Meteorite da lontano
nel suo post del 02/06/2004 08:23:14 in "università/esercizio fisica" cannigo pone un provocatorio problema:
"Prendi quella palla e mettila a 1 anno luce dalla terra, e quando ti arriva più sul piede? ..."
immaginiamo di "spegnere" per qualche tempo l'attrazione newtoniana di tutti i corpi celesti del circondario (tranne la terra) per non disturbare la traiettoria della palla.
il problema è già apparso su scala ridotta ("università/Una caduta ....fatale", di karl, fine febbraio).
io trovo t ~= 1/2 * 1,025*10^17 s
qualcuno me lo può confermare?
(prego, almeno entro il giorno precedente l'impatto, così vado dal barbiere per la cerimonia).
tony
p.s. se andasse dritto dritto, a che velocità si schianterebbe al suolo?
"Prendi quella palla e mettila a 1 anno luce dalla terra, e quando ti arriva più sul piede? ..."
immaginiamo di "spegnere" per qualche tempo l'attrazione newtoniana di tutti i corpi celesti del circondario (tranne la terra) per non disturbare la traiettoria della palla.
il problema è già apparso su scala ridotta ("università/Una caduta ....fatale", di karl, fine febbraio).
io trovo t ~= 1/2 * 1,025*10^17 s
qualcuno me lo può confermare?
(prego, almeno entro il giorno precedente l'impatto, così vado dal barbiere per la cerimonia).
tony
p.s. se andasse dritto dritto, a che velocità si schianterebbe al suolo?
Risposte
(...diciamo che avresti il tempo di levare il piede...
Il problema proposto da tony è interessante e solo apparentemente banale. Il punto critico è dato dal fatto che l'accelazione impressa al meteorite non è costante ma và come l'inverso del quadrato della sua distanza dal centro della Terra. L'equazione differenziale che descrive il moto del meteorite è dunque...
x''(t)= -c/x(t)^2 (1)
... dove x(t) è la posizione del meteorite. Le 'condizioni iniziali' sono x(0)=L e x'(0)=0. La costante c si determina sapendo che per x=6 10^6 m [raggio terrestre] è x''= - 9.8 m/s^2...
Il problema è dunque risolubile... una volta che si riesca ad integrare la (1)... già... ma come si fà?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
x''(t)= -c/x(t)^2 (1)
... dove x(t) è la posizione del meteorite. Le 'condizioni iniziali' sono x(0)=L e x'(0)=0. La costante c si determina sapendo che per x=6 10^6 m [raggio terrestre] è x''= - 9.8 m/s^2...
Il problema è dunque risolubile... una volta che si riesca ad integrare la (1)... già... ma come si fà?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Calcolando la costante c nell'equazione differenziale del secondo
ordine impostata da Lupo Grigio si ottiene :
x''(t) = -352.8*10^12/x(t)^2.
Fissando le condizioni al contorno si ottiene:
x(0) = L = 9.46*10^15m ; x'(0)=0 .
Risolvendo l'equazione differenziale con Derive(tramite gli sviluppi
di Taylor arrestati al quinto termine) si ottiene un polinomio di
quarto grado in t che dà la distanza x dal centro della terra in
funzione del tempo t .
Imponendo che questa espressione valga : 6*10^6 m (raggio della terra
) si ottiene(sempre con Derive) che l'impatto con la terra avviene
dopo : 6.16246*10^16 secondi dalla partenza (valore molto vicino a
quello di Tony) il che vuol dire circa 20 milioni di anni : questo se
non ci sono errori....
Chi vuole calcolare a che velocità si ha l'impatto ?
Camillo
ordine impostata da Lupo Grigio si ottiene :
x''(t) = -352.8*10^12/x(t)^2.
Fissando le condizioni al contorno si ottiene:
x(0) = L = 9.46*10^15m ; x'(0)=0 .
Risolvendo l'equazione differenziale con Derive(tramite gli sviluppi
di Taylor arrestati al quinto termine) si ottiene un polinomio di
quarto grado in t che dà la distanza x dal centro della terra in
funzione del tempo t .
Imponendo che questa espressione valga : 6*10^6 m (raggio della terra
) si ottiene(sempre con Derive) che l'impatto con la terra avviene
dopo : 6.16246*10^16 secondi dalla partenza (valore molto vicino a
quello di Tony) il che vuol dire circa 20 milioni di anni : questo se
non ci sono errori....
Chi vuole calcolare a che velocità si ha l'impatto ?
Camillo
La velocita' d'impatto si puo' ottenere al seguente
modo:
partiamo da x''=-C/x
e poniamo x'=z.
Derivando rispetto a t risulta:
x''=dz/dx*dx/dt=z*(dz/dx) e sostituendo:
z*(dz/dx)=-C/x, da cui integrando rispetto ad x:
1/2*z=C/x+C1 ovvero:
z=
(2*C/x+B) ,avendo posto 2C1=B.
Tornando alla x ,risulta:
x'=(2*C/x+B) e questa e' la velocita' istantanea;
per calcolare B basta sostituire x' con la velocita'
iniziale ( che si suppone nota) ,x con la distanza
iniziale (pari ad un anno luce) mentre C e' gia'
conosciuta.Dopo il calcolo di B, sara' possibile
avere la velocita' d'impatto ponendo nella formula
medesima : x=raggio terrestre.
Si tratta di una velocita' molto alta (dato che B
risultera' grande):c'e' da sperare che la resistenza
dell'atmosfera (che in questo calcolo non ho considerato)
compia il miracolo e faccia arrivare la palla sul piede
di Cannigo senza fargli male (...almeno non troppo).
karl.
Modificato da - karl il 06/06/2004 16:52:20
modo:
partiamo da x''=-C/x
e poniamo x'=z.Derivando rispetto a t risulta:
x''=dz/dx*dx/dt=z*(dz/dx) e sostituendo:
z*(dz/dx)=-C/x
, da cui integrando rispetto ad x:1/2*z
=C/x+C1 ovvero:z=
(2*C/x+B) ,avendo posto 2C1=B.Tornando alla x ,risulta:
x'=
(2*C/x+B) e questa e' la velocita' istantanea;per calcolare B basta sostituire x' con la velocita'
iniziale ( che si suppone nota) ,x con la distanza
iniziale (pari ad un anno luce) mentre C e' gia'
conosciuta.Dopo il calcolo di B, sara' possibile
avere la velocita' d'impatto ponendo nella formula
medesima : x=raggio terrestre.
