L' arbitrarieta' del concetto di rotazione...
Caro Forum,
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Risposte
Ciao, vedo che questo è il tuo primo messaggio, benvenuto nel forum allora.
E' vero che non esiste un asse privilegiato rispetto a cui si applica la rotazione.
Il dubbio (se è tale, visto che non poni alcuna domanda precisa) credo derivi implicitamente dal non aver chiaro, se così è, rispetto a cosa la rotazione si debba calcolare.
Vediamo se richiamando alcuni concetti le cose si fanno più limpide.
La rotazione è legata al vettore velocità angolare $vec omega$, tale vettore si determina calcolando la derivata rispetto al tempo dei versori di una terna solidale al corpo rigido (ovviamente ci si riferisce ad un sistema fisso esterno rispetto cui calcolare il moto dei versori). La posizione di tale terna solidale è del tutto arbitraria, basta solo che sia appunto solidale al corpo rigido.
In formule:
$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $
Dove $hat i$, $hat j$ e $hat k$ sono i versori nelle direzioni $x$, $y$ e $z$ della terna solidale e con $cdot$ si indica il prodotto scalare.
Il vettore velocità angolare così calcolato, espresso nella terna fissa esterna, infatti è indipendente da dove la terna solidale è posizionata rispetto al corpo rigido in moto.
La velocità angolare $vec omega$ così definita gode della proprietà che la velocità di un qualunque punto del corpo rigido in moto può venire espresso come $vec v = vec dot O + vec omega times (vec P-vec O) $ dove $vec dot O$ è la velocità dell'origine della terna solidale al corpo rigido, $vec O$ è la sua posizione e $vec P$ la posizione del punto rispetto alla terna fissa esterna.
Da qui si vede che scegliendo un $vec O$ opportuno, cioè una posizione opportuna della terna solidale, allora la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido si può esprimere come $vec omega times (vec P-vec O) $, cioè come rotazione pura attorno all'asse parallelo al vettore $vec omega$ e passante per $vec O$.
Non va dimenticato comunque che il vettore velocità angolare è calcolabile anche non conoscendo la posizione di tale asse, visto che basta prendere una qualunque terna solidale col corpo rigido.
Per questo non esiste un asse privilegiato rispetto a cui calcolare la rotazione.
In questo vecchio messaggio e nei successivi trovi qualche altro spunto.
E' vero che non esiste un asse privilegiato rispetto a cui si applica la rotazione.
Il dubbio (se è tale, visto che non poni alcuna domanda precisa) credo derivi implicitamente dal non aver chiaro, se così è, rispetto a cosa la rotazione si debba calcolare.
Vediamo se richiamando alcuni concetti le cose si fanno più limpide.
La rotazione è legata al vettore velocità angolare $vec omega$, tale vettore si determina calcolando la derivata rispetto al tempo dei versori di una terna solidale al corpo rigido (ovviamente ci si riferisce ad un sistema fisso esterno rispetto cui calcolare il moto dei versori). La posizione di tale terna solidale è del tutto arbitraria, basta solo che sia appunto solidale al corpo rigido.
In formule:
$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $
Dove $hat i$, $hat j$ e $hat k$ sono i versori nelle direzioni $x$, $y$ e $z$ della terna solidale e con $cdot$ si indica il prodotto scalare.
Il vettore velocità angolare così calcolato, espresso nella terna fissa esterna, infatti è indipendente da dove la terna solidale è posizionata rispetto al corpo rigido in moto.
La velocità angolare $vec omega$ così definita gode della proprietà che la velocità di un qualunque punto del corpo rigido in moto può venire espresso come $vec v = vec dot O + vec omega times (vec P-vec O) $ dove $vec dot O$ è la velocità dell'origine della terna solidale al corpo rigido, $vec O$ è la sua posizione e $vec P$ la posizione del punto rispetto alla terna fissa esterna.
Da qui si vede che scegliendo un $vec O$ opportuno, cioè una posizione opportuna della terna solidale, allora la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido si può esprimere come $vec omega times (vec P-vec O) $, cioè come rotazione pura attorno all'asse parallelo al vettore $vec omega$ e passante per $vec O$.
Non va dimenticato comunque che il vettore velocità angolare è calcolabile anche non conoscendo la posizione di tale asse, visto che basta prendere una qualunque terna solidale col corpo rigido.
Per questo non esiste un asse privilegiato rispetto a cui calcolare la rotazione.
In questo vecchio messaggio e nei successivi trovi qualche altro spunto.
Grazie Faussone.
Quindi, faccio bene a dire che come la descrizione di come ruota un oggetto non e' unica ma dipende da come si decide di definirla?
Intuitivamente, chiunque sa discernere se un oggetto (corpo rigido) sta ruotando o meno. Concordi? Forse deriva dal fatto che certi punti dell'oggetto si muovono appunto in maniera spiraleggiante....
Anche nel caso del libro lanciato in aria e che ruota, non possiamo definire la rotazione in maniera univoca.
Tutti i concetti ( a parte gli scalari) cinematici hanno una certa relativita' associata ad essi. Per esempio, la velocita' di un oggetto dipende dal sistema di riferimento. Momento angolare, rotazione, ecc variano a seconda del polo che si sceglie anche all'interno dello stesso sistema...
grazie
astruso83
Quindi, faccio bene a dire che come la descrizione di come ruota un oggetto non e' unica ma dipende da come si decide di definirla?
Intuitivamente, chiunque sa discernere se un oggetto (corpo rigido) sta ruotando o meno. Concordi? Forse deriva dal fatto che certi punti dell'oggetto si muovono appunto in maniera spiraleggiante....
