L' arbitrarieta' del concetto di rotazione...
Caro Forum,
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Risposte
Grazie Navigatore,
mi guardo il video ed i commenti e torno
mi guardo il video ed i commenti e torno
astruso83,
ho visto che abbiamo scritto quasi insieme!
Non avevo notato il link di navigatore, lì si nota proprio quello che dicevo prima sul vettore velocità angolare non costante in generale.
ho visto che abbiamo scritto quasi insieme!
Non avevo notato il link di navigatore, lì si nota proprio quello che dicevo prima sul vettore velocità angolare non costante in generale.
Un parallelepipedo (ma anche un solido qualsiasi, solo che nel parallelepipedo è più evidente) ha tre assi centrali di inerzia, che sono gli assi principali riferiti al centro di massa: nel parallelepipedo sono i tre assi di simmetria paralleli a tre spigoli ortogonali e passanti per il cdm.
Quando la rotazione avviene attorno a un asse centrale di inerzia, e non ci sono momenti di forze agenti (come vedi il video è stato girato nella ISS, c'è anche su Youtube), ovvero se fai l'esperimento a terra e la sola forza agente è il peso, (che ha momento nullo rispetto al suo punto di applicazione, ovvio), il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare sono paralleli e anche costanti, perche non c'è accelerazione angolare, cioè non c'è momento di forze esterne che faccia variare il vettore momento angolare.
Percio gli assi centrali di inerzia si dicono anche "assi liberi di rotazione". Il parallelepipedo, pensato sulla terra, lanciato in aria in modo da farlo ruotare inizialmente attorno a un asse libero, continua a ruotare attorno a detto asse, oltre che a traslare seguendo il cdm nella traiettoria parabolica. Ma anche con un asse materiale coincidente con un asse centrale di inerzia, potrebbe ruotare indefinitamente attorno ad esso, se non ci fossero attriti; i cuscinetti dell'asse dovrebbero bilanciare sempre e solo il peso, come se il libro fosse fermo.
Pensa a una ruota di bicicletta, messa sottosopra, a cui imprimi una rotazione : potrebbe continuare a ruotare senza che i cuscinetti vengano sollecitati da forze normali all'asse oltre al peso.
Se invece l'asse di rotazione, pur essendo baricentrico, non è centrale di inerzia, i due vettori detti non sono più paralleli.
Nel filmato si vede chiaramente, nell'ultima parte, lo "sfarfallio" del libro : non essendoci momento di forze esterne, il vettore momento angolare si mantiene costante in direzione e modulo, non così il vettore velocità angolare, che è costretto a ruotare attorno al vettore momento angolare, in maniera in genere irregolare (credo).
Se il corpo ha una struttura tale che l'ellissoide di inerzia sia di rotazione attorno a un asse, c'è moto di precessione regolare di quell'asse, che si sovrappone alla rotazione propria.
Il moto attorno al cdm, o ad un altro punto preso come origine, è descritto dalle equazioni di Eulero, come ha richiamato Faussone, ed è piuttosto complicato dal punto di vista matematico nel caso generale.
E naturalmente se il polo non è il cdm è ancora più complicato: tieni presente che se si assume come polo un punto diverso dal cdm, che non sia fisso, la seconda eq. cardinale della Dinamica contiene un termine aggiuntivo nel calcolo della variazione del momento angolare, dovuto proprio alla scelta del polo. Solo se il polo è fisso, o coincidente col cdm, o in moto con velocità parallela alla velocità del cdm, la seconda equazione cardinale assume la forma più semplice.
Le equazioni di Eulero si semplificano un po' in presenza di alcune simmetrie del corpo e del moto: ad es. nel moto del giroscopio con punto fisso coincidente col cdm, oppure con punto fisso diverso dal cdm (trottola pesante nel campo gravitazionale terrestre).
Ora però ho parlato troppo, senza formule….e la Fisica non si fa bene senza formule! E poi, si tratta di concetti alquanto delicati, difficili da condensare in un post.
Perciò spero, al solito, di non aver detto corbellerie. Certamente ci sono delle omissioni o dimenticanze.
Quando la rotazione avviene attorno a un asse centrale di inerzia, e non ci sono momenti di forze agenti (come vedi il video è stato girato nella ISS, c'è anche su Youtube), ovvero se fai l'esperimento a terra e la sola forza agente è il peso, (che ha momento nullo rispetto al suo punto di applicazione, ovvio), il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare sono paralleli e anche costanti, perche non c'è accelerazione angolare, cioè non c'è momento di forze esterne che faccia variare il vettore momento angolare.
Percio gli assi centrali di inerzia si dicono anche "assi liberi di rotazione". Il parallelepipedo, pensato sulla terra, lanciato in aria in modo da farlo ruotare inizialmente attorno a un asse libero, continua a ruotare attorno a detto asse, oltre che a traslare seguendo il cdm nella traiettoria parabolica. Ma anche con un asse materiale coincidente con un asse centrale di inerzia, potrebbe ruotare indefinitamente attorno ad esso, se non ci fossero attriti; i cuscinetti dell'asse dovrebbero bilanciare sempre e solo il peso, come se il libro fosse fermo.
Pensa a una ruota di bicicletta, messa sottosopra, a cui imprimi una rotazione : potrebbe continuare a ruotare senza che i cuscinetti vengano sollecitati da forze normali all'asse oltre al peso.
Se invece l'asse di rotazione, pur essendo baricentrico, non è centrale di inerzia, i due vettori detti non sono più paralleli.
Nel filmato si vede chiaramente, nell'ultima parte, lo "sfarfallio" del libro : non essendoci momento di forze esterne, il vettore momento angolare si mantiene costante in direzione e modulo, non così il vettore velocità angolare, che è costretto a ruotare attorno al vettore momento angolare, in maniera in genere irregolare (credo).
Se il corpo ha una struttura tale che l'ellissoide di inerzia sia di rotazione attorno a un asse, c'è moto di precessione regolare di quell'asse, che si sovrappone alla rotazione propria.
Il moto attorno al cdm, o ad un altro punto preso come origine, è descritto dalle equazioni di Eulero, come ha richiamato Faussone, ed è piuttosto complicato dal punto di vista matematico nel caso generale.
E naturalmente se il polo non è il cdm è ancora più complicato: tieni presente che se si assume come polo un punto diverso dal cdm, che non sia fisso, la seconda eq. cardinale della Dinamica contiene un termine aggiuntivo nel calcolo della variazione del momento angolare, dovuto proprio alla scelta del polo. Solo se il polo è fisso, o coincidente col cdm, o in moto con velocità parallela alla velocità del cdm, la seconda equazione cardinale assume la forma più semplice.