Si tratta di una velocita' molto alta (dato che B
risultera' grande):c'e' da sperare che la resistenza
dell'atmosfera (che in questo calcolo non ho considerato)
compia il miracolo e faccia arrivare la palla sul piede
di Cannigo senza fargli male (...almeno non troppo).
karl.
Modificato da - karl il 06/06/2004 16:52:20
grazie dei numerosi interventi!
1) infilo di corsa un paio di dati che potrebbero servirci ad evitare troppe discrepanze nei calcoli:
nella newtoniana F=G*Mterra*m/r^2
il fattore G*Mterra vale 3.986*10^14 m^3*s^-2, con una discreta precisione.
questo è, se non sbaglio, quello che lupo grigio chiama c.
il raggio della terra da me usato è 6370 km (nè carne nè pesce).
camillo, ricalcoli l'integrale con questi nuovi dati?
2) la velocità la calcolerei immediatamente senza integrali, con la solita formuletta:
poichè v0=0, m*v^2/2 = delta_energia_potenziale (occhio ai segni!)
ci risentiamo
tony
1) infilo di corsa un paio di dati che potrebbero servirci ad evitare troppe discrepanze nei calcoli:
nella newtoniana F=G*Mterra*m/r^2
il fattore G*Mterra vale 3.986*10^14 m^3*s^-2, con una discreta precisione.
questo è, se non sbaglio, quello che lupo grigio chiama c.
il raggio della terra da me usato è 6370 km (nè carne nè pesce).
camillo, ricalcoli l'integrale con questi nuovi dati?
2) la velocità la calcolerei immediatamente senza integrali, con la solita formuletta:
poichè v0=0, m*v^2/2 = delta_energia_potenziale (occhio ai segni!)
ci risentiamo
tony
Provando a rifare i conti con i dati di Tony ottengo come tempo t : 5.797627*10^16 s,che corrisponde a circa 1838 milioni di anni (!!! non 20 milioni di anni come detto prima, ma cento volte maggiore).
Per la velocità si ottiene un valore di 11.19 km/s che corrisponde alla velocità di fuga dalla Terra .
ciao
Camillo
Per la velocità si ottiene un valore di 11.19 km/s che corrisponde alla velocità di fuga dalla Terra .
ciao
Camillo
Allorché il problema è stato posto ho pensato, ragionando in modo assai superficiale, che, a parte la sua stravaganza, si trattasse di un problema risolto già nella seconda metà del XVII° secolo e pertanto non nascondesse sorprese. Si tratta di quello che è chiamato da sempre il ‘ problema dei due punti’, vale dire il calcolo della traiettoria compiuta da due punti materiale soggetti alla reciproca gravitazione. Il caso immediatamente più complicato [il celebre ‘problema dei tre punti’…] è noto essere di assai ardua trattazione e solo all’inizio del XX° secolo è stato definitivamente risolto. Andando un poco più a fondo però si scopre subito che l’equazione differenziale che traduce il problema in termini matematici non è affatto di tipo elementare [intanto non è lineare…]. Per motivi che saranno chiari fra breve riscriviamo l’equazione differenziale in forma un poco inusuale come…
x’’*x^2= - c (1)
… da risolvere con le condizioni iniziali x(0)=l e x’(0)=0. Per aver modo di operare con numeri comodi scegliamo innanzitutto un sistema di misura un poco inconsueto, nel quale la lunghezza si misura in anni-luce [a.l.] e il tempo in miliardi d’anni [m.a.]. Si avrà così che 1 a.l.= 9.46 e+15 m e 1 m.a.= 3.15 e+16 s. Con calcoli noiosi [che potrebbero anche essere sbagliati e pertanto invito gli amici a controllarli…] si trova che nel nuovo sistema di misura la costante c vale circa .466 a.l./(m.a.)^2 e le condizioni iniziali divengono x(0)=1 e x’(0)=0. Per il ‘tempo stimato di impatto’ del meteorite [espresso in miliardi di anni…] Tony e Camillo hanno fornito due diverse soluzioni, vale a dire T=1.62 e T=1.83 [supponiamo di accontentarci della soluzione con tre sole cifre significative, dal momento che probabilmente l’ora, i minuti e i secondi esatti dell’evento non sono poi così importanti…]. Qui di seguito spiegherò un modo che ho trovato per risolvere la (1) e confronterò i risultati…
Supponiamo che la soluzione x(t) della (1) sia analitica, ossia sviluppabile in serie di potenze di t. Sarà…
x(t) =
[i=0,+00] a(i)*t^i (2)
… e per le derivate…
x’(t)= [i=1,+00] i*a(i)*t^(i-1)
x’’(t) =[i=2,+00] i*(i-1)*a(i)*t^(i-2) (3)
La x(t) sarà dunque nota una volta calcolate le a(i). La (2) e la prima delle (3) ci consentono di calcolare a(0)=1 e a(1)=0. Per trovare le a(i) per i>1 scriviamo da prima lo sviluppo di x^2(t) in finzione delle a(i)…
x^2(t) =[i=0,+00]a(i)*t^i * [j=0,+00]a(j)*t^j =
[k=0,+00] [j=0,k]a(j)*a(k-j)*t^k = [k=0,+00]p(k)*t^k (4)
… dove…
p(k)=[j=0,k]a(j)*a(k-j) (5)
La (1) in definitiva diviene…
[i=0,+00] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*t^i * [k=0,+00] p(k)*t^k =
[k=0,+00] [i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)*t^k = -c (6)
L’espressione trovata consente il calcolo della a(i) eguagliando i coefficienti del termine in t^k che compaiono nei due termini dell’uguaglianza. Sarà…
[i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)= -c per k=0 e 0 per k>0 (7)
… e quindi…
a(2)=- c per k=0
a(2+k)= -[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (8)
Prima di andare avanti e calcolare in pratica le a(i) penso sia necessario concedersi una pausa di meditazione, in attesa di commenti da parte vostra e… in vista del voto di fine settimana…
