Il peso dell'anello
Salve ragazzi.
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Risposte
quote:
... non vale cercare su un manuale la formula del volume ... [g.schgor]
e, immagino, non vale partire dalle conclusioni del gesuita svizzero,
o no?
tony
Si, quello e' ammesso (se ancora conosciuto).
io ci provo...ma non garantisco nulla...
allora, ipotiziamo di tagliare il nostro anello in fettine talmente sottili, tali che ognuna è approssimabile con un cilindro, di base A=pi*r^2, dove nel nostro caso r=(14-10)/4, e altezza h(un numero molto piccolo...); il volume del toro è ovviamente la somma dei nostri cilindri di altezza infinitesima...quindi si può scrivere:
V=A*h+A*h+A*h+A*h+...; possiamo raccogliere il termine A, ottenendo:
V=A*(h+h+h+h+h+h+h+....), dove il secondo fattore, equivale alla misura della circonferenza che descrive il centro (sarà chiaro quello che ho detto?[:)]), pertanto il secondo termine equivale a
d*pi, dove d=10+2r; a questo punto abbiamo
V=pi^2*r^2*d...
giusto?
sperando che lo sia, a questo punto possiamo calcolare il peso del nostro anello, sapendo il peso specifico...
m=psp*V=931 g circa...
ciao
allora, ipotiziamo di tagliare il nostro anello in fettine talmente sottili, tali che ognuna è approssimabile con un cilindro, di base A=pi*r^2, dove nel nostro caso r=(14-10)/4, e altezza h(un numero molto piccolo...); il volume del toro è ovviamente la somma dei nostri cilindri di altezza infinitesima...quindi si può scrivere:
V=A*h+A*h+A*h+A*h+...; possiamo raccogliere il termine A, ottenendo:
V=A*(h+h+h+h+h+h+h+....), dove il secondo fattore, equivale alla misura della circonferenza che descrive il centro (sarà chiaro quello che ho detto?[:)]), pertanto il secondo termine equivale a
d*pi, dove d=10+2r; a questo punto abbiamo
V=pi^2*r^2*d...
giusto?
sperando che lo sia, a questo punto possiamo calcolare il peso del nostro anello, sapendo il peso specifico...
m=psp*V=931 g circa...
ciao
Bella questa soluzione approssimata, ma possiamo anche farne una analitica, basta scrivere una parametrizzazione regolare della superficie del toro e poi calcolare il detrminante del jacobiano e integrarlo rispetto alle variabili angolari e di raggio.
Per caso viene 2 \pi^2 r (R-r)^2 il volume del toro di raggi r ed R? L'ho trovata in una riga facendo un integrale a occhio...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
quote:
Originally posted by GIOVANNI IL CHIMICO
basta scrivere una parametrizzazione regolare della superficie del toro e poi calcolare il detrminante del jacobiano e integrarlo rispetto alle variabili angolari e di raggio.
uao...se avessi capito una parola di quello che c'è scritto direi che è un bel metodo...[:)]
ciao
No, la mia e' sicuramente errata. Come non detto. Forse la via corretta e' quindi la parametrizzazione, come giustamente diceva Giovanni.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
quote:
... Forse la via corretta e' quindi la parametrizzazione, come giustamente diceva Giovanni. [Luca.Lussardi]
via che, tra l'altro, ha il solito pregio della semplicità, per cui risulta accessibilissima a chiunque [:D][:D]
tony
ad istinto direi area del cerchio per circonferenza passante per il centro dei cerchi?
in formule (Ri=Raggio interno, Re=Raggio esterno)
sia
R=(Re-Ri)/2
V=2pi(Ri+R)piR^2=2pi^2[(Ri+Re)/2](Re-Ri)^2/4=pi^2(Ri+Re)(Re-Ri)^2/4
fatemi sapere...
in formule (Ri=Raggio interno, Re=Raggio esterno)
sia
R=(Re-Ri)/2
V=2pi(Ri+R)piR^2=2pi^2[(Ri+Re)/2](Re-Ri)^2/4=pi^2(Ri+Re)(Re-Ri)^2/4
fatemi sapere...
quindi risolvendo il problema
Ri=5, Re=7
V=pi^2*12*1=12pi^2
P=V*Ps=12pi^2*7.86=930,90108711074830492846919110832 g
Ri=5, Re=7
V=pi^2*12*1=12pi^2
P=V*Ps=12pi^2*7.86=930,90108711074830492846919110832 g
e io che ho detto?[;)]...