Le equazioni di Eulero si semplificano un po' in presenza di alcune simmetrie del corpo e del moto: ad es. nel moto del giroscopio con punto fisso coincidente col cdm, oppure con punto fisso diverso dal cdm (trottola pesante nel campo gravitazionale terrestre).
Ora però ho parlato troppo, senza formule….e la Fisica non si fa bene senza formule! E poi, si tratta di concetti alquanto delicati, difficili da condensare in un post.
Perciò spero, al solito, di non aver detto corbellerie. Certamente ci sono delle omissioni o dimenticanze.
Grazie Navigatore.
Un breve commento prima di studiare a fondo la tua risposta.
Ci sono 3 assi principali, perpendicolari fra loro, e passanti per il cdm. Ma ci sono anche altre infinite terne di assi principali passanti per gli altri punti dell'oggetto. Le altre varie triadi di assi principali hanno certo orientamento diverso dalla terna con centro nel cdm. Inoltre, penso per il teorema di Steiner, il modulo degli assi principali passanti per il cdm e' sempre minore del modulo degli assi che fanno parte delle altre terne.
Per ottenere le altre triadi di assi principali bisogna forse avere in tensore d'inerzia con componenti che sono funzioni dello spazio (x,y,z). In quel caso penso si possa diagonalizzare il tensore rispetto a punti spaziali diversi ed ottenere terne ortogonali diverse...
grazie
astruso83
Un breve commento prima di studiare a fondo la tua risposta.
Ci sono 3 assi principali, perpendicolari fra loro, e passanti per il cdm. Ma ci sono anche altre infinite terne di assi principali passanti per gli altri punti dell'oggetto. Le altre varie triadi di assi principali hanno certo orientamento diverso dalla terna con centro nel cdm. Inoltre, penso per il teorema di Steiner, il modulo degli assi principali passanti per il cdm e' sempre minore del modulo degli assi che fanno parte delle altre terne.
Per ottenere le altre triadi di assi principali bisogna forse avere in tensore d'inerzia con componenti che sono funzioni dello spazio (x,y,z). In quel caso penso si possa diagonalizzare il tensore rispetto a punti spaziali diversi ed ottenere terne ortogonali diverse...
grazie
astruso83
"astruso83":
Grazie Navigatore.
Un breve commento prima di studiare a fondo la tua risposta.
Ci sono 3 assi principali, perpendicolari fra loro, e passanti per il cdm.
Certamente. Questi tre assi principali per il cdm, ortogonali tra loro, si chiamano "assi centrali d'inerzia".
Nota bene, anche un solido di forma molto irregolare, come una pietra o una patata, ha un cdm e una terna di assi centrali di inerzia. E non è neanche detto che il cdm sia un punto materiale "del corpo" . Pensa per esempio ad una sfera cava : il cdm coincide col centro della sfera, ma non è un punto materiale della sfera cava; lo dico in maniera semplice per farmi capire.
Ma ci sono anche altre infinite terne di assi principali passanti per gli altri punti dell'oggetto. Le altre varie triadi di assi principali hanno certo orientamento diverso dalla terna con centro nel cdm.
Sicuramente. Per ogni punto del corpo (e anche fuori del corpo, come detto prima per il cdm) si può trovare una terna di assi principali di inerzia. In geometria delle masse, gli assi principali hanno la proprietà che i momenti centrifughi relativi ai tre piani coordinati sono nulli. Quindi la matrice di inerzia relativa a quel punto è diagonale, costituita solo dai tre momenti di inerzia relativi ai tre assi principali. Invece se nello stesso punto assumiamo una terna diversa, la matrice di inerzia non è più diagonale in quanto ci sono i prodotti di inerzia fuori diagonale.
Inoltre, penso per il teorema di Steiner, il modulo degli assi principali passanti per il cdm e' sempre minore del modulo degli assi che fanno parte delle altre terne.
A parte il piccolo lapsus (modulo degli assi principali….?) volevi dire che, dato un asse qualunque passante per il cdm, e considerato un altro asse parallelo ad esso, il momento di inerzia relativo a quello baricentrico è sempre più piccolo di quello rispetto all'altro asse : corretto. Non vale solo per gli assi principali, vale per qualunque asse passante per il cdm e quindi per il suo parallelo. Tant'è vero che, per calcolare il momento d' inerzia rispetto a quello non baricentrico, bisogna sempre sommare a quello baricentrico il "termine di trasporto" .
Perfetto.
Per ottenere le altre triadi di assi principali bisogna forse avere in tensore d'inerzia con componenti che sono funzioni dello spazio (x,y,z). In quel caso penso si possa diagonalizzare il tensore rispetto a punti spaziali diversi ed ottenere terne ortogonali diverse...
grazie
astruso83
Certamente i momenti di inerzia e i momenti centrifughi sono funzioni delle coordinate del punto dove vanno calcolati.
Ma molto spesso nelle applicazioni pratiche si ricorre " a vista" a proprietà di simmetria del corpo, che consentono di capire certe caratteristiche di inerzia del solido. Non sempre è facile però.
Per esempio, è facile capire che in una sfera qualunque terna ortogonale baricentrica è centrale di inerzia.
Ma non è così immediato capire che anche per un cubo qualunque terna ortogonale baricentrica è centrale di inerzia!
Per capirlo, basta considerare la simmetria per rotazioni di 90° attorno a ciascuno dei tre assi. Quindi anche le diagonali di un cubo sono assi centrali di inerzia, ma non solo. Il momento di inerzia del cubo rispetto a qualunque retta baricentrica è sempre lo stesso.
L'ellissoide centrale di inerzia di un cubo quindi è una sfera. Il cubo ha "struttura giroscopica" rispetto a qualunque asse baricentrico.
Se prendi il parallelepipedo del filmato, l'ellissoide di inerzia ha invece i tre semiassi disuguali, quindi non ha struttura giroscopica.
MA se una base del parallelepipedo diventa un quadrato, l'asse di simmetria che buca le due facce quadrate è un asse di rotazione per l'ellissoide d'inerzia: in tal caso, il parallelepipedo ha struttura giroscopica rispetto a questo asse.
Grazie ancora per il ripasso sul cdm, punto teorico utile che rappresenta la posizione media della massa del corpo rigido.
Spero di avere presto utili contribuzioni al forum invece di sollevare solo quesiti.
Non per buttare piu' carne sul fuoco, ma ho visto il momento angolare totale viene in certi casi scomposto in due parti: orbitale e spin. Questa scomposizione si puo' fare relativamente a qualsiasi punto oppure ha pertinenza solo per il cdm?
Certo il momento angolare totale cambia valore in base alla scelta del polo ma penso che la parte spin sia invariante.....
grazie,
astruso83
Spero di avere presto utili contribuzioni al forum invece di sollevare solo quesiti.
