Meccanica Newtoniana e Lagrangiana
Non è sbagliato quello che hai detto.... ma non è chiaro il modo in cui possa questo aiutarti a risolvere il problema.
Questo problema in realtà è una banale applicazione di equazioni di cinetica e Dinamica.
in effetti hai ragione nel sostenere la conservazione...in fisica l'utilizzo di forze è ormai antiquato, il formalismo di Newton è morto.
Questo problema in realtà è una banale applicazione di equazioni di cinetica e Dinamica.
in effetti hai ragione nel sostenere la conservazione...in fisica l'utilizzo di forze è ormai antiquato, il formalismo di Newton è morto.
Risposte
(niente da ridire sul problema)
In realtà all'inizio del '800 è stato messo al mondo un formalismo, molto più elegante e più potente di quello di Newton, che è quello di Lagrange. In Fisica Teorica l'utilzzo delle forze è difatti scomparso, ancora tuttavia vengono usate (anche se di rado) dai Fisici Sperimentali, che come si sa .... matematica ne masticano molto poco!
In realtà all'inizio del '800 è stato messo al mondo un formalismo, molto più elegante e più potente di quello di Newton, che è quello di Lagrange. In Fisica Teorica l'utilzzo delle forze è difatti scomparso, ancora tuttavia vengono usate (anche se di rado) dai Fisici Sperimentali, che come si sa .... matematica ne masticano molto poco!
Ah, beh... Senza le forze, mi rifiuto di chiamarla FISICA... 
Tutto il resto è matematica... diffidate dal lascirvi condurre analiticamente dalla matematica... bisogna capire quello che accade FISICAMENTE...
Poi che il metodo di LAGRANGE sia potente, niente da dire... Ma la visione Newtoniana è sicuramente la più sintetica!
P.S.: io avrei fatto come Steven...
Tutto il resto è matematica... diffidate dal lascirvi condurre analiticamente dalla matematica... bisogna capire quello che accade FISICAMENTE... Poi che il metodo di LAGRANGE sia potente, niente da dire... Ma la visione Newtoniana è sicuramente la più sintetica!
P.S.: io avrei fatto come Steven...
Ci avrei scommesso che saresti intervenuto, cavalli
"cavallipurosangue":
Ah, beh... Senza le forze, mi rifiuto di chiamarla FISICA...
Poi che il metodo di LAGRANGE sia potente, niente da dire... Ma la visione Newtoniana è sicuramente la più sintetica!
P.S.: io avrei fatto come Steven...
Per capire quello che accade fisicamente bisogna guardare le simmetrie del sistema, che sono palesi nel formalismo Lagrangiano o Hemiltoniano.
L'uso delle forze nasconde invece queste simmetrie. Utilizzando il formalismo di Newton è in effetti possibile studiare sistemi molto semplici, con grandi sforzi e fatiche si possono studiare sistemi un po' più complessi, perdendo però di vista la Fisica del sistema.
Mi dispiace ma sono in totale ed assoluto disaccordo...
Conosco un prof di fisica che dice esattamente le stesse cose di Tannu.
Tannu ti dispiace dirmi dove studi? Può darsi che sei studente/ssa di questo prof. che penso io.
Comunque anche io dissento categoricamente da questo approccio alla fisica teorica.
Tannu ti dispiace dirmi dove studi? Può darsi che sei studente/ssa di questo prof. che penso io.
Comunque anche io dissento categoricamente da questo approccio alla fisica teorica.
posso intervenire nella discussione?
bisogna distinguere in che contesto siamo. in un problema del genere è folle appilcare un formalismo lagrangiano o hamiltoniano.
c'è da dire però che appena si sale di un paio di gradini di livello le equazioni di Eulero-Lagrange diventano molto più semplici da utilizzare che non quelle di Newton. già con un problema kepleriano, le equazioni di Newton in coordinate sferiche diventano un bordello, mentre quelle di E-L avendo un gruppo di covarianza maggiore del gruppo di Galilei rimangono le stesse. poi se vogliamo fare i tosti con Hamilton possiamo persino scambiare coordinate e momenti, e la tecnica di separazione di Hamilton-Jacobi è VITALE per qualunque Fisico.
@cavalli: come ho scritto in definitiva sono più sintetici E-L ed Hamilton che non Newton, le cui equazioni sono invarianti solo per rototraslazioni e boost galileiani. e aggiungo che è giusto (o quanto meno: conveniente) ad un certo punto metter da parte le forze e pensare solo ai potenziali.