Anche nel caso del libro lanciato in aria e che ruota, non possiamo definire la rotazione in maniera univoca.
Tutti i concetti ( a parte gli scalari) cinematici hanno una certa relativita' associata ad essi. Per esempio, la velocita' di un oggetto dipende dal sistema di riferimento. Momento angolare, rotazione, ecc variano a seconda del polo che si sceglie anche all'interno dello stesso sistema...
grazie
astruso83
"astruso83":
Quindi, faccio bene a dire che come la descrizione di come ruota un oggetto non e' unica ma dipende da come si decide di definirla?
Non direi così, direi che una volta scelto un sistema fisso esterno rispetto a cui si riferisce il moto del corpo rigido, il vettore velocità angolare per quanto detto è univocamente definito, indipendentemente dall'asse attorno a cui avviene la rotazione istantanea del corpo rigido (o del sistema di riferimento ad esso solidale).
"astruso83":
Intuitivamente, chiunque sa discernere se un oggetto (corpo rigido) sta ruotando o meno. Concordi? Forse deriva dal fatto che certi punti dell'oggetto si muovono appunto in maniera spiraleggiante....
Concordo, ma lasciamo stare il discorso dei "punti dell'oggetto che si muovono in maniera spiraleggiante".
Il concetto di rotazione, una volta definito il sistema di riferimento rispetto a cui si calcola il moto del corpo, è legato al fatto che i versori di una qualunque terna di riferimento solidale al corpo cambiano direzione col tempo.
"astruso83":
Anche nel caso del libro lanciato in aria e che ruota, non possiamo definire la rotazione in maniera univoca.
Tutti i concetti ( a parte gli scalari) cinematici hanno una certa relativita' associata ad essi. Per esempio, la velocita' di un oggetto dipende dal sistema di riferimento. Momento angolare, rotazione, ecc variano a seconda del polo che si sceglie anche all'interno dello stesso sistema...
Dal messaggio precedente e da questo ho più volte fatto intendere che la rotazione, una volta definita la terna fissa rispetto a cui si calcola il moto del corpo rigido, è univoca.
Vero che la velocità di un oggetto dipende dal sistema di riferimento, ma questo non significa che la rotazione di un corpo rigido dipenda dall'asse di rotazione, dipende solo dal sistema di riferimento rispetto a cui si calcola il moto del corpo.
Il fatto che i momenti variano al variare dell'asse o del punto rispetto a cui sono definiti non c'entra con questo discorso.
Ciao Faussone e benvenuto Astruso83
Data una riferimento fisso esterno arbitrario non credo sia possibile trovare un opportuno $vec O$, cioè una posizione opportuna dell'origine della terna solidale, per cui la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido si possa esprimere come $vec omega times (vec P-vec O) $, cioè come rotazione pura attorno all'asse parallelo al vettore $vec omega$ e passante per $vec O$.
Contresempio banale: la traslazione.
Contresempio meno banale: il classico moto di una vite.
Mentre e' vero, ad esempio, per un moto piano non puramente traslante.
Quello che e' vero in generale per un corpo rigido in moto spaziale e' che il corpo rigido si può sempre vedere istantaneamente, rispetto ad un sistema di riferimento qualsiasi, come "avvitarsi" intorno ad un suo asse solidale ben preciso (credo che forse qui stia la tua risposta, Astruso83). L'asse e' parallelo alla velocita angolare che ha il corpo in quell'istante e tutti i punti del corpo che stanno su quell'asse hanno velocità parallela all'asse, al piu nulla. L'asse in generale cambia da istante a istante.
Ci vuole in effetti un po di immaginazione per vederlo
"Faussone":
La velocità angolare $vec omega$ così definita gode della proprietà che la velocità di un qualunque punto del corpo rigido in moto può venire espresso come $vec v = vec dot O + vec omega times (vec P-vec O) $ dove $vec dot O$ è la velocità dell'origine della terna solidale al corpo rigido, $vec O$ è la sua posizione e $vec P$ la posizione del punto rispetto alla terna fissa esterna.
Da qui si vede che scegliendo un $vec O$ opportuno, cioè una posizione opportuna della terna solidale, allora la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido si può esprimere come $vec omega times (vec P-vec O) $, cioè come rotazione pura attorno all'asse parallelo al vettore $vec omega$ e passante per $vec O$.
Data una riferimento fisso esterno arbitrario non credo sia possibile trovare un opportuno $vec O$, cioè una posizione opportuna dell'origine della terna solidale, per cui la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido si possa esprimere come $vec omega times (vec P-vec O) $, cioè come rotazione pura attorno all'asse parallelo al vettore $vec omega$ e passante per $vec O$.
Contresempio banale: la traslazione.
Contresempio meno banale: il classico moto di una vite.
Mentre e' vero, ad esempio, per un moto piano non puramente traslante.
Quello che e' vero in generale per un corpo rigido in moto spaziale e' che il corpo rigido si può sempre vedere istantaneamente, rispetto ad un sistema di riferimento qualsiasi, come "avvitarsi" intorno ad un suo asse solidale ben preciso (credo che forse qui stia la tua risposta, Astruso83). L'asse e' parallelo alla velocita angolare che ha il corpo in quell'istante e tutti i punti del corpo che stanno su quell'asse hanno velocità parallela all'asse, al piu nulla. L'asse in generale cambia da istante a istante.
Ci vuole in effetti un po di immaginazione per vederlo
Teorema di Mozzi : Ogni atto di moto rigido è elicoidale.
