nell'ambito delle ipotesi stabilite inizialmente da tony ci si può muovere con assoluto rigore sia integrando l'equazione differenziale del moto (come hanno fatto altri prima di me) che (più ci penso e più me ne convinco) utilizzando una delle tre leggi di keplero come suppongo abbia fatto Angela (a tal proposito attengo ancora conferma o smentita). In quest'ultimo caso si sta considerando un orbita ellittica che è degenerata in un segmento di retta, ed il tempo impiegato dal granello di sabbia dovrebbe essere quello di un semi periodo orbitale.
Non ti sembra ragionevole?
però qui si sta giocherellando con un problema che non sta né in cielo né in terra. Abbiamo la terra che, in assenza di sollecitazioni ad essa esterne, si muove di moto rettilineo uniforme (per semplicità non prendiamo in considerazione il moto di rotazione attorno all'asse terrestre) e quindi può essere assunta come origine di un sistema di riferimento inerziale. Poi abbiamo un corpo distante 1 anno luce la cui massa (mettiamo un granello di sabbia) non può avere alcun effetto significativo sulla terra neanche in 10 miliardi di anni. Tale granello di sabbia sta inizialmente fermo rispetto al sistema di riferimento inerziale individuato dalla terra. Ed infine non c'è più alcun ulteriore astro a perturbare questa configurazione. La domanda è: quanto tempo impiegherebbe il granello per raggiungere la terra?
E' solo un problema matematico che non ha alcuna aderenza con la realtà che, come fai giustamente notare tu, è parecchio più complessa.
Però nell'ambito delle ipotesi stabilite inizialmente da tony ci si può muovere con assoluto rigore sia integrando l'equazione differenziale del moto (come hanno fatto altri prima di me) che (più ci penso e più me ne convinco) utilizzando una delle tre leggi di keplero come suppongo abbia fatto Angela (a tal proposito attengo ancora conferma o smentita). In quest'ultimo caso si sta considerando un orbita ellittica che è degenerata in un segmento di retta, ed il tempo impiegato dal granello di sabbia dovrebbe essere quello di un semi periodo orbitale.
Non ti sembra ragionevole?
quote:
... t=Pigreco*sqrt(d^3/(8GM)) ... [Angela4]
bel colpo, Angela4! preciso e pungente!
TP=2*Pi*sqrt(a^3)/sqrt(GM)
[dove a = semiasse magg. dell'orbita, quindi nel nostro caso a=d/2]
è, appunto, la formula che avevo usato per calcolare il risultato nel mio post iniziale.
lo avevo scritto in un modo strano: t ~= 1/2 * 1,025*10^17 s, pensando, con quell' 1/2, di dare un'imbeccata ai solutori.
vi aggiungevo anche (pare a vuoto) un rinvio a un problema analogo, apparsa in "forum / università /Una caduta ....fatale", di karl, del27/02/04.
là si trovano le quattro formulette necessarie e una discussioncella sul problema.
lo si può riesumare con una SEARCH per FATALE nel titolo.
(sì, la search del forum non funziona per i contenuti ma è efficientissima per i titoli)
x gattomatto:
grazie della tua soluzione col runge-kutta, metodo vincente per risolvere l'equaz. differenz..
visto che ora hai la formula del risultato esatto, potresti pubblicare l'errore dell'approssimaz. (insieme al passo e alla precisione e alla macchina usati, e al tempo di esecuz.) ?
un listato della procedurina sarebbe di grande interesse
tony.
X gattomatto
mi associo alla richiesta di tony
Camillo
mi associo alla richiesta di tony
Camillo
Salve e bentornati a tutti.
Ho ripreso il listato del programma che ho realizzato per l'integrazione numerica dell'equazione della gravitazione universale ed ho inserito dei commenti.
Il formato numerico dei dati che ho utilizzato è il real ad 8 byte che, se non sbaglio, è quello che permette di gestire in fortran il maggior numero di cifre decimali (anche se un po' più lento). Il programma è abbastanza veloce ed anche nel caso in cui il passo di integrazione è abbastanza piccolo (rispetto al miliardo di anni!) il risultato si ottiene abbastanza velocemente (da qualche decimo di secondo a qualche secondo).