@giuseppe: hai appena iniziato il secondo anno giusto? tra qualche mese ti innamorerai dei formalismi di fine Ottocento e Newton sarà un vecchio ricordo
bisogna distinguere in che contesto siamo. in un problema del genere è folle appilcare un formalismo lagrangiano o hamiltoniano.
c'è da dire però che appena si sale di un paio di gradini di livello le equazioni di Eulero-Lagrange diventano molto più semplici da utilizzare che non quelle di Newton. già con un problema kepleriano, le equazioni di Newton in coordinate sferiche diventano un bordello, mentre quelle di E-L avendo un gruppo di covarianza maggiore del gruppo di Galilei rimangono le stesse. poi se vogliamo fare i tosti con Hamilton possiamo persino scambiare coordinate e momenti, e la tecnica di separazione di Hamilton-Jacobi è VITALE per qualunque Fisico.
@cavalli: come ho scritto in definitiva sono più sintetici E-L ed Hamilton che non Newton, le cui equazioni sono invarianti solo per rototraslazioni e boost galileiani. e aggiungo che è giusto (o quanto meno: conveniente) ad un certo punto metter da parte le forze e pensare solo ai potenziali.
@giuseppe: hai appena iniziato il secondo anno giusto? tra qualche mese ti innamorerai dei formalismi di fine Ottocento e Newton sarà un vecchio ricordo
Premesso che di Hamilton conosco solo Lewis (purtroppo!) 
, direi che mi trovo abbastanza con quello che dici...
In effetti però, qualcuno mi disse, "le equazioni di Lagrange ed anche altre (di cui non ricordo il nome) in realtà sono una "presa di giro"... Non tutti si accorgono che la filosofia con cui sono state fatte è stata la derivazione di una certa funzione "particolare e comoda", alla quale poi viene sottratta una certa altra quantità "misteriosa", in modo da far tornare questa nuova "elaborazione matematica" con la vera equazione della dinamica, ossia quella di Newton"
Non l'ho mica detto io... però in effetti questo discorso è vero...
Tutto questo per dire che in realtà, queste eleganti e preziose equazioni, altro non sono che le equazioni di Newton, "vestite a festa"...
, direi che mi trovo abbastanza con quello che dici...In effetti però, qualcuno mi disse, "le equazioni di Lagrange ed anche altre (di cui non ricordo il nome) in realtà sono una "presa di giro"... Non tutti si accorgono che la filosofia con cui sono state fatte è stata la derivazione di una certa funzione "particolare e comoda", alla quale poi viene sottratta una certa altra quantità "misteriosa", in modo da far tornare questa nuova "elaborazione matematica" con la vera equazione della dinamica, ossia quella di Newton"
Non l'ho mica detto io... però in effetti questo discorso è vero...
Tutto questo per dire che in realtà, queste eleganti e preziose equazioni, altro non sono che le equazioni di Newton, "vestite a festa"...
la frase onestamente l'ho capita poco. quale sarebbe la quantità misteriosa?
dissento da dire che le equazioni di Lagrange e quelle di Newton sono equivalenti, è una bestemmia. nel formalismo lagrangiano si sviluppano tecniche di calcolo variazionale, geometria differenziale (le traiettorie sono geodetiche in un particolare spazio), e soprattutto l'equivalenza tra meccanica e ottica (che è un risultato ENORME dal punto di vista fisico), che in Newton non ci sono. è vero che i due formalismi descrivono la stessa fisica (determinista, causale eccetera), ma il secondo è decisamente più profondo. e anche più utile appena si esce dalle coordinate euclidee, come scrivevo sopra, e si inizia a trattare le simmetrie.
dissento da dire che le equazioni di Lagrange e quelle di Newton sono equivalenti, è una bestemmia. nel formalismo lagrangiano si sviluppano tecniche di calcolo variazionale, geometria differenziale (le traiettorie sono geodetiche in un particolare spazio), e soprattutto l'equivalenza tra meccanica e ottica (che è un risultato ENORME dal punto di vista fisico), che in Newton non ci sono. è vero che i due formalismi descrivono la stessa fisica (determinista, causale eccetera), ma il secondo è decisamente più profondo. e anche più utile appena si esce dalle coordinate euclidee, come scrivevo sopra, e si inizia a trattare le simmetrie.
Sicuramente la fisica che descrivono è la stessa, questo infatti volevo dire... Sicuramente avranno avuto uno sviluppo tale da consentire quello che tu dici...
Lasciamo comunque perdere il discorso...siamo andati troppo off-topic
Lasciamo comunque perdere il discorso...siamo andati troppo off-topic
mi sembra un discorso interessante invece. piuttosto dividiamo il topic in due.
Si, è vero! non ci avevo pensato... te ne puoi occupare tu, che io devo uscire?
forse è utile sottolineare qualcosa che, mi pare, non sia emersa in quest'apparente contrapposizione tra meccanica newtoniana e lagrangiana.
