Il peso dell'anello
Salve ragazzi.
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Risposte
beh, ad occhio mi verrebbe da dire che le due parti hanno lo stesso peso (e quindi lo stesso volume), ma usando un metodo più rigoroso,si può vedere ogni parte in cui è diviso il toro, come la rotazione di una semicirconferenza, e quindi il volume è V=A(semicrf)*(circonferenza di raggio Ri+r), per considerazioni analoghe a quelle del mio primo post, per cui
V=pi*r^2/2 *2*pi*(Ri+r)=pi^2*r^2*(Ri+r) (e questa formula la posso applicare sia alla prima che alla seconda parte dell' anello),dove Ri è il raggio minore, e r il raggio della circonferenza sezione... pertanto, poichè questa formula la posso applicare a entrambe le parti del toro, allora i due solidi avranno lo stesso volume, che equivale a metà volume del toro originale, quindi V=V(toro)/2, e quindi P=P(toro)/2=465,5 g circa...
solo una cosa...se la regola di guldino afferma che il volume di un solido di rotazione è uguale all' area della sezione per la circonferenza del baricentro, il baricentro di una semicirconferenza è comunque il centro della circonferenza?è questo il dubbio più grosso, che comprometterebbe le considerazioni sopra fatte...
ciao
V=pi*r^2/2 *2*pi*(Ri+r)=pi^2*r^2*(Ri+r) (e questa formula la posso applicare sia alla prima che alla seconda parte dell' anello),dove Ri è il raggio minore, e r il raggio della circonferenza sezione... pertanto, poichè questa formula la posso applicare a entrambe le parti del toro, allora i due solidi avranno lo stesso volume, che equivale a metà volume del toro originale, quindi V=V(toro)/2, e quindi P=P(toro)/2=465,5 g circa...
solo una cosa...se la regola di guldino afferma che il volume di un solido di rotazione è uguale all' area della sezione per la circonferenza del baricentro, il baricentro di una semicirconferenza è comunque il centro della circonferenza?è questo il dubbio più grosso, che comprometterebbe le considerazioni sopra fatte...
ciao
jack ti sbagli, secondo me non è così. tutto sta nel trovare il baricentro di una semicirconferenza bisogna risovere un problemino di geo piana con un po' di trigonometria così si trova la distanza del bari dal diametro erticale e quindi così si trova il pezzo da aggiungere (nel caso del semitoro esterno) e da togliere (semitoro interno) per calcolare il raggio della circonferenza di rotazione. cmq anche intuitivamente non possono essere uguali... sarebbe pressapoco come dire che in un circuito d'atletica, i corridori all'interno fanno la stessa strada di quelli all'esterno.
ok, immaginavo che ci fosse qualcosa che non andava...anch' io avevo pensato a trovare il baricentro di una semicirconferenza, però mi ero incasinato con i calcoli [:D]...
ciao
ciao
x Marco83
Sono d'accordo con te, ma mi permetto di ribatterti che Guldino non conosceva il calcolo multidimensionale ne tanto meno lo Jacobiano (le matrici sono "nate" a fine 800) egli dimostro' il suo teorema passando per altre vie (anche se oggi in tutti i corsi di Analisi si presenta la cosa come se lo Jacobiano e la matrici fossero state scoperte all'epoca della ruota.)
Sono d'accordo con te, ma mi permetto di ribatterti che Guldino non conosceva il calcolo multidimensionale ne tanto meno lo Jacobiano (le matrici sono "nate" a fine 800) egli dimostro' il suo teorema passando per altre vie (anche se oggi in tutti i corsi di Analisi si presenta la cosa come se lo Jacobiano e la matrici fossero state scoperte all'epoca della ruota.)
quote:
, però mi ero incasinato con i calcoli [:D]...
guarda, se può farti piacere, siamo in 2 [:D] è per questo ce ho postato solo il metodo a parole e non ho dato alcun risultato.. chissà.. forse col metodo magico jacobiano vattelapesca ciropizza del determinante tiziocaio si fa prima che calcolare il baricentro (sempre che sia giusto dover calcolare il baricentro)
La soluzione del secondo quesito (i pesi delle due parti di anello)
e’ rimasta senza risposte
In parte era prevedibile, in quanto se si utilizza la semplice regola di Guldino,
rimane il dilemma di determinare la posizione dei rispettivi baricentri.