cordiali saluti!…
lupo grigio
x’’*x^2= - c (1)
… da risolvere con le condizioni iniziali x(0)=l e x’(0)=0. Per aver modo di operare con numeri comodi scegliamo innanzitutto un sistema di misura un poco inconsueto, nel quale la lunghezza si misura in anni-luce [a.l.] e il tempo in miliardi d’anni [m.a.]. Si avrà così che 1 a.l.= 9.46 e+15 m e 1 m.a.= 3.15 e+16 s. Con calcoli noiosi [che potrebbero anche essere sbagliati e pertanto invito gli amici a controllarli…] si trova che nel nuovo sistema di misura la costante c vale circa .466 a.l./(m.a.)^2 e le condizioni iniziali divengono x(0)=1 e x’(0)=0. Per il ‘tempo stimato di impatto’ del meteorite [espresso in miliardi di anni…] Tony e Camillo hanno fornito due diverse soluzioni, vale a dire T=1.62 e T=1.83 [supponiamo di accontentarci della soluzione con tre sole cifre significative, dal momento che probabilmente l’ora, i minuti e i secondi esatti dell’evento non sono poi così importanti…]. Qui di seguito spiegherò un modo che ho trovato per risolvere la (1) e confronterò i risultati…
Supponiamo che la soluzione x(t) della (1) sia analitica, ossia sviluppabile in serie di potenze di t. Sarà…
x(t) =
[i=0,+00] a(i)*t^i (2) … e per le derivate…
x’(t)=
[i=1,+00] i*a(i)*t^(i-1) x’’(t) =
[i=2,+00] i*(i-1)*a(i)*t^(i-2) (3)La x(t) sarà dunque nota una volta calcolate le a(i). La (2) e la prima delle (3) ci consentono di calcolare a(0)=1 e a(1)=0. Per trovare le a(i) per i>1 scriviamo da prima lo sviluppo di x^2(t) in finzione delle a(i)…
x^2(t) =
[i=0,+00]a(i)*t^i * [j=0,+00]a(j)*t^j =[k=0,+00] [j=0,k]a(j)*a(k-j)*t^k = [k=0,+00]p(k)*t^k (4)… dove…
p(k)=
[j=0,k]a(j)*a(k-j) (5)La (1) in definitiva diviene…
[i=0,+00] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*t^i * [k=0,+00] p(k)*t^k =[k=0,+00] [i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)*t^k = -c (6)L’espressione trovata consente il calcolo della a(i) eguagliando i coefficienti del termine in t^k che compaiono nei due termini dell’uguaglianza. Sarà…
[i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)= -c per k=0 e 0 per k>0 (7)… e quindi…
a(2)=- c per k=0
a(2+k)= -
[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (8)Prima di andare avanti e calcolare in pratica le a(i) penso sia necessario concedersi una pausa di meditazione, in attesa di commenti da parte vostra e… in vista del voto di fine settimana…
cordiali saluti!…
lupo grigio
lupo, stai dandoci dentro con vigore!
un dettaglio:
non riesco a farla quadrare, lupo; io direi:
sbaglio io?
queste conversioni sono un sempre casino; un mio maestro raccomandava di ragionare per decidere se si deve moltiplicare o dividere, e poi, ... fare il contrario di quel che si è concluso! [:D]
anche camillo aveva lavorato con una serie ?
tony
*Edited by - tony on 13/06/2004 15:39:44
===== ERRATA CORRIGE ==============
ho trovato l'errore che conduceva all'abnorme risultato di c=4.17*10^31:
calcolavo il coefficiente di conversione tra m/s^2 e anni-luce/miliardi_anni^2
fuorviato (ma non è una scusa valida) dalla identica affermazione del lupo grigio.
invece (secondo me) le dimensioni di "c" sono, come avevo scritto precedentemente, m^3/s^2 (sì, strano, pare l'accelerazione della portata di un fiume in piena)
e quindi il risultato sarà in anni_luce^3/miliardi_anni^2.
il semplice calcolo, corretto, diventa il seguente:
e il risultato quadra con quello calcolato dal lupo grigio
(a parte il cubo a numeratore della dimensione, che però non inficia i calcoli successivi)
===== FINE ERRATA CORRIGE ==============
un dettaglio:
quote:
... 1 a.l.= 9.46 e+15 m e 1 m.a.= 3.15 e+16 s. Con calcoli noiosi [che potrebbero anche essere sbagliati e pertanto invito gli amici a controllarli…] si trova che nel nuovo sistema di misura la costante c vale circa .466 a.l./(m.a.)^2 ... [lupo grigio]
non riesco a farla quadrare, lupo; io direi:
14
14 [m] 3.986 10 [m] [a.l] -2 [a.l.]
c = 3.986 10 ----- = ------------ -----*----- = 4.213 10 ------ =
[s^2] 15 [s^2] [m] [s^2]
9.461 10
-2 16 2 [a.l.] [s^2] 31 [a.l.]
= 4.213 10 * (3.156 10 ) ------* ------ = 4.196 10 ------
[s^2] [m.a.] [m.a.]
sbaglio io?
queste conversioni sono un sempre casino; un mio maestro raccomandava di ragionare per decidere se si deve moltiplicare o dividere, e poi, ... fare il contrario di quel che si è concluso! [:D]
anche camillo aveva lavorato con una serie ?
tony
*Edited by - tony on 13/06/2004 15:39:44
===== ERRATA CORRIGE ==============
ho trovato l'errore che conduceva all'abnorme risultato di c=4.17*10^31:
calcolavo il coefficiente di conversione tra m/s^2 e anni-luce/miliardi_anni^2
fuorviato (ma non è una scusa valida) dalla identica affermazione del lupo grigio.
invece (secondo me) le dimensioni di "c" sono, come avevo scritto precedentemente, m^3/s^2 (sì, strano, pare l'accelerazione della portata di un fiume in piena)
e quindi il risultato sarà in anni_luce^3/miliardi_anni^2.
il semplice calcolo, corretto, diventa il seguente:
3
14 [m ]
c = 3.986 10 ---- =
2
[s ]
3 3 2
14 [m ] 1 [a.l.] 16 2 [s ]
= 3.986 10 ---- * ------------ ------ * (3.156 10 ) ------ =
2 15 3 3 2
[s ] 9.461 10 ) [m ] [m.a.]
