Grandezze Scalari e Vettori
Quesito 1
a) Uno scalare può essere negativo? b) Il modulo di un vettore può essere negativo? c) La componente di un vettore può essere negativa? Spiega.
Risposta
a) Uno scalare, non può essere negativo, basti pensare ad un peso, ad un’altezza.
b) Il modulo del vettore non può essere negativo, per questo basti pensare al teorema del grande Pitagora.
c) La componente di un vettore, può essere positiva, negativa e nulla. Per comprendere il concetto, si può fare riferimento alla trigonometria e dunque ai concetti di sen α e cos α. Spiegando in termini trigonometrici, si può utilizzare come esempio, la circonferenza goniometrica, dove si hanno i quattro quadranti di un sistema di assi cartesiani, x y, con centro di origine O che è il centro della stessa circonferenza, dove un vettore C, può essere rappresentato da un modulo (si intende l’intensità, cioè la distanza tra due punti) e dalla direzione (cioè dall’angolo α), oppure direttamente dal componenti:
$ C_x = Ccos alpha $
$ C_y = Csen alpha $
a) Uno scalare può essere negativo? b) Il modulo di un vettore può essere negativo? c) La componente di un vettore può essere negativa? Spiega.
Risposta
a) Uno scalare, non può essere negativo, basti pensare ad un peso, ad un’altezza.
b) Il modulo del vettore non può essere negativo, per questo basti pensare al teorema del grande Pitagora.
c) La componente di un vettore, può essere positiva, negativa e nulla. Per comprendere il concetto, si può fare riferimento alla trigonometria e dunque ai concetti di sen α e cos α. Spiegando in termini trigonometrici, si può utilizzare come esempio, la circonferenza goniometrica, dove si hanno i quattro quadranti di un sistema di assi cartesiani, x y, con centro di origine O che è il centro della stessa circonferenza, dove un vettore C, può essere rappresentato da un modulo (si intende l’intensità, cioè la distanza tra due punti) e dalla direzione (cioè dall’angolo α), oppure direttamente dal componenti:
$ C_x = Ccos alpha $
$ C_y = Csen alpha $
Risposte
"navigatore":
Puoi disegnare anche un triangolo scaleno qualsiasi. Il risultante dei tre lati considerati come vettori è uguale a un vettore nullo. Sempre, qualunque sia il triangolo.
Ok, adesso ho compreso il concetto!
"Bad90":
Quesito 4
Due amici decido o di andare dal primo al terzo piano di un grande magazzino: partendo dallo stesso punto vicino all'ascensore, uno sale appunto in ascensore, mentre l'altro, che soffre di claustrofobia, prende la scala mobile; i due si ritrovano al terzo piano, sempre vicino all'ascensore. a) Si confrontino le lunghezze dei due percorsi. b) Si confrontino gli spostamenti, e i moduli degli spostamenti.
Risposta
a) Per comprendere la risposta da dare al punto a), basta disegnare un rattangolo, tracciare la diagonale, avremo due triangolo rettangoli, dove la diagonale e' il percorso di colui che sale in ascensore, mentre la base superiore del rettangolo ed il lato sinistro del rettangolo, sono la somma dei vettori spostamento di colui che sale in ascensore. Pensando a Pitagora, si puo' rispondere dicendo che entrambi percorrono la stessa quantita' di metri!
b) Colui che sale in ascensore, percorre dal punto A al punto B, (in altezza) , e dal punto B al punto C, (orizzontalmente, dove C e' il punto di arrivo). Colui che sale dalla scala mobile, percorre solo dal punto A al punto C.
I moduli degli spostamenti, sono:
per colui che sale in ascensore, la somma di $ (A+B)+(B+C)=D $
per colui che sale dalla scala mobile, $ (A+C)=D $
Cosa ne dite?
Grazie mille.
E quindi come fanno ad avere la stessa lunghezza i due percorsi? L'ipotenusa è minore della somma dei cateti.
Le equazioni non c'entrano per niente. $vec 0$ è il risultato della somma delle due terne di vettori della figura.
Come $5 - 7 + 10 = 8$, così, per i vettori della figura, $vec a + vec b + vec c = vec 0$ e $vec (a_1) + vec (b_1) + vec (c_1)= vec 0$.
