Fisica Matematica: componenti di un tensore
Salve, oggi a lezione di fisica matematica sono stati introdotti i tensori partendo dal prodotto tensoriale di due vettori di $RR^3$. Nell'introdurli, la professoressa ci ha detto che non tutte le matrici possono rappresentare tensori, in quanto non tutte le matrici soddisfano le formule per il cambio di riferimento $T_(i' j')=A_(i'i)A_(j'j)T_(ij)$. Ora, questa frase non è che mi risulti chiara, ovvero, nel caso parto da due vettori $u,v$ con componenti $u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3$ rispetto a un riferimento ${e_1,e_2,e_3}$ e componenti $u'_1,u'_2,u'_3,v'_1,v'_2,v'_3$ rispetto a un riferimento ${e'_1,e'_2,e'_3}$ posso facilmente ricavare le componenti di $T_(ij)$ e $T_(i'j')$ prodotti tensoriali dei due vettori nei due diversi riferimenti e vedere se soddisfano le formule di trasformazione. In questo caso, tuttavia, la matrice che mi rappresenta $T$ nel secondo riferimento non è quella che si ottiene applicando le formule del cambiamento di base della matrice che mi rappresenta $T$ nel primo (dove per formule del cambiamento di base in questo caso intendo quelle che si usano usualmente in Algebra Lineare) dunque decuco che nel caso dei tensori le fomule di cambiamento di base non sono le stesse delle matrici. Ora, il problema è: se io prendo una matrice $B$ con componenti $b_(ij)$ nel primo riferimento e mi si chiede di verificare che questo è un tensore, devo effettivamente verificare che preso un generico riferimento, le componenti di $B$ in quel riferimento sono legate alle componenti del primo riferimento mediante la prima relazione che ho scritto, tuttavia, se non so come trovare le componenti di $B$ in un altro riferimento dato che non sono date dalle formule dell'usuale cambiamento di base, in che modo dovrei confrontarle?
Inoltre, un altro dubbio mi veniva dal fatto che come altro criterio ci veniva dato un altro criterio che consisteva nel saturare/contrarre gli indici al fine di vedere se esce uno scalare invariante, indipendetemente dalla tensore con cui si prova a saturare.
Ora, per vedere se avessi capito il concetto ho preso due vettori di $R^2$ che rispetto alla base canonica sono $(1,2)$ e $(2,1)$ dunque facendo il prodotto tensoriale mi esce il tensore di componenti $T_(11)=2, T_(12)=1, T_(21)=4,T_(22)=2$ ora, mi metto nel seguente riferimento ${(1,1),(0,1)}$. In questo riferimento i vettori diventano $(1,1)$ e $(2,-1)$ e facendo il prodotto tensoriale (o applicando le formule di trasformazione per i tensori) mi escono le componenti $T'_(11)=2, T'_(12)=-1,T'_(21)=2,T'_(22)=-1$. Ora nel saturare entrambi gli indici prendo il tensore che nel primo riferimento a componenti $D_(11)=x^2, D_(12)=xy, D_(21)=yx, D_(22)=y^2$ e dunque $T_(ij)D^(ij)=x^2+5xy+y^2$.Ora, dato che le componenti di $D$ in un riferimento le ho ottenute con il prodotto tensoriale di $(x,y)$ con sè, in un altro riferimento dovrebbero essere date dal prodotto tensoriale di $(x',y')$ con sè, dove nel caso in questione $x=x'$ e $y'=-x+y$, tuttavia facendo $T'_(ij)D'^(ij)$ mi esce $3xy$ e dunque non coincidono, tuttavia questo dovrebbe essere il caso in cui coincidono sempre le due formule dato che so essere dei tensori e dunque penso di non averci capito molto.
In sintesi, se non vi reca disturbo, potreste aiutarmi a togliere questi dubbi?
Inoltre, un altro dubbio mi veniva dal fatto che come altro criterio ci veniva dato un altro criterio che consisteva nel saturare/contrarre gli indici al fine di vedere se esce uno scalare invariante, indipendetemente dalla tensore con cui si prova a saturare.
Ora, per vedere se avessi capito il concetto ho preso due vettori di $R^2$ che rispetto alla base canonica sono $(1,2)$ e $(2,1)$ dunque facendo il prodotto tensoriale mi esce il tensore di componenti $T_(11)=2, T_(12)=1, T_(21)=4,T_(22)=2$ ora, mi metto nel seguente riferimento ${(1,1),(0,1)}$. In questo riferimento i vettori diventano $(1,1)$ e $(2,-1)$ e facendo il prodotto tensoriale (o applicando le formule di trasformazione per i tensori) mi escono le componenti $T'_(11)=2, T'_(12)=-1,T'_(21)=2,T'_(22)=-1$. Ora nel saturare entrambi gli indici prendo il tensore che nel primo riferimento a componenti $D_(11)=x^2, D_(12)=xy, D_(21)=yx, D_(22)=y^2$ e dunque $T_(ij)D^(ij)=x^2+5xy+y^2$.Ora, dato che le componenti di $D$ in un riferimento le ho ottenute con il prodotto tensoriale di $(x,y)$ con sè, in un altro riferimento dovrebbero essere date dal prodotto tensoriale di $(x',y')$ con sè, dove nel caso in questione $x=x'$ e $y'=-x+y$, tuttavia facendo $T'_(ij)D'^(ij)$ mi esce $3xy$ e dunque non coincidono, tuttavia questo dovrebbe essere il caso in cui coincidono sempre le due formule dato che so essere dei tensori e dunque penso di non averci capito molto.
In sintesi, se non vi reca disturbo, potreste aiutarmi a togliere questi dubbi?
Risposte
C’è un po’ di confusione nel tuo post, perdonami ma non sono riuscito a decifrarlo tutto. In questo forum abbiamo parlato spesso di tensori; definire i tensori a partire dal prodotto tensoriale ( se è giusto ciò che ho capito) non mi sembra proprio il massimo. Ovviamente tu devi seguire la strada tracciata dalla tua prof , comunque io ho imparato (un po’) i tensori e il calcolo tensoriale quando ho deciso di capire (un po’) la Relatività Generale di AE , dove essi trovano notevoli applicazioni. E ho imparato le definizioni e le proprietà, l’algebra tensoriale e l’analisi (derivazione e integrazione) partendo dalle componenti e le loro leggi di trasformazione per cambiamento di base, non dal prodotto tensoriale.
Nel forum ho trovato questo, che può esserti utile per risolvere qualche dubbio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8486893
le note di Sharipov sono molto utili, e scritte in maniera piana e chiara. Fanno capire le basi, e qualcosa in più. Ma la trattazione che di gran lunga preferisco, in italiano, è quella di Tibaldi:
http://www.tibaldi.eu/sections/Download ... ensori.pdf
che ho riportato in uno dei link. Anche le note di Nearing sono utili. In italiano, ti suggerisco anche un capitolo delle lezioni di Carati e Galgani (non ricordo che corso fosse, ma non dovrebbe essere difficile trovarlo in rete) dedicato ai tensori.
Spero di esserti stato di aiuto.