3 3
14 -15 [a.l. ] [a.l. ]
= 3.986 10 * 1.176 10 ------- = .4688 -------
2 2
[m.a. ] [m.a. ] e il risultato quadra con quello calcolato dal lupo grigio
(a parte il cubo a numeratore della dimensione, che però non inficia i calcoli successivi)
===== FINE ERRATA CORRIGE ==============
Sì anche il mio risultato veniva da una serie che però comodamente mi sono fatto calcolare da Derive !!
cari amici
dopo una settimana nella quale i forum è rimasto ‘in manutenzione’ [nel corso della quale a quanto sembra l’editing di alcuni simboli matematici è cambiato…] torniamo un poco al nostro problema. Riassumendo le cose nell’impostazione si è cercato una soluzione all’equazione differenziale…
x’’*x^2= - c (1)
… la quale fosse esprimibile in serie, ossia del tipo…
x(t) = Sum[i=0,+00] a(i)*t^i (2)
Dalle condizioni iniziali x(0)=1 e x’(0)=0 si è arrivati a calcolare le a(i) che compaiono nella (2) ottenendo…
a(0)=1 a(1)=0 a(2)=- c
a(2+k)= - Sum[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (3)
… in cui le p(k) valgono…
p(k)= Sum[j=0,k]a(j)*a(k-j) (4)
Prima di procedere è necessario rispondere alle obiezioni che sono venute da tony e camillo. Nel sistema di unità di misura ‘inusuale’ scelto, nella quale l’unità di lunghezza è l’anno luce[a.l.] e l’unità temporale è il miliardo d’anni [m.a.], il valore della costante c deve essere compatibile con un tempo di impatto all’incirca compreso tra 1 e 2 m.a. Questo porta ad escludere, in base al semplice buon senso, un valore come quello fornito da tony…
Per quanto riguarda l’approccio utilizzato da camillo con l’uso di Derive [nel quale si è all’inizio ipotizzato che una serie troncata al quarto termine fornisca una soluzione sufficientemente accurata…] è necessario osservare che il metodo alternativo ora descritto non pone limiti al numero di termini dello sviluppo in serie da utilizzare, e anzi consente di valutare con una certa affidabilità il grado di precisione ottenuto…
Assumendo dunque [almeno in un primo tempo…] per buono il valore .466 per la costante c applichiamo le formule (3) e (4) per calcolare le a(i). Una prima osservazione da fare è che porre x’(0)=0 annulla tutte le a(i) con i dispari. Le a(i) di ordine pari fino ad i=16 sono riportate qui di seguito…
a(0): 1
a(2): -.466
a(4): -.0723853
a(6): -.0224877
a(8): -.00823371
a(10):-.00306953
a(12):-.00104128
a(14):-.00024805
a(16): 3.4670796 e-5
Per il calcolo del tempo di impatto to, chiamando con n il grado dell’approssimazione polinomiale della soluzione, esso è dato dalla soluzione dell’equazione algebrica…
Sum [i=0,n] a(i)*t^i=0 (5)
… qui sono riportati i risultati…
n=2 to= 1.464897
n=4 to= 1.408794
n=6 to= 1.254356
n=8 to= 1.233525
n=10 to= 1.223644
n=12 to= 1.219128
n=14 to= 1.217612
n=16 to= 1.217922
L’andamento della soluzione è assai rivelatore del fatto che con l’approccio seguito non si riesce ad ottenere una precisione elevata [a meno di non usare magari aritmetica in doppia precisione…]. Fino ad n=14 le a(i) sono negative ed in modulo decrescenti. Oltre le a(i) cambiano segno e il risultato sembra divergere, segno che a quel punto gli errori di arrotondamento cominciano ad inficiare il calcolo. Il risultato corretto con tre cifre decimali sembra essere dunque to= 1.217…
Questo esempio, alquanto elementare in verità, credo illustri in modo più che evidente difficoltà e criticità dei calcoli orbitali, grazie ai quali una sonda arriva su Marte evitando di disperdersi per sempre negli spazi interstellari…
cordiali saluti!…
lupo grigio
dopo una settimana nella quale i forum è rimasto ‘in manutenzione’ [nel corso della quale a quanto sembra l’editing di alcuni simboli matematici è cambiato…] torniamo un poco al nostro problema. Riassumendo le cose nell’impostazione si è cercato una soluzione all’equazione differenziale…
x’’*x^2= - c (1)
… la quale fosse esprimibile in serie, ossia del tipo…
x(t) = Sum[i=0,+00] a(i)*t^i (2)
Dalle condizioni iniziali x(0)=1 e x’(0)=0 si è arrivati a calcolare le a(i) che compaiono nella (2) ottenendo…
a(0)=1 a(1)=0 a(2)=- c
a(2+k)= - Sum[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (3)
… in cui le p(k) valgono…
p(k)= Sum[j=0,k]a(j)*a(k-j) (4)
Prima di procedere è necessario rispondere alle obiezioni che sono venute da tony e camillo. Nel sistema di unità di misura ‘inusuale’ scelto, nella quale l’unità di lunghezza è l’anno luce[a.l.] e l’unità temporale è il miliardo d’anni [m.a.], il valore della costante c deve essere compatibile con un tempo di impatto all’incirca compreso tra 1 e 2 m.a. Questo porta ad escludere, in base al semplice buon senso, un valore come quello fornito da tony…
Per quanto riguarda l’approccio utilizzato da camillo con l’uso di Derive [nel quale si è all’inizio ipotizzato che una serie troncata al quarto termine fornisca una soluzione sufficientemente accurata…] è necessario osservare che il metodo alternativo ora descritto non pone limiti al numero di termini dello sviluppo in serie da utilizzare, e anzi consente di valutare con una certa affidabilità il grado di precisione ottenuto…
Assumendo dunque [almeno in un primo tempo…] per buono il valore .466 per la costante c applichiamo le formule (3) e (4) per calcolare le a(i). Una prima osservazione da fare è che porre x’(0)=0 annulla tutte le a(i) con i dispari. Le a(i) di ordine pari fino ad i=16 sono riportate qui di seguito…
a(0): 1
a(2): -.466
a(4): -.0723853
a(6): -.0224877
a(8): -.00823371
a(10):-.00306953
a(12):-.00104128
a(14):-.00024805
a(16): 3.4670796 e-5
Per il calcolo del tempo di impatto to, chiamando con n il grado dell’approssimazione polinomiale della soluzione, esso è dato dalla soluzione dell’equazione algebrica…
Sum [i=0,n] a(i)*t^i=0 (5)
… qui sono riportati i risultati…
n=2 to= 1.464897
n=4 to= 1.408794
n=6 to= 1.254356
n=8 to= 1.233525
n=10 to= 1.223644
n=12 to= 1.219128
n=14 to= 1.217612
n=16 to= 1.217922
L’andamento della soluzione è assai rivelatore del fatto che con l’approccio seguito non si riesce ad ottenere una precisione elevata [a meno di non usare magari aritmetica in doppia precisione…]. Fino ad n=14 le a(i) sono negative ed in modulo decrescenti. Oltre le a(i) cambiano segno e il risultato sembra divergere, segno che a quel punto gli errori di arrotondamento cominciano ad inficiare il calcolo. Il risultato corretto con tre cifre decimali sembra essere dunque to= 1.217…
Questo esempio, alquanto elementare in verità, credo illustri in modo più che evidente difficoltà e criticità dei calcoli orbitali, grazie ai quali una sonda arriva su Marte evitando di disperdersi per sempre negli spazi interstellari…
cordiali saluti!…
lupo grigio
ho trovato l'errore che conduceva all'abnorme risultato di c=4.17 *10^31:
calcolavo il coefficiente di conversione tra m/s^2 e anni-luce/miliardi_anni^2
fuorviato (ma non è una scusa valida) dalla identica affermazione del lupo grigio.