De=14 Re=7
Di=10 Di=5
Dsezione = (14-10)/2=2 Rsezione=1
pi vuol dire pigreco
allora prima calcolo il volume del cilindro circoscritto al toro che si fa pi*Re^2*Dsez= 98pi
poi calcolo il colume del cilindro che si incastra nel toro (con base la circonf interna) che è pi*Ri^2*Dsez = 50pi
faccio la differenza fra i 2 e trovo il volume di un cilindro cavo circoscritto al toro = 48pi
ora calcolo l'area della sezione di questo cilindro cavo, che è pari all'area del quadrato circoscritto alla circonferenza della sezione del toro e quindi Dsez^2 = 4
divido il volume del cilindro cavo per la superficie della sezione ed ottengo 12pi.
il volume del cilindro cavo è dato dal prodotto della supericie della sezione per un certo valore 12pi, che è proprio il raggio della circonferenza passante per i punti in cui il toro "tocca terra" analogamente, siccome il toro è inscritto, il suo volume sarà dato dalla supericie della sezione (che è Rsez^2*pi= pi) moltiplicata per 12pi e quindi il volume diventerà 12pi^2. siccome mi viene il volume uguale a quello calcolato da VECCHIO, mi verrà anche lo stesso peso.
in realtà, il mio procedimento e il suo sono simili, se non identici. però io ho preferito fare tutta la roba prima perchè non ero sicuro che sezione per cinconferenza fosse corretto. ma siccome è corretto per il cilindro cavo circoscritto, lo sarà anche per il toro (o almeno spero).
però tony.. ora io vorrei sapere quali sono le considerazioni del gesuita svizzero e soprattutto chi è....
Di=10 Di=5
Dsezione = (14-10)/2=2 Rsezione=1
pi vuol dire pigreco
allora prima calcolo il volume del cilindro circoscritto al toro che si fa pi*Re^2*Dsez= 98pi
poi calcolo il colume del cilindro che si incastra nel toro (con base la circonf interna) che è pi*Ri^2*Dsez = 50pi
faccio la differenza fra i 2 e trovo il volume di un cilindro cavo circoscritto al toro = 48pi
ora calcolo l'area della sezione di questo cilindro cavo, che è pari all'area del quadrato circoscritto alla circonferenza della sezione del toro e quindi Dsez^2 = 4
divido il volume del cilindro cavo per la superficie della sezione ed ottengo 12pi.
il volume del cilindro cavo è dato dal prodotto della supericie della sezione per un certo valore 12pi, che è proprio il raggio della circonferenza passante per i punti in cui il toro "tocca terra" analogamente, siccome il toro è inscritto, il suo volume sarà dato dalla supericie della sezione (che è Rsez^2*pi= pi) moltiplicata per 12pi e quindi il volume diventerà 12pi^2. siccome mi viene il volume uguale a quello calcolato da VECCHIO, mi verrà anche lo stesso peso.
in realtà, il mio procedimento e il suo sono simili, se non identici. però io ho preferito fare tutta la roba prima perchè non ero sicuro che sezione per cinconferenza fosse corretto. ma siccome è corretto per il cilindro cavo circoscritto, lo sarà anche per il toro (o almeno spero).
però tony.. ora io vorrei sapere quali sono le considerazioni del gesuita svizzero e soprattutto chi è....
Ci provo anche se.... vabbè al massimo mi dite che è sbagliato:
Se taglio il toro parallelamente al raggio trovo due circonfereze. Ciascuna ha raggio:
(R-r)/2
(R-r è il diametro)
L'area di ciascuna di queste è:
pi (R-r)^2/4
Possiamo approssimare il toro come un cilindro nell'intorno di ciascuna di queste circonferenze. Questa approssimazione lineare porterà al risultato giusto visto che l'integrale "legge" solo i termini del primo ordine.
L'area di uno di questi cilindretti è:
pi (R-r)^2/4 dT
Dove dT è l'altezza.
Questo dT è (r+R)/2*d(Theta) infatti (r+R)/2 è il raggio della circonferenza centrata nel centro del toro e passante per il centro di tutte le circonferenze. Ora non resta che integrare il tutto facendo variare Theta fra 0 e 2pi:
V = (1/4) ( pi (R-r) )^2 ( R + r )
Abbiamo il volume. (poi per il peso si moltiplica per il peso specifico)
E' lo stesso risultato di Vecchio, ma lo ho postato per fare vedere un modo più geometrico per fare gli integrali tripli in casi semplici: infatti tutti i discorsi sul dT su theta etc. non erano altro che la scomposizione dell'integrale triplo che si otterrebbe usando il metodo di Giovanni.
