Grandezze Scalari e Vettori

[Bad90]

Quesito 1

a) Uno scalare può essere negativo? b) Il modulo di un vettore può essere negativo? c) La componente di un vettore può essere negativa? Spiega.

Risposta

a) Uno scalare, non può essere negativo, basti pensare ad un peso, ad un’altezza.
b) Il modulo del vettore non può essere negativo, per questo basti pensare al teorema del grande Pitagora.
c) La componente di un vettore, può essere positiva, negativa e nulla. Per comprendere il concetto, si può fare riferimento alla trigonometria e dunque ai concetti di sen α e cos α. Spiegando in termini trigonometrici, si può utilizzare come esempio, la circonferenza goniometrica, dove si hanno i quattro quadranti di un sistema di assi cartesiani, x y, con centro di origine O che è il centro della stessa circonferenza, dove un vettore C, può essere rappresentato da un modulo (si intende l’intensità, cioè la distanza tra due punti) e dalla direzione (cioè dall’angolo α), oppure direttamente dal componenti:
$ C_x = Ccos alpha $
$ C_y = Csen alpha $

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Quesito 13

Il vettore $ V=i+j+k $ ha un modulo $V=sqrt(3)$.
''''''''''''''''''''''
a) Il modulo del vettore$ U= sqrt(3) $
b) Il modulo del vettore $W=sqrt(3)$

Esatto!

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Quesito 14

Un vettore posizione giace nel terzo quadrante del piano$ xy$. Qual’ è il segno di ciascuna delle sue componenti?

Risposta

Il segno delle sue componenti, indicate in questo caso$ Cx i$ e $Cy j$, sono entrambi negative.

Esatto !

[Bad90]

Quesito 15
Un vettore $ F=Fx i + Fyj + Fzk $ , giace nel piano $ yz $. Qual è il valore della sua componente$ x, Fx$

Risposta

Il valore della componente $x, Fx $ è zero, in quanto il vettore è posizionato sul piano$ yz$, avendo così le coordinate di$ yz$ che lo definiscono.

[Bad90]

Queito 16

Passando da un sistema di coordinate a un altro con gli assi orientati in modo diverso, i versori $ i,j,k $ rimangono gli stessi? Spiega.

Risposta

Si, i versori restano gli stessi che erano prima delle rotazioni delle terne d’assi, in quanto i versori sono delle grandezze che si trovano rispettivamente sugli assi.

[Bad90]

Quesito 17

Quali sono le componenti del versore $ j $ ?

Risposta

In fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da quattro elementi:
a) modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura);
b) direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
c) verso: il verso è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
d) punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale.

Noi per il momento preferiamo trattare solo i primi tre componenti, quindi sapendo che la lettera $ j $ indica il versore, la sua componente è un valore assoluto, cioè un valore unitario, quindi si può rappresentare così
$ | j | = 1$

[peppe.carbone.90]

"Bad90":Quesito 17

Quali sono le componenti del versore j ?

La prima parte della risposta che riporti mi sembra che non c'entri molto, in quanto è una mini introduzione al concetto di vettore in fisica.
La seconda parte (Noi per il momento...) non sono sicuro di averla capita. I "primi tre componenti" di cui parli sarebbero i punti a), b) e c)? Se così è, significa che hai interpretato male la domanda. Per componenti del versore non si intendono quelli scritti da te (che invece sono i fattori che caratterizzano un vettore in fisica), ma si intendono le proiezioni sugli assi cartesiani del vettore (ovvero le coordinate della "punta" del vettore, se esso è spiccato dall'origine del sistema di riferimento cartesiano).

Il versore $hat j$ è quello che solitamente giace sull'asse $y$ ed è ad esso equiverso. Giusto che ha modulo unitario, essendo versore, ma la domanda chiede quali siano le sue componenti.

Se stiamo ragionando nel piano, il versore suddetto ha due componenti, $j_x$ e $j_y$ che valgono rispettivamente $0$ ed $1$. In sintesi:

$hat j = (j_x,j_y) = (0,1)$

Se siamo nello spazio, il versore ha componenti:

$hat j = (j_x,j_y,j_z) = (0,1,0)$

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Quesito 15
Un vettore $ F=Fx i + Fyj + Fzk $ , giace nel piano $ yz $. Qual è il valore della sua componente$ x, Fx$

Risposta

Il valore della componente $x, Fx $ è zero, in quanto il vettore è posizionato sul piano$ yz$, avendo così le coordinate di$ yz$ che lo definiscono.

Si, ma quando parli di vettori devi dire " componenti" , non "coordinate"

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Queito 16

Passando da un sistema di coordinate a un altro con gli assi orientati in modo diverso, i versori $ i,j,k $ rimangono gli stessi? Spiega.

Risposta

Si, i versori restano gli stessi che erano prima delle rotazioni delle terne d’assi, in quanto i versori sono delle grandezze che si trovano rispettivamente sugli assi.

La domanda è posta male: i versori della terna precedente non cambiano, ruotano con gli assi vecchi. La nuova terna ha altri versori. I versori vecchi hanno componenti rispetto ai nuovi assi che sono i coseni direttori rispettivi, ma non voglio crearti ulteriori difficoltà, forse non hai affrontato questo argomento.

[Bad90]

Ok, adesso rivedo questi miei errori-orrori, vi ringrazio

[Bad90]

"Bad":Quesito 12

E’ possibile scegliere diversi sistemi di coordinate cartesiane, in modo che gli assi abbiano orientazioni differenti.
a) Il valore di uno scalare dipende dall’orientazione?


Risposta

a) Si, perché uno scalare è una grandezza che viene rappresentata su una opportuna scala ed i suoi valori possono essere rappresentati da una retta orientata, in opportuna scala.

"navigatore":
Nooooo! Pensaci bene.

Cerco di dare una risposta correggendo ciò che ho detto sbagliando...
Tratto da Wikipedia:

In fisica, una grandezza scalare è una grandezza fisica che viene descritta, dal punto di vista matematico, da uno scalare, cioè da un numero reale associato ad un'unità di misura. Per questo non è sensibile alle dimensioni dello spazio, né al particolare sistema di riferimento o di coordinate utilizzato.
Viene così definita, poiché il suo valore può essere letto su una scala graduata di uno strumento di misura e, a differenza delle grandezze vettoriali, non necessita di altri elementi per essere identificata.

"Bad":
E’ possibile scegliere diversi sistemi di coordinate cartesiane, in modo che gli assi abbiano orientazioni differenti.
c) Il vettore dipende dall’orientazione degli assi?

Risposta

c) Si, il vettore dipende dall’orientazione degli assi. Per vettore si intende il vettore risultante, pensando a Pitagora o alle funzioni $ sen x $ o $cos x$, si riesce a dedurre il significato della risposta.

"navigatore":
Noooooo!

Su questa non sto capendo il perchè la mia risposta è sbagliata. Leggendo questo:

In fisica, una grandezza vettoriale è una grandezza fisica che viene descritta, dal punto di vista matematico, da un vettore. Tale grandezza, a differenza delle grandezze scalari, è quindi definita da tre parametri: un numero reale (il suo modulo), la direzione e verso. Inoltre, quando necessario, viene specificato anche il punto di applicazione.
Descrizione
La direzione è il fascio improprio di rette a cui appartiene quella lungo cui agisce la grandezza in oggetto. Il verso è quello tra i due sensi di percorrenza di tale retta in cui agisce la grandezza. Il punto di applicazione individua un punto particolare su una particolare retta del fascio dove la grandezza agisce.
Esempio più semplice di grandezza vettoriale è la velocità. Infatti affermare che un corpo ha una velocità di 1 m/s non è sufficiente a definire la grandezza velocità, poiché occorre anche specificare la direzione (ad esempio nord-sud) ed il verso (ad esempio verso sud).


In tutto questo, si dice che il Vettore è identificato da 3 parametri, modulo, direzione e verso, vi è dunque il bisogno di identificare questi 3 parametri per dire che si conosce un Vettore, giusto Adesso mi chiedo se io penso a questo Vettore, poi prendo la terna d'assi e la ruoto, le cose non cambiano

[Bad90]

"JoJo_90":

$hat j = (j_x,j_y) = (0,1)$

Se siamo nello spazio, il versore ha componenti:

$hat j = (j_x,j_y,j_z) = (0,1,0)$

Grazie Jojo, ho compreso perfettamente il concetto

[Bad90]

"Bad90":Queito 16

Passando da un sistema di coordinate a un altro con gli assi orientati in modo diverso, i versori $ i,j,k $ rimangono gli stessi? Spiega.

"navigatore":
La domanda è posta male: i versori della terna precedente non cambiano, ruotano con gli assi vecchi. La nuova terna ha altri versori. I versori vecchi hanno componenti rispetto ai nuovi assi che sono i coseni direttori rispettivi, ma non voglio crearti ulteriori difficoltà, forse non hai affrontato questo argomento.

Riguardo ai coseni...., vediamo se ho compreso......
Ok, la domanda è posta male, ho compreso che i versori sono parte integrante di una determinata terna d'assi, se quella terna d'assi la faccio ruotare, i versori $ i,j,k $ restano sempre tali.
Ovviamente se prendo una nuova terna d'assi, vi saranno altri versori, ok, ma quando dici che i nuovi assi sono i coseni direttori, ti riferisci ai valori delle rotazioni dei vettori, che hanno dei valori di coseno determinati dalle proiezioni dei versori precedenti su quelli nuovi

[Sk_Anonymous]

Bad, un vettore sta lí a rappresentare qualcosa, uno spostamento, una velocità, una forza....una grandezza vettoriale, appunto. E se ne frega altamente del sistema di coordinate cartesiane assunto per determinarne le componenti. Queste cambiano se cambi la terna di riferimento. Ma il vettore no!
Disegna un vettore sul foglio. Poi facci intorno quanti sistemi di coordinate cartesiane vuoi. IL vettore è sempre lo stesso.

Riguardo ai coseni direttori : data la vecchia terna di versori $veci , veci , veck$ e la nuova terna $vece_1, vece_2 , vece_3$ , ciascuno dei tre vecchi ha tre componenti rispetto alla nuova terna.
Le $3 times 3 = 9$ componenti si ottengono moltiplicando scalarmente ciascuno dei vecchi per ciascuno dei nuovi.

MA se non ha i studiato ancora il prodotto scalare tra vettori, lascia stare quest'argomento.

Comunque, il concetto penso tu lo abbia compreso.

[Bad90]

"navigatore":Bad, un vettore sta lí a rappresentare qualcosa, uno spostamento, una velocità, una forza....una grandezza vettoriale, appunto. E se ne frega altamente del sistema di coordinate cartesiane assunto per determinarne le componenti. Queste cambiano se cambi la terna di riferimento. Ma il vettore no!
Disegna un vettore sul foglio. Poi facci intorno quanti sistemi di coordinate cartesiane vuoi. IL vettore è sempre lo stesso.

Adesso ho compreso perfettamente

"navigatore":
Riguardo ai coseni direttori : data la vecchia terna di versori $veci , veci , veck$ e la nuova terna $vece_1, vece_2 , vece_3$ , ciascuno dei tre vecchi ha tre componenti rispetto alla nuova terna.
Le $3 times 3 = 9$ componenti si ottengono moltiplicando scalarmente ciascuno dei vecchi per ciascuno dei nuovi.

MA se non ha i studiato ancora il prodotto scalare tra vettori, lascia stare quest'argomento.

Comunque, il concetto penso tu lo abbia compreso.

Ok, ho compreso il concetto, meglio lasciar stare ciò che ancora non ho fatto, anche perchè fino a domani, non voglio trattare altri argomenti nuovi, sto preferendo restare un pò su ciò che ho fatto in questi giorni per chiarirmi meglio le idee

Ti ringrazio!

[peppe.carbone.90]

Sul punto c) del quesito 12 penso che la domanda è posta male o semplicemente io non l'ho capita.
Una cosa però la volevo chiarire. I vettori, in fisica, sono enti per lo più geometrici, che servono a descrivere determinate grandezze fisiche. Nell'ambito della loro rappresentazione, possiamo dire che essi sono suscettibili di due tipi di rappresentazioni:

1. Rappresentazione intrinseca, la quale consiste nel rappresentare un vettore assegnado gli elementi che lo costituiscono (intrinsecamente), ovvero: modulo (o intesità), direzione, verso e, se necessario, punto di applicazione.

2. Rappresentazione estrinseca, la quale consiste nel rappresentare un vettore, assegnando le sue componenti, dopo aver introdotto un sistema di riferimento cartesiano.

Ora, siccome la domanda 12 parla di "coordinate cartesiane" io penso al fatto che stiamo ragionando su un vettore che è stato assegnato tramite rappresentazione estrinseca, ovvero tramite le sue componenti cartesiane; eviterei per questo, di ragionare con modulo, direzione e verso (anche se è giusto quel che hai scritto, cioè che un vettore lo conosci quando conosci modulo, direzione e verso).

Detto questo, ribadisco che la domanda è, secondo me, posta male, in quanto non capisco bene cosa vuol dire "dipende". Provo comunque a dare una risposta in base a quello che credo di aver capito della domanda.
In generale, un vettore, in fisica, non è mai un ente a se stante, vago e astratto, ma rappresenta un fenomeno vero, reale e concreto. Pensa ad esempio ad una mela che cade. Se la mela cade, vuol dire che si sposta e quindi questo fenomeno della "caduta" lo posso rappresentare con un vettore "spostamento". Esso sarà un vettore di modulo pari alla "distanza" percorsa cadendo, con direzione verticale e verso rivolto verso il basso.

Ora, questo vettore, tu lo puoi "rappresentare" introducendo una terna certesiana, messa come vuoi.Tuttavia, sarebbe assurdo immaginare che il vettore cambia, al variare del sistema di riferimento su cui lo rappresenti. Infatti, se cosi fosse, significa che potrei trovare un sistema di riferimento per il quale il vettore è rivolto verso l'alto, che equivarrebbe al fatto che la mala "cade" verso l'alto. Ciò è impossibile. Un vettore, come entità a se stante, non varia al variare del sistema del riferimento, semmai varia la sua rappresentazione cartesiana, ma non varia e non può variare, l'effetto o il fenomeno fisico che descrive.

Spero di essermi spiegato e di non aver detto cavolate.


P.S. Per le future domande, forse è bene che ci chiarisci alcune cose. Ad esempio in quale materia stai affrontando questi argomenti, a che livello (credo universitario) e a che punto sei del "programma" della materia. Questo ci serve, o almeno a me serve, per capire il tipo di aiuto da darti.

P.S.S. Inoltre ti volevo consigliare di fare poco affidamento su wikipedia, in quanto non è raro trovarvi castronate. Meglio fare riferimento ad un testo o a delle dispense.

Ciao.

EDIT: Ops, vedo che arrivo tardi; le risposte ti sono già state date da navigatore.

[Bad90]

"JoJo_90":

P.S. Per le future domande, forse è bene che ci chiarisci alcune cose. Ad esempio in quale materia stai affrontando questi argomenti, a che livello (credo universitario) e a che punto sei del "programma" della materia. Questo ci serve, o almeno a me serve, per capire il tipo di aiuto da darti.

Ok, sto studiando a livello universitario, ho cominciato da un paio di settimane con il programma di Fisica 1, ho studiato il primo capitolo che è Unità di misura, Grandezze....
Ho studiato il secondo capitolo che è oggetto di questi esercizi, cioè i Vettori.

Per le spiegazioni date, ti ringrazio Secondo mè e stato veramente efficace l'esempio della mela che cade , con gli esempi si fa più facilità a comprendere i concetti!

Grazie mille!

[Bad90]

Come vengono definiti i simboli che seguono Provo a dare una risposta....

$ |A| $
1) Indica la grandezza, (modulo di un vettore), viene chiamato valore assoluto del vettore.
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI come viene definita Va bene se dico $ L $ come dimensione e unità di misura SI lunghezza in metri $ m $

$C_x$
1) Indica la grandezza, (componente di un vettore).
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI come viene definita Va bene se dico $ L $ come dimensione e unità di misura SI lunghezza in metri $ m $

$r$
1) Indica la grandezza, (vettore posizione).
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI, è una dimensione $L$ con unità di misura in $m$.

$i$
1) Indica la grandezza, (versore di un vettore).
2) E’ una grandezza di tipo vettoriale, chiamata appunto (vettore).
3) Nel sistema internazionale, Unità SI, è una dimensione non identificata.

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Come vengono definiti i simboli che seguono Provo a dare una risposta....

$ |A| $
1) Indica la grandezza, (modulo di un vettore), viene chiamato valore assoluto del vettore.
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI come viene definita Va bene se dico $ L $ come dimensione e unità di misura SI lunghezza in metri $ m $ “

Ma 1) , 2) , 3) sono le tue risposte? O le possibili risposte? E le tue scelte? Non è chiaro.
Comunque , di solito con $ |A| $ si indica il modulo di un vettore, però ci vuole la freccetta su $A$ per evidenziarne il carattere di vettore. Altrimenti, con le due sbarre si indica il "valore assoluto" di un numero reale, o anche il modulo di un numero complesso.
Bad, togliti dalla testa che una grandezza è uno scalare "perché può essere rappresentato da un retta orientata in una certa scala" . LA retta orientata lasciala stare, per le grandezze scalari. Una grandezza scalare è rappresentata da un numero reale (quindi può essere anche negativa, come abbiamo già chiarito) in una certa scala: questo significa che hai stabilito una unità di misura per grandezze di quel tipo, e stai confrontando la tua grandezza con l'unità detta.
Esempio : $ t = -10ºC$. Quindi certamente hai bisogno di una unità, che nel casi delle lunghezze, o moduli, di vettori può essere il $m$, unità di misura delle lunghezze nel SI.

$C_x$
1) Indica la grandezza, (componente di un vettore).
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI come viene definita Va bene se dico $ L $ come dimensione e unità di misura SI lunghezza in metri $ m $

Discorso quasi identico al precedente. Il pedice $x$ in $C_x$ può ricordare la componente del vettore $vecC$ sull'asse $x$.

Se parli di componenti di un vettore su degli assi, possono essere positive o negative, e la loro grandezza è espressa in una certa unità di misura, ad es il $m$

$r$
1) Indica la grandezza, (vettore posizione).
2) E’ una grandezza di tipo scalare, perché può essere rappresentato da una retta orientata, in opportuna scala.
3) Nel sistema internazionale, Unità SI, è una dimensione $L$ con unità di misura in $m$.

Ma qui $r$ che cosa è? È una scrittura troppo generica. Se si tratta di un vettore, devi scriverlo $vecr$. E se è un vettore posizione, non è certamente uno scalare. Riguardati il discorso di yo-yo.
Il suo modulo, puoi indicarlo con $r$ ,e questo è sempre uno scalare.

$i$
1) Indica la grandezza, (versore di un vettore).
2) E’ una grandezza di tipo vettoriale, chiamata appunto (vettore).
3) Nel sistema internazionale, Unità SI, è una dimensione non identificata.

Anche qui, devi scrivere $veci$ oppure $hati$ se vuoi riferirti al versore di un asse (= vettore di modulo unitario, orientato nel senso positivo dell'asse). La dimensione è una lunghezza, il suo valore è unitario riferito all'unità di misura che hai assunto. . Un versore può essere lungo $1m$ se assumi i $m$ per misurare lunghezze. Puoò essere lungo $1 cm$ se assumi i $cm$. E così via.

[Bad90]

Il fatto e' che il mio testo, nei quesiti, non usa la simbologia corretta, deduco questo perche' effettivamente le correzzioni che hai apportato ai miei ultimi messaggi, sono piu' che veri, ma non capisco perche' il mio testo non cura tanto queste importanti simbologie!

[peppe.carbone.90]

Scusa, per pura curiosità, che libro usi?

Mi accodo poi a quanto chiesto da navigatore, ovvero: le varie 1), 2) e 3) sono le risposte multiple proposte dal libro o tue "possibili" risposte?