invece (secondo me) le dimensioni di "c" sono, come avevo scritto precedentemente, m^3/s^2 (sì, strano, pare l'accelerazione della portata di un fiume in piena)
e quindi il risultato sarà in anni_luce^3/miliardi_anni^2.
il semplice calcolo, corretto, diventa il seguente:
e il risultato quadra con quello calcolato dal lupo grigio
(a parte il cubo a numeratore della dimensione, che però non inficia i calcoli successivi)
tony
p.s. appongo identica "errata corrige" sul mio msg che conteneva l'errore.
calcolavo il coefficiente di conversione tra m/s^2 e anni-luce/miliardi_anni^2
fuorviato (ma non è una scusa valida) dalla identica affermazione del lupo grigio.
invece (secondo me) le dimensioni di "c" sono, come avevo scritto precedentemente, m^3/s^2 (sì, strano, pare l'accelerazione della portata di un fiume in piena)
e quindi il risultato sarà in anni_luce^3/miliardi_anni^2.
il semplice calcolo, corretto, diventa il seguente:
3
14 [m ]
c = 3.986 10 ---- =
2
[s ]
3 3 2
14 [m ] 1 [a.l.] 16 2 [s ]
= 3.986 10 ---- * ------------ ------ * (3.156 10 ) ------ =
2 15 3 3 2
[s ] 9.461 10 ) [m ] [m.a.]
3 3
14 -15 [a.l. ] [a.l. ]
= 3.986 10 * 1.176 10 ------- = .4688 -------
2 2
[m.a. ] [m.a. ]
e il risultato quadra con quello calcolato dal lupo grigio
(a parte il cubo a numeratore della dimensione, che però non inficia i calcoli successivi)
tony
p.s. appongo identica "errata corrige" sul mio msg che conteneva l'errore.
Ho provato ancora a risolvere, sempre con Derive, l'equazione differenziale: x''(t) = - 0.4688/[x(t)]^2 con le condizioni inziali :
x(0) = 1 ( anno luce)
x'(0) = 0
Il tempo (t) è calcolato in Miliardi di anni (M.a) e la distanza x in anni luce (a.l.).
Ho usato il metodo che sviluppa la soluzione in serie di Taylor ( Taylor_ode2).
Si ottengono via via soluzioni meglio approssimate al crescere dell'ordine n ( max . esponente della soluzione ) come evidenziato dalla tabella :
n ------- t(M.a)
2 si ha : 2.065
4 si ha : 1.837
6 si ha : 1.762
8 si ha : 1.730
10 si ha : 1.698
12 si ha : 1.688
14 si ha : 1.674
16 si ha : 1.671
(per valori maggiori di 16, il calcolo diventa molto lungo)
Sembrerebbe quindi che al crescere di n la soluzione si avvicini ragionevolmente a quella indicata da Tony : 1.62.
Il valore indicato da Lupo Grigio è invece diverso : 1.21
Commenti ?
N.B. ho completato la tabella dando anche i valori di t per n= 10 e n=14.
Per maggiore completezza indico di seguito i coefficienti da me trovati ( a(0),a(2) e a(4) coincidono con quelli di Lupo Grigio ; gli altri no)
a(0) = 1
a(2) = -0.2344
a(4) = -0.01831445
a(6) = -0.00314813
a(8) = -0.0006995
a(10) = -0.000177112
a(12) = -4.853548* 10^(-5)
a(14) = -1.402881*10^(-5)
a(16) = -4.21346*10^(-6)
x(0) = 1 ( anno luce)
x'(0) = 0
Il tempo (t) è calcolato in Miliardi di anni (M.a) e la distanza x in anni luce (a.l.).
Ho usato il metodo che sviluppa la soluzione in serie di Taylor ( Taylor_ode2).
Si ottengono via via soluzioni meglio approssimate al crescere dell'ordine n ( max . esponente della soluzione ) come evidenziato dalla tabella :
n ------- t(M.a)
2 si ha : 2.065
4 si ha : 1.837
6 si ha : 1.762
8 si ha : 1.730
10 si ha : 1.698
12 si ha : 1.688
14 si ha : 1.674
16 si ha : 1.671
(per valori maggiori di 16, il calcolo diventa molto lungo)
Sembrerebbe quindi che al crescere di n la soluzione si avvicini ragionevolmente a quella indicata da Tony : 1.62.
Il valore indicato da Lupo Grigio è invece diverso : 1.21
Commenti ?
N.B. ho completato la tabella dando anche i valori di t per n= 10 e n=14.