Questo per farti vedere che la somma di tre vettori può essere $= vec 0$ sia che abbiano la stessa intensità, sia che abbiano intensità diverse: il risultato della somma non dipende solo dall'intensità, ma anche da direzione e verso dei vettori.
Come $5 - 7 + 10 = 8$, così, per i vettori della figura, $vec a + vec b + vec c = vec 0$ e $vec (a_1) + vec (b_1) + vec (c_1)= vec 0$.
Questo per farti vedere che la somma di tre vettori può essere $= vec 0$ sia che abbiano la stessa intensità, sia che abbiano intensità diverse: il risultato della somma non dipende solo dall'intensità, ma anche da direzione e verso dei vettori.
"navigatore":
E quindi come fanno ad avere la stessa lunghezza i due percorsi? L'ipotenusa è minore della somma dei cateti.
Scusami, ma dal teorema di Pitagora, so che con l'ascensore percorro il primo cateto e poi a piedi percorro il secondo cateto, mentre con la scala mobile, percorro solo l'ipotenusa! Hai pienamente ragione, ho sbagliato a pensare le distanze
Ma il punto b) dici che sta bene
"chiaraotta":
Questo per farti vedere che la somma di tre vettori può essere $= vec 0$ sia che abbiano la stessa intensità, sia che abbiano intensità diverse: il risultato della somma non dipende solo dall'intensità, ma anche da direzione e verso dei vettori.
Accipicchia, non sono stato attento al testo dell'esercizio
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
! Ti ringrazio, adesso ho capito che il testo mi diceva "che può essere uguale a zero"? E certamente, es. può essere uguale a $0; -2 ; +4$.
"Bad90":
Quesito 4 ...
Mi sembra che la situazione sia quella della figura:
$vec (AC)$ è il percorso fatto prendendo l'ascensore, mentre $vec (AB) + vec (BC)$ è quello che si fa se si usa la scala mobile.
"chiaraotta":
$vec (AC)$ è il percorso fatto prendendo l'ascensore, mentre $vec (AB) + vec (BC)$ è quello che si fa se si usa la scala mobile.
Quindi vuol dire che la scala mobile sale e passa es. per il primo pianerottolo e poi arriva la secondo pianerottolo, punto di arrivo
In questo caso è colui che sale dalla scala mobile a fare più strada A me sembra una traccia un pò vaga, perchè chi mi dice che l'ascensore non sale in diagonale
Ma mi fido cecamente della spiegazione data da chiaraotta, in quanto ancora non ho visto ascensori che salgono in diagonale
Quesito 9
Ti capita di sentire un compagno di scuola che descrive una corsa dei $ 400m $ :
Dal momento che la linea di arrivo e la linea di partenza sono nello stesso punto della pista, lo spostamento di un corridore in tutta la gara è nullo. Sei d’accordo con questa affermazione? Spiega.
Risposta
Non sodo d’accordo, per il motivo che non vuol dir nulla il fatto che la linea di partenza e di arrivo sia nello stesso punto, in questo caso un esempio può essere data da uno spostamento lungo una circonferenza, se si parte dal punto avente zero gradi, compiendo un giro avente angolo di $360^o$ gradi, sono nello stesso punto, avendo percorso tutta la circonferenza avente lunghezza $C=2π*r$.
Ti capita di sentire un compagno di scuola che descrive una corsa dei $ 400m $ :
Dal momento che la linea di arrivo e la linea di partenza sono nello stesso punto della pista, lo spostamento di un corridore in tutta la gara è nullo. Sei d’accordo con questa affermazione? Spiega.
Risposta
Non sodo d’accordo, per il motivo che non vuol dir nulla il fatto che la linea di partenza e di arrivo sia nello stesso punto, in questo caso un esempio può essere data da uno spostamento lungo una circonferenza, se si parte dal punto avente zero gradi, compiendo un giro avente angolo di $360^o$ gradi, sono nello stesso punto, avendo percorso tutta la circonferenza avente lunghezza $C=2π*r$.
Quesito 10
Un isolato quadrato ha il lato di $150m$. Se si percorre il marciapiede da un angolo al successivo,a) qual è il modulo dello spostamento? b) Se si continua a girare attorno all’isolato fino all’angolo successivo, diagonalmente opposto alla posizione iniziale, qual è il modulo di questo secondo spostamento? c) Qual è il modulo dello spostamento risultante? d) Qual è la distanza totale percorsa?
