L' arbitrarieta' del concetto di rotazione...
Caro Forum,
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Ho qualche familiarita' con il teorema di Chasles e con il concetto di centro di rotazione istantaneo (CIR).
Il teorema di Chasles sembra indicare che il moto generico di un corpo rigido puo' essere cinematicamente descritto come una sequenza, un susseguirsi di traslazione di punto generico P + rotazione attorno allo stesso punto generico P (che puo' trovarsi dentro o fuori dal corpo rigido). Il passaggio da una certa configurazione (posizione e orientazione nello spazio) alla successiva puo' avvenire quindi in infinite maniere, sempre attraverso traslazione+rotazione. Rimane l'arbitrarieta' riguardo al punto che si decide di considerare per la traslazione e la rotazione. Questo mi e' chiaro.
Il CIR e' un punto che che puo' o meno appartenere al corpo rigido. Tale CIR e' unico per quell'istante ed ha velocita' istantanea zero. Dal punto di vista del CIR, l'intero moto del corpo rigido diventa una sola rotazione attorno al CIR in quel momento. La componente di traslazione non subentra.
Detto questo, se un oggetto come un libro viene lanciato in aria impartendogli una rotazione iniziale, il libro volera' in aria mentre ruota (supponiamo moto bidimensionale). Ma attorno a quale punto (asse) sta fisicamente ruotando il libro? Esiste un asse di rotazione "fisico" attorno al quale la rotazione sta avvenendo? Oppure l'intero concetto di rotazione non e' un concetto univoco ma che ha un' arbitrarieta' intrinseca?
Chiunque osservi il moto del libro ammette che il libro stia traslando (allontanandosi dal lanciatore) ed allo stesso tempo ruotando poiche' certe parti del libro si muovono ciclicamente in una direzione e poi in un'altra. Ma la rotazione accade attorno ad un asse fisico ben preciso oppure dipende dalla descrizione (piu' o meno comoda) che si vuole dare di rotazione? In fondo, rotazione e' semplicemente il nome che si vuole dare al moto globale curvilineo dei punti che compongono un corpo rigido...
Sembra che non esista una maniera unica di vedere la rotazione, attorno ad un determinato punto dell'oggetto. Dipende da come si vuole definire/vedere la rotazione, attorno a quale punto che si sceglie come centro di rotazione.
Le masse puntiformi che compongono il libro seguono traiettorie ben precise determinate dalle condizioni iniziali del moto. Rimane che chiunque osservi il libro in movimento e' sicuro che il libro stia ruotando mentre trasla nell'aria....
Nel caso del libro, sappiamo che il centro di massa CM ha una traiettoria parabolica mentre tutti gli altri punti del libro seguono traiettorie spiraleggianti. Molti credono che la rotazione avvenga fisicamente attorno al CM o ad un asse passante per il CM (energia minima, momento d'inerzia minimo)....Non credo sia cosi'.
Grazie,
Astruso83
Risposte
L'osservazione di Sonoqui mi sembra pertinente. Stiamo parlando di Cinematica del disco omogeneo su un piano orizzontale.
Ma tanto per capire, vale la pena di considerare anche l'aspetto dinamico.
Senza il "forse", ci vuole un momento iniziale di forza esterna, per far variare il momento angolare del disco, e quindi la velocità angolare dalla quiete a un certo valore $\omega$. E questo momento iniziale di forza esterna è dato dalla forza di attrito esercitata dal piano sul disco, per "l'avvio". Dopo che ha iniziato la rotazione, il centro disco prosegue a velocità costante mentre il disco rotola, e la forza di attrito statico non c'è più. Naturalmente vale quanto detto prima circa il "centro di istantanea rotazione", che caratterizza il moto elementare come rotatorio., e si sposta sul piano e rispetto al disco.