Non per buttare piu' carne sul fuoco, ma ho visto il momento angolare totale viene in certi casi scomposto in due parti: orbitale e spin. Questa scomposizione si puo' fare relativamente a qualsiasi punto oppure ha pertinenza solo per il cdm?
Certo il momento angolare totale cambia valore in base alla scelta del polo ma penso che la parte spin sia invariante.....
grazie,
astruso83
Si tratta di definizioni di Meccanica quantistica? Non ne so nulla. Penso comunque che lo spin sia costante.
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin#Spin_ ... o_angolare
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin#Spin_ ... o_angolare
caro navigatore,
Ho trovato qualcosa in rete a riguardo. Si tratta di un'utile decomposizione che fa uso del centro di massa:
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto arbitrariamente scelto. La derivata temporale del momento angolare del sistema è uguale alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo, il momento angolare totale si conserva.
Il momento angolare calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa (momento angolare intrinseco detto spin) e del momento angolare orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al punto O.
E' utile ricordare che il teorema di Konig che dice che l' energia cinetica di un sistema di particelle è la somma delle energie cinetiche delle particelle che lo compongono. Usando la legge di composizione delle velocità si dimostra che l'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica delle particelle misurata nel sistema del centro di massa e dell'energia cinetica di una particella di massa pari alla massa totale del sistema e che si muove con la velocità del CM stesso.
astruso83
Ho trovato qualcosa in rete a riguardo. Si tratta di un'utile decomposizione che fa uso del centro di massa:
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto arbitrariamente scelto. La derivata temporale del momento angolare del sistema è uguale alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo, il momento angolare totale si conserva.
Il momento angolare calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa (momento angolare intrinseco detto spin) e del momento angolare orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al punto O.
E' utile ricordare che il teorema di Konig che dice che l' energia cinetica di un sistema di particelle è la somma delle energie cinetiche delle particelle che lo compongono. Usando la legge di composizione delle velocità si dimostra che l'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica delle particelle misurata nel sistema del centro di massa e dell'energia cinetica di una particella di massa pari alla massa totale del sistema e che si muove con la velocità del CM stesso.
astruso83
Be', tutto questo te l'ho già detto, anche se non esplicitamente…..quando ho detto che il campo dei vettori velocità è un campo di vettori momento: i campi di vettori momento si comportano proprio così….Ne ho accennato anche poco fa, ma bisogna leggere tra le righe, e conoscere la materia. Ma il termine "spin" non si usa molto in Meccanica classica.
Se vuoi ti metto pure la formula :
$\vecL_O = \vecL_C + (C-O)\timesM\vecv_C$
dove $O$ è un polo fisso in un riferimento inerziale ( per esempio l'origine delle coordinate) , $C$ è il cdm del corpo rigido o sistema di particelle di massa $M$ , $\vecL_O$ e $ \vecL_C$ sono i momenti angolari riferiti ai due poli detti, e $\vecv_C$ è la velocità del cdm rispetto al polo $O$.
E se il polo $O$ non è fisso nel riferimento inerziale assunto, la formula si complica ancora, perché si deve tener conto del moto del polo.
Poi c'è la seconda equazione cardinale della Dinamica, che pone in relazione il momento delle forze esterne, rispetto a un polo, con la variazione del momento angolare nel tempo, rispetto allo stesso polo.
Se vuoi ti metto pure la formula :
$\vecL_O = \vecL_C + (C-O)\timesM\vecv_C$
dove $O$ è un polo fisso in un riferimento inerziale ( per esempio l'origine delle coordinate) , $C$ è il cdm del corpo rigido o sistema di particelle di massa $M$ , $\vecL_O$ e $ \vecL_C$ sono i momenti angolari riferiti ai due poli detti, e $\vecv_C$ è la velocità del cdm rispetto al polo $O$.
E se il polo $O$ non è fisso nel riferimento inerziale assunto, la formula si complica ancora, perché si deve tener conto del moto del polo.
Poi c'è la seconda equazione cardinale della Dinamica, che pone in relazione il momento delle forze esterne, rispetto a un polo, con la variazione del momento angolare nel tempo, rispetto allo stesso polo.
Grazie nuovamente a tutti per lo stimolante scambio di concetti e la guida verso la comprensione.
Penso di essere arrivato a destinazione con questa domanda/argomento sull' arbitrarieta' del concetto di rotazione.
Ho un nuovo dubbio che posto qui visto che mi sembra un po' collegato, invece di aprire un post nuovo:
Una bicicletta in curva si piega verso l'interno della curva. le forze in gioco sono:
1. la forza di gravita' (che agisce al cdm)
2. la forza di contatto (che agisce al punto di contatto copertone/strada)
3. la forza di attrito statico (che provvede la forza centripeta).
Se c'e' effettivamente liberta' nello scegliere il polo da usare per il calcolo dei vari momenti meccanici, potremmo quindi scegliere il punto di contatto ruota/strada come polo. In quel caso la forza di contatto e la forza di attrito generano momenti nulli. La forza di gravita' genera invece un momento non nullo che tenderebbe a far ruotare e cadere la bici verso l'interno della curva. Invece, la bici non cade purche' sia in movimento. Cadrebbe invece se la bici fosse ferma. Perche' non cade? Cosa bilancia il momento generato dalla forza di gravita' quando la bici e' in moto?
Mi verrebbe da dire l'inerzia della bicicletta, che farebbe ruotare la bici verso l'esterno della curva, bilancia quel momento meccanico non nullo. Ma una forza viene bilanciata con una forza ed un momento viene bilanciato con un momento. Non si puo' bilanciare un momento meccanico con l'inerzia della bici.....
Certo, non siamo in una situazione di vero equilibrio: esiste una forza risultante non nulla nella forza radiale) ed un momento meccanico risultante non nullo (di diverso valore rispetto a poli diversi).
Penso ci sia un problema con la mia comprensione della forza centripeta: tale forza continua ad agire radialmente senza mai risucchiare l'oggetto verso il centro di rotazione. L'oggetto si tiene sempre alla distanza R (purche' la forza centripeta sia adeguata). La distanza in linea retta viaggiata dall'oggetto si combina con la distanza trasversale che la forza fa compiere all'oggetto. Questa combinazione porta l'oggetto a rimanere sempre alla stessa distanza R dal centro di rotazione istantaneo.
Uno stesso ragionamento dovrebbe funzionare nel caso del momento non nullo della forza di gravita' ma non sono in grado di chiudere il ragionamento....
grazie,
astruso83
Penso di essere arrivato a destinazione con questa domanda/argomento sull' arbitrarieta' del concetto di rotazione.