Nel forum ho trovato questo, che può esserti utile per risolvere qualche dubbio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8486893
le note di Sharipov sono molto utili, e scritte in maniera piana e chiara. Fanno capire le basi, e qualcosa in più. Ma la trattazione che di gran lunga preferisco, in italiano, è quella di Tibaldi:
http://www.tibaldi.eu/sections/Download ... ensori.pdf
che ho riportato in uno dei link. Anche le note di Nearing sono utili. In italiano, ti suggerisco anche un capitolo delle lezioni di Carati e Galgani (non ricordo che corso fosse, ma non dovrebbe essere difficile trovarlo in rete) dedicato ai tensori.
Spero di esserti stato di aiuto.
Prima di tutto credo sarebbe opportuno inserire un apice (o usare una lettera diversa) per rappresentare il tensore nel diverso sistema di riferimento perché la tua notazione sembra implicare che i valori sono solo permutati dalla trasformazione e non modificati. Questo è ovviamente falso. Basta prendere per esempio due vettori della base e poi gli stessi ruotati di 45 gradi intorno al rimanente asse. Nel primo caso il tensore ha un unico valore non nullo uguale a \(1\), mentre nell'altro caso ci sono quattro valori non nulli uguali a \(\pm 1/2\).
Nell'uso dei tensori diventa poi utile inserire gli indici in alto o in basso a seconda di come le diverse quantità vengono trasformate. I tuoi vettori diventano (usando la notazione di Einstein)
\[ \mathbf{u} = u^i\,\mathbf{e_i}, \quad \mathbf{v} = v^j\,\mathbf{e_j}, \quad \mathbf{u'} = u'^{\,k}\,\mathbf{f_k} = A^k_{\:i}\,u^i\,\mathbf{f_k}, \quad \mathbf{v'} = v'^{\,l}\,\mathbf{f_l} = A^l_{\:j}\,v^j\,\mathbf{f_l}. \]
Da cui abbiamo che i tensori sono uguali a
\[
\begin{align*}
\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} &= u^i\,v^j\,\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j} = T^{ij}\,\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j} \\
\mathbf{u'} \otimes \mathbf{v'} &= u'^{\,k}\,v'^{\,l}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = A^k_{\:i}\,u^i\,A^l_{\:j}\,v^j\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = A^k_{\:i}\,A^l_{\:j}\,T^{ij}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = T'^{\,kl}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l}
\end{align*}
\]
Nota in particolare la notazione diversa usata per le componenti delle matrici (in cui i due indici sono uno in apice e l'altro in pedice) rispetto a quello usato per le componenti del tensore.
Non mi è chiaro il commento della tua professoressa, ma immagino stesse effettivamente parlando della differenza tra matrici di trasformazione e tensori. Hanno lo stesso numero di componenti ma non vengono trasformate nello stesso modo quando si ha un cambio di coordinate. Non ti verrà tuttavia mai dato un esercizio in cui si chiede di stabilire se una sequenza di valori è di un tipo o di un altro esattamente come non si può dire dai soli valori se qualcosa è un vettore o un covettore. Sono infatti spazi vettoriali isomorfi anche se non in modo canonico. Ti verrà di volta in volta detto che tipo di oggetto hai davanti.
Non mi è affatto chiaro che cosa tu stia facendo nella seconda parte quando dici di saturare i due indici. L'operazione che conosco io consiste nel calcolare in pratica la traccia della matrice e richiede che gli indici siano uno in alto e l'altro in basso. Nel tuo caso sembri voler passare al tensore simmetrico e quindi stai passando ad un quoziente. I calcoli mi sembrano inoltre praticamente tutti sbagliati per cui a questo punto non so che cosa tu stessi cercando di fare effettivamente.
Nell'uso dei tensori diventa poi utile inserire gli indici in alto o in basso a seconda di come le diverse quantità vengono trasformate. I tuoi vettori diventano (usando la notazione di Einstein)
\[ \mathbf{u} = u^i\,\mathbf{e_i}, \quad \mathbf{v} = v^j\,\mathbf{e_j}, \quad \mathbf{u'} = u'^{\,k}\,\mathbf{f_k} = A^k_{\:i}\,u^i\,\mathbf{f_k}, \quad \mathbf{v'} = v'^{\,l}\,\mathbf{f_l} = A^l_{\:j}\,v^j\,\mathbf{f_l}. \]
Da cui abbiamo che i tensori sono uguali a
\[
\begin{align*}
\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} &= u^i\,v^j\,\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j} = T^{ij}\,\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j} \\
\mathbf{u'} \otimes \mathbf{v'} &= u'^{\,k}\,v'^{\,l}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = A^k_{\:i}\,u^i\,A^l_{\:j}\,v^j\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = A^k_{\:i}\,A^l_{\:j}\,T^{ij}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l} = T'^{\,kl}\,\mathbf{f_k} \otimes \mathbf{f_l}
\end{align*}
\]
Nota in particolare la notazione diversa usata per le componenti delle matrici (in cui i due indici sono uno in apice e l'altro in pedice) rispetto a quello usato per le componenti del tensore.
Non mi è chiaro il commento della tua professoressa, ma immagino stesse effettivamente parlando della differenza tra matrici di trasformazione e tensori. Hanno lo stesso numero di componenti ma non vengono trasformate nello stesso modo quando si ha un cambio di coordinate. Non ti verrà tuttavia mai dato un esercizio in cui si chiede di stabilire se una sequenza di valori è di un tipo o di un altro esattamente come non si può dire dai soli valori se qualcosa è un vettore o un covettore. Sono infatti spazi vettoriali isomorfi anche se non in modo canonico. Ti verrà di volta in volta detto che tipo di oggetto hai davanti.
Non mi è affatto chiaro che cosa tu stia facendo nella seconda parte quando dici di saturare i due indici. L'operazione che conosco io consiste nel calcolare in pratica la traccia della matrice e richiede che gli indici siano uno in alto e l'altro in basso. Nel tuo caso sembri voler passare al tensore simmetrico e quindi stai passando ad un quoziente. I calcoli mi sembrano inoltre praticamente tutti sbagliati per cui a questo punto non so che cosa tu stessi cercando di fare effettivamente.
Grazie ad entrambi per la risposta.
@apatriarca: Quindi non è possibile stabilire se uno sequenza di valori sia di un tipo o dell'altro? Comunque quando dico di "saturare gli indici" parlo di fare ad esempio $T_(11)D^(11)+T_(12)D^(12)+T_(21)D^(21)+T_(22)D^(22)$ che dovrebbe coincidere con $T'_(11)D'^(11)+T'_(12)D'^(12)+T'_(21)D'^(21)+T'_(22)D'^(22)$ e non mi trovo (a proposito, quali conti ho sbagliato?). Comunque il libro che usiamo è il "Rionero" lezioni di meccanica razionale.
@Shackle: Grazie dei riferimenti, li vedrò con calma sperando di capirci qualcosa prima della prossima lezione... fisica matematica si prospetta dura.
@apatriarca: Quindi non è possibile stabilire se uno sequenza di valori sia di un tipo o dell'altro? Comunque quando dico di "saturare gli indici" parlo di fare ad esempio $T_(11)D^(11)+T_(12)D^(12)+T_(21)D^(21)+T_(22)D^(22)$ che dovrebbe coincidere con $T'_(11)D'^(11)+T'_(12)D'^(12)+T'_(21)D'^(21)+T'_(22)D'^(22)$ e non mi trovo (a proposito, quali conti ho sbagliato?). Comunque il libro che usiamo è il "Rionero" lezioni di meccanica razionale.