In un post precedente, ho immaginato di avere un disco liscio (rigido per ipotesi, come rigido per ipotesi è il piano orizzontale) su un piano perfettamente liscio: allora si potrebbe lanciare il disco sul piano in moto puramente traslatorio, mantenendo per esempio sempre verticale il diametro inizialmente verticale. Per far questo, occorrerebbe per esempio dare un colpo perfettamente orizzontale e perfettamente centrato, cioè lungo un diametro passante per il centro disco: lo abbiamo visto nell'esempio della barretta su piano liscio, si ha solo traslazione.
Si potrebbe, viceversa, imprimere inizialmente una rotazione al disco liscio, tenendolo staccato dal piano, se il disco avesse un asse centrale perpendicolare alle facce, orizzontale, con un perfetto cuscinetto volvente, e poi lo si poggiasse sul piano: se il piano è liscio, il disco continuerebbe a ruotare "sul posto" .
Il problema della Fisica a livello base è questo: bisogna fare parecchie astrazioni da quella che è la nostra reale esperienza quotidiana. I vincoli non sono lisci, i corpi non sono rigidi...
Ma tanto per capire, vale la pena di considerare anche l'aspetto dinamico.
"astruso83":
In merito al disco, un disco puo' ruotare senza scivolare su di una superficie senza attrito (zero attrito) se si muove a velocita' costante. Non c'e' necessita' di attrito per rotolare. L'attrito serve forse inizialmente.
Senza il "forse", ci vuole un momento iniziale di forza esterna, per far variare il momento angolare del disco, e quindi la velocità angolare dalla quiete a un certo valore $\omega$. E questo momento iniziale di forza esterna è dato dalla forza di attrito esercitata dal piano sul disco, per "l'avvio". Dopo che ha iniziato la rotazione, il centro disco prosegue a velocità costante mentre il disco rotola, e la forza di attrito statico non c'è più. Naturalmente vale quanto detto prima circa il "centro di istantanea rotazione", che caratterizza il moto elementare come rotatorio., e si sposta sul piano e rispetto al disco.
In un post precedente, ho immaginato di avere un disco liscio (rigido per ipotesi, come rigido per ipotesi è il piano orizzontale) su un piano perfettamente liscio: allora si potrebbe lanciare il disco sul piano in moto puramente traslatorio, mantenendo per esempio sempre verticale il diametro inizialmente verticale. Per far questo, occorrerebbe per esempio dare un colpo perfettamente orizzontale e perfettamente centrato, cioè lungo un diametro passante per il centro disco: lo abbiamo visto nell'esempio della barretta su piano liscio, si ha solo traslazione.
Si potrebbe, viceversa, imprimere inizialmente una rotazione al disco liscio, tenendolo staccato dal piano, se il disco avesse un asse centrale perpendicolare alle facce, orizzontale, con un perfetto cuscinetto volvente, e poi lo si poggiasse sul piano: se il piano è liscio, il disco continuerebbe a ruotare "sul posto" .
Il problema della Fisica a livello base è questo: bisogna fare parecchie astrazioni da quella che è la nostra reale esperienza quotidiana. I vincoli non sono lisci, i corpi non sono rigidi...
PPeferpPerfetto.
Mi sto solo riallacciando al commento di navigatore:
"Dopo che ha iniziato la rotazione, il centro disco prosegue a velocità costante mentre il disco rotola, e la forza di attrito statico non c'è più..."
Tutto qui. In passato, mi ero convinto che per il rotolamento di una ruota su di una superficie con attrito non nullo ci fosse sempre la forza d'attrito in gioco. Invece se la ruota si muove a velocita' costante l'attrito non c'e'.
Supponiamo ora che la ruota sia la ruota posteriore di una bicicletta e la bici stia accelerando. In quel caso la forza d'attrito esiste ed e' diretta in avanti. La ruota posteriore e quella in cui il ciclista applica la sua forza. Riguardo alla ruota davanti, possiamo fare lo stesso ragionamento, cioe' la ruota davanti accelera grazie all'attrito statico diretto in avanti?
grazie
astruso83
Mi sto solo riallacciando al commento di navigatore:
"Dopo che ha iniziato la rotazione, il centro disco prosegue a velocità costante mentre il disco rotola, e la forza di attrito statico non c'è più..."