Ho un nuovo dubbio che posto qui visto che mi sembra un po' collegato, invece di aprire un post nuovo:
Una bicicletta in curva si piega verso l'interno della curva. le forze in gioco sono:
1. la forza di gravita' (che agisce al cdm)
2. la forza di contatto (che agisce al punto di contatto copertone/strada)
3. la forza di attrito statico (che provvede la forza centripeta).
Se c'e' effettivamente liberta' nello scegliere il polo da usare per il calcolo dei vari momenti meccanici, potremmo quindi scegliere il punto di contatto ruota/strada come polo. In quel caso la forza di contatto e la forza di attrito generano momenti nulli. La forza di gravita' genera invece un momento non nullo che tenderebbe a far ruotare e cadere la bici verso l'interno della curva. Invece, la bici non cade purche' sia in movimento. Cadrebbe invece se la bici fosse ferma. Perche' non cade? Cosa bilancia il momento generato dalla forza di gravita' quando la bici e' in moto?
Mi verrebbe da dire l'inerzia della bicicletta, che farebbe ruotare la bici verso l'esterno della curva, bilancia quel momento meccanico non nullo. Ma una forza viene bilanciata con una forza ed un momento viene bilanciato con un momento. Non si puo' bilanciare un momento meccanico con l'inerzia della bici.....
Certo, non siamo in una situazione di vero equilibrio: esiste una forza risultante non nulla nella forza radiale) ed un momento meccanico risultante non nullo (di diverso valore rispetto a poli diversi).
Penso ci sia un problema con la mia comprensione della forza centripeta: tale forza continua ad agire radialmente senza mai risucchiare l'oggetto verso il centro di rotazione. L'oggetto si tiene sempre alla distanza R (purche' la forza centripeta sia adeguata). La distanza in linea retta viaggiata dall'oggetto si combina con la distanza trasversale che la forza fa compiere all'oggetto. Questa combinazione porta l'oggetto a rimanere sempre alla stessa distanza R dal centro di rotazione istantaneo.
Uno stesso ragionamento dovrebbe funzionare nel caso del momento non nullo della forza di gravita' ma non sono in grado di chiudere il ragionamento....
grazie,
astruso83
Ahí ahí ahí …..il problema della bicicletta, a dispetto della apparente semplicità, non è tanto facile da trattare, secondo me.
Molti pensano che sia a causa della "precessione forzata" che il ciclista imprime alla ruota anteriore, facendola ruotare tramite il manubrio, per es, a destra, ragion per cui la ruota si inclina a destra. Ma la precessione forzata (troppo lungo scendere nei dettagli…) , che pure esiste, è piccola in questo caso.
Se solo provi a cercare sul web "moto della bicicletta" , vedi quanti siti e quante spiegazioni trovi…io ti metto questi link, per farti capire che il problema non è così semplice :
http://www.laureescientifiche.units.it/ ... cletta.pdf
http://qinf.fisica.unimi.it/~paris/bicicletta.pdf
Ma hai qualche confusione circa le forze che agiscono sulla bici : non ha considerato la reazione della strada tra le forze agenti. E che cosa intendi per "forza di contatto" tra bici e suolo ?
In maniera semplice, la bici si immette in una traiettoria curva, inclinata di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale, in modo tale che si crea una forza centrifuga per la rotazione, che contrasti la caduta (il punto di vista è quello del ciclista rotante, non inerziale, sia chiaro) : il momento della forza centrifuga bilancia il momento della forza peso rispetto all'asse passante per i punti di contatto.
LA forza centripeta, che dal punto di vista di un osservatore inerziale esterno fa curvare la bici secondo una traiettoria circolare o comunque curva, è trasmessa dalla strada alle gomme, in direzione del centro di curvatura, come tutte le forze centripete. Se la strada è in piano orizzontale, è dovuta solo all'attrito tra gomme e strada. Ne abbiamo discusso molto qui :
viewtopic.php?f=19&t=106684&hilit=forza+centripeta+ciclista
Ora però stiamo andando fuori tema. Apri un altro topic se hai altre domande, per favore.
Molti pensano che sia a causa della "precessione forzata" che il ciclista imprime alla ruota anteriore, facendola ruotare tramite il manubrio, per es, a destra, ragion per cui la ruota si inclina a destra. Ma la precessione forzata (troppo lungo scendere nei dettagli…) , che pure esiste, è piccola in questo caso.
Se solo provi a cercare sul web "moto della bicicletta" , vedi quanti siti e quante spiegazioni trovi…io ti metto questi link, per farti capire che il problema non è così semplice :
http://www.laureescientifiche.units.it/ ... cletta.pdf
http://qinf.fisica.unimi.it/~paris/bicicletta.pdf
Ma hai qualche confusione circa le forze che agiscono sulla bici : non ha considerato la reazione della strada tra le forze agenti. E che cosa intendi per "forza di contatto" tra bici e suolo ?
In maniera semplice, la bici si immette in una traiettoria curva, inclinata di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale, in modo tale che si crea una forza centrifuga per la rotazione, che contrasti la caduta (il punto di vista è quello del ciclista rotante, non inerziale, sia chiaro) : il momento della forza centrifuga bilancia il momento della forza peso rispetto all'asse passante per i punti di contatto.
LA forza centripeta, che dal punto di vista di un osservatore inerziale esterno fa curvare la bici secondo una traiettoria circolare o comunque curva, è trasmessa dalla strada alle gomme, in direzione del centro di curvatura, come tutte le forze centripete. Se la strada è in piano orizzontale, è dovuta solo all'attrito tra gomme e strada. Ne abbiamo discusso molto qui :
viewtopic.php?f=19&t=106684&hilit=forza+centripeta+ciclista
Ora però stiamo andando fuori tema. Apri un altro topic se hai altre domande, per favore.
Grazie navigatore.
Ho appena aperto un nuovo topic riguardo al moto della bicicletta in curva.
1) Riguardo alla nostra questione della rotazione, ho finalmente capito bene il significato del teorema di Mozzi (con la sua versione 2D contenuta nel teorema di Chasles) ed il concetto di centro di rotazione istantaneo nel moto piano. Ad ogni istante, l'atto di moto e' elicoidale, come una vite che non ha un asse rettilineo ma ha un asse deformabile. Una sequenza di fermo immagine mostrerebbe i vari assi di Mozzi istantanei. C'e' qualche applet in rete che mostra questo concetto?
2) In alcune dispense ho letto che un moto piano puo' essere solo o una rotazione oppure una traslazione. Questo non l'ho capito bene. Il teorema di Mozzi nel piano si traduce nel moto dell'oggetto rispetto all'asse di rotazione istantaneo, quindi come tante rotazioni attorno questo CRI che varia da istante a istante. La componente di traslazione e' zero.