Per maggiore completezza indico di seguito i coefficienti da me trovati ( a(0),a(2) e a(4) coincidono con quelli di Lupo Grigio ; gli altri no)
a(0) = 1
a(2) = -0.2344
a(4) = -0.01831445
a(6) = -0.00314813
a(8) = -0.0006995
a(10) = -0.000177112
a(12) = -4.853548* 10^(-5)
a(14) = -1.402881*10^(-5)
a(16) = -4.21346*10^(-6)
Devo ringraziare Camillo per i risultati che ha ottenuto con Derive in quanto mi hanno permesso di trovare un errore [in vero assai banale] nel calcolo fatto a suo tempo e di cui chiedo scusa ai lettori…
In effetti l’espressione che consente il calcolo delle a(i) e che qui riscrivo…
Sum [i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)= -c per k=0 e 0 per k>0 (1)
… fornisce
a(2)=- c/2 [e non a(2)= -c come da me erroneamente scritto] per k=0
a(2+k)= - Sum[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (2)
Andando ora a calcolare le a(i) con le (2) e ponendo c=.4688 [il valore trovato da tony] si ottengono i seguenti valori…
a(0): 1
a(2): -.2344
a(4): -.0183144
a(6): -.00286194
a(8): -.00052709
a(10):-9.88394 e-5
a(12):-1.68654 e-5
a(14):-2.02091 e-6
a(16): 1.42081 e-7
Anche dopo aver corretto l’errore i valori delle a(i) sembrano dunque essere affetti da errore di troncamento abbastanza significativo per n<14. Di ciò si ha conferma andando e a calcolare to con i valori ‘corretti’ delle a(i), risolvendo l’equazione algebrica…
Sum [i=0,n] a(i)*t^i=0 (3)
Questi sono i risultati…
n=2 to= 2.065481
n=4 to= 1.837336
n=6 to= 1.768433
n=8 to= 1.7392504
n=10 to= 1.725319
n=12 to= 1.7189516
n=14 to= 1.7168133
n=16 to= 1.7290231
Il metodo da me proposto dunque sembra fornire un valore approssimato a tre cifre decimali pari a 1.716. Tutto questo non fa che confermare la grossa criticità di calcolo in problemi del genere… non per nulla la Nasa dispone dei più avanzati computer prodotti dall’industria americana…
cordiali saluti!…
lupo grigio
In effetti l’espressione che consente il calcolo delle a(i) e che qui riscrivo…
Sum [i=0,k] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i)= -c per k=0 e 0 per k>0 (1)
… fornisce
a(2)=- c/2 [e non a(2)= -c come da me erroneamente scritto] per k=0
a(2+k)= - Sum[i=0,k-1] (i+2)*(i+1)*a(i+2)*p(k-i) /[(k+2)*(k+1)] per k>0 (2)
Andando ora a calcolare le a(i) con le (2) e ponendo c=.4688 [il valore trovato da tony] si ottengono i seguenti valori…
a(0): 1
a(2): -.2344
a(4): -.0183144
a(6): -.00286194
a(8): -.00052709
a(10):-9.88394 e-5
a(12):-1.68654 e-5
a(14):-2.02091 e-6
a(16): 1.42081 e-7
Anche dopo aver corretto l’errore i valori delle a(i) sembrano dunque essere affetti da errore di troncamento abbastanza significativo per n<14. Di ciò si ha conferma andando e a calcolare to con i valori ‘corretti’ delle a(i), risolvendo l’equazione algebrica…
Sum [i=0,n] a(i)*t^i=0 (3)
Questi sono i risultati…
n=2 to= 2.065481
n=4 to= 1.837336
n=6 to= 1.768433
n=8 to= 1.7392504
n=10 to= 1.725319
n=12 to= 1.7189516
n=14 to= 1.7168133
n=16 to= 1.7290231
Il metodo da me proposto dunque sembra fornire un valore approssimato a tre cifre decimali pari a 1.716. Tutto questo non fa che confermare la grossa criticità di calcolo in problemi del genere… non per nulla la Nasa dispone dei più avanzati computer prodotti dall’industria americana…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Ho modificato il mio post precedente, aggiungendo alcune informazioni che dovrebbero rendere più agevole un confronto tra i miei risultati e quelli di Lupo Grigio.
Camillo
Camillo
amici, cari
ho disegnato il grafico del "t" da noi cercato, in funz. del vostro "n".
cerco di allegarlo; vi appare anche (come costante) il valore da me azzardato all'inizio.
si leggerà?
tony
ho disegnato il grafico del "t" da noi cercato, in funz. del vostro "n".
cerco di allegarlo; vi appare anche (come costante) il valore da me azzardato all'inizio.
si leggerà?
tony
(non ho capito la distinzione tra amici e cari)
Rivedendo nuovamente l’impostazione del problema ho avuto modo di affinare un poco [spero…] il calcolo e di fare anche un paio di considerazioni. In primo luogo ho rilevato un errore di indicizzazione nel programma in HTBasic da me costruito che ha falsato alquanto il risultato. In secondo luogo, cosa assai più importante credo, ho avuto modo di riflettere sull’impostazione data al problema, impostazione basata sull’ipotesi di trovare una soluzione in forma di serie.
Tale impostazione presuppone che la soluzione dell’equazione differenziale…
x”(t)*x(t)^2= -c (1)
… soggetta alle condizioni iniziali x(0)=1 e x’(0)=0 sia esprimibile sotto forma di serie…
x(t)= Sum [i=0,+00] a(i)*t^i (2)
La correttezza o meno dell’impostazione seguita è basata sul fatto che una serie del tipo della (2) è di solito convergente entro un certo intervallo della variabile indipendente. In particolare mentre per t<1 è possibile affermare che nella maggior parte dei casi la serie è convergente, per t>1 la determinazione della convergenza della (2) è assai più problematica e non può essere data per scontata. Per questa ragione conviene affrontare il problema utilizzando due unità di misura della scala dei tempi, il già utilizzato ‘miliardo d’anni’ [m.a.] e il ‘bimiliardo d’anni’ [b.a], unità questa che vale ovviamente 2 m.a. In tal modo il tempo stimato di impatto del meteorite sarà >1 se si prende come unità temporale il m.a. e <1 se si prende il b.a. Nel primo caso la costante c che compare nella (1) sarà .4688, nel secondo caso quattro volte maggiore, ossia 1.8752. I valori della a(i), calcolati utilizzando l’impostazione già vista, nei due casi sono qui riportati…
c= .4688
a(0): 1
a(2): -.2344
a(4): -.01831445
a(6): -.00709722
a(8): -.00239569
a(10):-.00115615
a(12):-.00054142
a(14):-.00028734
a(16):-.00015368
a(18):-8.66204 e-5
a(20):-4.95715 e-5
a(22):-2.91423 e-5
a(24):-1.73726 e-5
c= 1.8752
a(0):1
a(2):-.9376
a(4):-.2930312
a(6):-.2784031
a(8):-.3189253
a(10):-.4305832
a(12):-.6289696
a(14):-.9761184
a(16):-1.579247
a(18):-2.638806
a(20):-4.521287
a(22):-7.905466
a(24):-14.05516
E’ evidente già ad uno sguardo superficiale la natura completamente diversa dei valori delle a(i) nei due casi. In particolare mentre nel primo caso le a(i) era decrescenti in valore assoluto, nel secondo sono decrescenti all’inizio e riprendono poi a salire [sempre in valore assoluto…] assai velocemente. Valutiamo ora il tempo di impatto to del meteorite nei due casi in funzione del numero n di elementi della serie (2) sommati…
c=.4688
n=2 to= 2.0654 m.a.
n=4 to= 1.8373 m.a.
n=6 to= 1.699 m.a.
n=8 to= 1.6278 m.a.
n=10 to= 1.5743 m.a.
n=12 to= 1.5358 m.a.
n=14 to= 1.5048 m.a.
n=16 to= 1.4799 m.a.
n=18 to= 1.459 m.a.
n=20 to= 1.4412 m.a.
n=22 to= 1.4258 m.a.
n=24 to= 1.4124 m.a.
c=1.8752
n=2 to= 1.0327 b.a. [2.0654 m.a.]
n=4 to= .9186 b.a. [1.8372 m.a.]
n=6 to= .87053 b.a. [1.74106 m.a.]
n=8 to= .8441 b.a. [1.6882 m.a.]
n=10 to= .8266 b.a. [1.6532 m.a.]
n=12 to= .8138 b.a. [1.6276 m.a.]
n=14 to= .804 b.a. [1.608 m.a.]
n=16 to= .796 b.a. [1.592 m.a.]
n=18 to= .7894 b.a. [1.5788 m.a.]
n=20 to= .7838 b.a. [1.5676 m.a.]
n=22 to= .7789 b.a. [1.5578 m.a.]
n=24 to= .7746 b.a. [1.5492 m.a.]
I risultati completamente diversi ottenuti nei due casi debbono certo far riflettere sull’estrema criticità dell’approccio intrapreso, tanto che a questo punto penso sia meglio percorrere una strada diversa, se non altro a scopo comparativo. Comunque per le ragioni che ho prima spigato la soluzione ottenuta ponendo come unità temporale il ‘bimiliardo d’anni’ mi pare la più convincente e si avvicina anche al risultato fornito da karl. A questo punto dovrebbe dire come ne è venuto in possesso… magari in una seduta spiritica?…
[}:)]
cordiali saluti!…
lupo grigio
Tale impostazione presuppone che la soluzione dell’equazione differenziale…
x”(t)*x(t)^2= -c (1)
… soggetta alle condizioni iniziali x(0)=1 e x’(0)=0 sia esprimibile sotto forma di serie…
x(t)= Sum [i=0,+00] a(i)*t^i (2)
La correttezza o meno dell’impostazione seguita è basata sul fatto che una serie del tipo della (2) è di solito convergente entro un certo intervallo della variabile indipendente. In particolare mentre per t<1 è possibile affermare che nella maggior parte dei casi la serie è convergente, per t>1 la determinazione della convergenza della (2) è assai più problematica e non può essere data per scontata. Per questa ragione conviene affrontare il problema utilizzando due unità di misura della scala dei tempi, il già utilizzato ‘miliardo d’anni’ [m.a.] e il ‘bimiliardo d’anni’ [b.a], unità questa che vale ovviamente 2 m.a. In tal modo il tempo stimato di impatto del meteorite sarà >1 se si prende come unità temporale il m.a. e <1 se si prende il b.a. Nel primo caso la costante c che compare nella (1) sarà .4688, nel secondo caso quattro volte maggiore, ossia 1.8752. I valori della a(i), calcolati utilizzando l’impostazione già vista, nei due casi sono qui riportati…
c= .4688
a(0): 1
a(2): -.2344
a(4): -.01831445
a(6): -.00709722
a(8): -.00239569
a(10):-.00115615
a(12):-.00054142
a(14):-.00028734
a(16):-.00015368
a(18):-8.66204 e-5
a(20):-4.95715 e-5
a(22):-2.91423 e-5
a(24):-1.73726 e-5
c= 1.8752
a(0):1
a(2):-.9376
a(4):-.2930312
a(6):-.2784031
a(8):-.3189253
a(10):-.4305832
a(12):-.6289696
a(14):-.9761184
a(16):-1.579247
a(18):-2.638806
a(20):-4.521287
a(22):-7.905466
a(24):-14.05516
E’ evidente già ad uno sguardo superficiale la natura completamente diversa dei valori delle a(i) nei due casi. In particolare mentre nel primo caso le a(i) era decrescenti in valore assoluto, nel secondo sono decrescenti all’inizio e riprendono poi a salire [sempre in valore assoluto…] assai velocemente. Valutiamo ora il tempo di impatto to del meteorite nei due casi in funzione del numero n di elementi della serie (2) sommati…
c=.4688
n=2 to= 2.0654 m.a.
n=4 to= 1.8373 m.a.
n=6 to= 1.699 m.a.
n=8 to= 1.6278 m.a.
n=10 to= 1.5743 m.a.
n=12 to= 1.5358 m.a.
n=14 to= 1.5048 m.a.
n=16 to= 1.4799 m.a.
n=18 to= 1.459 m.a.
n=20 to= 1.4412 m.a.
n=22 to= 1.4258 m.a.
n=24 to= 1.4124 m.a.
c=1.8752
n=2 to= 1.0327 b.a. [2.0654 m.a.]
n=4 to= .9186 b.a. [1.8372 m.a.]
n=6 to= .87053 b.a. [1.74106 m.a.]
n=8 to= .8441 b.a. [1.6882 m.a.]
n=10 to= .8266 b.a. [1.6532 m.a.]
n=12 to= .8138 b.a. [1.6276 m.a.]
n=14 to= .804 b.a. [1.608 m.a.]
n=16 to= .796 b.a. [1.592 m.a.]
n=18 to= .7894 b.a. [1.5788 m.a.]
n=20 to= .7838 b.a. [1.5676 m.a.]
n=22 to= .7789 b.a. [1.5578 m.a.]
n=24 to= .7746 b.a. [1.5492 m.a.]