Tutto qui. In passato, mi ero convinto che per il rotolamento di una ruota su di una superficie con attrito non nullo ci fosse sempre la forza d'attrito in gioco. Invece se la ruota si muove a velocita' costante l'attrito non c'e'.
Supponiamo ora che la ruota sia la ruota posteriore di una bicicletta e la bici stia accelerando. In quel caso la forza d'attrito esiste ed e' diretta in avanti. La ruota posteriore e quella in cui il ciclista applica la sua forza. Riguardo alla ruota davanti, possiamo fare lo stesso ragionamento, cioe' la ruota davanti accelera grazie all'attrito statico diretto in avanti?
grazie
astruso83
Una bicicletta "reale" con un ciclista "reale" ha bisogno di ragionamenti diversi dal caso ideale di corpo rigido, disco su piano con un solo punto di contatto….Nel caso reale di corpo deformabile che rotola su un piano, nasce l'attrito volvente tra corpo e piano, dovuto alla deformazione di entrambi. Nel caso della bici, puoi supporre che si deformino solo le gomme, e la strada rimanga indeformata.
Però, invece di pensare subito alla fase di accelerazione, pensa alla fase di moto rettilineo a velocità costante: Se il moto è a velocità costante, vuol dire che la risultante di tutte le forze agenti è zero, no? E allora, a che serve che il ciclista pedali? Dove va a finire tutto il lavoro del ciclista sui pedali?
Tieni presente che la ruota posteriore è la ruota motrice, quella anteriore è condotta. Il lavoro eseguito dal ciclista sui pedali si trasmette alla ruota motrice tramite la catena, e diventa "momento motore" sull'asse della ruota stessa.
Supponi che davanti a te passi una bici a velocità costante, da sinistra verso destra, quindi analizza i momenti e le forze in gioco.
Però, invece di pensare subito alla fase di accelerazione, pensa alla fase di moto rettilineo a velocità costante: Se il moto è a velocità costante, vuol dire che la risultante di tutte le forze agenti è zero, no? E allora, a che serve che il ciclista pedali? Dove va a finire tutto il lavoro del ciclista sui pedali?
Tieni presente che la ruota posteriore è la ruota motrice, quella anteriore è condotta. Il lavoro eseguito dal ciclista sui pedali si trasmette alla ruota motrice tramite la catena, e diventa "momento motore" sull'asse della ruota stessa.
Supponi che davanti a te passi una bici a velocità costante, da sinistra verso destra, quindi analizza i momenti e le forze in gioco.
Grazie navigatore.
Scusa se sembro ripetitivo ma i concetti stanno.
Per essere precisi, riguardo alla ruota che rotola, in base al teorema di Mozzi, si tratta di un moto piano in cui l'atto di moto e' una sempre una pura rotazione attorno al centro di rotazione istantaneo (che cambia da istante a istante).
Come si deve concepire, tecnicamente, questa situazione della ruota che rotola quando la si vede come una composizione rotazione+traslazione del cdm oppure di un altro punto? Di che tipo di decomposizione si tratta? E' decisamente usata in dinamica per decomporre l'energia dell'oggetto....
astruso83
Scusa se sembro ripetitivo ma i concetti stanno.
Per essere precisi, riguardo alla ruota che rotola, in base al teorema di Mozzi, si tratta di un moto piano in cui l'atto di moto e' una sempre una pura rotazione attorno al centro di rotazione istantaneo (che cambia da istante a istante).
Come si deve concepire, tecnicamente, questa situazione della ruota che rotola quando la si vede come una composizione rotazione+traslazione del cdm oppure di un altro punto? Di che tipo di decomposizione si tratta? E' decisamente usata in dinamica per decomporre l'energia dell'oggetto....
astruso83
"astruso83":
…….