Dato l’atto di moto rigido $dotP = dotO + \vec\omega \times(P − O)$, con velocità angolare $\vec\omega$ non nulla, esiste un luogo di punti P dello spazio solidale la cui velocità istantanea risulta parallela ad $\vec\omega$. Tale luogo di punti è una retta parallela ad $\vec\omega$, e tutti i suoi punti presentano la medesima velocità in quell'istante.
Questo asse di istantanea rotazione cambia in generale da istante a istante.
Qui è spiegato molto bene (paragrafo 7, ma bisogna arrivarci leggendo dall'inizio) :
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... rigida.pdf
Ma è comodo, in molti casi pratici, anzi nella maggioranza direi, fare riferimento al "moto del centro di massa" e al moto del corpo rigido attorno al centro di massa, specie in Dinamica dove molte quantità si esprimono più semplicemente.
Comunque l'atto di moto rigido si può definire con riferimento ad un punto $O$ qualsiasi: il campo dei vettori velocità è un campo di "vettori momento" , definibile rispetto a un polo $O$ arbitario.
Dato l’atto di moto rigido $dotP = dotO + \vec\omega \times(P − O)$, con velocità angolare $\vec\omega$ non nulla, esiste un luogo di punti P dello spazio solidale la cui velocità istantanea risulta parallela ad $\vec\omega$. Tale luogo di punti è una retta parallela ad $\vec\omega$, e tutti i suoi punti presentano la medesima velocità in quell'istante.
Questo asse di istantanea rotazione cambia in generale da istante a istante.
Qui è spiegato molto bene (paragrafo 7, ma bisogna arrivarci leggendo dall'inizio) :
http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispens ... rigida.pdf
Ma è comodo, in molti casi pratici, anzi nella maggioranza direi, fare riferimento al "moto del centro di massa" e al moto del corpo rigido attorno al centro di massa, specie in Dinamica dove molte quantità si esprimono più semplicemente.
Comunque l'atto di moto rigido si può definire con riferimento ad un punto $O$ qualsiasi: il campo dei vettori velocità è un campo di "vettori momento" , definibile rispetto a un polo $O$ arbitario.
navigatore e ralf86, grazie per le precisazioni.
Nel volere riassumere il più possibile i concetti ho commesso un errore in quell'enunciato in cui dicevo che esiste sempre un asse di istantanea rotazione: quello è valido solo per un moto piano (in cui $vec omega$ è non nullo, anche se in tal caso l'asse di rotazione si può immaginare al limite all'infinito, con $vec omega$ che va al limite di zero), in un moto generico 3d è vero in generale invece solo che esiste un asse istantaneo i cui punti hanno la medesima velocità, parallela ad $vec omega$, non sempre nulla (quando tale velocità è anche nulla si tratterebbe di asse di rotazione istantanea). Ho generalizzato un po' troppo, mi scuso per l'imprecisione.
A mia parziale discolpa il fatto che il focus della mia risposta a asutruso83 era nel sottolineare la generalità del concetto di rotazione di un corpo rigido, una volta definito un sistema fisso esterno rispetto cui calcolare il moto del corpo, questo mi ha fatto allentare l'attenzione su altri dettagli.
Nel volere riassumere il più possibile i concetti ho commesso un errore in quell'enunciato in cui dicevo che esiste sempre un asse di istantanea rotazione: quello è valido solo per un moto piano (in cui $vec omega$ è non nullo, anche se in tal caso l'asse di rotazione si può immaginare al limite all'infinito, con $vec omega$ che va al limite di zero), in un moto generico 3d è vero in generale invece solo che esiste un asse istantaneo i cui punti hanno la medesima velocità, parallela ad $vec omega$, non sempre nulla (quando tale velocità è anche nulla si tratterebbe di asse di rotazione istantanea). Ho generalizzato un po' troppo, mi scuso per l'imprecisione.
A mia parziale discolpa il fatto che il focus della mia risposta a asutruso83 era nel sottolineare la generalità del concetto di rotazione di un corpo rigido, una volta definito un sistema fisso esterno rispetto cui calcolare il moto del corpo, questo mi ha fatto allentare l'attenzione su altri dettagli.
Grazie a tutti per i contributi!
Un commento per vedere se ho capito qualcosa:
a prescindere che si tratti di un moto generale 2D o 3D (sempre corpo rigido), ci sara' all'istante di tempo t arbitrario una distribuzione dei vettori velocita' istantanea associati a ciascun punto del corpo rigido. alcuni di questi vettori velocita' avranno la stessa direzione (e modulo) e giacieranno su punti diversi della stessa retta (detto asse di Mozzi per quell'instante t).
L'asse di Mozzi cambia in genere istante per istante (puo' anche rimanere lo stesso se l'oggetto e' vincolato). Il vettore (pseudo vettore) velocita' angolare e' in direzione dell'asse di Mozzi.
Come si comportano i vettori velocita' degli altri punti del corpo rigido rispetto all'asse di Mozzi? Penso siano distribuiti nella maniera piu' disparata.....Sto cercando di capire come il termine "elicoidale" si inserisce nella discussione.
Da wiki, si chiama 'moto elicoidale' il moto di un punto materiale che descrive con velocità angolare costante un' elica circolare (cioè un'elica appartenente ad un cilindro circolare retto. L'elica potrebbe essere anche ellittica e la velocita' angolare non costante
Grazie,
astruso83
Un commento per vedere se ho capito qualcosa:
a prescindere che si tratti di un moto generale 2D o 3D (sempre corpo rigido), ci sara' all'istante di tempo t arbitrario una distribuzione dei vettori velocita' istantanea associati a ciascun punto del corpo rigido. alcuni di questi vettori velocita' avranno la stessa direzione (e modulo) e giacieranno su punti diversi della stessa retta (detto asse di Mozzi per quell'instante t).