Risposta
a) Il modulo dello spostamento è $ 150m $, (spostamento da $A$ a $B$).
b) Dando dei nomi ai vertici degli angoli, primo spostamento da $A$ a $B$, poi si percorre il secondo spostamento da $B$ a $C$, essendo diagonalmente opposto ad $A$, applico il teorema di Pitagora, ed ho che la distanza è $x=sqrt(150^2+150^2) => x= 150*sqrt(2)$.
c) Il modulo dello spostamento risultante è dato dalla seguente somma, (utilizzo le lettere minuscole per indicare il modulo dei vettori):
$a+b+d=>150m+150m+150*sqrt(2) $
d) La distanza è lo stesso del modulo, quindi la distanza totale percorsa è $512,13 m$.
Un isolato quadrato ha il lato di $150m$. Se si percorre il marciapiede da un angolo al successivo,a) qual è il modulo dello spostamento? b) Se si continua a girare attorno all’isolato fino all’angolo successivo, diagonalmente opposto alla posizione iniziale, qual è il modulo di questo secondo spostamento? c) Qual è il modulo dello spostamento risultante? d) Qual è la distanza totale percorsa?
Risposta
a) Il modulo dello spostamento è $ 150m $, (spostamento da $A$ a $B$).
b) Dando dei nomi ai vertici degli angoli, primo spostamento da $A$ a $B$, poi si percorre il secondo spostamento da $B$ a $C$, essendo diagonalmente opposto ad $A$, applico il teorema di Pitagora, ed ho che la distanza è $x=sqrt(150^2+150^2) => x= 150*sqrt(2)$.
c) Il modulo dello spostamento risultante è dato dalla seguente somma, (utilizzo le lettere minuscole per indicare il modulo dei vettori):
$a+b+d=>150m+150m+150*sqrt(2) $
d) La distanza è lo stesso del modulo, quindi la distanza totale percorsa è $512,13 m$.
Quesito 11
Rivolto a est fai un gran passo, che produce uno spostamento di modulo $ 1m $ . Questo spostamento è un vettore unitario? Spiega.
Risposta
Si, è un vettore unitario, se consideriamo $ R $ come spazio vettoriale normato ad una dimensione, gli unici elementi a possedere modulo pari a uno sono $ 1 $ e $ -1 $ . In uno spazio vettoriale normato generico, i vettori di modulo pari a $1 $ sono detti vettori unitari o versori. L'insieme dei vettori unitari dello spazio vettoriale di dimensione forma la ipersfera unitaria di dimensione $ n-1 $.
Rivolto a est fai un gran passo, che produce uno spostamento di modulo $ 1m $ . Questo spostamento è un vettore unitario? Spiega.
Risposta
Si, è un vettore unitario, se consideriamo $ R $ come spazio vettoriale normato ad una dimensione, gli unici elementi a possedere modulo pari a uno sono $ 1 $ e $ -1 $ . In uno spazio vettoriale normato generico, i vettori di modulo pari a $1 $ sono detti vettori unitari o versori. L'insieme dei vettori unitari dello spazio vettoriale di dimensione forma la ipersfera unitaria di dimensione $ n-1 $.
non ti sembra un po troppo complicata come risposta? 
Se fossi il professore, ti chiederei cosa è uno spazio vettoriale? cosa vuol dire che è normato?
Più semplicemente, puoi dire questo.
Fissiamo un S.R unidimensionale e sia $s$ il nostro vettore spostamento. Poiché $|s|=1$ , $s$ è versore, per definizione di versore.
Se fossi il professore, ti chiederei cosa è uno spazio vettoriale? cosa vuol dire che è normato?
Più semplicemente, puoi dire questo.
Fissiamo un S.R unidimensionale e sia $s$ il nostro vettore spostamento. Poiché $|s|=1$ , $s$ è versore, per definizione di versore.
Ok, quello che ho riportato, viene detto su Wikipedia, però mi fido del tuo consiglio e prendo in considerazione quanto mi hai detto! 
Quesito 12
E’ possibile scegliere diversi sistemi di coordinate cartesiane, in modo che gli assi abbiano orientazioni differenti.
a) Il valore di uno scalare dipende dall’orientazione?
b) Le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati?
c) Il vettore dipende dall’orientazione degli assi?
d) E il modulo del vettore? Spiega.