Non ho inserito commenti nella parte in cui l'algoritmo vero è proprio è stato implementato per il semplice motivo che lo avevo già fatto nel mio vecchio post. Probabilmente chi non conosce l'algoritmo di runge-kutta potrebbe trovare poco comprensibile il mio vecchio post. In tal caso sarò ben felice di fornire qualche link a siti in cui il metodo di rk viene spiegato in dettaglio (basta digitare runge kutta con un qualsiasi motore di ricerca). Oppure, se qualcuno lo ritenesse necessario, potrei io stesso dare qualche ulteriore delucidazione nei limiti delle mie modeste capacità.
Ciao
Ho ripreso il listato del programma che ho realizzato per l'integrazione numerica dell'equazione della gravitazione universale ed ho inserito dei commenti.
Il formato numerico dei dati che ho utilizzato è il real ad 8 byte che, se non sbaglio, è quello che permette di gestire in fortran il maggior numero di cifre decimali (anche se un po' più lento). Il programma è abbastanza veloce ed anche nel caso in cui il passo di integrazione è abbastanza piccolo (rispetto al miliardo di anni!) il risultato si ottiene abbastanza velocemente (da qualche decimo di secondo a qualche secondo).
Non ho inserito commenti nella parte in cui l'algoritmo vero è proprio è stato implementato per il semplice motivo che lo avevo già fatto nel mio vecchio post. Probabilmente chi non conosce l'algoritmo di runge-kutta potrebbe trovare poco comprensibile il mio vecchio post. In tal caso sarò ben felice di fornire qualche link a siti in cui il metodo di rk viene spiegato in dettaglio (basta digitare runge kutta con un qualsiasi motore di ricerca). Oppure, se qualcuno lo ritenesse necessario, potrei io stesso dare qualche ulteriore delucidazione nei limiti delle mie modeste capacità.
Ciao
program anno_luce !integrazione dell'equazione della gravitazione universale col metodo !di runge-kutta 2. Le unità di misura utilizzate sono quelle fondamentali !del Sistema Internazionale. In particolare metro (m), secondo (s), !kilogrammo (kg), Newton (N=kg*m/s^2) real(8) g,m,di,gm real(8) xi,yi,xti,yti,xii,yii,h,anni integer(4) i g=6.6730d-11 !N*m^2/kg^2 - costante di gravitazione universale m=5.976d24 !kg - massa della terra gm=g*m di=2.9979d8*31536000d0 !m - un anno luce anni=500d0 !anni - passo di integrazione espresso in anni h=anni*31536000 !s - passo di integrazione espresso in anni xi=di yi=0d0 i=0 xii=1 !algoritmo di runge-kutta !le iterazioni si arrestano quando la distanza tra la massa che cade !verso la terra e la terra stessa diventa negativa. do while (xii>0) xti=xi+yi*h/2d0 yti=yi-gm*h/(2d0*xi**2) xii=xi+yti*h yii=yi-gm*h/xti**2 i=i+1 xi=xii yi=yii end do !visualizzatione dei risultati write (*,*) i-1 !numero di iterazioni write (*,*) (i-1)*anni/1d9 !numero di miliardi di anni !con un passo di integrazione di 500 anni il risultato fornito !dal programma è: 1.6213175 miliardi di anni end
è molto tempo che seguo questa interessante discussione, però non ho ben capito l'equazione differenziale da integrare. qualuno me la può rendere più chiara? [:I]
Ciao mica,
non so se riuscirò ad essere chiaro, comunque ci provo lo stesso.
Come avrai capito seguendo la discussione l'equazione differenziale da integrare è:
x''(t)=-GM/x(t)^2 (1)
dove la funzione incognita è la x(t).
Le condizioni al contorno per l'integrazione dell'equazione differenziale sono:
x(0)=1 -> un anno luce
x'(0)=0 -> il corpo parte da fermo.
L'equazione differenziale (1) viene fuori dall'applicazione simultanea della seconda legge della dinamica:
F(t)=m*a(t)=m*x''(t) (2)
e della legge di gravitazione universale:
F(t)=G*M1*M2/d(t)^2 (3)
Nella (2) [m] è la massa che subisce l'accelerazione [a(t)=x''(t)] per effetto della forza F(t).