L'asse di Mozzi cambia in genere istante per istante (puo' anche rimanere lo stesso se l'oggetto e' vincolato). Il vettore (pseudo vettore) velocita' angolare e' in direzione dell'asse di Mozzi.
Come si comportano i vettori velocita' degli altri punti del corpo rigido rispetto all'asse di Mozzi? Penso siano distribuiti nella maniera piu' disparata.....Sto cercando di capire come il termine "elicoidale" si inserisce nella discussione.
Da wiki, si chiama 'moto elicoidale' il moto di un punto materiale che descrive con velocità angolare costante un' elica circolare (cioè un'elica appartenente ad un cilindro circolare retto. L'elica potrebbe essere anche ellittica e la velocita' angolare non costante
Grazie,
astruso83
[xdom="mathbells"]Ho rimosso l'immondizia da questo thread. Il mio tempo è prezioso e spero per voi che lo sia anche il vostro. Per l'ennesima volta ripeto che ogni chiarimento di natura personale e quindi OFF TOPIC, che sia più lungo di due righe va fatto tramite PM e NON nel thread, soprattutto se le diatribe personali vertono su argomenti di fisica che già di per sé sono estranei all'argomento in discussione.
In questo forum tendiamo a non tollerare i provocatori ed i polemici che sono interessati più alle schermaglie psicologiche che alla fisica. Spero sia l'ultima volta.[/xdom]
Chiedo scusa ad astruso83 per l'interruzione della discussione del suo argomento e spero che possa proseguire in modo più serio.
In questo forum tendiamo a non tollerare i provocatori ed i polemici che sono interessati più alle schermaglie psicologiche che alla fisica. Spero sia l'ultima volta.[/xdom]
Chiedo scusa ad astruso83 per l'interruzione della discussione del suo argomento e spero che possa proseguire in modo più serio.
Grazie mathbells per la pulizia, ci voleva proprio! 
In effetti in tutti quei post OT mi ero perso l'ultimo messaggio di astruso83.
astruso83, quello che hai scritto nell'ultimo messaggio va bene, provo a risponderti in merito ai dubbi che hai espresso.
Be' non direi "nella maniera più disparata", infatti vale sempre:
$vec dot P = vec dot O + vec omega times (vec P - vec O)$
per cui i vettori velocità istantanea dei punti del corpo rigido che non appartengono all'asse di Mozzi, avranno rispetto ai vettori velocità sull'asse (pari a $vec dot O$), una componente di velocità in più che va sommata alla velocità dei punti sull'asse, questa componente in più è normale al piano che passa per il vettore $ vec omega$ e il vettore $vec P- vec O$ (ho solo tradotto a parole la formula della velocità scritta sopra).
Quindi in pratica, detto in maniera rozza ma forse più chiara, se vuoi è la componente di rotazione attorno all'asse che va sommata alla velocità lungo l'asse per dare la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido.
Il discorso del moto elicoidale si inserisce proprio qui: in pratica istantaneamente il moto generico di un corpo rigido si può pensare come il moto di una vite (che ruota e trasla in direzione del proprio asse di rotazione) questo si intende quando si dice che il moto di un qualunque corpo rigido istantaneamente è un moto elicoidale (puoi pensare "elicoidale" come sinonimo di "moto tipo vite").
Ribadisco comunque che il vettore velocità angolare di rotazione (e quindi il concetto di rotazione) si definisce a prescindere dalla conoscenza a priori dell'asse di rotazione (o dell'asse di Mozzi).
In effetti in tutti quei post OT mi ero perso l'ultimo messaggio di astruso83.
astruso83, quello che hai scritto nell'ultimo messaggio va bene, provo a risponderti in merito ai dubbi che hai espresso.
"astruso83":
Come si comportano i vettori velocita' degli altri punti del corpo rigido rispetto all'asse di Mozzi? Penso siano distribuiti nella maniera piu' disparata.....Sto cercando di capire come il termine "elicoidale" si inserisce nella discussione.
astruso83
Be' non direi "nella maniera più disparata", infatti vale sempre:
$vec dot P = vec dot O + vec omega times (vec P - vec O)$
per cui i vettori velocità istantanea dei punti del corpo rigido che non appartengono all'asse di Mozzi, avranno rispetto ai vettori velocità sull'asse (pari a $vec dot O$), una componente di velocità in più che va sommata alla velocità dei punti sull'asse, questa componente in più è normale al piano che passa per il vettore $ vec omega$ e il vettore $vec P- vec O$ (ho solo tradotto a parole la formula della velocità scritta sopra).
Quindi in pratica, detto in maniera rozza ma forse più chiara, se vuoi è la componente di rotazione attorno all'asse che va sommata alla velocità lungo l'asse per dare la velocità istantanea di un punto generico del corpo rigido.
Il discorso del moto elicoidale si inserisce proprio qui: in pratica istantaneamente il moto generico di un corpo rigido si può pensare come il moto di una vite (che ruota e trasla in direzione del proprio asse di rotazione) questo si intende quando si dice che il moto di un qualunque corpo rigido istantaneamente è un moto elicoidale (puoi pensare "elicoidale" come sinonimo di "moto tipo vite").
Ribadisco comunque che il vettore velocità angolare di rotazione (e quindi il concetto di rotazione) si definisce a prescindere dalla conoscenza a priori dell'asse di rotazione (o dell'asse di Mozzi).
Grazie mathbells.
Astruso83, bravo ci sei!