In che senso si puo' definire il moto piano generico come una traslazione? Qualsiasi tipo di moto piano, anche un moto in cui la terna solidale con il corpo rigido non cambia orientazione, sembra descrivibile come l'ausilio del CIR. Oppure mi sbaglio?
Traslazione significa che tutti i vettori velocita' in qualsiasi atto di moto sono paralleli fra loro ed hanno uguale moto. Nell'istante successivo si ha lo stesso concetto (uguale direzione e modulo) anche se la direzione ed il modulo sono cambiati rispetto a prima.
Conclusione:
Per me, finora, il teorema di Mozzi ha una certa" fisicita' ".
In generale date due posizioni di un corpo si può sempre passare dalla prima alla seconda con una traslazione più una rotazione. In altri termini, traslazione e rotazione dipendono dalla coppia di configurazioni scelte come inizio e fine. Ma la traslazione e la rotazione NON sono la stessa cosa del moto reale, ma solo un modo alternativo per andare configurazione a configurazione (da atto di moto ad atto di moto successivo).
Il fatto che si possa raggiungere la configurazione finale ANCHE con una traslazione+rotazione non significa che il moto vero sia una rototraslazione. Immaginiamo un nuotatore che si tuffa dopo tre giravolte in aria. La posizione finale potrà essere ottenuta, geometricamente, da quella iniziale con una rototralslazione, per esempio prima traslo portando la testa e poi ruoto attorno alla testa. Oppure traslo rispetto al piede destro e poi ruoto. Ma tutto questo non ha nulla a che vedere col moto vero che e' meglio descritto dal teorema di Mozzi.
C'e' quindi arbitrarieta' che chiamerei geometrica nel descrivere il moto, un'arbitrarieta' che ha uso nella cinematica. Ma c'e' poi il teorema di Mozzi per descrivere lo stato cinematico del corpo rigido. Sembrano due approcci matematici diversi.
astruso83
Ho appena aperto un nuovo topic riguardo al moto della bicicletta in curva.
1) Riguardo alla nostra questione della rotazione, ho finalmente capito bene il significato del teorema di Mozzi (con la sua versione 2D contenuta nel teorema di Chasles) ed il concetto di centro di rotazione istantaneo nel moto piano. Ad ogni istante, l'atto di moto e' elicoidale, come una vite che non ha un asse rettilineo ma ha un asse deformabile. Una sequenza di fermo immagine mostrerebbe i vari assi di Mozzi istantanei. C'e' qualche applet in rete che mostra questo concetto?
2) In alcune dispense ho letto che un moto piano puo' essere solo o una rotazione oppure una traslazione. Questo non l'ho capito bene. Il teorema di Mozzi nel piano si traduce nel moto dell'oggetto rispetto all'asse di rotazione istantaneo, quindi come tante rotazioni attorno questo CRI che varia da istante a istante. La componente di traslazione e' zero.
In che senso si puo' definire il moto piano generico come una traslazione? Qualsiasi tipo di moto piano, anche un moto in cui la terna solidale con il corpo rigido non cambia orientazione, sembra descrivibile come l'ausilio del CIR. Oppure mi sbaglio?
Traslazione significa che tutti i vettori velocita' in qualsiasi atto di moto sono paralleli fra loro ed hanno uguale moto. Nell'istante successivo si ha lo stesso concetto (uguale direzione e modulo) anche se la direzione ed il modulo sono cambiati rispetto a prima.
Conclusione:
Per me, finora, il teorema di Mozzi ha una certa" fisicita' ".
In generale date due posizioni di un corpo si può sempre passare dalla prima alla seconda con una traslazione più una rotazione. In altri termini, traslazione e rotazione dipendono dalla coppia di configurazioni scelte come inizio e fine. Ma la traslazione e la rotazione NON sono la stessa cosa del moto reale, ma solo un modo alternativo per andare configurazione a configurazione (da atto di moto ad atto di moto successivo).
Il fatto che si possa raggiungere la configurazione finale ANCHE con una traslazione+rotazione non significa che il moto vero sia una rototraslazione. Immaginiamo un nuotatore che si tuffa dopo tre giravolte in aria. La posizione finale potrà essere ottenuta, geometricamente, da quella iniziale con una rototralslazione, per esempio prima traslo portando la testa e poi ruoto attorno alla testa. Oppure traslo rispetto al piede destro e poi ruoto. Ma tutto questo non ha nulla a che vedere col moto vero che e' meglio descritto dal teorema di Mozzi.
C'e' quindi arbitrarieta' che chiamerei geometrica nel descrivere il moto, un'arbitrarieta' che ha uso nella cinematica. Ma c'e' poi il teorema di Mozzi per descrivere lo stato cinematico del corpo rigido. Sembrano due approcci matematici diversi.
astruso83
"astruso83":
Grazie navigatore.
Ho appena aperto un nuovo topic riguardo al moto della bicicletta in curva.
1) Riguardo alla nostra questione della rotazione, ho finalmente capito bene il significato del teorema di Mozzi (con la sua versione 2D contenuta nel teorema di Chasles) ed il concetto di centro di rotazione istantaneo nel moto piano. Ad ogni istante, l'atto di moto e' elicoidale, come una vite che non ha un asse rettilineo ma ha un asse deformabile. Una sequenza di fermo immagine mostrerebbe i vari assi di Mozzi istantanei. C'e' qualche applet in rete che mostra questo concetto?
Spero tu abbia capito bene. MA da quello che dici dopo mi sembra che ci sia ancora qualche punto oscuro. Non lo so se ci sono animazioni o filmati Youtube, penso di si.
2) In alcune dispense ho letto che un moto piano puo' essere solo o una rotazione oppure una traslazione. Questo non l'ho capito bene. Il teorema di Mozzi nel piano si traduce nel moto dell'oggetto rispetto all'asse di rotazione istantaneo, quindi come tante rotazioni attorno questo CRI che varia da istante a istante. La componente di traslazione e' zero.
In che senso si puo' definire il moto piano generico come una traslazione? Qualsiasi tipo di moto piano, anche un moto in cui la terna solidale con il corpo rigido non cambia orientazione, sembra descrivibile come l'ausilio del CIR. Oppure mi sbaglio?
Traslazione significa che tutti i vettori velocita' in qualsiasi atto di moto sono paralleli fra loro ed hanno uguale moto. Nell'istante successivo si ha lo stesso concetto (uguale direzione e modulo) anche se la direzione ed il modulo sono cambiati rispetto a prima.
Un moto piano "finito" può essere solo traslatorio. Non considerare l'atto di moto, ora.
Giorni fa un ragazzo chiese: " Ma se io passo il cassino sulla lavagna, che moto è? Io non vedo la rototraslazione qui" (o una cosa del genere, non mi ricordo esattamente….).