Nella (3) la F(t) è la forza di reciproca attrazione gravitazionale tra le due masse M1 e M2 poste a distanza d(t) nello spazio (se gli oggetti sono sferici oppure se sono sufficientemente lontani la distanza d è quella tra i baricentri delle due masse)
A questo punto indichiamo con [m] la massa dell'oggetto che cade sulla terra (di massa [M]) partendo da fermo da una distanza di un anno luce. Assumiamo inoltre come origine del sistema di riferimento il centro della terra ed imponiamo che l'asse x del sistema di riferimento sia orientato nella direzione che congiunge le due masse. In tal caso la distanza tra le due masse in un determinato istante [t] sarà la coordinata x(t). Tenuto in conto tutto ciò le (2) e (3) si scrivono:
F(t)=m*x''(t) (2')
F(t)=G*m*M/x(t)^2 (3')
da cui, uguagliando i secondi membri, viene fuori l'equazione differenziale (1) su cui si è discusso precedentemente.
Spero di esserti stato utile
Ciao
non so se riuscirò ad essere chiaro, comunque ci provo lo stesso.
Come avrai capito seguendo la discussione l'equazione differenziale da integrare è:
x''(t)=-GM/x(t)^2 (1)
dove la funzione incognita è la x(t).
Le condizioni al contorno per l'integrazione dell'equazione differenziale sono:
x(0)=1 -> un anno luce
x'(0)=0 -> il corpo parte da fermo.
L'equazione differenziale (1) viene fuori dall'applicazione simultanea della seconda legge della dinamica:
F(t)=m*a(t)=m*x''(t) (2)
e della legge di gravitazione universale:
F(t)=G*M1*M2/d(t)^2 (3)
Nella (2) [m] è la massa che subisce l'accelerazione [a(t)=x''(t)] per effetto della forza F(t).
Nella (3) la F(t) è la forza di reciproca attrazione gravitazionale tra le due masse M1 e M2 poste a distanza d(t) nello spazio (se gli oggetti sono sferici oppure se sono sufficientemente lontani la distanza d è quella tra i baricentri delle due masse)
A questo punto indichiamo con [m] la massa dell'oggetto che cade sulla terra (di massa [M]) partendo da fermo da una distanza di un anno luce. Assumiamo inoltre come origine del sistema di riferimento il centro della terra ed imponiamo che l'asse x del sistema di riferimento sia orientato nella direzione che congiunge le due masse. In tal caso la distanza tra le due masse in un determinato istante [t] sarà la coordinata x(t). Tenuto in conto tutto ciò le (2) e (3) si scrivono:
F(t)=m*x''(t) (2')
F(t)=G*m*M/x(t)^2 (3')
da cui, uguagliando i secondi membri, viene fuori l'equazione differenziale (1) su cui si è discusso precedentemente.
Spero di esserti stato utile
Ciao
grazie, gattomatto, per il testo del tuo programma in Fortran.
accludo qui la sua trascrizione in uno dei tanti Basic, così i lettori si renderanno conto di alcune piccole (in questo caso) differenze tra i linguaggi.
mi son permesso di variarlo solo per isolare alcune costanti.
saluti a tutti. tony
accludo qui la sua trascrizione in uno dei tanti Basic, così i lettori si renderanno conto di alcune piccole (in questo caso) differenze tra i linguaggi.
mi son permesso di variarlo solo per isolare alcune costanti.
FUNCTION PBMAIN()
CALL anno_luce
PRINT "ctrl-break to exit"
WHILE 1 > 0: WEND
END FUNCTION
SUB anno_luce
' (by gattomatto,
' trascritta dal Fortran in PowerBasic by tony 2004/08/25)
' integrazione dell'equazione della gravitazione universale col metodo
' di runge-kutta 2. Le unità di misura utilizzate sono quelle fondamentali
' del Sistema Internazionale. In particolare metro (m), secondo (s),
' kilogrammo (kg), Newton (N=kg*m/s^2)
DIM Pi AS DOUBLE, c AS DOUBLE, SecAllAnno AS LONG, TP AS DOUBLE
DIM g AS DOUBLE, m AS DOUBLE, di AS DOUBLE, gm AS DOUBLE
DIM xi AS DOUBLE, yi AS DOUBLE, xti AS DOUBLE, yti AS DOUBLE
DIM xii AS DOUBLE, yii AS DOUBLE, h AS DOUBLE, anni AS DOUBLE
DIM i AS LONG
Pi=4*ATN(1) ' pi greco
c=2.9979d8 ' m/s - veloc. della luce
SecAllAnno=31536000 ' durata anno in secondi
g=6.6730d-11 ' N*m^2/kg^2 - costante di gravitazione universale
m=5.976d24 ' kg - massa della terra
GM=g*m
di=c * SecAllAnno ' m - un anno luce
anni=500 ' anni - passo di integrazione espresso in anni
h=anni*SecAllAnno ' s - passo di integrazione espresso in secondi
xi=di : yi=0 : i=0 : xii=1
' algoritmo di runge-kutta
' le iterazioni si arrestano quando la distanza tra la massa che cade
' verso la terra e la terra stessa diventa negativa.