Risposta
a) Si, perché uno scalare è una grandezza che viene rappresentata su una opportuna scala ed i suoi valori possono essere rappresentati da una retta orientata, in opportuna scala.
b) Si, le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati, perché, le componenti sono rappresentate dalle componenti $x$ ed $y$, e quindi possiamo anche confermare che i vettori possono essere espressi mediante le componenti.
c) Si, il vettore dipende dall’orientazione degli assi. Per vettore si intende il vettore risultante, pensando a Pitagora o alle funzioni $ sen x $ o $cos x$, si riesce a dedurre il significato della risposta.
d) No il modulo di un vettore non dipende dall’orientazione degli assi, basti ricordare che è una grandezza in valore assoluto.
E’ possibile scegliere diversi sistemi di coordinate cartesiane, in modo che gli assi abbiano orientazioni differenti.
a) Il valore di uno scalare dipende dall’orientazione?
b) Le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati?
c) Il vettore dipende dall’orientazione degli assi?
d) E il modulo del vettore? Spiega.
Risposta
a) Si, perché uno scalare è una grandezza che viene rappresentata su una opportuna scala ed i suoi valori possono essere rappresentati da una retta orientata, in opportuna scala.
b) Si, le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati, perché, le componenti sono rappresentate dalle componenti $x$ ed $y$, e quindi possiamo anche confermare che i vettori possono essere espressi mediante le componenti.
c) Si, il vettore dipende dall’orientazione degli assi. Per vettore si intende il vettore risultante, pensando a Pitagora o alle funzioni $ sen x $ o $cos x$, si riesce a dedurre il significato della risposta.
d) No il modulo di un vettore non dipende dall’orientazione degli assi, basti ricordare che è una grandezza in valore assoluto.
Quesito 13
Il vettore $ V=i+j+k $ ha un modulo $V=sqrt(3)$.
a) Quali sono i moduli dei vettori $U=-i-j-k$ e $W=i+j-k$
P.S. Con le lettere $i, j, k$, si indicano i versori, cioè i versori degli assi coordinati $x,y,z$.
Risposta
a) Il modulo del vettore$ U= sqrt(3) $
b) Il modulo del vettore $W=sqrt(3)$
Il vettore $ V=i+j+k $ ha un modulo $V=sqrt(3)$.
a) Quali sono i moduli dei vettori $U=-i-j-k$ e $W=i+j-k$
P.S. Con le lettere $i, j, k$, si indicano i versori, cioè i versori degli assi coordinati $x,y,z$.
Risposta
a) Il modulo del vettore$ U= sqrt(3) $
b) Il modulo del vettore $W=sqrt(3)$
Quesito 14
Un vettore posizione giace nel terzo quadrante del piano$ xy$. Qual’ è il segno di ciascuna delle sue componenti?
Risposta
Il segno delle sue componenti, indicate in questo caso$ Cx i$ e $Cy j$, sono entrambi negative.
Un vettore posizione giace nel terzo quadrante del piano$ xy$. Qual’ è il segno di ciascuna delle sue componenti?
Risposta
Il segno delle sue componenti, indicate in questo caso$ Cx i$ e $Cy j$, sono entrambi negative.
"Bad90":
[quote="navigatore"]
E quindi come fanno ad avere la stessa lunghezza i due percorsi? L'ipotenusa è minore della somma dei cateti.
Scusami, ma dal teorema di Pitagora, so che con l'ascensore percorro il primo cateto e poi a piedi percorro il secondo cateto, mentre con la scala mobile, percorro solo l'ipotenusa! Hai pienamente ragione, ho sbagliato a pensare le distanze
Ma il punto b) dici che sta bene
[/quote]A che cosa ti riferisci come punto b) ? Lo spostamento totale dei due amici è uguale, ovviamente, poichè partono da uno stesso punto $A$ e si ritrovano in uno stesso punto $D$.
MA una piccola osservazione : i vettori, se vuoi indicarli con le lettere maiuscole di inizio e fine, vanno scritti così : $ vec(AB) + vec(BC) = vec(AC) $. Oppure : $ (B-A) + (C-B)= C-A$
Bad, un'altra cosa: tu scrivi una valanga di esercizi uno dietro l'altro, è difficile starti dietro...rilassati un po'!
Scusa eh, ma io arranco abbastanza, ho una certa età...!
"navigatore":
Bad, un'altra cosa: tu scrivi una valanga di esercizi uno dietro l'altro, è difficile starti dietro...rilassati un po'!
Scusa eh, ma io arranco abbastanza, ho una certa età...!
Scusami, cerco di frenarmi un po
, per il momento non ne pubblico altri, così c'è tutto il tempo per contestarmi le risposte che sbaglio,
"Bad90":
Quesito 9
Ti capita di sentire un compagno di scuola che descrive una corsa dei $ 400m $ :
Dal momento che la linea di arrivo e la linea di partenza sono nello stesso punto della pista, lo spostamento di un corridore in tutta la gara è nullo. Sei d’accordo con questa affermazione? Spiega.
Risposta
Non sodo d’accordo, per il motivo che non vuol dir nulla il fatto che la linea di partenza e di arrivo sia nello stesso punto, in questo caso un esempio può essere data da uno spostamento lungo una circonferenza, se si parte dal punto avente zero gradi, compiendo un giro avente angolo di $360^o$ gradi, sono nello stesso punto, avendo percorso tutta la circonferenza avente lunghezza $C=2π*r$.
E invece il compagno ha ragione! Lo spostamento totale, inteso sempre come vettore, è nullo! Il punto di inizio e quello finale coincidono. Non confondere una grandezza vettoriale con la lunghezza di un percorso, che evidentemente è una quantità scalare omogenea ad una lunghezza, e che perciò misuri ad es in $m$ !
"Bad90":
Quesito 10
Un isolato quadrato ha il lato di $150m$. Se si percorre il marciapiede da un angolo al successivo,a) qual è il modulo dello spostamento? b) Se si continua a girare attorno all’isolato fino all’angolo successivo, diagonalmente opposto alla posizione iniziale, qual è il modulo di questo secondo spostamento? c) Qual è il modulo dello spostamento risultante? d) Qual è la distanza totale percorsa?
Risposta
a) Il modulo dello spostamento è $ 150m $, (spostamento da $A$ a $B$).
b) Dando dei nomi ai vertici degli angoli, primo spostamento da $A$ a $B$, poi si percorre il secondo spostamento da $B$ a $C$, essendo diagonalmente opposto ad $A$, applico il teorema di Pitagora, ed ho che la distanza è $x=sqrt(150^2+150^2) => x= 150*sqrt(2)$.
c) Il modulo dello spostamento risultante è dato dalla seguente somma, (utilizzo le lettere minuscole per indicare il modulo dei vettori):
$a+b+d=>150m+150m+150*sqrt(2) $
d) La distanza è lo stesso del modulo, quindi la distanza totale percorsa è $512,13 m$.
No Bad. Ti sei incasinato. LA risposta a) va bene.
Il secondo spostamento ha lo stesso modulo del primo, è il secondo lato del quadrato.
La diagonale vale $150*sqrt2$ . Questa diagonale rappresenta il modulo dello spostamento risultante, risposta c) .
Il cammino percorso è $300m$ , somma dei due lati, risposta d)
"Bad90":
Quesito 12
E’ possibile scegliere diversi sistemi di coordinate cartesiane, in modo che gli assi abbiano orientazioni differenti.
a) Il valore di uno scalare dipende dall’orientazione?
b) Le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati?
c) Il vettore dipende dall’orientazione degli assi?
d) E il modulo del vettore? Spiega.
Risposta
a) Si, perché uno scalare è una grandezza che viene rappresentata su una opportuna scala ed i suoi valori possono essere rappresentati da una retta orientata, in opportuna scala.
Nooooo! Pensaci bene.
b) Si, le componenti di un vettore dipendono dall’orientazione degli assi coordinati, perché, le componenti sono rappresentate dalle componenti $x$ ed $y$, e quindi possiamo anche confermare che i vettori possono essere espressi mediante le componenti.
Si.
c) Si, il vettore dipende dall’orientazione degli assi. Per vettore si intende il vettore risultante, pensando a Pitagora o alle funzioni $ sen x $ o $cos x$, si riesce a dedurre il significato della risposta.
Noooooo!
d) No il modulo di un vettore non dipende dall’orientazione degli assi, basti ricordare che è una grandezza in valore assoluto.
Si.
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