Allora, fa' questo esperimento mentale : prendi il cassino, e sulla faccia a te rivolta disegna col pennarello, a partire dal centro della faccia, un angolo retto. Poi poggia il cassino sulla lavagna, in modo che i due segmenti siano paralleli a due spigoli della lavagna, e spostalo come vuoi sulla lavagna, mantenendo però i due lati dell'angolo sempre paralleli ai due spigoli della lavagna : questo è un moto puramente traslatorio. Rotazione = 0. Perciò puoi individuarlo col moto del solo centro del cassino. Chiaro?
E se invece pianti il tuo gomito sulla lavagna e ruoti il braccio, non ti rendi conto che c'è rotazione? Tu mi dirai: c'è rototraslazione, se scompongo il moto in rotazione attorno a un punto e traslazione di questo punto lungo la traiettoria curvilinea ( un "punto" non ruota, non ha senso, trasla solo lungo una curva, che può essere anche retta o circonferenza o una qualsiasi curva)!
E io ti rispondo: il centro di rotazione è il tuo gomito. Se il tuo avambraccio fosse di lunghezza infinita, il centro di rotazione se ne andrebbe all'infinito, e ricadresti nella traslazione.
Anche se alzi il cassino dalla lavagna, puoi continuare a traslarlo soltanto, basta mantenere quei due segmenti paralleli agli spigoli della lavagna. Ma se cominci a ruotare il cassino attorno a un asse verticale….
Sulla dispensa di Siboni è ben spiegato.
Conclusione:
Per me, finora, il teorema di Mozzi ha una certa" fisicita' ".
In generale date due posizioni di un corpo si può sempre passare dalla prima alla seconda con una traslazione più una rotazione. In altri termini, traslazione e rotazione dipendono dalla coppia di configurazioni scelte come inizio e fine. Ma la traslazione e la rotazione NON sono la stessa cosa del moto reale, ma solo un modo alternativo per andare configurazione a configurazione (da atto di moto ad atto di moto successivo).
Il fatto che si possa raggiungere la configurazione finale ANCHE con una traslazione+rotazione non significa che il moto vero sia una rototraslazione. Immaginiamo un nuotatore che si tuffa dopo tre giravolte in aria. La posizione finale potrà essere ottenuta, geometricamente, da quella iniziale con una rototralslazione, per esempio prima traslo portando la testa e poi ruoto attorno alla testa. Oppure traslo rispetto al piede destro e poi ruoto. Ma tutto questo non ha nulla a che vedere col moto vero che e' meglio descritto dal teorema di Mozzi.
C'e' quindi arbitrarieta' che chiamerei geometrica nel descrivere il moto, un'arbitrarieta' che ha uso nella cinematica. Ma c'e' poi il teorema di Mozzi per descrivere lo stato cinematico del corpo rigido. Sembrano due approcci matematici diversi.
astruso83
Qui non ho capito bene i tuoi ragionamenti. Posizione iniziale e posizione finale non c'entrano molto con quello che succede durante il moto. Posso prendere il cassino, per un po' traslarlo e per un po' ruotarlo lasciandolo sulla superficie della lavagna (quindi , sempre moto piano è !) e poi nella posizione finale rimetterlo coi due segmenti disegnati paralleli ai due spigoli della lavagna: e questo che vuol dire? Nulla.
Grazie navigatore.
Provo, per il mio bene e magari a beneficio di altri, a riepilogare alcuni concetti:
Da quello che ho capito, il teorema di Mozzi ha validita' generale, per qualsiasi moto di un corpo rigido, complicato o meno.
Il teorema di Chasles e' la versione bidimensionale, per il moto piano generale del corpo rigido. Penso il merito di Chasles sia stato quello di fornire una dimostrazione geometrica....
Torniamo a Mozzi: nell' istante di tempo t, l'atto di moto (cioe' la distribuzione di vettori velocita' associati a ciascun punto del corpo rigido), e' tale che alcuni vettori velocita' si trovano collocati su di una linea retta detta asse di Mozzi (o asse di rotazione istantanea). Il modulo della velocita' di questi punti sull'asse e' minore rispetto al modulo di tutti gli altri vettori velocita' non sull'asse. Tradotto: i punti sull'asse hanno l'invariante cinematico minimo. Come si comportano gli altri vettori velocita' ?
E' possibile scomporre tali vettori velocita' in una componente parallela all'asse di Mozzi (e con lo stesso modulo delle velocita' sull'asse di Mozzi) ed una componente che punta, con modulo arbitrario, in una direzione perpendicolare ad una retta che e' allo stesso tempo perpendicolare all'asse di Mozzi....
Questo implica che i vettori velocita' ad una distanza dall'asse di Mozzi sembrano muoversi elicoidalmente.
Ad un nuovo istante di tempo, l'asse di Mozzi (che e' unico per ogni tempo t), varia. Di conseguenza questo moto elicoidale (detto anche a vite), potrebbe essere visto come un'elica, con sezione non circolare e con asse non rettilineo nel corso del tempo....
Fin qui ci siamo?
Nel caso di moto piano, i punti del corpo rigido hanno una coordinata spaziale fissa. L'asse di Mozzi e' sempre perpendicolare al piano in cui avviene il moto. L'intersezione dell'asse di Mozzi con il piano e' un punto detto centro di rotazione istantaneo CRI. La traiettoria descritta dal CRI e' detta base. Nel moto piano, qualsiasi movimento infinitesimale del corpo rigido, va visto come una rotazione istantanea rispetto al CRI.
Ci sono tre tipi di moto istantaneo: traslazione, rotazione ed una composizione di traslazione e rotazione. Nel moto piano, una combinazione di traslazione e rotazione e' equivalente ad una rotazione se il centro di rotazione coincide con il punto che ha zero velocita' istantanea.
Detto cio', rimane che alcuni testi che ho trovato in rete enunciano il teorema di Mozzi in maniera tale che sembra che il punto l'asse di rotazione ad ogni istante di tempo sembra arbitrario e non univoco come e' invece risulta essere l'asse di Mozzi.
Spero di non complicare le cose, ma abbiamo speso energie su questo argomento e vorrei arrivare ad un apprendimento solido....
grazie,
astruso83
Provo, per il mio bene e magari a beneficio di altri, a riepilogare alcuni concetti:
Da quello che ho capito, il teorema di Mozzi ha validita' generale, per qualsiasi moto di un corpo rigido, complicato o meno.
Il teorema di Chasles e' la versione bidimensionale, per il moto piano generale del corpo rigido. Penso il merito di Chasles sia stato quello di fornire una dimostrazione geometrica....