DO WHILE xii > 0
xti=xi+yi*h/2 : yti=yi-GM*h/(2*xi^2)
xii=xi+yti*h : yii=yi-GM*h/(xti^2)
i=i+1
xi=xii : yi=yii
LOOP
' visualizzatione dei risultati
PRINT i-1; (i-1)*anni/1d9 ' numero di iterazioni e mld di anni
TP=2*Pi*SQR((di/2)^3/GM) ' periodo dell'orbita i secondi
PRINT "in teoria"; .5*TP/(SecAllAnno*10^9); "mld anni"
' con un passo di integrazione di 500 anni il risultato fornito
' dal programma è: 1.6213175 miliardi di anni
END SUB
saluti a tutti. tony
grazie gattomatto!
sei stato molto chiaro. avevo difficoltà a capire cosa "rappresentava" quel x"(t) perchè le equazioni differenziali sono abituato a "vederle" con i simboli classici dx/dt [:D]
quindi l'equazione io la vedo
d"x/dt^2 = GM/x^2
proverò ad integrarla a mano svolgendo i passaggi!
ancora una cosa comunque non mi quadra...come mai il segno meno? il corpo, seguendo l'asse x, cade da sinistra verso destra quindi il segno meno non dovrebbe esserci.
grazie ancora!
sei stato molto chiaro. avevo difficoltà a capire cosa "rappresentava" quel x"(t) perchè le equazioni differenziali sono abituato a "vederle" con i simboli classici dx/dt [:D]
quindi l'equazione io la vedo
d"x/dt^2 = GM/x^2
proverò ad integrarla a mano svolgendo i passaggi!
ancora una cosa comunque non mi quadra...come mai il segno meno? il corpo, seguendo l'asse x, cade da sinistra verso destra quindi il segno meno non dovrebbe esserci.
grazie ancora!
mica,
il segno meno dipende dal verso della forza a cui è soggetto il meteorite. La forza di attrazione gravitazionale è attrattiva sicché il verso della forza che agisce sul meteorite è opposto al verso dell'asse delle [x] che ha origine nel centro della terra ed è orientato nella direzione terra-meteorite con verso positivo nella direzione del meteorite. Tutto qui. Anzi mi scuso per non aver approfondito questo "dettaglio" nel mio post di ieri.
tony,
è interessante notare come il basic si sia evoluto dalla sua nascita. Il listato basic che hai postato è praticamente programmazione strutturata. L'ultima volta che ho programmato in basic risale ai tempi del commodore ed allora i miei listati erano tutti pieni di GOTO e GOSUB. Poi sono passato al Pascal ed infine al Fortran (nella versione che supporta la programmazione strutturata).
Ciao a tutti
il segno meno dipende dal verso della forza a cui è soggetto il meteorite. La forza di attrazione gravitazionale è attrattiva sicché il verso della forza che agisce sul meteorite è opposto al verso dell'asse delle [x] che ha origine nel centro della terra ed è orientato nella direzione terra-meteorite con verso positivo nella direzione del meteorite. Tutto qui. Anzi mi scuso per non aver approfondito questo "dettaglio" nel mio post di ieri.
tony,
è interessante notare come il basic si sia evoluto dalla sua nascita. Il listato basic che hai postato è praticamente programmazione strutturata. L'ultima volta che ho programmato in basic risale ai tempi del commodore ed allora i miei listati erano tutti pieni di GOTO e GOSUB. Poi sono passato al Pascal ed infine al Fortran (nella versione che supporta la programmazione strutturata).