Ma io avevo indicato anche la soluzione con l’integrazione diretta
per ricavare i volumi.
Vediamo quindi prima la soluzione con Guldino.
Consideriamo la sezione circolare dell’anello (di raggio r) con centro
sull’asse x , distante R dall’origine e ruotante rispetto all’asse verticale z.
Dividendo verticalmente in due tale sezione si hanno due semicerchi,
l’uno fra R ed R+r (esterno), l’altro fra R ed R-r (interno).
Se invece di semicerchi fossero triangoli (sempre simmetrici rispetto
all’asse x), il baricentro sarebbe determinato dall’incontro delle mediane
Ma per il semicerchio?
Bisogna seguire la definizione di baricentro(centro di equilibrio del peso,
cioe’ dei ‘momenti’ che tenderebbero a far ruotare la figura), ricorrendo
al calcolo integrale.
La posizione del baricentro e’ data dall’integrale fra 0 ed r di x*2z in dx,
diviso per l’area della figura.
Ovviamente nel caso del cerchio e’ z = sqr(r^2-x^2).
Nel nostro caso la posizione del baricentro rispetto al taglio (raggio R)
risulta 0.424 cm, quindi i due baricentri risultano quindi rispettivamente:
R+0,424=6.242 cm ed R-0.424=5.576 cm.
Da questi, applicando Guldino, otteniamo i rispettivi volumi, quindi i pesi.
Risulta per quello esterno Vol = 63.4 cm^3 e Peso = 498.4 g,
e per quello interno Vol = 55.0 cm^3 e Peso = 432.5 g (ovviamente
la somma dei due pesi equivale a quello dell’anello originario).
E’ interessante notare che se per la determinazione dei volumi si fosse
ricorsi all’integrazione diretta (anziche’ ricorrere a Guldino) si sarebbe
dovuto utilizzare lo stesso integrale in z (fra –r e +r) visto per l’anello*),
limitando le aree delle corone circolari fra R ed R+r o rispettivamnete
fra R ed R-r (procedimento quindi concettualmente piu’ semplice, ma
maggiormente impegnativo nell’esecuzione).
....................
*) Data l’importanza dell’argomento (che pero’ non mi sembra stato recepito)
ripeto qui il ragionamento.
Se la sezione e’ disegnata sul piano verticale zx e ruota attorno all’asse z,
sul piano orizzontale xy si ha una corona circolare con raggi uguali ai
valori minimo e massimo della figura in corrispondenza dell’asse x.
Ora, esprimendo questi raggi in funzione di z , si puo’ integrare l’area della
corona per ogni valore di z compreso tra il punto inferiore e superiore
della figura, ottenendo il volume del solido di rotazione.
(Provate. E se non ci riuscite, ditemelo).
G.Schgör
e’ rimasta senza risposte
In parte era prevedibile, in quanto se si utilizza la semplice regola di Guldino,
rimane il dilemma di determinare la posizione dei rispettivi baricentri.
Ma io avevo indicato anche la soluzione con l’integrazione diretta
per ricavare i volumi.
Vediamo quindi prima la soluzione con Guldino.
Consideriamo la sezione circolare dell’anello (di raggio r) con centro
sull’asse x , distante R dall’origine e ruotante rispetto all’asse verticale z.
Dividendo verticalmente in due tale sezione si hanno due semicerchi,
l’uno fra R ed R+r (esterno), l’altro fra R ed R-r (interno).
Se invece di semicerchi fossero triangoli (sempre simmetrici rispetto
all’asse x), il baricentro sarebbe determinato dall’incontro delle mediane
Ma per il semicerchio?
Bisogna seguire la definizione di baricentro(centro di equilibrio del peso,
cioe’ dei ‘momenti’ che tenderebbero a far ruotare la figura), ricorrendo
al calcolo integrale.
La posizione del baricentro e’ data dall’integrale fra 0 ed r di x*2z in dx,
diviso per l’area della figura.
Ovviamente nel caso del cerchio e’ z = sqr(r^2-x^2).
Nel nostro caso la posizione del baricentro rispetto al taglio (raggio R)
risulta 0.424 cm, quindi i due baricentri risultano quindi rispettivamente:
R+0,424=6.242 cm ed R-0.424=5.576 cm.
Da questi, applicando Guldino, otteniamo i rispettivi volumi, quindi i pesi.
Risulta per quello esterno Vol = 63.4 cm^3 e Peso = 498.4 g,
e per quello interno Vol = 55.0 cm^3 e Peso = 432.5 g (ovviamente
la somma dei due pesi equivale a quello dell’anello originario).
E’ interessante notare che se per la determinazione dei volumi si fosse
ricorsi all’integrazione diretta (anziche’ ricorrere a Guldino) si sarebbe
dovuto utilizzare lo stesso integrale in z (fra –r e +r) visto per l’anello*),
limitando le aree delle corone circolari fra R ed R+r o rispettivamnete
fra R ed R-r (procedimento quindi concettualmente piu’ semplice, ma
maggiormente impegnativo nell’esecuzione).
....................
*) Data l’importanza dell’argomento (che pero’ non mi sembra stato recepito)
ripeto qui il ragionamento.
Se la sezione e’ disegnata sul piano verticale zx e ruota attorno all’asse z,
sul piano orizzontale xy si ha una corona circolare con raggi uguali ai
valori minimo e massimo della figura in corrispondenza dell’asse x.
Ora, esprimendo questi raggi in funzione di z , si puo’ integrare l’area della
corona per ogni valore di z compreso tra il punto inferiore e superiore
della figura, ottenendo il volume del solido di rotazione.
(Provate. E se non ci riuscite, ditemelo).
G.Schgör
Chiudo questo argomento, completando le soluzioni.
Speravo che qualcuno, seguendo le indicazioni fornite,
arrivasse a scrivere e risolvere gli integrali per calcolare
i volumi chiesti. Ma questo non e’ avvenuto (o almeno
non e’ stato reso noto)
Allora riporto la figura esplicativa e l’integrale relativi
alla parte di anello esterna (la fig. mostra solo 1/4 del solido
considerato e non e’ in scala).
E’ evidente che il volume sia ottenibile integrando le aree
delle corone circolari (in nero), tra z = -r e z = +r.
L’espressione da integrare e’ quindi quella indicata, ed il
risultato e’ ottenuto direttamente con l’uso di Mathcad.
A chi obiettasse che non tutti dispongono di Mathcad,
rispondo che questo e’ si’ molto utile, ma che in questo caso
potrebbe essere sostituito da qualsiasi linguaggio di
programmazione si abbia a disposizione.
Applicando infatti l’integrazione numerica, si puo’ infatti
trasformare l’integrale in una sommatoria, risolvendo cosi’ il
problema con calcolo approssimato.
(per comodita’ uso qui ancora Mathcad, ma e’ elementare la
trasformazione in qualsiasi altro linguaggio).
Conclusione: con il calcolatore si possono risolvere problemi
non proprio elementari anche senza ricorrere a programmi sofisticati.
Basta ragionare (e, naturalmente, saper usare il calcolatore)
Meditate, ragazzi. Meditate
G.Schgör
Speravo che qualcuno, seguendo le indicazioni fornite,
arrivasse a scrivere e risolvere gli integrali per calcolare
i volumi chiesti. Ma questo non e’ avvenuto (o almeno
non e’ stato reso noto)
Allora riporto la figura esplicativa e l’integrale relativi
alla parte di anello esterna (la fig. mostra solo 1/4 del solido
considerato e non e’ in scala).
E’ evidente che il volume sia ottenibile integrando le aree
delle corone circolari (in nero), tra z = -r e z = +r.
L’espressione da integrare e’ quindi quella indicata, ed il
risultato e’ ottenuto direttamente con l’uso di Mathcad.
A chi obiettasse che non tutti dispongono di Mathcad,
rispondo che questo e’ si’ molto utile, ma che in questo caso
potrebbe essere sostituito da qualsiasi linguaggio di
programmazione si abbia a disposizione.
Applicando infatti l’integrazione numerica, si puo’ infatti
trasformare l’integrale in una sommatoria, risolvendo cosi’ il
problema con calcolo approssimato.
(per comodita’ uso qui ancora Mathcad, ma e’ elementare la
trasformazione in qualsiasi altro linguaggio).
Conclusione: con il calcolatore si possono risolvere problemi
non proprio elementari anche senza ricorrere a programmi sofisticati.
Basta ragionare (e, naturalmente, saper usare il calcolatore)
Meditate, ragazzi. Meditate
G.Schgör
ciao G.Schgör daresti un okkiata al topic da me posto sull ottimizzazione di una funzione??
hihi non so quanto ci possano aver capito gli altri.. io pochino, visto che sono ancora in 5 liceo e per ora ho fatto solo gli integrali indefiniti 
:D cmq è normale.. questo è il forum per l'università.
:D cmq è normale.. questo è il forum per l'università.
x giacor86
Con l'ultima illustrazione credevo di essere stato chiaro anche
per uno del liceo.
In effetti il volume di un solido di rotazione si puo' ottenere
integrando (cioe' sommando infiniti infinitesimi) la superficie
di ogni infinitesima "fetta" di solido perpendicolare all'asse
di rotazione.
In questo caso la "fetta" e' una corona circolare che ha come raggio
interno R e raggio esterno R+radice(r^2-z^2) .
(Infatti l'equazione del cerchio che costituisce la sezione e'
(x-R)^2 + z^2 = r^2).
Integrando quindi l'espressione dell'area della sezione circolare
fra z = -r e z = +r, si ottiene il volume.
Naturalmente puo' non essere facile al liceo svolgere questo integrale.
Ma (ed e' questo che ho cercato di sottolineare) se uno capisce il concetto
puo' limitarsi a fare un calcolo numerico approssimato, sommando
un numero "discreto" (cioe' limitato, non infinito) di sezioni.
Utilizzando un calcolatore, questo metodo puo' essere applicato un numero di
volte cosi' elevato (io ho usato N=1000) da ottenere in pratica lo stesso risultato.
Grazie alle potenzialita' del calcolatore, si possono quindi ridurre
la difficolta' di calcolo. Ed e' questo che mi sforzo di far capire.
G.Schgör
Con l'ultima illustrazione credevo di essere stato chiaro anche
per uno del liceo.
In effetti il volume di un solido di rotazione si puo' ottenere
integrando (cioe' sommando infiniti infinitesimi) la superficie
di ogni infinitesima "fetta" di solido perpendicolare all'asse
di rotazione.
In questo caso la "fetta" e' una corona circolare che ha come raggio
interno R e raggio esterno R+radice(r^2-z^2) .
(Infatti l'equazione del cerchio che costituisce la sezione e'
(x-R)^2 + z^2 = r^2).
Integrando quindi l'espressione dell'area della sezione circolare
fra z = -r e z = +r, si ottiene il volume.
Naturalmente puo' non essere facile al liceo svolgere questo integrale.
Ma (ed e' questo che ho cercato di sottolineare) se uno capisce il concetto
puo' limitarsi a fare un calcolo numerico approssimato, sommando
un numero "discreto" (cioe' limitato, non infinito) di sezioni.
Utilizzando un calcolatore, questo metodo puo' essere applicato un numero di
volte cosi' elevato (io ho usato N=1000) da ottenere in pratica lo stesso risultato.
Grazie alle potenzialita' del calcolatore, si possono quindi ridurre
la difficolta' di calcolo. Ed e' questo che mi sforzo di far capire.
G.Schgör
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