@Shackle: Grazie dei riferimenti, li vedrò con calma sperando di capirci qualcosa prima della prossima lezione... fisica matematica si prospetta dura.
L’operazione di saturazione degli indici, spiegata con un esempio pratico, ( è solo un esempio) è questa :
Supponi di avere due tensori, di cui il primo doppio controvariante : $A ^(\alpha\beta) $ e il secondo doppio covariante : $ B_(\mu\nu) $. Scriviamo questo tensore: [nota]che sia un tensore, lo si vede applicando la regola di trasformazione delle componenti per cambiamento di base[/nota]
$A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $
supponiamo ad esempio di voler fare la saturazione del primo indice di controvarianza di $A ^(\alpha\beta) $ col primo indice di covarianza di $ B_(\mu\nu) $; scrivo:
$A ^(\rho\beta) B_(\rho\nu) = C_(\nu)^(\beta)$
ho cambiato il nome degli indici in questione chiamandolo $\rho$, cosa perfettamente lecita. Ora siccome lo stesso indice $\rho$ compare una volta in alto e una volta in basso, devo applicare la regola di Einstein e sommare i prodotti rispetto a tale indice; ovvero , per esteso, devo avere (supponendo che gli indici possano variare da 1 a 3, come nello spazio euclideo tridimensionale; in Relatività la varietà differenziabile ha 4 dimensioni, ma lascia perdere questo) :
$ C_(\nu)^(\beta) =A ^(1\beta) B_(1\nu) +A ^(2\beta) B_(2\nu) +A ^(3\beta) B_(3\nu) $
questa è una componente del tensore prodotto interno $ C_(\nu)^(\beta)$ , il cui rango è diminuito di 2 rispetto al rango 4 di $A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $.
Siccome ciascun indice può assumere 3 valori , $ C_(\nu)^(\beta)$ ha 9 componenti. Invece il tensore $A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $ ha 81 componenti = 3^4.
Ma la saturazione degli indici si può fare anche su un unico tensore, riducendone il rango di 2. Qui se ne era parlato, ecco un thread:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 70#p791917
La pagina di Wolfram è molto chiara al riguardo. Quando il tensore è di tipo (1,1) la contrazione sui due indici dà uno scalare, se il tensore dato si scrive come una matrice la contrazione fornisce la sua traccia. Esempio banale è il $\delta$ di Kronecker.
Devi imparare bene il meccanismo con cui si dimostra che, cambiando la base, il tensore rimane un tensore dello stesso tipo anche nella nuova base.
Ho trovato anche la dispensa di Carati, questa :
http://www.mat.unimi.it/users/carati/di ... ensori.pdf
Spero di non aver detto castronerie, sto andando a memoria. Nel caso avessi detto qualcosa di sbagliato, prego @apatriarca di correggere.
Fai pure qualche nottata
, ma da’ almeno un’occhiata al Tibaldi, non te ne pentirai! Il Rionero l’ho visto di sfuggita qualche volta, e non è che mi sia piaciuto molto.
PS : prima o poi avrai a che fare con la derivata covariante di un tensore, concetto molto importante. In passato avevamo avuto questa discussione con una studentessa, la quale poi ha lasciato il forum:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... n#p8309037
di solito le immagini dopo un po’ di tempo vengono cancellate; non so per quale miracolo (saranno le formule?) le immagini messe allora sotto spoiler non sono state cancellate. Potrebbero esserti utili.
Supponi di avere due tensori, di cui il primo doppio controvariante : $A ^(\alpha\beta) $ e il secondo doppio covariante : $ B_(\mu\nu) $. Scriviamo questo tensore: [nota]che sia un tensore, lo si vede applicando la regola di trasformazione delle componenti per cambiamento di base[/nota]
$A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $
supponiamo ad esempio di voler fare la saturazione del primo indice di controvarianza di $A ^(\alpha\beta) $ col primo indice di covarianza di $ B_(\mu\nu) $; scrivo:
$A ^(\rho\beta) B_(\rho\nu) = C_(\nu)^(\beta)$
ho cambiato il nome degli indici in questione chiamandolo $\rho$, cosa perfettamente lecita. Ora siccome lo stesso indice $\rho$ compare una volta in alto e una volta in basso, devo applicare la regola di Einstein e sommare i prodotti rispetto a tale indice; ovvero , per esteso, devo avere (supponendo che gli indici possano variare da 1 a 3, come nello spazio euclideo tridimensionale; in Relatività la varietà differenziabile ha 4 dimensioni, ma lascia perdere questo) :
$ C_(\nu)^(\beta) =A ^(1\beta) B_(1\nu) +A ^(2\beta) B_(2\nu) +A ^(3\beta) B_(3\nu) $
questa è una componente del tensore prodotto interno $ C_(\nu)^(\beta)$ , il cui rango è diminuito di 2 rispetto al rango 4 di $A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $.
Siccome ciascun indice può assumere 3 valori , $ C_(\nu)^(\beta)$ ha 9 componenti. Invece il tensore $A ^(\alpha\beta) B_(\mu\nu) $ ha 81 componenti = 3^4.
Ma la saturazione degli indici si può fare anche su un unico tensore, riducendone il rango di 2. Qui se ne era parlato, ecco un thread:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 70#p791917
La pagina di Wolfram è molto chiara al riguardo. Quando il tensore è di tipo (1,1) la contrazione sui due indici dà uno scalare, se il tensore dato si scrive come una matrice la contrazione fornisce la sua traccia. Esempio banale è il $\delta$ di Kronecker.
Devi imparare bene il meccanismo con cui si dimostra che, cambiando la base, il tensore rimane un tensore dello stesso tipo anche nella nuova base.
Ho trovato anche la dispensa di Carati, questa :
http://www.mat.unimi.it/users/carati/di ... ensori.pdf
Spero di non aver detto castronerie, sto andando a memoria. Nel caso avessi detto qualcosa di sbagliato, prego @apatriarca di correggere.
@Shackle: Grazie dei riferimenti, li vedrò con calma sperando di capirci qualcosa prima della prossima lezione... fisica matematica si prospetta dura.
Fai pure qualche nottata
, ma da’ almeno un’occhiata al Tibaldi, non te ne pentirai! Il Rionero l’ho visto di sfuggita qualche volta, e non è che mi sia piaciuto molto.PS : prima o poi avrai a che fare con la derivata covariante di un tensore, concetto molto importante. In passato avevamo avuto questa discussione con una studentessa, la quale poi ha lasciato il forum:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... n#p8309037
di solito le immagini dopo un po’ di tempo vengono cancellate; non so per quale miracolo (saranno le formule?) le immagini messe allora sotto spoiler non sono state cancellate. Potrebbero esserti utili.
@Shackle: le tue conoscenze sono sicuramente più fresche delle mie..
Per quanto ne so la saturazione degli indici parte da un tensore del tipo \( T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n}\) e produce un tensore \( S^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m-1}}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-1}} = T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \gamma}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \gamma}\) facendo quindi la somma rispetto a \(\gamma\). Nel caso in cui si parta da una matrice l'operazione ne calcola la traccia. La definizione di @Shackle è ovviamente un altro caso particolare.