Due precisazioni che magari hai già colto ma che tengo a sottolineare esplicitamente:
- l'asse di Mozzi in un dato istante generico, non "infilza" obbligatoriamente il corpo ma puo essere benissimo esterno ad esso. L'asse va visto come appartenente allo spazio solidale al corpo.
- Il moto piano, o 2D che dir si voglia, e' un caso particolare di moto generico spaziale.
Di particolare ha che: preso un qualsiasi punto appartenente allo spazio solidale al corpo rigido, esso (il punto) descrive una traiettoria che sta tutta su un piano, da qui il nome di moto "piano".
Se si considera uno di questi piani, e' possibile rappresentare su un foglio abbastanza grande l'atto di moto dell'intero spazio solidale al corpo.
Nel moto piano l'asse di Mozzi e' perpendicolare al piano, i suoi punti sono tutti istantaneamente fermi.
L'asse di Mozzi buca il foglio in un punto che non e' altro che... il centro istantaneo delle velocità!
Astruso83, bravo ci sei!
Due precisazioni che magari hai già colto ma che tengo a sottolineare esplicitamente:
- l'asse di Mozzi in un dato istante generico, non "infilza" obbligatoriamente il corpo ma puo essere benissimo esterno ad esso. L'asse va visto come appartenente allo spazio solidale al corpo.
- Il moto piano, o 2D che dir si voglia, e' un caso particolare di moto generico spaziale.
Di particolare ha che: preso un qualsiasi punto appartenente allo spazio solidale al corpo rigido, esso (il punto) descrive una traiettoria che sta tutta su un piano, da qui il nome di moto "piano".
Se si considera uno di questi piani, e' possibile rappresentare su un foglio abbastanza grande l'atto di moto dell'intero spazio solidale al corpo.
Nel moto piano l'asse di Mozzi e' perpendicolare al piano, i suoi punti sono tutti istantaneamente fermi.
L'asse di Mozzi buca il foglio in un punto che non e' altro che... il centro istantaneo delle velocità!
grazie ralf86!
Allora siamo sulla buona strada riguardo al concetto cinematico di rotazione. Vorrei spiegare a dei miei compagni quello che ho appreso finora da questa utile comunicazione sul forum. Sto afferrando certi dettagli ma la visione d'insieme e' forse ancora un po' sfuocata.
Rozzamente e da un punto di vista molto qualitativo, l'idea di traslazione e' semplice da digerire: l'oggetto si sposta rispetto all'osservatore, occupa una posizione spaziale diversa nel tempo.
L'idea di rotazione, detto ancora piu' rozzamente, cerca invece di carpire il fatto che i vari punti che formano il corpo rigido non hanno tutti la stessa velocita' istantanea, cioe' i vari vettorini, con punti di applicazione diversi, non sono paralleli e con ugual modulo. Sotto questa circostanza, chiunque ammette che l'oggetto sta "ruotando".
Ora, entrare nei dettagli di cosa sia effettivamente la rotazione non e' una passeggiata. C'e' chi liquida il discorso dicendo che rotazione significa che i punti del corpo hanno traiettorie circolari concentriche attorno all'asse di rotazione (in quel momento) ma non credo questo sia una modo generale di spiegare la rotazione.
Io direi invece che e' sempre possibile decomporre l'atto di moto dei vari punti del corpo in piu' parti ed istantaneamente trovare che una certa componente del vettore velocita' di ciascun punto ha una direzione che e' esattamente perpendicolare alla linea che congiunge l'asse di Mozzi e la coda della suddetta componente.
Mi ero arenato nel cercare di spiegare la rotazione di un oggetto lanciato in aria che volteggia. Credetemi, ci sono tanti equivoci ed incomprensioni su come analizzare questa situazione.
Qualche commento?
Grazie,
astruso83
Allora siamo sulla buona strada riguardo al concetto cinematico di rotazione. Vorrei spiegare a dei miei compagni quello che ho appreso finora da questa utile comunicazione sul forum. Sto afferrando certi dettagli ma la visione d'insieme e' forse ancora un po' sfuocata.
Rozzamente e da un punto di vista molto qualitativo, l'idea di traslazione e' semplice da digerire: l'oggetto si sposta rispetto all'osservatore, occupa una posizione spaziale diversa nel tempo.
L'idea di rotazione, detto ancora piu' rozzamente, cerca invece di carpire il fatto che i vari punti che formano il corpo rigido non hanno tutti la stessa velocita' istantanea, cioe' i vari vettorini, con punti di applicazione diversi, non sono paralleli e con ugual modulo. Sotto questa circostanza, chiunque ammette che l'oggetto sta "ruotando".
Ora, entrare nei dettagli di cosa sia effettivamente la rotazione non e' una passeggiata. C'e' chi liquida il discorso dicendo che rotazione significa che i punti del corpo hanno traiettorie circolari concentriche attorno all'asse di rotazione (in quel momento) ma non credo questo sia una modo generale di spiegare la rotazione.
Io direi invece che e' sempre possibile decomporre l'atto di moto dei vari punti del corpo in piu' parti ed istantaneamente trovare che una certa componente del vettore velocita' di ciascun punto ha una direzione che e' esattamente perpendicolare alla linea che congiunge l'asse di Mozzi e la coda della suddetta componente.
Mi ero arenato nel cercare di spiegare la rotazione di un oggetto lanciato in aria che volteggia. Credetemi, ci sono tanti equivoci ed incomprensioni su come analizzare questa situazione.
Qualche commento?
Grazie,
astruso83
astruso83,
hai letto il mio precedente ultimo messaggio di questa discussione? Speravo lì di aver spiegato qualcosa proprio riguardo agli ultimi concetti che hai scritto.