Come si deve concepire, tecnicamente, questa situazione della ruota che rotola quando la si vede come una composizione rotazione+traslazione del cdm oppure di un altro punto? Di che tipo di decomposizione si tratta? E' decisamente usata in dinamica per decomporre l'energia dell'oggetto....
astruso83
Si deve concepire come una comodità, e basta. In quanto all'energia cinetica, si può esprimere tutta come energia cinetica di rotazione rispetto al centro di istantanea rotazione: questa possibilità è espressa dal teorema di Koenig.
Da notare che il teorema di Koenig deriva dal teorema del momento di inerzia rispetto ad assi paralleli : il momento di inerzia di un sistema rispetto a un asse è somma del momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo a quello dato e del termine di trasporto, uguale al prodotto della massa supposta concentrata in G per il quadrato della distanza tra gli assi.
Da notare ancora che questo teorema sui momenti di inerzia non ha niente a che fare, nella sua formulazione, con la dinamica, è un teorema di geometria delle masse. MA naturalmente le caratteristiche di inerzia dei corpi sono importanti in dinamica dei sistemi.
E per finire (spero) , si può riguardare la questione del moto del disco sul piano anche con la composizione delle velocità nei moti relativi : velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento (vettori facilmente individuabili nel caso del disco).
"Faussone":
$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $
Dove $hat i$, $hat j$ e $hat k$ sono i versori nelle direzioni $x$, $y$ e $z$ della terna solidale e con $cdot$ si indica il prodotto scalare.
Mi permetto di esumare questo interessantissimo thread segnalatomi da navigatore, che ringrazio ancora, per aggiungere come questo fatto discenda facilmente da quanto spiegato qui alle pp. 96-99 e utilizzando l'identità \((\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})\):\[\frac{d\hat{\jmath}}{dt}\cdot\hat{k}=(\vec{\omega}\wedge\hat{\jmath})\cdot\hat{k} =\vec{\omega}\cdot\hat{\imath}\]\[\frac{d\hat{k}}{dt}\cdot\hat{\imath}=(\vec{\omega}\wedge\hat{k})\cdot\hat{\imath}=\vec{\omega}\cdot\hat{\jmath} \]\[\frac{d\hat{\imath}}{dt}\cdot\hat{\jmath}=(\vec{\omega}\wedge\hat{\imath})\cdot\hat{\jmath} =\vec{\omega}\cdot\hat{k}.\]
Mi sono accorto che, se ben intendo quanto dice Faussone qui, ciò che ho qua sopra scritto non dimostra quello che è appunto lì affermato perché \(\frac{d\hat{\jmath}}{dt}\cdot\hat{k}, \frac{d\hat{k}}{dt}\cdot\hat{\imath},\frac{d\hat{\imath}}{dt}\cdot\hat{\jmath}\) non sono certo le coordinate di \(\vec{\omega}\) espresso nella terna fissa esterna, bensì le coordinate rispetto alla base mobile solidale con il corpo rigido \(\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\}\). 
Quindi direi che ho commesso qualche errore e sarei $\infty$-mente grato a chi lo mettesse in luce...
Quindi direi che ho commesso qualche errore e sarei $\infty$-mente grato a chi lo mettesse in luce...
"DavideGenova":
Mi sono accorto che, se ben intendo quanto dice Faussone qui, ciò che ho qua sopra scritto non dimostra quello che è appunto lì affermato perché \(\frac{d\hat{\jmath}}{dt}\cdot\hat{k}, \frac{d\hat{k}}{dt}\cdot\hat{\imath},\frac{d\hat{\imath}}{dt}\cdot\hat{\jmath}\) non sono certo le coordinate di \(\vec{\omega}\) espresso nella terna fissa esterna, bensì le coordinate rispetto alla base mobile solidale con il corpo rigido \(\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\}\).
Quindi direi che ho commesso qualche errore e sarei $\infty$-mente grato a chi lo mettesse in luce...