@mklplo Il tuo tensore di partenza è \(T_{11} = 2, T_{12} = 1, T_{21} = 4, T_{22} = 2\) per cui il risultato a me viene \(2\,x^2 + 5\,x\,y + 2\,y^2 \neq x^2 + 5\,x\,y + y^2.\) Inoltre non mi torna il cambio di riferimento.
Per quanto ne so la saturazione degli indici parte da un tensore del tipo \( T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n}\) e produce un tensore \( S^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m-1}}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-1}} = T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \gamma}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \gamma}\) facendo quindi la somma rispetto a \(\gamma\). Nel caso in cui si parta da una matrice l'operazione ne calcola la traccia. La definizione di @Shackle è ovviamente un altro caso particolare.
@mklplo Il tuo tensore di partenza è \(T_{11} = 2, T_{12} = 1, T_{21} = 4, T_{22} = 2\) per cui il risultato a me viene \(2\,x^2 + 5\,x\,y + 2\,y^2 \neq x^2 + 5\,x\,y + y^2.\) Inoltre non mi torna il cambio di riferimento.
Grazie a entrambi per le risposte.
@apatriarca:effettivamente mi sono perso un due per strada, mentre non vedo il problema nel cambio di riferimento, ovvero la matrice del cambiamento di base deve trasformare i vettori $(1,1)$ e $(0,1)$ in $(1,0)$ e $(0,1)$ e dunque $A=((1,0),(-1,1))$.
@apatriarca:effettivamente mi sono perso un due per strada, mentre non vedo il problema nel cambio di riferimento, ovvero la matrice del cambiamento di base deve trasformare i vettori $(1,1)$ e $(0,1)$ in $(1,0)$ e $(0,1)$ e dunque $A=((1,0),(-1,1))$.
"apatriarca":
@Shackle: le tue conoscenze sono sicuramente più fresche delle mie..
Non ne sarei tanto sicuro...
Per quanto ne so la saturazione degli indici parte da un tensore del tipo \( T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n}\) e produce un tensore \( S^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{m-1}}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{n-1}} = T^{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \gamma}_{\beta_1, \beta_2, \dots, \gamma}\) facendo quindi la somma rispetto a \(\gamma\). Nel caso in cui si parta da una matrice l'operazione ne calcola la traccia. La definizione di @Shackle è ovviamente un altro caso particolare.
Si, la definizione di saturazione degli indici più generale possibile è indubbiamente quella da te detta; io ho fatto solo un caso particolare, di un tensore definito dal prodotto interno di due tensori. E poi ho aggiunto che si parla di saturazione degli indici anche per un solo dato tensore, di rango (m,n) , che uguagliando un indice di controvarianza con uno di covarianza e sommando rispetto ad esso diventa un tensore di rango (m-1, n-1). Se il tensore è del secondo ordine, con un indice di controvarianza e un indice di covarianza, e quindi si può scrivere sotto forma di matrice, la contrazione restituisce la traccia, cioè la somma degli elementi della diagonale principale, come nel caso del $delta$ di Kronecker, la cui traccia vale 3 nello spazio euclideo “ordinario” e vale 4 nello ST a 4 dimensioni della relatività. Fin qui ci siamo.
Piuttosto, sono perplesso rispetto a ciò che dice mklplo : francamente non ho capito qual è il tensore doppio su cui vuole operare la contrazione. In una matrice di numeri reali, dove sono le variabili?
Cosa intendi con [tex](x,y)[/tex]? Se vuoi ottenere un tensore elementare di tipo [tex](0,2)[/tex] ti servono due funzionali lineari... che funzionale mi vuoi rappresentare con quella scrittura? [tex]\phi\colon (v^1,v^2)^t\longmapsto xv^1+yv^2?[/tex] Oppure volevi il funzionale [tex]\phi\colon (x,y)^t\longmapsto x+y[/tex]? 
Scusate ma non ci sto capendo molto. Citando il testo:
"Condizione necessaria e sufficiente affinchè $n^k$ scalari associati alle basi di $E_n$, con $p$ indici superiori e $q$ indici inferiori $(0 \leq p \leq k, q=k-p)$, siano un tensore di ordine $k$ è che saturando tutti gli indici con un tensore arbitrario di ordine $k$, $p$ volte covariante e $q$ volte controvariante, si abbia uno scalare invariante"
Tralasciando che la professoressa non ha spiegato la differenza tra covarianza e controvarianza, nella dimostrazione di questo enunciato nel caso in cui $k=2$, precisamente nella parte in cui si dimostra il fatto che la condizione sia sufficiente, l'ipotesi viene espressa così $T_(ij)D^(ij)=T'_(i'j')D'^(i'j')$, dove $D$ è un generico tensore controvariante di ordine 2. Dunque poichè è anche condizione necessaria, pensavo che se avessi preso due tensori controvarianti di ordine 2 diversi dovevo ottenere lo stesso scalare dall'operazione di contrazione. Dunque per non prendere effettivamente due tensori, ho preso un tensore doppio lasciando variabili i valori delle componenti, infatti se fosse uscita una dipendenza da $x$ e $y$, lo scalare non sarebbe invariante.
Ora, il problema è che tensori ottenuti con il prodotto, sono, per l'appunto, tensori e dunque non capisco cosa non abbia capito.
p.s: anche se ho letto i messaggi, devo ancora leggere tutti i link dato che stavo finendo di studiare anche per gli altri corsi.
"Condizione necessaria e sufficiente affinchè $n^k$ scalari associati alle basi di $E_n$, con $p$ indici superiori e $q$ indici inferiori $(0 \leq p \leq k, q=k-p)$, siano un tensore di ordine $k$ è che saturando tutti gli indici con un tensore arbitrario di ordine $k$, $p$ volte covariante e $q$ volte controvariante, si abbia uno scalare invariante"
Tralasciando che la professoressa non ha spiegato la differenza tra covarianza e controvarianza, nella dimostrazione di questo enunciato nel caso in cui $k=2$, precisamente nella parte in cui si dimostra il fatto che la condizione sia sufficiente, l'ipotesi viene espressa così $T_(ij)D^(ij)=T'_(i'j')D'^(i'j')$, dove $D$ è un generico tensore controvariante di ordine 2. Dunque poichè è anche condizione necessaria, pensavo che se avessi preso due tensori controvarianti di ordine 2 diversi dovevo ottenere lo stesso scalare dall'operazione di contrazione. Dunque per non prendere effettivamente due tensori, ho preso un tensore doppio lasciando variabili i valori delle componenti, infatti se fosse uscita una dipendenza da $x$ e $y$, lo scalare non sarebbe invariante.
Ora, il problema è che tensori ottenuti con il prodotto, sono, per l'appunto, tensori e dunque non capisco cosa non abbia capito.
p.s: anche se ho letto i messaggi, devo ancora leggere tutti i link dato che stavo finendo di studiare anche per gli altri corsi.
Il problema è che scrivi talmente tanta roba che non si capisce nulla. Se tu vuoi un tensore di tipo [tex](0,2)[/tex], non puoi fare il prodotto tensoriale di due vettori, devi fare il prodotto tensoriale di due funzionali lineari, e non puoi denotare le componenti di un vettore e di un funzionale nello stesso modo, altrimenti non si capisce nulla. Quindi, ripartiamo dalle definizioni di [tex]T[/tex] e [tex]D[/tex]. [tex]T[/tex] è di tipo [tex](0,2)[/tex] e [tex]D[/tex] è di tipo [tex](2,0)[/tex]?