Un altro metodo sarebbe quello di usare il teorema di Gauss della divergenza per passare dall'integrale triplo a quello doppio....
Se taglio il toro parallelamente al raggio trovo due circonfereze. Ciascuna ha raggio:
(R-r)/2
(R-r è il diametro)
L'area di ciascuna di queste è:
pi (R-r)^2/4
Possiamo approssimare il toro come un cilindro nell'intorno di ciascuna di queste circonferenze. Questa approssimazione lineare porterà al risultato giusto visto che l'integrale "legge" solo i termini del primo ordine.
L'area di uno di questi cilindretti è:
pi (R-r)^2/4 dT
Dove dT è l'altezza.
Questo dT è (r+R)/2*d(Theta) infatti (r+R)/2 è il raggio della circonferenza centrata nel centro del toro e passante per il centro di tutte le circonferenze. Ora non resta che integrare il tutto facendo variare Theta fra 0 e 2pi:
V = (1/4) ( pi (R-r) )^2 ( R + r )
Abbiamo il volume. (poi per il peso si moltiplica per il peso specifico)
E' lo stesso risultato di Vecchio, ma lo ho postato per fare vedere un modo più geometrico per fare gli integrali tripli in casi semplici: infatti tutti i discorsi sul dT su theta etc. non erano altro che la scomposizione dell'integrale triplo che si otterrebbe usando il metodo di Giovanni.
Un altro metodo sarebbe quello di usare il teorema di Gauss della divergenza per passare dall'integrale triplo a quello doppio....
Innanzitutto mi complimento con jack per la semplicita'
della soluzione: senza conoscere la regola di Guldino, lui l'ha
ricavata con un approccio "approssimato" ineccepibile. Bravo.
E a tony dico:
Do' la mia 'risposta':
Ricaviamo innanzitutto il raggio medio R=(Di+De)/2=6 cm,
ed il raggio della sezione circolare r=(De-Di)/2=1 cm.
La soluzione piu’ elementare e’ l’applicazione della
‘regola di Guldino’ che da’ il volume dei solidi di
rotazione moltiplicando l’area della sezione (in questo caso pi*r^2)
per il percorso di rotazione del suo baricentro (2*pi*R).
Quindi Vol=2*pi*R*pi*r^2=118.4 cm^3 e Peso=Vol*psp=931 g.
Chiarito questo, chiedo ora:
Se l’anello viene diviso in due, tagliandolo verticalmente lungo
il raggio medio R (quindi con sezioni semicircolari, l’una fra R e
R-r, e l’altra fra R e R+r), quale peso avranno rispettivamente i
due anelli?
Ad ulteriore commento sulle possibili soluzioni, devo dire che mi
aspettavo un uso piu' appropriato dei metodi di integrazione.
Malignamente posso osservare che un approccio troppo "teorico"
porta spesso a tali complicazioni, da far desistere dalla sua pratica
applicazione (vero GIOVANNI e davide?)
Cmq, non conoscendo la regola di Guldino, poteva essere applicato
un metodo d’integrazione lungo l’asse verticale (z) della corona
circolare sul piano orizzontale (parallelo a xy).
L’area di questa corona varia infatti con z fra z = -r e z = r
fra un diametro esterno R+sqr(r^2-z^2) e un diametro interno
R-sqr(r^2-z^2).
Integrando quindi in z fra -r ed r la differenza fra queste aree,
si ottiene la formula del volume = 2*R*(pi^2)*(r^2).
(Provare per credere!).
G.Schgör
della soluzione: senza conoscere la regola di Guldino, lui l'ha
ricavata con un approccio "approssimato" ineccepibile. Bravo.
E a tony dico:
Do' la mia 'risposta':
Ricaviamo innanzitutto il raggio medio R=(Di+De)/2=6 cm,
ed il raggio della sezione circolare r=(De-Di)/2=1 cm.
La soluzione piu’ elementare e’ l’applicazione della
‘regola di Guldino’ che da’ il volume dei solidi di
rotazione moltiplicando l’area della sezione (in questo caso pi*r^2)
per il percorso di rotazione del suo baricentro (2*pi*R).
Quindi Vol=2*pi*R*pi*r^2=118.4 cm^3 e Peso=Vol*psp=931 g.