Torniamo a Mozzi: nell' istante di tempo t, l'atto di moto (cioe' la distribuzione di vettori velocita' associati a ciascun punto del corpo rigido), e' tale che alcuni vettori velocita' si trovano collocati su di una linea retta detta asse di Mozzi (o asse di rotazione istantanea). Il modulo della velocita' di questi punti sull'asse e' minore rispetto al modulo di tutti gli altri vettori velocita' non sull'asse. Tradotto: i punti sull'asse hanno l'invariante cinematico minimo. Come si comportano gli altri vettori velocita' ?
E' possibile scomporre tali vettori velocita' in una componente parallela all'asse di Mozzi (e con lo stesso modulo delle velocita' sull'asse di Mozzi) ed una componente che punta, con modulo arbitrario, in una direzione perpendicolare ad una retta che e' allo stesso tempo perpendicolare all'asse di Mozzi....
Questo implica che i vettori velocita' ad una distanza dall'asse di Mozzi sembrano muoversi elicoidalmente.
Ad un nuovo istante di tempo, l'asse di Mozzi (che e' unico per ogni tempo t), varia. Di conseguenza questo moto elicoidale (detto anche a vite), potrebbe essere visto come un'elica, con sezione non circolare e con asse non rettilineo nel corso del tempo....
Fin qui ci siamo?
Nel caso di moto piano, i punti del corpo rigido hanno una coordinata spaziale fissa. L'asse di Mozzi e' sempre perpendicolare al piano in cui avviene il moto. L'intersezione dell'asse di Mozzi con il piano e' un punto detto centro di rotazione istantaneo CRI. La traiettoria descritta dal CRI e' detta base. Nel moto piano, qualsiasi movimento infinitesimale del corpo rigido, va visto come una rotazione istantanea rispetto al CRI.
Ci sono tre tipi di moto istantaneo: traslazione, rotazione ed una composizione di traslazione e rotazione. Nel moto piano, una combinazione di traslazione e rotazione e' equivalente ad una rotazione se il centro di rotazione coincide con il punto che ha zero velocita' istantanea.
Detto cio', rimane che alcuni testi che ho trovato in rete enunciano il teorema di Mozzi in maniera tale che sembra che il punto l'asse di rotazione ad ogni istante di tempo sembra arbitrario e non univoco come e' invece risulta essere l'asse di Mozzi.
Spero di non complicare le cose, ma abbiamo speso energie su questo argomento e vorrei arrivare ad un apprendimento solido....
grazie,
astruso83
"astruso83":
…..
Il modulo della velocita' di questi punti sull'asse e' minore rispetto al modulo di tutti gli altri vettori velocita' non sull'asse. Tradotto: i punti sull'asse hanno l'invariante cinematico minimo.
No. In un dato istante, l'invariante cinematico è "invariante" : ha lo stesso valore per tutti i punti, in quell'istante. Altrimenti non si chiamerebbe "invariante" . Riguardati la formula.
…..
E' possibile scomporre tali vettori velocita' in una componente parallela all'asse di Mozzi (e con lo stesso modulo delle velocita' sull'asse di Mozzi) ed una componente che punta, con modulo arbitrario, in una direzione perpendicolare ad una retta che e' allo stesso tempo perpendicolare all'asse di Mozzi....
Questo implica che i vettori velocita' ad una distanza dall'asse di Mozzi sembrano muoversi elicoidalmente.
No. La componente perpendicolare non ha "modulo arbitrario" . Riguardati la formula. LA componente perpendicolare è data da $\vec\omega\times\vecr$, quindi le componenti perpendicolari hanno modulo $\omega*h$, dove $h$ è la distanza del punto in esame dall'asse istantaneo in quell'istante.
Ad un nuovo istante di tempo, l'asse di Mozzi (che e' unico per ogni tempo t), varia. Di conseguenza questo moto elicoidale (detto anche a vite), potrebbe essere visto come un'elica, con sezione non circolare e con asse non rettilineo nel corso del tempo....Fin qui ci siamo?
No. L'elica istantanea a cui appartiene un certo punto è cilindrica, con sezione circolare. Gli "assi" sono sempre rettilinei, ti pare? Anche se cambiano nel tempo.
Nel caso di moto piano, ……...
Ci sono tre tipi di moto istantaneo: traslazione, rotazione ed una composizione di traslazione e rotazione. Nel moto piano, una combinazione di traslazione e rotazione e' equivalente ad una rotazione se il centro di rotazione coincide con il punto che ha zero velocita' istantanea.
….e quindi ci sono solo due tipi di moto piano : traslazione o rotazione. Il centro di istantanea rotazione, in un moto piano, o è al finito (rotazione) o è all'infinito (traslazione).
Detto cio', rimane che alcuni testi che ho trovato in rete enunciano il teorema di Mozzi in maniera tale che sembra che il punto l'asse di rotazione ad ogni istante di tempo sembra arbitrario e non univoco come e' invece risulta essere l'asse di Mozzi.
Spero di non complicare le cose, ma abbiamo speso energie su questo argomento e vorrei arrivare ad un apprendimento solido….
L'asse di Mozzi, in un certo istante, è l'insieme di punti (una retta) che, in quell'istante, hanno velocità vettoriale parallela al vettore velocità angolare in quell'istante. Dà un'occhiata qui, se il Siboni ti sembra difficile :
http://dm.ing.unibs.it/naso/didattica20 ... netico.pdf
Non è che stai complicando le cose….ma ti consiglio di guardarti queste nozioni, per bene, dopo qualche giorno di riposo, su un buon libro di Meccanica Razionale.
Benissimo, grazie per le correzioni, studiero' e meditero' di piu'.
astruso
astruso
Grazie per le tutte correzioni navigatore e Faussone. Molto necessarie.
Penso di avere colto il significato del teorema di Mozzi: il moto rigido e' istantaneamente elicoidale (cioe' una rototraslazione).La successione temporale degli assi di Mozzi forma una superficie detta rigata fissa nello spazio fisso e rigata mobile nel sistema solidale con il corpo rigido. Le sue superfici rotolano e strisciano una sull'altra.
Una cosa che accetto ma faccio fatica a digerire e' che un moto rigido piano e' o traslazione o rotazione ma non rotostraslazione. O trasla or ruota attorno ad un asse istantaneo di rotazione.
Eppure, da una visione profana, una ruota che rotola su una superficie lisca sembra sia traslare (spostarsi, allontanarsi da unosservatore) sia ruotare (c'e' un movimento di spinning). Per questo, vedere la ruota rotolante come una rotazione attorno al centro di istantanea rotazione sembra......non so....mancare dell'idea di traslazione, se provo a spiegarlo ad un amico....
Pagina 2 del seguente link:
http://www.francescopoli.net/Classe_IV_file%5Cmoti%20del%20corpo%20rigido.pdf :
il moto del cilindro viene visto come una rototraslazione negando il fatto che un moto piano puo' essere una rotazione o una traslazione ma non una combinazione di esse...