Ciao Davide. Avevo visto anche il tuo MP su questo, purtroppo in questi giorni sono stato molto impegnato e non sono riuscito a rispondere.
A dire il vero comunque non mi trovo con quanto dici qui: le componenti di $vec omega$ che ho scritto in quel modo sono espresse come derivate dei versori della terna solidale rispetto al tempo e sono quindi espresse in termini di versori della terna solidale, non in termini di versori della terna fissa esterna.
In una vecchia discussione del 2012 avevo detto questo (ho fatto qualche modifica eliminando spunti polemici inutili) :
Penso che ci sia qualche spunto di riflessione.
"navigatore":
Vuoi parlare del moto di corpi rigidi ? Bene , parliamone :come avviene il moto più generale di un corpo rigido ?
Stabiliamo un osservatore , che definiamo "fisso" , con un suo riferimento $XYZ$ , Un corpo rigido , in moto rispetto ad esso , può avere :
1) un asse fisso . E allora non ci sono Santi : una volta determinato il valore scalare di $\omega$ , il vettore $\vec\omega$ lo vai a mettere su quell'asse . In più, il corpo potrebbe anche scorrere sull'asse , ma questa parte del moto è traslatoria.
2) un punto fisso . Allora ti serve qualche altra informazione : l'asse , appunto , sul quale vai a mettere $\vec\omega$ , di cui già conosci il valore . Ci sono casi notevoli di moti con un punto fisso : ad esempio quello di una trottola simmetrica pesante, dove l'asse di rotazione propria non coincide con l'asse del momento angolare , ma è dotato di un moto di precessione, a causa del momento del peso ...ma non è qui il caso di addentrarci in questo argomento
3) corpo rigido libero . Allora bisogna stabilire un punto QUALSIASI del corpo , $O$ , come origine di un sistema di coordinate $Oxyz$ solidale col corpo mobile , e analizzare il moto come composizione del moto di questo punto e del moto "attorno" a questo punto ....( di solito , si assume il centro di massa del corpo mobile , perchè alcune quantità nel "moto relativo al centro di massa" si semplificano notevolmente).
Chiedo : se il corpo ha una velocità angolare rispetto all'origine assunta, e lo piazzo lì , questa velocità angolare cambia , se cambio l'origine delle coordinate mobili ? In altre parole , il vettore velocità angolare determina l'asse di rotazione ?
Rispondo con due paginette del testo di Meccanica di Landau- Lifsitz , primo volume del corso di Fisica teorica :
Ecco ,la parte importante è quella centrale della pag 150 : la velocità angolare NON CAMBIA , se sposto l'origine delle coordinate in un altro punto $O'$ : essa ha un signficato "assoluto" , dice Landau .
Questo è ciò che più di ogni altra cosa mi premeva sottolineare . Questo è quello che ho fatto, nel portare l'esempio del moto della Terra : poichè mi serviva calcolare le velocità di rotazione del piano tangente peril punto P , ho messo il vettore vel. angolare in P ( Landau me lo consente) , e l'ho scomposto in due direzioni , ottenendo le velocità con cui il piano orizzontale ruota attorno all'asse verticale e all'asse meridiano .
E questo è quello che mi spiegò il famoso professore di Meccanica coi baffi : " non sai dove mettere il vettore vel. angolare , in un corpo libero , perchè in realtà lo puoi mettere dove vuoi , non cambia il suo valore . E non è lui , a stabilire l'asse di rotazione. Leggiti il libro di Landau ! "
Penso che ci sia qualche spunto di riflessione.
"Faussone":Perfetto: quindi i miei calcoli erano corretti.
le componenti di $vec omega$ che ho scritto in quel modo sono espresse come derivate dei versori della terna solidale rispetto al tempo e sono quindi espresse in termini di versori della terna solidale, non in termini di versori della terna fissa esterna.
Grazie di cuore a te e anche a navigatore per la citazione!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo