Il peso dell'anello
Salve ragazzi.
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Vi propongo un problemino.
Chiedo quanti grammi pesa un anello di ferro a sezione circolare
(figura geometrica detta ‘toro’) dati i diametri interno (Di=10 cm)
ed esterno (De=14 cm), con peso specifico psp=7.86 g/cm^3.
Perche’ non sia banale, non vale cercare su un manuale la
formula del volume: bisogna ricavarla con un ragionamento
matematico-geometrico.
(Mi interessa cioe’ vedere in che modo affrontate questo problema).
Risposte
Permettetemi di porvi una domanda:ma che differenza c'è tra usare il teorema di guldino e usare il determinate jacobiano? Sono entrambi due risultati "teorici" , e fra i due mi sembra più intuitivo il metodo del determinante del jacobiano, anche per la sua semplice interpretazione geometrica, più che un oscuro teorema che prende in considerazione baricetri e quant'altro.
E sopratutto voi che criticate il mio eccesso di formalisimo, e di teoria, sapreste dimostrare il teorema di cui vi dichiarate entusiasti sostenitori?
E sopratutto voi che criticate il mio eccesso di formalisimo, e di teoria, sapreste dimostrare il teorema di cui vi dichiarate entusiasti sostenitori?
Giovanni , facci vedere una applicazione a questo caso specifico del determinante Jacobiano.
Camillo
Camillo
Mi sembra lapalissiana, in quanto che definita una parametrizzazione regolare definita da R^3->R^3 del toro, nelle variabili r, theta, phi, l'elemento di volume è dV=|det(J)|dr*dtheta*dphi
e quindi V=int[0-r](int[0-2*3.14](int[0-2*3.14]|det(J)|dtheta)*dphi)*dr
e quindi V=int[0-r](int[0-2*3.14](int[0-2*3.14]|det(J)|dtheta)*dphi)*dr
forse hai ragione, chimico dicendo
effettivamente, cercando di spiegare ad un bimbo di 10 anni che il volume di un salsicciotto (ben ripiegato in modo da formare un toro) è uguale alla somma dei volumi delle 100 fette sottili in cui lo posso tagliare, mi son sentito rispondere, con un'occhiata di commiserazione:
"perchè mo' fai 'sti giri di parole complicati? mi vuoi nascondere la cosa lapalissianamente intuitiva, cioè che
'basta scrivere una parametrizzazione regolare della superficie del toro e poi calcolare il detrminante del jacobiano e integrarlo rispetto alle variabili angolari e di raggio', come ha così chiaramente detto il chimico ? "
quel giorno più non gli insegnammo avanti.
tony
quote:
... che differenza c'è tra usare il teorema di guldino e usare il determinate jacobiano? Sono entrambi due risultati "teorici" , e fra i due mi sembra più intuitivo il metodo del determinante del jacobiano, ... [GIOVANNI IL CHIMICO]
effettivamente, cercando di spiegare ad un bimbo di 10 anni che il volume di un salsicciotto (ben ripiegato in modo da formare un toro) è uguale alla somma dei volumi delle 100 fette sottili in cui lo posso tagliare, mi son sentito rispondere, con un'occhiata di commiserazione:
"perchè mo' fai 'sti giri di parole complicati? mi vuoi nascondere la cosa lapalissianamente intuitiva, cioè che
'basta scrivere una parametrizzazione regolare della superficie del toro e poi calcolare il detrminante del jacobiano e integrarlo rispetto alle variabili angolari e di raggio', come ha così chiaramente detto il chimico ? "
quel giorno più non gli insegnammo avanti.
tony
Ok, certo che a spiegarlo ad un bambino il Jacobiano ci si fa ridere in faccia, ma se uno ha un minimo di esperienza di analisi e calcolo vettoriale....
Scusate se intervengo nel sempre piu' strano dibattito.
Ma nessuno risponde con soluzioni.
Faccio mia l'esortazione di camillo:
.....facci vedere l'applicazione del determinante jacobiano.
(non basta la generica sfilza di integrali, devi definire det(J ))
Ma, a parte questo, possibile che nessuno trovi una via piu' semplice?
A david e rispondo: non sono contrario ai metodi piu' generali,
ma osservo che spesso questi portano a complicazioni nell'applicazione
concreta (soprattutto nei casi "semplici").
Rimango in attesa....
Ma nessuno risponde con soluzioni.
Faccio mia l'esortazione di camillo:
.....facci vedere l'applicazione del determinante jacobiano.
(non basta la generica sfilza di integrali, devi definire det(J ))
Ma, a parte questo, possibile che nessuno trovi una via piu' semplice?
A david e rispondo: non sono contrario ai metodi piu' generali,
ma osservo che spesso questi portano a complicazioni nell'applicazione
concreta (soprattutto nei casi "semplici").
Rimango in attesa....
Buonanotte ragazzi! come faccio a scrivervi la matrice sul forum? Vi lascio alla vostra folle discussione...e intanto neanche voi avete risposto alla mia richiesta di enunciare una dimostrazione del Teorema di Guldino...cari saluti
Ti faccio l'esempio di come scrivere una matrice ( numerica ) :
[2, 3, 5 ;1 ,5 6 ; 4, 8, 14 ] ecco una matrice 3x3 .
Determinante hessiano :
H(x,y) = [Fxx(x,y),Fxy(x,y);Fxy(x,y),Fyy(x,y)]
Camillo
[2, 3, 5 ;1 ,5 6 ; 4, 8, 14 ] ecco una matrice 3x3 .
Determinante hessiano :
H(x,y) = [Fxx(x,y),Fxy(x,y);Fxy(x,y),Fyy(x,y)]
Camillo
Grazie Camillo, questo lo sapevo già fare, intendevo dire che serve a poco scrivere tutta la matrice ed il calcolo del determinante, tanto il discorso del determinate del jacobiano e della parametrizzazione regolare evidentemente non piace perchè troppo astratto, mi dispiaie d'altra parte all'università adesso le cose si fanno con un approccio formale "alto" sia in analisi che in tanti altri corsi e io le cose le so fare così.
No, GIOVANNI, non ci siamo.
Considerami un nonno brontolone, ma guarda che non e'
questione di stile.
Ripeto: se un matematico puro puo' essere indifferente
all'applicazione, un ingegnere non puo' esserlo.
Vedi, io contesto anche l'affermazione di david e
quando dice che se uno sa la teoria poi un "qualsiasi
computer deficiente lo sa svolgere".
Non e' cosi'.
Se non "imposti correttamente" il problema, nessum computer
ti dara' la risposta giusta (anche se usi il piu' sofisticato
dei software e la piu' brillante delle teorie).
Mi spiace che tu ne faccia una questione personale, ma cerco
solo di aiutarti, chiedendoti almeno di provarci ad applicare
la teoria che ti affascina, ad un caso concreto.
Considerami un nonno brontolone, ma guarda che non e'
questione di stile.
Ripeto: se un matematico puro puo' essere indifferente
all'applicazione, un ingegnere non puo' esserlo.
Vedi, io contesto anche l'affermazione di david e
quando dice che se uno sa la teoria poi un "qualsiasi
computer deficiente lo sa svolgere".
Non e' cosi'.
Se non "imposti correttamente" il problema, nessum computer
ti dara' la risposta giusta (anche se usi il piu' sofisticato
dei software e la piu' brillante delle teorie).
Mi spiace che tu ne faccia una questione personale, ma cerco
solo di aiutarti, chiedendoti almeno di provarci ad applicare
la teoria che ti affascina, ad un caso concreto.
no, non ci siamo capiti....la teoria che mi affascina l'ho già applicata a dovere nell'apposito compito di Analisi 2 che giustappunto prevedeva il calcolo del Volume di un toro, quindi se vuoi farmi riflettere sulle possibilità di applicazione di questo metodo io ti rispondo che già le conosco e ne sono convinto.
Poi se vogliamo ragionare su casi in cui la teoria delle trasformazioni di coordinate e soci di cui è figlio il jacobiano non funziona a me sta benissimo, anzi ho uno specifico esercizio da proporvi, però per il calcolo del volume di un toro mi chiedo perchè tutta questa avversione all'uso della teoria "analitica".
Poi se vogliamo ragionare su casi in cui la teoria delle trasformazioni di coordinate e soci di cui è figlio il jacobiano non funziona a me sta benissimo, anzi ho uno specifico esercizio da proporvi, però per il calcolo del volume di un toro mi chiedo perchè tutta questa avversione all'uso della teoria "analitica".
Io ribadisco il mio interesse( sincero) e la mia curiosità ( pure sincera) a vedere una soluzione che coinvolga l'uso del determinante Jacobiano e di quant'altro sia necessario.
Attendo fiducioso.
Camillo
Attendo fiducioso.
Camillo
In serata vedrò di postare qualcosa, adesso devo studiare...
Intanto ho fatto la verifica e anche col mio metodo viene 931.89 g quindi circa 931 g, più tardi posto il procedimento svolto con Mathcad.
x g.schgor
Se volessi calcolare il volume o la massa o la matrice di inerzia di una motocicletta o di un aereo o di un sottomarino come farei utilizzando considerazioni intuitive? E' impossibile! L'unica soluzione e' disegnarlo (col CAD) al computer e farglielo "integrare" (si tratta di integrazione numerica per cui non e' esattamente equivalente all'integrale) e il processo e' automatico e a prova di idiota se il software e' programmato bene (e fa lo Jacobiano e tutto il resto come dice Giovanni).
L'alternativa e' quella di scomporre l'aereo in cilindri, cubi, piramidi etc. ma se faccio i calcoli cosi' tu hai il coraggio di salirci sopra una volta che e' realizzato?
PS: Non mi chidere di applicarlo al metodo del Toro perche':
1. Non saprei farlo
2. Ci vorrebbe molto piu' tempo che a fare il conto a mano.
PS2: Tutto cio' non toglie che le soluzioni semplici per problemi semplici siano molto piu' belle da vedere di quelle "teoriche".
Se volessi calcolare il volume o la massa o la matrice di inerzia di una motocicletta o di un aereo o di un sottomarino come farei utilizzando considerazioni intuitive? E' impossibile! L'unica soluzione e' disegnarlo (col CAD) al computer e farglielo "integrare" (si tratta di integrazione numerica per cui non e' esattamente equivalente all'integrale) e il processo e' automatico e a prova di idiota se il software e' programmato bene (e fa lo Jacobiano e tutto il resto come dice Giovanni).
L'alternativa e' quella di scomporre l'aereo in cilindri, cubi, piramidi etc. ma se faccio i calcoli cosi' tu hai il coraggio di salirci sopra una volta che e' realizzato?
PS: Non mi chidere di applicarlo al metodo del Toro perche':
1. Non saprei farlo
2. Ci vorrebbe molto piu' tempo che a fare il conto a mano.
PS2: Tutto cio' non toglie che le soluzioni semplici per problemi semplici siano molto piu' belle da vedere di quelle "teoriche".
Un attimo, i programmi di calcolo delle strutture siano esse complesse come aerei o più semplici non usano certamente il jacobiano, ma usano metodi puramente numerici che sono equivalenti in 3d del metodo dei rettangoli o metodi tipo montecarlo, tanto è vero che uno dei problemi propri dell'analisi numerica è la costruzione di ricoprimenti reticolari dei domini (spezzettare il dominio in sottodomini di dimensioni tendenti a zero) che ottimizzino il ricoprimento e rendano minimi gli errori di discretizzazione.
Si, ma la teoria su cui si poggiano e' quella dell'integrazione multipla. Se questa non esistesse non esisterebbero nemmeno i metodi che la approssimano e allora sarebbe un bel guaio progettare strutture complicate....
Comunque, effettivamente, l'esempio che ho fatto effettivamente non era molto azzeccato anche se fa capire che l'utilita' del Calcolo non si vede su quelle semplici (per cui non serve) ma su quelle complesse....
Comunque, effettivamente, l'esempio che ho fatto effettivamente non era molto azzeccato anche se fa capire che l'utilita' del Calcolo non si vede su quelle semplici (per cui non serve) ma su quelle complesse....
A mio modesto parere mi sembra che si stia sprecando un sacco di tempo per niente.
Giovanni ha usato la parametrizzazione quando anch'io avrei usato Guldino. Onestamente (benchè non mi ricordi la dimostrazione) credo che anche per arrivare al teorema di Guldino si passi attraverso un'analisi dello jacobiano della trasformazione di coordinate, pertanto i due approcci a me sembrano del tutto equivalenti da un punto di vista formale.
Il fatto che molta gente biasimi del tutto i metodi formali di Giovanni credo che non sia del tutto positivo. In passato un ingegnere doveva dotarsi di manuale del progettista e sparare formule approssimate a più non posso, utilizzando ogni tipo di escamotage per evitare di far conti. Ad oggi, grazie alla crescente automazione dei processi di progettazione, un approccio più formale che privilegi la metodicità sull'astuzia risulta più adatto alle tecnologie correnti.
Per dirla tutta, il calcolatore usa lo jacobiano e non Guldino!
Venendo al pratico, io stò effettuando la verifica aeroelastica (numerica e sperimentale) di una torre di un ponte sospeso. Beh, sareste sorpresi dallo scoprire quanto utile si riveli un approccio formalmente corretto che il calcolatore rende anche praticamente realizzabile.
Giovanni ha usato la parametrizzazione quando anch'io avrei usato Guldino. Onestamente (benchè non mi ricordi la dimostrazione) credo che anche per arrivare al teorema di Guldino si passi attraverso un'analisi dello jacobiano della trasformazione di coordinate, pertanto i due approcci a me sembrano del tutto equivalenti da un punto di vista formale.
Il fatto che molta gente biasimi del tutto i metodi formali di Giovanni credo che non sia del tutto positivo. In passato un ingegnere doveva dotarsi di manuale del progettista e sparare formule approssimate a più non posso, utilizzando ogni tipo di escamotage per evitare di far conti. Ad oggi, grazie alla crescente automazione dei processi di progettazione, un approccio più formale che privilegi la metodicità sull'astuzia risulta più adatto alle tecnologie correnti.
Per dirla tutta, il calcolatore usa lo jacobiano e non Guldino!
Venendo al pratico, io stò effettuando la verifica aeroelastica (numerica e sperimentale) di una torre di un ponte sospeso. Beh, sareste sorpresi dallo scoprire quanto utile si riveli un approccio formalmente corretto che il calcolatore rende anche praticamente realizzabile.
Volevo solo vedere ( e non credo di essere il solo) una applicazione dello Jacobiano a questo caso specifico, cosa che per altro Giovanni il chimico aveva promesso di fare .
Ma non l'ho ancora vista : attendo sempre fiducioso.
Io non biasimo proprio nulla ; mi sembra che a volte si usino metodi potentissmi per risolvere problemi semplici .
Dato che non conosco questo metodo mi piaceva vederlo applicato fino in fondo alla risoluzione di questo problema.Tutto qui.
Camillo
Ma non l'ho ancora vista : attendo sempre fiducioso.
Io non biasimo proprio nulla ; mi sembra che a volte si usino metodi potentissmi per risolvere problemi semplici .
Dato che non conosco questo metodo mi piaceva vederlo applicato fino in fondo alla risoluzione di questo problema.Tutto qui.
Camillo
Mi associo ancora a camillo nell'attesa di veder
applicato l'Jacobiano.
Ma intanto nessuno ha ancora risposto al secondo quesito
(post del 18/4: quanto pesano i due anelli ricavati dal toro originale?)
Eppure non e' cosi' difficile (e l'impostazione e' praticamente uguale
a quanto gia' illustrato). Attendo anche questo.
applicato l'Jacobiano.
Ma intanto nessuno ha ancora risposto al secondo quesito
(post del 18/4: quanto pesano i due anelli ricavati dal toro originale?)
Eppure non e' cosi' difficile (e l'impostazione e' praticamente uguale
a quanto gia' illustrato). Attendo anche questo.
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