Riguardo alla tua ultima risposta, avevo interpretato [tex](x,y)[/tex] in altro modo, infatti non capivo che volesse dire. Ripartiamo da capo per piccoli passi, eh?
Riguardo alla tua ultima risposta, avevo interpretato [tex](x,y)[/tex] in altro modo, infatti non capivo che volesse dire. Ripartiamo da capo per piccoli passi, eh?
In questo momento non ho tempo di scrivere una risposta completa, ma il problema è proprio il fatto che non comprendi il significato di covarianza e controvarianza in questo contesto. \(T\) e \(D\) non sono dello stesso tipo esattamente come il prodotto tesoriale di due vettori non è dello stesso tipo di una matrice che rappresenta un endomorfismo. È esattamente questa differenza che rende l'operazione di saturazione possibile e il risultato invariante. Quando ho tempo, forse domani, vedo di scrivere una descrizione sintetica (o cerco una risorsa da linkare).
[ot]Queste ultime risposte sul legame tra tensori e funzionali lineari, non so perchè, ma mi hanno fatto venire in mente il fatto (che forse non c'entra niente) che lo scalare che ottengo dall'azione di una forma bilineare non cambia per cambio di coordinate, cioè denotata con $C$ la matrice che rappresenta rispetto a una data base e con $A$ la matrice che del cambiamento di base, allora la matrice che rappresenta $C$ in un altro sistema di riferimento sarà $C'=(A^(-1))^tCA^(-1)$ e denotati con $X,Y$ e $X',Y'$ le componenti dei vettori rispetto alla prima e seconda base rispettivamente, allora $X'^tC'Y'=X^tCY$ indipendentemente dai vettori di cui $X$ e $Y$ sono le componenti nel primo riferimento.[/ot]
@413:sì, forse è meglio andare con ordine. Da quello che ho capito con se faccio il prodotto tensoriale tra due vettori, ottengo un tensore del tipo $(2,0)$ (con gli indici in alto, giusto?), mentre se è il prodotto tensoriale tra due funzionali lineari ottengo un tensore del tipo $(0,2)$ (ovvero con indici in basso). Allora forse la professoressa non ha fatto questa differenza perchè non ci servirà, ma dato che voglio capire bene l'argomento, la userò in modo da non avere più dubbi (si spera). Quindi, diciamo di partire dal tensore $T$ che è stato ottenuto dal prodotto tensoriale di quei due vettori, che nella base canonica hanno coordinate $(1,2)$ e $(2,1)$ allora è un tensore controvariante di ordine $2$ (giusto?). Ora, secondo quella proposizione che ho enunciato, mi serve un tensore covariante di ordine $2$ e quindi dovrò prendere il prodotto tensoriale di due funzionali lineari, che (grazie all'isomorfismo che intercorre tra spazio delle applicazioni lineari e spazio delle matrici) posso rappresentare con delle coppie $(a,b)$ e $(c,d)$ nel nostro riferimento canonico. Quindi, penso, anche se non sono sicuro, che il prodotto tensoriale tra i due funzionali lineari, potrà essere rappresentato dalla matrice ottenuta nello stesso modo con cui ho ottenuto la rappresentazione matriciale di $T$, giusto?
Se così fosse, chiamiamo $D$ questo tensore. Ora anche se applicassi l'operazione di contrazione, anche se trovassi un'invarianza, non basterebbe a dire che $T$ soddisfa la condizione necessaria e sufficiente, dato che potrebbero esserci tensori di ordine $(0,2)$ che non sono ottenibili come prodotto tensoriale di due funzionali lineari, giusto? Tuttavia vorrei almeno capire cosa significa quella proposizione nel caso di tensori covarianti costruiti in questo modo, per poi capire bene come verificare quella condizione.
@413:sì, forse è meglio andare con ordine. Da quello che ho capito con se faccio il prodotto tensoriale tra due vettori, ottengo un tensore del tipo $(2,0)$ (con gli indici in alto, giusto?), mentre se è il prodotto tensoriale tra due funzionali lineari ottengo un tensore del tipo $(0,2)$ (ovvero con indici in basso). Allora forse la professoressa non ha fatto questa differenza perchè non ci servirà, ma dato che voglio capire bene l'argomento, la userò in modo da non avere più dubbi (si spera). Quindi, diciamo di partire dal tensore $T$ che è stato ottenuto dal prodotto tensoriale di quei due vettori, che nella base canonica hanno coordinate $(1,2)$ e $(2,1)$ allora è un tensore controvariante di ordine $2$ (giusto?). Ora, secondo quella proposizione che ho enunciato, mi serve un tensore covariante di ordine $2$ e quindi dovrò prendere il prodotto tensoriale di due funzionali lineari, che (grazie all'isomorfismo che intercorre tra spazio delle applicazioni lineari e spazio delle matrici) posso rappresentare con delle coppie $(a,b)$ e $(c,d)$ nel nostro riferimento canonico. Quindi, penso, anche se non sono sicuro, che il prodotto tensoriale tra i due funzionali lineari, potrà essere rappresentato dalla matrice ottenuta nello stesso modo con cui ho ottenuto la rappresentazione matriciale di $T$, giusto?
Se così fosse, chiamiamo $D$ questo tensore. Ora anche se applicassi l'operazione di contrazione, anche se trovassi un'invarianza, non basterebbe a dire che $T$ soddisfa la condizione necessaria e sufficiente, dato che potrebbero esserci tensori di ordine $(0,2)$ che non sono ottenibili come prodotto tensoriale di due funzionali lineari, giusto? Tuttavia vorrei almeno capire cosa significa quella proposizione nel caso di tensori covarianti costruiti in questo modo, per poi capire bene come verificare quella condizione.
Ho incominciato a leggere alcuni link e mi è venuto un dubbio. Non è che queste condizioni non sono altro che un modo per dire che un tensore è un oggetto che può essere rappresentato come $n$-uple, matrici,...e che una volta che li trasformo da un sistema di riferimento all'altro, il legame tra le componenti è dato da quelle formule? Se così fosse, chiedere se $((2,1),(4,2))$ rappresenta o meno un tensore nella base canonica non avrebbe senso, mentre avrebbe senso chiedere se l'oggetto che nella base canonica ha rappresentazione $((2,1),(4,2))$ e che nell'altro sistema di riferimeno ha rappresentazione $((2,-1),(2,-1))$ sia o meno un tensore, giusto?
"mklplo":
....giusto?
Risposta breve: si, e' come dici tu, e' corretto.
Non mi è chiaro l'obiettivo del thread: desideri sistemare e capire l'esempio che avevi provato a fare oppure vuoi solo divagare sull'argomento tensori? Nel caso in cui la risposta alla domanda sia la prima leggi sotto.
Nell'esempio del post iniziale, cosa sono [tex]T[/tex] e [tex]D[/tex]?
Nell'esempio del post iniziale, cosa sono [tex]T[/tex] e [tex]D[/tex]?
[*:2fi9gbpy][tex]T[/tex] è un tensore di tipo [tex](0,2)[/tex], ovvero un elemento di
[tex]V^\vee\otimes_{\mathbb{R}} V^\vee[/tex]
dove [tex]V^\vee[/tex] è lo spazio duale[nota]Ricorda che: se [tex]\mathfrak{B}=\{e_1,e_2\}[/tex] è una base di [tex]V[/tex], la sua base duale è [tex]\mathfrak{B}^\vee=\{e^1,e^2\}[/tex], dove [tex]\langle e^i,e_j\rangle=\delta^i_j[/tex], [tex]\langle\cdot,\cdot\rangle[/tex] è il pairing naturale dato dalla valutazione di un funzionale su un vettore. Ricorda anche che, le componenti di un vettore di [tex]V[/tex] si denotano con vettori colonna, mentre le componenti di un funzionale su [tex]V[/tex] si denotano con vettori riga.[/nota] (algebrico) di [tex]V:=\mathbb{R}^2[/tex]? [/*:m:2fi9gbpy]
[*:2fi9gbpy][tex]D[/tex] è un tensore di tipo [tex](2,0)[/tex], ovvero un elemento di
[tex]V\otimes_{\mathbb{R}}V?[/tex]
[/*:m:2fi9gbpy][/list:u:2fi9gbpy]Se sì, mi scegli due vettori [tex]v,w[/tex] di [tex]V[/tex] e due funzionali [tex]\phi,\psi[/tex] di [tex]V^\vee[/tex] e mi scrivi le espressioni
[tex]T=\phi\otimes\psi,\quad D=v\otimes w?[/tex]
Per il momento, assumi di non poter utilizzare il prodotto scalare euclideo.
@Quinzio:Grazie, allora forse sto capendo qualcosa.
@413:l'obbiettivo era sia capire ciò che aveva detto la prof, sia sistemare e capire l'esempio (il divagare aveva solo la finalità di non avere problemi futuri con questi argomenti). Allora prendo $u=e_1+2e_2$ $v=2e_1+e_2$, mentre $f=e^1+e^2$ e $g=e^1+2e^2$ e allora $D=2e_1 ox e_1+ e_1 ox e_2+4e_2 ox e_1+2 e_2 ox e_2$ e $T= e^1 ox e^1 + 2 e^1 ox e^2 + e^2 ox e^1 + 2e^2 ox e^2$, giusto?
Quindi se uno volesse valutare l'azione (penso che $T$ sia un'applicazione, quindi il termine dovrebbe essere corretto) di $T$ su $D$ dovrebbe fare $(T_(ij)e^i ox e^j)(D^(ij) e_i ox e_j)$ che dovrebbe essere $T_(ij)D^(ij)$ in quanto se valutassi $(e^i ox e^j )(e_k ox e_l)$ con almeno uno tra $i$ e $j$ diverso da $k$ e $l$ otterrei $0$, giusto?
P.s: da questo esempio, mi è venuto un altro dubbio $ V ^ (vv) ox_ (RR) V^(vv)$ è isomorfo allo spazio vettoriale delle forme bilineari di $V xx V$?
@413:l'obbiettivo era sia capire ciò che aveva detto la prof, sia sistemare e capire l'esempio (il divagare aveva solo la finalità di non avere problemi futuri con questi argomenti). Allora prendo $u=e_1+2e_2$ $v=2e_1+e_2$, mentre $f=e^1+e^2$ e $g=e^1+2e^2$ e allora $D=2e_1 ox e_1+ e_1 ox e_2+4e_2 ox e_1+2 e_2 ox e_2$ e $T= e^1 ox e^1 + 2 e^1 ox e^2 + e^2 ox e^1 + 2e^2 ox e^2$, giusto?
Quindi se uno volesse valutare l'azione (penso che $T$ sia un'applicazione, quindi il termine dovrebbe essere corretto) di $T$ su $D$ dovrebbe fare $(T_(ij)e^i ox e^j)(D^(ij) e_i ox e_j)$ che dovrebbe essere $T_(ij)D^(ij)$ in quanto se valutassi $(e^i ox e^j )(e_k ox e_l)$ con almeno uno tra $i$ e $j$ diverso da $k$ e $l$ otterrei $0$, giusto?
P.s: da questo esempio, mi è venuto un altro dubbio $ V ^ (vv) ox_ (RR) V^(vv)$ è isomorfo allo spazio vettoriale delle forme bilineari di $V xx V$?
[ot]Non volevo essere scortese, ma se metti troppa carne al fuoco, diventa difficile darti una risposta per chi desidera risponderti e leggere il thread per chi in futuro lo visiterà, magari avendo i tuoi stessi dubbi.[/ot]
Sì, corretto. Ora, se ho ben capito, tu vuoi verificare che la contrazione dei due tensori sia uno scalare, ovvero non dipenda dalla base scelta (che non c'entra nulla col chiamare le componenti [tex]x,y[/tex]). Pertanto, prendiamo in considerazione la base
Calcola
Sì, corretto. Ora, se ho ben capito, tu vuoi verificare che la contrazione dei due tensori sia uno scalare, ovvero non dipenda dalla base scelta (che non c'entra nulla col chiamare le componenti [tex]x,y[/tex]). Pertanto, prendiamo in considerazione la base
[tex]\mathfrak{B}':=\{f_1:=e_1+e_2,f_2:=e_2\}.[/tex]
Calcola
[*:1ks38d4g]la matrice [tex]A[/tex] che ha per colonne le componenti dei vettori di [tex]\mathfrak{B}'[/tex] rispetto alla base [tex]\mathfrak{B}[/tex];[/*:m:1ks38d4g]
[*:1ks38d4g]la sua inversa [tex]B=A^{-1}[/tex];[/*:m:1ks38d4g][/list:u:1ks38d4g]
I vettori di [tex]\mathfrak{B}'[/tex] rispetto a quelli di [tex]\mathfrak{B}[/tex] si scrivono come (somma sugli indici ripetuti)
[tex]f_i={A^j}_ie_j,[/tex]
mentre quelli di [tex]\mathfrak{B}[/tex] rispetto a quelli di [tex]\mathfrak{B}'[/tex] si scrivono come
[tex]e_i={B^i}_jf_i.[/tex]
Passando al duale, le matrici di cambiamento di base risultano trasposte oltre che invertite: i vettori di [tex]\mathfrak{B}^\vee[/tex] rispetto a [tex]\mathfrak{B}'^\vee[/tex] sono dati da
[tex]e^i={(A^\top)_j}^if^j={A^i}_jf^j,[/tex]
mentre quelli di[tex]\mathfrak{B}'^\vee[/tex] rispetto a [tex]\mathfrak{B}^\vee[/tex] sono dati da
[tex]f^i={(B^\top)_j}^ie^j={B^i}_je^j.[/tex]
Ora, ovviamente riesci a scrivere i vettori [tex]u,v[/tex] e i funzionali [tex]f,g[/tex] anche senza ricorrere alle formule sopra, ma è bene notare che rispetto al cambiamento di base da [tex]\mathfrak{B}[/tex] a [tex]\mathfrak{B}'[/tex], i vettori della base duale trasformano con la trasposta dell'inversa della matrice di cambiamento di base, e quindi le componenti dei tensori di tipo [tex](2,0)[/tex] trasformano in modo diverso da quelle dei tensori di tipo [tex](0,2)[/tex].
Puoi verificare che:
[*:1ks38d4g][tex]u=f_1+f_2,\quad v=2f_1-f_2[/tex];[/*:m:1ks38d4g]
[*:1ks38d4g][tex]f=2f^1+f^2,\quad g=3f^1+2f^2[/tex];[/*:m:1ks38d4g][/list:u:1ks38d4g]
da cui
[*:1ks38d4g][tex]D=2f_1\otimes f_1-f_1\otimes f_2+2f_2\otimes f_1-f_2\otimes f_2[/tex];[/*:m:1ks38d4g]
[*:1ks38d4g][tex]T=6f^1\otimes f^1+4 f^1\otimes f^2+3f^2\otimes f^1+2f^2\otimes f^2[/tex].[/*:m:1ks38d4g][/list:u:1ks38d4g]
In forma matriciale si scrivono come
[tex](D'^{ij})=\begin{bmatrix}2&-1\\2&-1\end{bmatrix},\quad (T'_{ij})=\begin{bmatrix}6&4\\3&2\end{bmatrix}.[/tex]
Le componenti dei tensori di tipo [tex](2,0)[/tex] seguono la legge di trasformazione
[tex]D'^{ij}={B^i}_kD^{kl}{B^j}_l[/tex]
che può essere riscritta in forma matriciale come
[tex](D'^{ij})=B(D^{ij})B^\top[/tex]
mentre le componenti di quelli di tipo [tex](0,2)[/tex] seguono la legge di trasformazione
[tex]T'_{ij}={(A^\top)_i}^kT_{kl}{(A^\top)_j}^l[/tex]
che in forma matriciale diventa
[tex](T'_{ij})=A^\top(T_{ij})A.[/tex]
Puoi provare a ricalcolare le componenti di [tex]D,T[/tex] nella nuova base con queste leggi di trasformazione (che valgono in generale, non solo per i tensori elementari).
Ora ci rimane da contrarre tutti gli indici per verificare che ottieni uno scalare invariante (rispetto al cambiamento di base): poiché sono tensori di tipo [tex](2,0)[/tex] e [tex](0,2)[/tex] puoi contrarre gli indici in due modi diversi. Considera il prodotto tensore
[tex]D\otimes T=(D^{ij}T_{kl})e_i\otimes e_j\otimes e^k\otimes e^l[/tex]
contrarre gli indici significa semplicemente applicare il pairing naturale [tex]\langle\cdot,\cdot\rangle[/tex] a una coppia di elementi della base e della sua duale
[tex]\begin{align*}\mathsf{C}^{(1,1)}\mathsf{C}^{(2,2)}(D^{ij}T_{kl}e_{i}\otimes e_{j}\otimes e^{k}\otimes e^{l})
&=D^{ij}T_{kl}\langle e^k,e_i\rangle\langle e^l,e_j\rangle\\
&=D^{ij}T_{kl}\delta^k_i\delta^l_j\\
&=D^{ij}T_{ij}\\
&=2+2+4+4\\
&=12\end{align*}[/tex]
&=D^{ij}T_{kl}\langle e^k,e_i\rangle\langle e^l,e_j\rangle\\
&=D^{ij}T_{kl}\delta^k_i\delta^l_j\\
&=D^{ij}T_{ij}\\
&=2+2+4+4\\
&=12\end{align*}[/tex]
oppure
[tex]\begin{align*}\mathsf{C}^{(1,2)}\mathsf{C}^{(2,1)}(D^{ij}T_{kl}e_{i}\otimes e_{j}\otimes e^{k}\otimes e^{l})&=D^{ij}T_{kl}\langle e^l,e_i\rangle\langle e^k,e_j\rangle\\
&=D^{ij}T_{kl}\delta^l_i\delta^k_j)\\
&=D^{ij}T_{ji}\\
&=2+1+8+4\\
&=15.\end{align*}[/tex]
&=D^{ij}T_{kl}\delta^l_i\delta^k_j)\\
&=D^{ij}T_{ji}\\
&=2+1+8+4\\
&=15.\end{align*}[/tex]
Analogamente puoi verificare che
[tex]\begin{align*}D'^{ij}T'_{ij}&=12-4+6-2=12,\\
D'^{ij}T'_{ji}&=12-3+8-2=15.\end{align*}[/tex]
D'^{ij}T'_{ji}&=12-3+8-2=15.\end{align*}[/tex]
Come vedi contraendo tutti gli indici ottieni uno scalare (in senso di algebra lineare) che non varia cambiando base.
@413: Grazie nuovamente per aver risposto e scusa se stavo divagando.
Volevo un attimo riassumere i vari punti per vedere se avevo capito tutto, dividendoli in punti inerenti al topic e punti che sono emersi durante la discussione o che mi sono venuti in mente tra ieri e oggi leggendo i vari link.
In Topic
(1)Non ha senso chiedere se una matrice rappresenti o meno un tensore doppio.
(2)Si può definire un tensore doppio come un oggetto geometrico rappresentabile con una sequenza di scalari i quali per rappresentare il tensore in un altra base devono soddisfare le leggi di trasformazione.
(3)Quindi ha senso chiedere se dati due sequenze di scalari, rappresentano effettivamente lo stesso tensore in due riferimenti diversi.
(4)Questa definizione è equivalente al fatto che contraendo tutti gli indici con un altro tensore ottenga uno scalare, che non dipende dal cambiamento di riferimento.
Fuori Topic
[ot](1)Qualcosa di analogo a 4 la si vede sia quando si valuta l'azione di un funzionali lineare su un vettore o di una forma bilineare su due vettori, che indipendentemente dal riferimento daranno sempre lo stesso scalare, dato che una cosa è l'oggetto geometrico, altra cosa è la sua rappresentazione in coordinate.
(2)Un tensore covariante puro di ordine $n$ può essere visto come una forma $n$-lineare, e viceversa.
(3)Il prodotto tensoriale dei vettori di una base formano una base per i tensori dello stesso tipo.
(4) $ u ox v$ non è uguale a $v ox u$, dunque l'operazione non è commutativa.
(5) Il prodotto tensoriale è associativo (anche se non proprieamente dato che l'operazione di prodotto tensoriale non è un'operazione interna).
(6) Sebbene non sia propriamente commutativo, posso vedere il prodotto tensoriale di spazi vettoriali come un oggetto che soddisfa una certa proprietà universale e poichè $ U ox V$ è isomorfo a $V ox U$ in un certo senso vale una "commutatività".[/ot]
Molto off topic
[ot](1)Nel caso dell'applicazione dei tensori alla relatività generale, e penso alla Geometria differenziale, dato che le varietà non hanno necessariamente la struttura di spazio vettoriale, i tensori si riferiscono a oggetti ottenuti dal prodotto tensoriale di elementi dello spazio tangente alla varietà (che è uno spazio vettoriale).
(2)Se quoziento $V ox V$ sullo spazio generato da ${x ox x : x \in V}$ ottengo lo spazio $V \wedge V$.
(3) L'operazione $ \wedge$ è associativa e anticommutativa e nilpotente.
(4)Le forme differenziali $r$-lineari sono applicazioni che ad ogni punto di una varietà associano un elemento del prodotto $\wedge$ tra $r$ copie del duale dello spazio tangente alla varietà in quel punto.[/ot]
Tutto corretto o ci sono degli errori?