Intanto non sono due meccaniche diverse, ancor meno alternative. Quella lagrangiana consiste solo in un approccio allo studio di un particolare tipo di sistemi (olonomi, con vincoli bilaterali privi di attrito), che possono essere descritti tramite la funzione lagrangiana quando le forze attive sono conservative. Il fatto che in questi casi particolari si possa trarre grande beneficio con questo approccio non deve fare dimenticare che tutto è nato dalle leggi di Newton, senza le quali non si sarebbe tirata fuori l'energia cinetica, quella potenziale, lavoro e principio dei lavori virtuali, tutte cose necessarie per costruire le equazioni di Lagrange.
Vi faccio notare una cosa, che potete verificare anche voi: i fisici tendono a prediligere l'approccio analitico, quindi ad utilizzare lagrangiane & co. Gli ingegneri si riconducono più volentieri alle equazioni cardinali della dinamica, quindi alle origini. Perché questa differenza? La risposta sta, secondo me, nell'inapplicabilità a molti problemi dell'ingegneria dei presupposti di partenza che portano alle equazioni di Lagrange, perché i vincoli sono tuttaltro che privi di attrito, non sempre bilaterali, e le forze non sempre conservative.
Intanto non sono due meccaniche diverse, ancor meno alternative. Quella lagrangiana consiste solo in un approccio allo studio di un particolare tipo di sistemi (olonomi, con vincoli bilaterali privi di attrito), che possono essere descritti tramite la funzione lagrangiana quando le forze attive sono conservative. Il fatto che in questi casi particolari si possa trarre grande beneficio con questo approccio non deve fare dimenticare che tutto è nato dalle leggi di Newton, senza le quali non si sarebbe tirata fuori l'energia cinetica, quella potenziale, lavoro e principio dei lavori virtuali, tutte cose necessarie per costruire le equazioni di Lagrange.
Vi faccio notare una cosa, che potete verificare anche voi: i fisici tendono a prediligere l'approccio analitico, quindi ad utilizzare lagrangiane & co. Gli ingegneri si riconducono più volentieri alle equazioni cardinali della dinamica, quindi alle origini. Perché questa differenza? La risposta sta, secondo me, nell'inapplicabilità a molti problemi dell'ingegneria dei presupposti di partenza che portano alle equazioni di Lagrange, perché i vincoli sono tuttaltro che privi di attrito, non sempre bilaterali, e le forze non sempre conservative.
"kinder":
Vi faccio notare una cosa, che potete verificare anche voi: i fisici tendono a prediligere l'approccio analitico, quindi ad utilizzare lagrangiane & co. Gli ingegneri si riconducono più volentieri alle equazioni cardinali della dinamica, quindi alle origini. Perché questa differenza? La risposta sta, secondo me, nell'inapplicabilità a molti problemi dell'ingegneria dei presupposti di partenza che portano alle equazioni di Lagrange, perché i vincoli sono tuttaltro che privi di attrito, non sempre bilaterali, e le forze non sempre conservative.
è vero quello che dici Kinder. però ci sono anche problemi concettualmente banali che personalmente vedo difficili da risolere riconducendosi alle equazioni cardinali della dinamica: basta prendere una sferetta vincolata sulla superficie interna di un'altra sfera (fissa) e collegarla ad una molla con l'altro capo messo da qualche parte. riusciresti a studiare l'evoluzione del sistema con un approccio puramente newtoniano? a me sembra un disastro da fare. senza nessun attrito, figuriamoci con quello. le equazioni hamiltoniane invece sono suitable pure per sistemi con energia dipendente dal tempo. mi incuriosisce come opererebbe un ingegnere in questo caso.
Esatto kinder, proprio quello che intendevo dire... Credo si possa utilizzare l'approccio Lagrangiano anche se le forze non sono conservative mettendo a destra dell'uguale:
$Q_h^((a))=\sum_i^nvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_i)+\sum_j^mvecM_jcdot(partialvecepsilon_j)/(partialq_j)$
Faccio notare, che anche in questa "raffinata equazione" compaiono le ormai "obsolete" forze e momenti... (qualcuno avrebbe da dire che anche i momenti hanno molto poco di "fisico", dato che in effetti non sono entità fisiche esistenti...).
Infatti per i sistemi olonomi l'equazione di Lagrange altro non è che un modo "furbo" e spesso comodo per scrivere:
$deltaL^((a))+deltaL^((m))=0$
Ossia una riscrittura del principio dei lavori virtuali, che di energetico hanno proprio nulla a dire il vero... qualcuno osò chiamarlo "principio del prodotto scalare..."