I risultati completamente diversi ottenuti nei due casi debbono certo far riflettere sull’estrema criticità dell’approccio intrapreso, tanto che a questo punto penso sia meglio percorrere una strada diversa, se non altro a scopo comparativo. Comunque per le ragioni che ho prima spigato la soluzione ottenuta ponendo come unità temporale il ‘bimiliardo d’anni’ mi pare la più convincente e si avvicina anche al risultato fornito da karl. A questo punto dovrebbe dire come ne è venuto in possesso… magari in una seduta spiritica?…
[}:)]
cordiali saluti!…
lupo grigio
Solo adesso ho letto questo post e devo dire che lo trovo molto interessante. Mi è anche venuta una idea per risolvere numericamente l'equazione differenziale (1). Se faccio in tempo ad ottenere qualcosa prima della chiusura del forum (porc... manco il tempo di scoprire un forum interessante che questo chiude) posterò qui i risultati. L'idea comunque è quella di manipolare l'equazione diff. (1) perche si possa applicare il metodo di runge-kutta.
Ciao
Ciao
Beh non si può risolvere con il metodo di eulero modificato?
O trovare una corrispondente forma integrale dell'equazione?
O trovare una corrispondente forma integrale dell'equazione?
Carissimi,
ecco dunque i miei risultati. Sebbene non ritengo di poter essere chiaro quanto lo sono lupo grigio o arriama, cercherò di esserlo al meglio delle mie possibilità.
L'equazione differenziale da risolvere è:
x''(t)=-GM/x(t)^2 (1)
dove la costante di gravitazione universale vale G=6.6730*10^-11 N*m^2/kg^2, mentre la massa della terra vale M=5.976*10^24 kg. Ho assunto inoltre per la velocità della luce il valore di c=2.9979*10^8 m/s (qui "c" è la velocità della luce nel vuoto).
Per risolvere l'equazione differenziale (1) che, a proposito, risolve il problema nell'ipotesi che la terra non venga in alcun modo smossa dall'oggetto che cade su di essa partendo da un anno luce di distanza, l'ho trasformata in un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine. Per la precisione ho posto y(t)=x'(t) in modo da trasformare l'equazione differenziale (1) nel seguente sistema di due equazioni differenziali del primo ordine:
x'(t)=y(t)
y'(t)=-GM/x(t)^2 (2)
A questo punto non ho fatto altro che implementare l'algoritmo di runge-kutta di ordine 2 (runge-kutta di ordine 1 equivale al metodo di Eulero)
Detto "h" l'incremento di tempo tra un passo dell'integrazione numerica ed il successivo, e detti xi e yi i valori delle funzioni x(t) e y(t) negli istanti di tempo ti=t0+i*h, valgono le relazioni:
xprov=xi+yi*h/2
yprov=yi-GM*h/(2*xi^2)
xi+1=xi+yprov*h
yi+1=yi-GM*h/xprov^2
Ho implementato queste relazioni in un programma fortran ed ho impostato tre diversi passi di tempo h1=10000 anni, h2=5000 anni e h3=2500 anni ottenendo praticamente lo stesso risultato. Il tempo che impiegherà l'oggetto per cadere sulla terra partendo da una distanza di un anno luce con velocità iniziale nulla è:
t=1.6213 miliardi di anni
Le cifre riportate possono ritenersi accurate e derivano dal confronto dei tre risultati ottenuti.
Ciao
ecco dunque i miei risultati. Sebbene non ritengo di poter essere chiaro quanto lo sono lupo grigio o arriama, cercherò di esserlo al meglio delle mie possibilità.
L'equazione differenziale da risolvere è:
x''(t)=-GM/x(t)^2 (1)
dove la costante di gravitazione universale vale G=6.6730*10^-11 N*m^2/kg^2, mentre la massa della terra vale M=5.976*10^24 kg. Ho assunto inoltre per la velocità della luce il valore di c=2.9979*10^8 m/s (qui "c" è la velocità della luce nel vuoto).
Per risolvere l'equazione differenziale (1) che, a proposito, risolve il problema nell'ipotesi che la terra non venga in alcun modo smossa dall'oggetto che cade su di essa partendo da un anno luce di distanza, l'ho trasformata in un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine. Per la precisione ho posto y(t)=x'(t) in modo da trasformare l'equazione differenziale (1) nel seguente sistema di due equazioni differenziali del primo ordine:
x'(t)=y(t)
y'(t)=-GM/x(t)^2 (2)
A questo punto non ho fatto altro che implementare l'algoritmo di runge-kutta di ordine 2 (runge-kutta di ordine 1 equivale al metodo di Eulero)
Detto "h" l'incremento di tempo tra un passo dell'integrazione numerica ed il successivo, e detti xi e yi i valori delle funzioni x(t) e y(t) negli istanti di tempo ti=t0+i*h, valgono le relazioni:
xprov=xi+yi*h/2
yprov=yi-GM*h/(2*xi^2)
xi+1=xi+yprov*h
yi+1=yi-GM*h/xprov^2
Ho implementato queste relazioni in un programma fortran ed ho impostato tre diversi passi di tempo h1=10000 anni, h2=5000 anni e h3=2500 anni ottenendo praticamente lo stesso risultato. Il tempo che impiegherà l'oggetto per cadere sulla terra partendo da una distanza di un anno luce con velocità iniziale nulla è:
t=1.6213 miliardi di anni
Le cifre riportate possono ritenersi accurate e derivano dal confronto dei tre risultati ottenuti.
Ciao
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