P.s:scusate se ho messo in mezzo molta roba ma voglio essere sicuro di aver capito tutto in modo da proseguire con maggiore serenità questo corso ed evitare anche problemi futuri (perciò ho chiesto anche conferma su cose off topic)
Volevo un attimo riassumere i vari punti per vedere se avevo capito tutto, dividendoli in punti inerenti al topic e punti che sono emersi durante la discussione o che mi sono venuti in mente tra ieri e oggi leggendo i vari link.
In Topic
(1)Non ha senso chiedere se una matrice rappresenti o meno un tensore doppio.
(2)Si può definire un tensore doppio come un oggetto geometrico rappresentabile con una sequenza di scalari i quali per rappresentare il tensore in un altra base devono soddisfare le leggi di trasformazione.
(3)Quindi ha senso chiedere se dati due sequenze di scalari, rappresentano effettivamente lo stesso tensore in due riferimenti diversi.
(4)Questa definizione è equivalente al fatto che contraendo tutti gli indici con un altro tensore ottenga uno scalare, che non dipende dal cambiamento di riferimento.
Fuori Topic
[ot](1)Qualcosa di analogo a 4 la si vede sia quando si valuta l'azione di un funzionali lineare su un vettore o di una forma bilineare su due vettori, che indipendentemente dal riferimento daranno sempre lo stesso scalare, dato che una cosa è l'oggetto geometrico, altra cosa è la sua rappresentazione in coordinate.
(2)Un tensore covariante puro di ordine $n$ può essere visto come una forma $n$-lineare, e viceversa.
(3)Il prodotto tensoriale dei vettori di una base formano una base per i tensori dello stesso tipo.
(4) $ u ox v$ non è uguale a $v ox u$, dunque l'operazione non è commutativa.
(5) Il prodotto tensoriale è associativo (anche se non proprieamente dato che l'operazione di prodotto tensoriale non è un'operazione interna).
(6) Sebbene non sia propriamente commutativo, posso vedere il prodotto tensoriale di spazi vettoriali come un oggetto che soddisfa una certa proprietà universale e poichè $ U ox V$ è isomorfo a $V ox U$ in un certo senso vale una "commutatività".[/ot]
Molto off topic
[ot](1)Nel caso dell'applicazione dei tensori alla relatività generale, e penso alla Geometria differenziale, dato che le varietà non hanno necessariamente la struttura di spazio vettoriale, i tensori si riferiscono a oggetti ottenuti dal prodotto tensoriale di elementi dello spazio tangente alla varietà (che è uno spazio vettoriale).
(2)Se quoziento $V ox V$ sullo spazio generato da ${x ox x : x \in V}$ ottengo lo spazio $V \wedge V$.
(3) L'operazione $ \wedge$ è associativa e anticommutativa e nilpotente.
(4)Le forme differenziali $r$-lineari sono applicazioni che ad ogni punto di una varietà associano un elemento del prodotto $\wedge$ tra $r$ copie del duale dello spazio tangente alla varietà in quel punto.[/ot]
Tutto corretto o ci sono degli errori?
P.s:scusate se ho messo in mezzo molta roba ma voglio essere sicuro di aver capito tutto in modo da proseguire con maggiore serenità questo corso ed evitare anche problemi futuri (perciò ho chiesto anche conferma su cose off topic)
Lascio l’onere di rispondere a @413 , che è molto ben preparato in materia. Aggiungo solo qualche considerazione, che spero non appesantisca troppo questo thread e soprattutto la tua comprensione, visto che si tratta di materia non facile ,che va digerita poco a poco.
Probabilmente la tua docente non ha fatto la distinzione tra controvarianza e covarianza , per semplificare inizialmente. Infatti quando lo spazio (accezione generica qui) è riferito a coordinate cartesiane ortogonali non c’è differenza tra componenti controvarianti e covarianti di un vettore, e di un tensore. Ma non appena riferisci o spazio a sistemi di coordinate generiche, questa distinzione è necessaria. Basta pensare a un caso semplicissimo, un piano euclideo su cui hai disegnato un riferimento cartesiano ortogonale $Oxy$ , con i noti versori $hati$ e $hatj$ degli assi. Se anziché disegnare i due assi ortogonali li disegni in modo che formino un angolo $\psi < \pi/2$ , e tracci un vettore $vecA$ con origine in $O$, ti rendi conto che puoi trovare le componenti del vettore sia rispetto ai due assi ortogonali che rispetto agli assi obliqui, e hai appunto le componenti covariant e le controvarianti , legate dalle leggi di trasformazione dei vettori. Guarda questa figura:
Aggiungo infine che i tensori trovano applicazione non solo in RG ma anche in RR , dove lo spaziotempo è piatto e la metrica è quella di Minkowski.
Dai un’occhiata questi appunti d iValeria Ferrari:
https://www.roma1.infn.it/teongrav/VALE ... elgen.html
oppure cerca in rete il libro di B. Schutz : “A first course in General relativity” , seconda edizione, e leggi la parte relativa ai tensori, nei capitoli iniziali. Se poi ti interessa la RG, il libro è una buona introduzione, con esercizi.
Buon lavoro.
Probabilmente la tua docente non ha fatto la distinzione tra controvarianza e covarianza , per semplificare inizialmente. Infatti quando lo spazio (accezione generica qui) è riferito a coordinate cartesiane ortogonali non c’è differenza tra componenti controvarianti e covarianti di un vettore, e di un tensore. Ma non appena riferisci o spazio a sistemi di coordinate generiche, questa distinzione è necessaria. Basta pensare a un caso semplicissimo, un piano euclideo su cui hai disegnato un riferimento cartesiano ortogonale $Oxy$ , con i noti versori $hati$ e $hatj$ degli assi. Se anziché disegnare i due assi ortogonali li disegni in modo che formino un angolo $\psi < \pi/2$ , e tracci un vettore $vecA$ con origine in $O$, ti rendi conto che puoi trovare le componenti del vettore sia rispetto ai due assi ortogonali che rispetto agli assi obliqui, e hai appunto le componenti covariant e le controvarianti , legate dalle leggi di trasformazione dei vettori. Guarda questa figura:
Aggiungo infine che i tensori trovano applicazione non solo in RG ma anche in RR , dove lo spaziotempo è piatto e la metrica è quella di Minkowski.
Dai un’occhiata questi appunti d iValeria Ferrari:
https://www.roma1.infn.it/teongrav/VALE ... elgen.html
oppure cerca in rete il libro di B. Schutz : “A first course in General relativity” , seconda edizione, e leggi la parte relativa ai tensori, nei capitoli iniziali. Se poi ti interessa la RG, il libro è una buona introduzione, con esercizi.
Buon lavoro.
Grazie per la risposta. Onestamente non vedo l'ora di incontrare nel dettaglio questi argomenti nella loro formulazione più generale in Geometria Differenziale e Algebra Commutativa, tuttavia preferisco aspettare i tempi giusti per evitare corse dannose, ma penso che togliermi i dubbi che ho ora sia necessario per non andare in panico all'esame.
P.s: l'interpretazione grafica è interessante, grazie nuovamente
P.s: l'interpretazione grafica è interessante, grazie nuovamente
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