Ciao a tutti
quote:
... Poi sono passato al Pascal ed infine al Fortran (nella versione che supporta la programmazione strutturata) [gattomatto]
usi il fortran sul PC? quale compilatore?
tony
Per anni ho utilizzato il Fortran Power Station 4.0 della Microsoft. Un buon prodotto direi anche se è della Microsoft. La versione in mio possesso è quella professionale con le routines matematiche IMSL.
Da qualche mese però sono passato al Compaq Visual Fortran 6.6 che non è altro che l'evoluzione del Fortran Power Station della Microsoft. Mi risulta che la Microsoft abbia abbandonato il Fortran per dedicarsi al C++ ed al più recente C# (di cui però non so niente).
Comunque c'è da dire che anche il Compaq VF 6.6 è oggi un po' datato. Mi pare di aver letto da qualche parte che la Compaq non esista più.
Da qualche mese però sono passato al Compaq Visual Fortran 6.6 che non è altro che l'evoluzione del Fortran Power Station della Microsoft. Mi risulta che la Microsoft abbia abbandonato il Fortran per dedicarsi al C++ ed al più recente C# (di cui però non so niente).
Comunque c'è da dire che anche il Compaq VF 6.6 è oggi un po' datato. Mi pare di aver letto da qualche parte che la Compaq non esista più.
argh ho provato a risolvere l'equazione differenziale ma non ho cavato un ragno dal buco! troppo complicata, non conosco un metodo per risolverla.[:I]
ho trovato la velocità banalmente ricorrendo alla relazione v = at e quindi v = (GM/d^2)t
ma vi riporto ugualmente il filo del mio ragionamento...
se conosco la velocità, allora posso scrivere:
dx/dt = (GM/d^2 )t (con d indico l'anno luce)
quindi
dx = (GM/d^2 )t dt
se integro ottengo
x = (GM/d^2 ) ((t^2)/2) + c
ricorrendo alle condizioni iniziali si trova c = d
quindi in definitiva:
x = (GM/d^2 ) ((t^2)/2) + d
quanto c'è di esatto nelle mie considerazioni?
ho trovato la velocità banalmente ricorrendo alla relazione v = at e quindi v = (GM/d^2)t
ma vi riporto ugualmente il filo del mio ragionamento...
se conosco la velocità, allora posso scrivere:
dx/dt = (GM/d^2 )t (con d indico l'anno luce)
quindi
dx = (GM/d^2 )t dt
se integro ottengo
x = (GM/d^2 ) ((t^2)/2) + c
ricorrendo alle condizioni iniziali si trova c = d
quindi in definitiva:
x = (GM/d^2 ) ((t^2)/2) + d
quanto c'è di esatto nelle mie considerazioni?
quote:
Originally posted by mica81
argh ho provato a risolvere l'equazione differenziale ma non ho cavato un ragno dal buco! troppo complicata, non conosco un metodo per risolverla.[:I]
In effetti la soluzione del problema dei "due corpi" è un classico. Tra l'altro proprio dallo studio del problema dei due corpi vengono fuori rigorosamente le tre leggi di keplero (una delle quali è stata utilizzata da angela per fornire la soluzione esatta del problema proposto da tony). Ho detto "rigorosamente" poiché queste tre leggi furono ottenute da keplero dalla semplice osservazione del cielo.
quote:
Originally posted by mica81
ho trovato la velocità banalmente ricorrendo alla relazione v = at e quindi v = (GM/d^2)t
In realtà la relazione v=at vale solo nel caso in cui l'accelerazione sia costante (moto rettilineo uniformemente accelerato). Nel caso in esame, invece, l'accelerazione aumenta con l'inverso del quadrato della distanza.
Lo studio del problema dei due corpi è parecchio interessante e te lo consiglio. La soluzione rigorosa con la determinazione delle tre leggi di Keplero la si può trovare in un qualunque buon testo universitario di fisica.
Ciao ciao
sono riuscito a ricavare un equazione per la velocità di impatto con la terra, ricorrendo alle leggi di keplero come mi hai suggerito.
però non riesco a formularne una per quanto riguarda il tempo. come ci siete arrivati?
però non riesco a formularne una per quanto riguarda il tempo. come ci siete arrivati?
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