Chiarito questo, chiedo ora:
Se l’anello viene diviso in due, tagliandolo verticalmente lungo
il raggio medio R (quindi con sezioni semicircolari, l’una fra R e
R-r, e l’altra fra R e R+r), quale peso avranno rispettivamente i
due anelli?
Ad ulteriore commento sulle possibili soluzioni, devo dire che mi
aspettavo un uso piu' appropriato dei metodi di integrazione.
Malignamente posso osservare che un approccio troppo "teorico"
porta spesso a tali complicazioni, da far desistere dalla sua pratica
applicazione (vero GIOVANNI e davide?)
Cmq, non conoscendo la regola di Guldino, poteva essere applicato
un metodo d’integrazione lungo l’asse verticale (z) della corona
circolare sul piano orizzontale (parallelo a xy).
L’area di questa corona varia infatti con z fra z = -r e z = r
fra un diametro esterno R+sqr(r^2-z^2) e un diametro interno
R-sqr(r^2-z^2).
Integrando quindi in z fra -r ed r la differenza fra queste aree,
si ottiene la formula del volume = 2*R*(pi^2)*(r^2).
(Provare per credere!).
G.Schgör
Ciao, il mio metodo sarà pure troppo teorico, ma è quello più corretto formalmente. Comunque visto che mi si taccia di essere troppo teorico vi espongo un metodo esclusivamente pratico:
prendo un matraccio graduato con tacche per i millilitri, lo riempo di acqua e registro l'altezza della colonna d'acqua e quindi il suo volume, poi aggiungo l'anello nell'acqua e registro la nuova quota.
la differenza di volume è con buona approssimazione il volume dell'anello.
prendo un matraccio graduato con tacche per i millilitri, lo riempo di acqua e registro l'altezza della colonna d'acqua e quindi il suo volume, poi aggiungo l'anello nell'acqua e registro la nuova quota.
la differenza di volume è con buona approssimazione il volume dell'anello.
Senti, GIOVANNI, mi devi spiegare cosa vuol dire
'piu' formalmente corretto'.
Io ho posto una domanda e mo aspettavo un risultato
(quanti grammi....).
Vedi, come futuro ingegnere credo che tu capisca che la
risposta non puo' essere
e nemmeno con un metodo sperimentale medioevale.
Cmq ho posto un'altra domanda e chiedo una risposta, anzi due
(i pesi delle due "meta'"). Non ha importanza come ci arrivi.
'piu' formalmente corretto'.
Io ho posto una domanda e mo aspettavo un risultato
(quanti grammi....).
Vedi, come futuro ingegnere credo che tu capisca che la
risposta non puo' essere
e nemmeno con un metodo sperimentale medioevale.
Cmq ho posto un'altra domanda e chiedo una risposta, anzi due
(i pesi delle due "meta'"). Non ha importanza come ci arrivi.
Significa che con il metodo del determinate dello jacobiano utilizzo la definizione di elemento infinitesimo di volume coerente con la costruzione di una parametrizzazione regolare di una superficie. Significa questo e nient'altro.
Comunque mi scuso se non ho fornito valori numerici e mi sono introdotto nella vostra discussione con argomenti esclusivamente teorici, spero che la mia intromissione non abbia turbato troppi animi e sopratutto spero di non avere adirato i sacri dei dell'olimpo dell'ingegneria con la mia pretesa di ragionare in maniera eccessivamente formale.
Comunque mi scuso se non ho fornito valori numerici e mi sono introdotto nella vostra discussione con argomenti esclusivamente teorici, spero che la mia intromissione non abbia turbato troppi animi e sopratutto spero di non avere adirato i sacri dei dell'olimpo dell'ingegneria con la mia pretesa di ragionare in maniera eccessivamente formale.
Non hai niente di cui scusarti.
Pero' mi sembra che tu svicoli su un aspetto importante.
Ad un ingegnere non basta la teoria, ma deve saperla applicare
per arrivare a risultati concreti. E questo non e' da poco.
Io sarei interessato a vedere come arrivi ai grammi applicando
l'jacobiano. O non ci provi nemmeno?
Pero' mi sembra che tu svicoli su un aspetto importante.
Ad un ingegnere non basta la teoria, ma deve saperla applicare
per arrivare a risultati concreti. E questo non e' da poco.