Per quanto riguarda il concetto di rotazione io la taglierei corta ormai: un corpo rigido sta ruotando quando fissata una qualunque terna solidale al corpo almeno uno dei versori di tale terna cambia direzione col tempo (rispetto ovviamente ad una terna fissa esterna), o in maniera equivalente se il vettore velocità angolare associato alla terna solidale al corpo rigido non è nullo (il vettore velocità angolare è calcolato come scritto nel mio primo messaggio in questa discussione).
hai letto il mio precedente ultimo messaggio di questa discussione? Speravo lì di aver spiegato qualcosa proprio riguardo agli ultimi concetti che hai scritto.
Per quanto riguarda il concetto di rotazione io la taglierei corta ormai: un corpo rigido sta ruotando quando fissata una qualunque terna solidale al corpo almeno uno dei versori di tale terna cambia direzione col tempo (rispetto ovviamente ad una terna fissa esterna), o in maniera equivalente se il vettore velocità angolare associato alla terna solidale al corpo rigido non è nullo (il vettore velocità angolare è calcolato come scritto nel mio primo messaggio in questa discussione).
Bene, ricevuto.
Sono soddisfatto della discussione.
Vorrei passare al concetto non cinematico ma dinamico del momento meccanico di una forza, se lecito. Il momento angolare e il vettore velocita' angolare sono legati fra loro da una relazione tensoriale con il momento di inerzia.
Se esiste un momento non nullo la velocita' angolare cambia. Ora, il momento meccanico si definisce partendo dalla scelta (arbitraria) del polo. Per certe scelte del polo il momento meccanico e' nullo mentre per altre scelte non lo e'.
Nel caso del corpo che volteggia in aria, l'unica forza presente e' la gravita' che opera al centro di massa CM che se si prende come polo del momento meccanico rende la velocita' angolare (momento angolare) costante. Ma se non si prende il CM come polo? Allora non c'e' piu' conservazione del momento angolare.
C'e' qualche vantaggio a far coincidere il polo del momento meccanico con l'asse di Mozzi?
grazie,
astruso83
Sono soddisfatto della discussione.
Vorrei passare al concetto non cinematico ma dinamico del momento meccanico di una forza, se lecito. Il momento angolare e il vettore velocita' angolare sono legati fra loro da una relazione tensoriale con il momento di inerzia.
Se esiste un momento non nullo la velocita' angolare cambia. Ora, il momento meccanico si definisce partendo dalla scelta (arbitraria) del polo. Per certe scelte del polo il momento meccanico e' nullo mentre per altre scelte non lo e'.
Nel caso del corpo che volteggia in aria, l'unica forza presente e' la gravita' che opera al centro di massa CM che se si prende come polo del momento meccanico rende la velocita' angolare (momento angolare) costante. Ma se non si prende il CM come polo? Allora non c'e' piu' conservazione del momento angolare.
C'e' qualche vantaggio a far coincidere il polo del momento meccanico con l'asse di Mozzi?
grazie,
astruso83
Ma sei un giocoliere?
Ti piace proprio lanciare 'sti corpi per aria...
EDIT: Tolgo quello che avevo scritto perché temo di aver detto una corbelleria. Devo ripensarci.
Ti piace proprio lanciare 'sti corpi per aria...
EDIT: Tolgo quello che avevo scritto perché temo di aver detto una corbelleria. Devo ripensarci.
Vorrei aggiungere qualcosa, che forse può essere utile a chiarire ulteriormente le idee.
Considerato il campo dei vettori velocità in un dato istante :
$\vecv_P = \vecv_O + \vec\omega\times(P-O)$
si può moltiplicare scalarmente entrambi membri per $\vec\omega$ , e si ottiene :
$\vec\omega*\vecv_P = \vec\omega*\vecv_O$ ---------(1)
poiché il prodotto misto è nullo.
La quantità (1) si chiama "invariante scalare cinematico", e naturalmente il suo valore è valido per quel dato istante; nell'istante successivo il suo valore, in generale, cambia, così come cambia l'asse di istantanea rotazione.
Questo invariante ci dice che, nell'istante considerato, tutti i vettori velocità di tutti i punti del corpo hanno "la stessa componente" rispetto all'asse di istantanea rotazione. Perciò, in quell'istante, la velocità di qualsiasi punto del corpo si può scomporre in un componente parallelo all'asse, che risulta uguale per tutti i punti del corpo, e in un componente perpendicolare (come direzione, ovvio) all'asse, diversa da punto a punto.
Il componente parallelo all'asse dà evidentemente la "parte traslatoria" della velocità, mentre quello perpendicolare dà la "parte rotatoria" .
Questo concetto era già stato descritto da Faussone a parole in un messaggio precedente.
Naturalmente ci sono dei casi in cui l'invariante scalare rimane effettivamente costante anche nel tempo.
Per esempio nel moto puramente traslatorio esso è sempre nullo essendo nulla la velocità angolare. Ma anche nel moto puramente rotatorio l'invariante è nullo, perché è nulla la velocità di traslazione parallela all'asse.
In effetti l'invariante è nullo i tutti i moti piani, perché le velocità sono parallele a un piano e l'asse istantaneo è perpendicolare al piano.
Questi tre casi rispecchiano il fatto che il prodotto scalare tra due vettori si esegue considerando tre fattori :
$\vec\omega*\vecv_P = \omegav_Pcos\alpha$
Poi, l'invariante è costante, diverso da zero, nel caso di moto rototraslatorio con velocità angolare costante in modulo e direzione, e velocità di traslazione parallela all'asse pure costante.
Dico bene Faussone ? Controlla che non ci siano corbellerie, sto andando a memoria!