$Q_h^((a))=\sum_i^nvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_i)+\sum_j^mvecM_jcdot(partialvecepsilon_j)/(partialq_j)$
Faccio notare, che anche in questa "raffinata equazione" compaiono le ormai "obsolete" forze e momenti... (qualcuno avrebbe da dire che anche i momenti hanno molto poco di "fisico", dato che in effetti non sono entità fisiche esistenti...
). Infatti per i sistemi olonomi l'equazione di Lagrange altro non è che un modo "furbo" e spesso comodo per scrivere:
$deltaL^((a))+deltaL^((m))=0$
Ossia una riscrittura del principio dei lavori virtuali, che di energetico hanno proprio nulla a dire il vero... qualcuno osò chiamarlo "principio del prodotto scalare..."
wedge, non ho capito quale problema ti incuriosisce...
"cavallipurosangue":
wedge, non ho capito quale problema ti incuriosisce...
è un megaclassico. lo espongo meglio. abbiamo un punto materiale:
_vincolato su una superficie sferica
_collegato con una molla al centro della sfera stessa
studiare il problema con un approccio newtoniano mi sembra davvero duro, anche senza attrito. figuriamoci con l'attrito.
comunque per approccio lagrangiano io non ho mai inteso il semplice PLV, piuttosto le equazioni di Eulero-Lagrange.
forse ho difettato in chiarezza. Non intendo che gli ingegneri non utilizzino l'approccio analitico, se torna utile. Gli ingegneri sono, in genere, utilitaristi, quindi meno propensi a valorizzare gli aspetti formali di quanto non facciano matematici e fisici. Questo soprattutto quando non è immediato ed evidente l'utile impiego dello strumento nell'economia del ragionamento, o del processo. Tipicamente, è difficile trovare un approccio assiomatico nell'ingegneria. Quando è presente, è un retaggio di altre discipline di cui l'ingegnere si deve essere imbevuto, e che è sconfinato.
L'esempio di wedge non rende bene ciò che intendevo dire, quindi lo modifico. Come si descriverebbe il sistema delle palline se ci fossero attriti e se la molla non fosse perfettamente elastica? Lagrange o Hamilton mi soccorrerebbero?
Non credo che sia un caso come wedge abbia scelto l'esempio. Si è messo immediatamente in un sistema ideale, modellabile (o modellizzabile, come direbbe il Prof.) con l'equazione di Lagrange. Quel caso particolare lo affronterebbe con considerazioni energetiche anche un ingegnere, a cui in genere l'energia piace e la usa, ogni qualvolta possa farlo.
L'esempio di wedge non rende bene ciò che intendevo dire, quindi lo modifico. Come si descriverebbe il sistema delle palline se ci fossero attriti e se la molla non fosse perfettamente elastica? Lagrange o Hamilton mi soccorrerebbero?
Non credo che sia un caso come wedge abbia scelto l'esempio. Si è messo immediatamente in un sistema ideale, modellabile (o modellizzabile, come direbbe il Prof.) con l'equazione di Lagrange. Quel caso particolare lo affronterebbe con considerazioni energetiche anche un ingegnere, a cui in genere l'energia piace e la usa, ogni qualvolta possa farlo.
Le equazioni di Lagrange che conosco io sono:
$d/(dt)((partialL)/(partialdotq))-(partialL)/(partialq)=\sum_i^nvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_l)+\sum_j^mvecM_jcdot(partialvecepsilon_j)/(partialq_h)$
Parliamo della stessa cosa?
$d/(dt)((partialL)/(partialdotq))-(partialL)/(partialq)=\sum_i^nvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_l)+\sum_j^mvecM_jcdot(partialvecepsilon_j)/(partialq_h)$
Parliamo della stessa cosa?
quello che non capisco io è il perché si tenda a considerare la vera fisica quella delle Forze... le forze sono una nostra elucubrazione mentale, come la lagrangiana!
Io credo che abbia più senso considerare le origini non le equazioni cardinali ma i campi.
In oltre il formalismo Hemiltoniano ha il pregio di essere universale, cioè applicabile a qualsiasi cosa (meccanica, termodinamica, quantistica, economia... ecc)
Un problema semplice da trattare con le forze è altrettanto semplice da trattare con la lagrangiana, basta solo averne confidenza... e in alcuni casi può avere anche una forma molto simile al formalismo Newtoniano.
Io credo che abbia più senso considerare le origini non le equazioni cardinali ma i campi.
In oltre il formalismo Hemiltoniano ha il pregio di essere universale, cioè applicabile a qualsiasi cosa (meccanica, termodinamica, quantistica, economia... ecc)
Un problema semplice da trattare con le forze è altrettanto semplice da trattare con la lagrangiana, basta solo averne confidenza... e in alcuni casi può avere anche una forma molto simile al formalismo Newtoniano.
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