Io sarei interessato a vedere come arrivi ai grammi applicando
l'jacobiano. O non ci provi nemmeno?
x GIOVANNI IL CHIMICO:
non te la prendere, chimico:
hai più d'una volta fatto ben capire a tutti che per te è un fiore all'occhiello il ricorso alle più alte vette dei metodi matematici per risolvere il più elementare dei problemi.
sopporta quindi una conseguenza di questo tuo atteggiamento: quelli per cui è un punto d'onore "andare incontro al volgo" esprimendosi nel più semplice dei modi possibili per smitizzare un problema apparentemente complicato, continueranno a canzonarti ad ogni occasione.
consolati, stavolta hai avuto un autorevole appoggio:
x molti altri distratti partecipanti:
noto il plauso multiplo ricevuto dalla soluzione di vecchio;
senza toglier nulla al vecchio, direi che non vi siete accorti che il problema l'aveva già brillantemente risolto jack, con un procedimento per ottenere il risultato analitico esatto (anche se etichettato dal chimico come
"Bella questa soluzione approssimata (*), ma possiamo anche farne una analitica, ..." )
x g.schgoer:
vedo, ahimè, che avevi ragione: "Guldino, questo sconosciuto"
possibile?
e Pappo, allora?
è relegato a curare gli introiti delle due signorine di cui parlavamo al tuo primo post sulla logica booleana? [:)]
tony
(*) la sottolineatura è di tony
non te la prendere, chimico:
hai più d'una volta fatto ben capire a tutti che per te è un fiore all'occhiello il ricorso alle più alte vette dei metodi matematici per risolvere il più elementare dei problemi.
sopporta quindi una conseguenza di questo tuo atteggiamento: quelli per cui è un punto d'onore "andare incontro al volgo" esprimendosi nel più semplice dei modi possibili per smitizzare un problema apparentemente complicato, continueranno a canzonarti ad ogni occasione.
consolati, stavolta hai avuto un autorevole appoggio:
quote:
... Forse la via corretta e' quindi la parametrizzazione, come giustamente diceva Giovanni. [Luca.Lussardi]
x molti altri distratti partecipanti:
noto il plauso multiplo ricevuto dalla soluzione di vecchio;
senza toglier nulla al vecchio, direi che non vi siete accorti che il problema l'aveva già brillantemente risolto jack, con un procedimento per ottenere il risultato analitico esatto (anche se etichettato dal chimico come
"Bella questa soluzione approssimata (*), ma possiamo anche farne una analitica, ..." )
x g.schgoer:
vedo, ahimè, che avevi ragione: "Guldino, questo sconosciuto"
possibile?
e Pappo, allora?
è relegato a curare gli introiti delle due signorine di cui parlavamo al tuo primo post sulla logica booleana? [:)]
tony
(*) la sottolineatura è di tony
x g.schgor
Mi sembra che la mia soluzione sia giusta (almeno come risultato) (se tieni presente il fatto che per me r e' il raggio interno del toro e R quello esterno e quindi il raggio della sezione e': (R-r)/2)... il teorema che ho usato e' proprio quello di Pappo (quando ho integrato in dtheta) che e' un caso particolare di quello che dice Giovanni. Comunque sono daccordo con te nel dire che la soluzione di Jack sia piu' bella della mia visto che si basa su considerazioni piu' intuitive e si vede che ha un ragionamento che va' al di la' del semplice far conti. Tuttavia sono convinto che ti sbagli quando dici che l'approccio piu' teorico non porta a risultati: esso produce i risultati senza bisogno di pensare tutto diventa una mera questione di conti che anche una "scimmia ammaestrata" o un computer deficiente e' in grado di svolgere. Quindi, per quanto piu' brutto, il metodo "teorico" e' senz'altro piu' utile quando si tratta di calcolare volumi per scopi pratici.
Mi sembra che la mia soluzione sia giusta (almeno come risultato) (se tieni presente il fatto che per me r e' il raggio interno del toro e R quello esterno e quindi il raggio della sezione e': (R-r)/2)... il teorema che ho usato e' proprio quello di Pappo (quando ho integrato in dtheta) che e' un caso particolare di quello che dice Giovanni. Comunque sono daccordo con te nel dire che la soluzione di Jack sia piu' bella della mia visto che si basa su considerazioni piu' intuitive e si vede che ha un ragionamento che va' al di la' del semplice far conti. Tuttavia sono convinto che ti sbagli quando dici che l'approccio piu' teorico non porta a risultati: esso produce i risultati senza bisogno di pensare tutto diventa una mera questione di conti che anche una "scimmia ammaestrata" o un computer deficiente e' in grado di svolgere. Quindi, per quanto piu' brutto, il metodo "teorico" e' senz'altro piu' utile quando si tratta di calcolare volumi per scopi pratici.
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