[ot]Grazie mathbells per la tua paziente opera di netturbino, oltre che di fisico moderatore. Ti regalerò una scopa nuova…o preferisci l'aspirapolvere? Costa di più, però...
[/ot]
Considerato il campo dei vettori velocità in un dato istante :
$\vecv_P = \vecv_O + \vec\omega\times(P-O)$
si può moltiplicare scalarmente entrambi membri per $\vec\omega$ , e si ottiene :
$\vec\omega*\vecv_P = \vec\omega*\vecv_O$ ---------(1)
poiché il prodotto misto è nullo.
La quantità (1) si chiama "invariante scalare cinematico", e naturalmente il suo valore è valido per quel dato istante; nell'istante successivo il suo valore, in generale, cambia, così come cambia l'asse di istantanea rotazione.
Questo invariante ci dice che, nell'istante considerato, tutti i vettori velocità di tutti i punti del corpo hanno "la stessa componente" rispetto all'asse di istantanea rotazione. Perciò, in quell'istante, la velocità di qualsiasi punto del corpo si può scomporre in un componente parallelo all'asse, che risulta uguale per tutti i punti del corpo, e in un componente perpendicolare (come direzione, ovvio) all'asse, diversa da punto a punto.
Il componente parallelo all'asse dà evidentemente la "parte traslatoria" della velocità, mentre quello perpendicolare dà la "parte rotatoria" .
Questo concetto era già stato descritto da Faussone a parole in un messaggio precedente.
Naturalmente ci sono dei casi in cui l'invariante scalare rimane effettivamente costante anche nel tempo.
Per esempio nel moto puramente traslatorio esso è sempre nullo essendo nulla la velocità angolare. Ma anche nel moto puramente rotatorio l'invariante è nullo, perché è nulla la velocità di traslazione parallela all'asse.
In effetti l'invariante è nullo i tutti i moti piani, perché le velocità sono parallele a un piano e l'asse istantaneo è perpendicolare al piano.
Questi tre casi rispecchiano il fatto che il prodotto scalare tra due vettori si esegue considerando tre fattori :
$\vec\omega*\vecv_P = \omegav_Pcos\alpha$
Poi, l'invariante è costante, diverso da zero, nel caso di moto rototraslatorio con velocità angolare costante in modulo e direzione, e velocità di traslazione parallela all'asse pure costante.
Dico bene Faussone ? Controlla che non ci siano corbellerie, sto andando a memoria!
[ot]Grazie mathbells per la tua paziente opera di netturbino, oltre che di fisico moderatore. Ti regalerò una scopa nuova…o preferisci l'aspirapolvere? Costa di più, però...
[/ot]
Bene bene, una domenica proficua, sto imparando.
Mi piace ed e' chiaro il concetto dell'invariante cinematico.
Faussone, grazie ancora, ci riflettero' a fondo ma in prima battura non credo che l'asse di Mozzi passi per il centro di massa CM nella storiella del corpo che vola. Infatti, il centro di rotazione istantaneo CRI (velocita' istantanea zero), per il quale passa l'asse di Mozzi, dovrebbe addirittura trovarsi fuori dall'oggetto...
Mi piace ed e' chiaro il concetto dell'invariante cinematico.
Faussone, grazie ancora, ci riflettero' a fondo ma in prima battura non credo che l'asse di Mozzi passi per il centro di massa CM nella storiella del corpo che vola. Infatti, il centro di rotazione istantaneo CRI (velocita' istantanea zero), per il quale passa l'asse di Mozzi, dovrebbe addirittura trovarsi fuori dall'oggetto...
@astruso83
Ho cancellato quasi in contemporanea col tuo messaggio infatti l'affermazione precedente, dovevo precisar meglio.
Cercherò di farlo con calma.
Ho cancellato quasi in contemporanea col tuo messaggio infatti l'affermazione precedente, dovevo precisar meglio.
Cercherò di farlo con calma.
"navigatore":
[...]
Dico bene Faussone ? Controlla che non ci siano corbellerie, sto andando a memoria!
Ehi, ma adesso richiedi la mia controfirma?
Mi hai messo in difficoltà perché non so se sia più corretto (o più presuntuoso) dare la mia approvazione, o più corretto (o più maleducato) non rispondere, per non sembrare presuntuoso.
Va bene qualunque soluzione, non sentirti in difficoltà !
LA responsabilità di quello che scrivo è solo mia, sta tranquillo. Ma ti reputo molto preparato in Meccanica, quindi mi fido.
Comunque ho controllato, e dovrebbe essere tutto a posto.
Una piccola precisazione, relativa ad un mio errore : alcuni autori, forse un po' pignoli, precisano che si deve dire, in generale : "Asse istantaneo del moto" o "asse istantaneo di Mozzi" nel caso di atto di moto rototraslatorio in cui sono presenti sia velocità di traslazione che di rotazione, mentre si deve dire "asse di istantanea rotazione" solo nel caso in cui l'atto di moto sia esclusivamente rotatorio, cioè con velocità di traslazione nulla.
Astruso (...scusa ma un altro nick non andava meglio ? ) ,
mi ricordavo di questo video, postato da Quinzio in una vecchia discussione. Dacci un'occhiata, c'è un libro (o una scatola) che volteggia in aria. Ci sono vari tipi di volteggi : attorno ad assi centrali di inerzia (o assi liberi) e attorno a un asse baricentrico ma non centrale di inerzia.
viewtopic.php?f=19&t=95101&hilit=+smaug+inerzia+rotazione#p633389
LA responsabilità di quello che scrivo è solo mia, sta tranquillo. Ma ti reputo molto preparato in Meccanica, quindi mi fido.