Rigardo al moto 3D, esistono infiniti modi per scomporre un moto 3D in una rotazione ed una traslazione ma esiste un solo modo in cui l'asse della rotazione coincide con la direzione della traslazione. Questo era uno dei punti difficile da accettare:
sembrava che la rotazione, un concetto che qualitativamente coinvolge, in ordine, l'individuazione di un'asse di rotazione ed una rotazione attorno ad esso, fosse un concetto totalmente arbitrario. E lo sembra essere, viste le infinite possibili decomposizioni fra le quale ne troviamo una (quella in base a Mozzi) che sembra piu'......piu' cosa?
grazie,
astruso83
Penso di avere colto il significato del teorema di Mozzi: il moto rigido e' istantaneamente elicoidale (cioe' una rototraslazione).La successione temporale degli assi di Mozzi forma una superficie detta rigata fissa nello spazio fisso e rigata mobile nel sistema solidale con il corpo rigido. Le sue superfici rotolano e strisciano una sull'altra.
Una cosa che accetto ma faccio fatica a digerire e' che un moto rigido piano e' o traslazione o rotazione ma non rotostraslazione. O trasla or ruota attorno ad un asse istantaneo di rotazione.
Eppure, da una visione profana, una ruota che rotola su una superficie lisca sembra sia traslare (spostarsi, allontanarsi da unosservatore) sia ruotare (c'e' un movimento di spinning). Per questo, vedere la ruota rotolante come una rotazione attorno al centro di istantanea rotazione sembra......non so....mancare dell'idea di traslazione, se provo a spiegarlo ad un amico....
Pagina 2 del seguente link:
http://www.francescopoli.net/Classe_IV_file%5Cmoti%20del%20corpo%20rigido.pdf :
il moto del cilindro viene visto come una rototraslazione negando il fatto che un moto piano puo' essere una rotazione o una traslazione ma non una combinazione di esse...
Rigardo al moto 3D, esistono infiniti modi per scomporre un moto 3D in una rotazione ed una traslazione ma esiste un solo modo in cui l'asse della rotazione coincide con la direzione della traslazione. Questo era uno dei punti difficile da accettare:
sembrava che la rotazione, un concetto che qualitativamente coinvolge, in ordine, l'individuazione di un'asse di rotazione ed una rotazione attorno ad esso, fosse un concetto totalmente arbitrario. E lo sembra essere, viste le infinite possibili decomposizioni fra le quale ne troviamo una (quella in base a Mozzi) che sembra piu'......piu' cosa?
grazie,
astruso83
Vedila così, nel caso del disco che rotola senza strisciare su un piano orizzontale (= moto piano).
Il centro di istantanea rotazione, cioè il punto di contatto $P$ del disco col piano, in un certo istante è fermo. In quell'istante, ogni punto del disco è dotato di moto rotatorio attorno ad esso, cioè rispetto all'asse perpendicolare al piano in cui giace il disco.
Il centro del disco ha, rispetto a tale punto $P$, una velocità periferica $\omegaR$ . Il punto diametralmente opposto a $P$ ha, in quell'istante, una velocità periferica pari a $2\omegaR$ , cioè il doppio di quella del centro disco. Tutti gli altri punti del diametro verticale in quell'istante hanno velocità periferiche crescenti da $0$ al valore massimo detto.
Ma un istante dopo il centro di istantanea rotazione si è spostato, sia rispetto al piano orizzontale che rispetto alla circonferenza del disco. L'asse di istantanea rotazione cambia.
Se avessi un piano perfettamente liscio, rigido, e pure il disco lo fosse, potresti lanciare il disco sul piano con solo moto traslatorio; il diametro verticale all'inizio potrebbe rimanere verticale per sempre.
Il centro di istantanea rotazione, cioè il punto di contatto $P$ del disco col piano, in un certo istante è fermo. In quell'istante, ogni punto del disco è dotato di moto rotatorio attorno ad esso, cioè rispetto all'asse perpendicolare al piano in cui giace il disco.
Il centro del disco ha, rispetto a tale punto $P$, una velocità periferica $\omegaR$ . Il punto diametralmente opposto a $P$ ha, in quell'istante, una velocità periferica pari a $2\omegaR$ , cioè il doppio di quella del centro disco. Tutti gli altri punti del diametro verticale in quell'istante hanno velocità periferiche crescenti da $0$ al valore massimo detto.
Ma un istante dopo il centro di istantanea rotazione si è spostato, sia rispetto al piano orizzontale che rispetto alla circonferenza del disco. L'asse di istantanea rotazione cambia.
Se avessi un piano perfettamente liscio, rigido, e pure il disco lo fosse, potresti lanciare il disco sul piano con solo moto traslatorio; il diametro verticale all'inizio potrebbe rimanere verticale per sempre.
Grazie sono d'accordo.
In merito al disco, un disco puo' ruotare senza scivolare su di una superficie senza attrito (zero attrito) se si muove a velocita' costante. Non c'e' necessita' di attrito per rotolare. L'attrito serve forse inizialmente. Per esempio, se il disco si trova su di una prima area del pavimento che ha attrito e si da una spinta al disco, il disco iniziera' a ruotare e quando arrivera' sulla parte del pavimento con zero attrito continuera' a rotolare a velocita' costante (presumo attrito di rollio nullo).
Quando una ruota viaggia a velocita' costante su di una superficie con attrito la forza di attrito statico che si sviluppa e' zero: la ruota e' solo appoggiata al pavimento ma non spinge il pavimento all'indietro.
astruso83
In merito al disco, un disco puo' ruotare senza scivolare su di una superficie senza attrito (zero attrito) se si muove a velocita' costante. Non c'e' necessita' di attrito per rotolare. L'attrito serve forse inizialmente. Per esempio, se il disco si trova su di una prima area del pavimento che ha attrito e si da una spinta al disco, il disco iniziera' a ruotare e quando arrivera' sulla parte del pavimento con zero attrito continuera' a rotolare a velocita' costante (presumo attrito di rollio nullo).
Quando una ruota viaggia a velocita' costante su di una superficie con attrito la forza di attrito statico che si sviluppa e' zero: la ruota e' solo appoggiata al pavimento ma non spinge il pavimento all'indietro.
astruso83
Mi sembra che tu stia facendo confusione tra parametri cinematici e geometrici del disco e la sua dinamica. Se per esempio il disco non avesse una distribuzione di massa a simmetria circolare, perchè il suo centro di massa si muova a velocità costante e non ci sia scorrimento nel punto di contatto devono essere applicate delle forze non nulle, eventualmente anche una forza di reazione nel punto di contatto.
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