Comunque ho controllato, e dovrebbe essere tutto a posto.
Una piccola precisazione, relativa ad un mio errore : alcuni autori, forse un po' pignoli, precisano che si deve dire, in generale : "Asse istantaneo del moto" o "asse istantaneo di Mozzi" nel caso di atto di moto rototraslatorio in cui sono presenti sia velocità di traslazione che di rotazione, mentre si deve dire "asse di istantanea rotazione" solo nel caso in cui l'atto di moto sia esclusivamente rotatorio, cioè con velocità di traslazione nulla.
Astruso (...scusa ma un altro nick non andava meglio ?
) , mi ricordavo di questo video, postato da Quinzio in una vecchia discussione. Dacci un'occhiata, c'è un libro (o una scatola) che volteggia in aria. Ci sono vari tipi di volteggi : attorno ad assi centrali di inerzia (o assi liberi) e attorno a un asse baricentrico ma non centrale di inerzia.
viewtopic.php?f=19&t=95101&hilit=+smaug+inerzia+rotazione#p633389
Devo ancora una risposta a astruso83 su una curiosità che aveva espresso.
Ieri sera rispondendo al volo (devo togliermi il vizio di fare più cose insieme quando rispondo qui
) avevo detto una grandissima ca...volata.
Me ne sono reso poco dopo e ho cancellato il messaggio... A dire il vero pensavo allora che l'errore fosse dovuto ad un certo ragionamento sostanzialmente corretto da cui avevo tratto una conclusione solo parzialmente sbagliata, ma poi ripensandoci mi sono reso conto che l'errore che avevo fatto era molto più grande e tutto il ragionamento fatto era da buttar via. Quindi sono giunto alla conclusione che sia inutile spiegare quello che volevo dire perché ciò che volevo dire era totalmente errato.
Torno allora alle questioni poste.
Attenzione qui: è corretto dire che il momento angolare rispetto a qualunque asse passante per il centro di massa debba conservarsi, ma questo NON implica che il vettore velocità angolare si mantenga costante. L'ultima implicazione è vera soltanto se la velocità angolare iniziale del corpo rigido è diretta secondo un suo asse principale di inerzia.
Se così è allora è vero che il vettore velocità angolare, per conservare il momento angolare, deve rimanere costante, altrimenti non è necessario.
Direi di no, è molto più comodo in questo caso (corpo libero in aria sotto l'azione del proprio peso) considerare una terna solidale al corpo centrata nel suo centro di massa (magari principale di inerzia, rispetto cui cioè il tensore di inerzia è diagonale) e scrivere l'equazioni dei momenti angolari rispetto ai 3 assi di questo riferimento.
Questo permette di determinare le equazioni differenziale che esprimono come il corpo si orienta in aria. Occorre in realtà qualche passaggio successivo per scrivere l'equazioni dei momenti (espresse in termini di vettore velocità angolare e sue derivate nel riferimento solidale) in funzione degli angoli di Eulero della terna solidale, che meglio consentono di comprendere come cambia l'orientazione del corpo rigido nello spazio.
Ieri sera rispondendo al volo (devo togliermi il vizio di fare più cose insieme quando rispondo qui
) avevo detto una grandissima ca...volata.Me ne sono reso poco dopo e ho cancellato il messaggio... A dire il vero pensavo allora che l'errore fosse dovuto ad un certo ragionamento sostanzialmente corretto da cui avevo tratto una conclusione solo parzialmente sbagliata, ma poi ripensandoci mi sono reso conto che l'errore che avevo fatto era molto più grande e tutto il ragionamento fatto era da buttar via. Quindi sono giunto alla conclusione che sia inutile spiegare quello che volevo dire perché ciò che volevo dire era totalmente errato.
Torno allora alle questioni poste.
"astruso83":
Se esiste un momento non nullo la velocità angolare cambia. Ora, il momento meccanico si definisce partendo dalla scelta (arbitraria) del polo. Per certe scelte del polo il momento meccanico e' nullo mentre per altre scelte non lo e'.
Nel caso del corpo che volteggia in aria, l'unica forza presente e' la gravita' che opera al centro di massa CM che se si prende come polo del momento meccanico rende la velocità angolare (momento angolare) costante. Ma se non si prende il CM come polo? Allora non c'e' piu' conservazione del momento angolare.
Attenzione qui: è corretto dire che il momento angolare rispetto a qualunque asse passante per il centro di massa debba conservarsi, ma questo NON implica che il vettore velocità angolare si mantenga costante. L'ultima implicazione è vera soltanto se la velocità angolare iniziale del corpo rigido è diretta secondo un suo asse principale di inerzia.
Se così è allora è vero che il vettore velocità angolare, per conservare il momento angolare, deve rimanere costante, altrimenti non è necessario.
"astruso83":
C'e' qualche vantaggio a far coincidere il polo del momento meccanico con l'asse di Mozzi?
Direi di no, è molto più comodo in questo caso (corpo libero in aria sotto l'azione del proprio peso) considerare una terna solidale al corpo centrata nel suo centro di massa (magari principale di inerzia, rispetto cui cioè il tensore di inerzia è diagonale) e scrivere l'equazioni dei momenti angolari rispetto ai 3 assi di questo riferimento.
Questo permette di determinare le equazioni differenziale che esprimono come il corpo si orienta in aria. Occorre in realtà qualche passaggio successivo per scrivere l'equazioni dei momenti (espresse in termini di vettore velocità angolare e sue derivate nel riferimento solidale) in funzione degli angoli di Eulero della terna solidale, che meglio consentono di comprendere come cambia l'orientazione del corpo rigido nello spazio.
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