Fisica Matematica: componenti di un tensore
Salve, oggi a lezione di fisica matematica sono stati introdotti i tensori partendo dal prodotto tensoriale di due vettori di $RR^3$. Nell'introdurli, la professoressa ci ha detto che non tutte le matrici possono rappresentare tensori, in quanto non tutte le matrici soddisfano le formule per il cambio di riferimento $T_(i' j')=A_(i'i)A_(j'j)T_(ij)$. Ora, questa frase non è che mi risulti chiara, ovvero, nel caso parto da due vettori $u,v$ con componenti $u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3$ rispetto a un riferimento ${e_1,e_2,e_3}$ e componenti $u'_1,u'_2,u'_3,v'_1,v'_2,v'_3$ rispetto a un riferimento ${e'_1,e'_2,e'_3}$ posso facilmente ricavare le componenti di $T_(ij)$ e $T_(i'j')$ prodotti tensoriali dei due vettori nei due diversi riferimenti e vedere se soddisfano le formule di trasformazione. In questo caso, tuttavia, la matrice che mi rappresenta $T$ nel secondo riferimento non è quella che si ottiene applicando le formule del cambiamento di base della matrice che mi rappresenta $T$ nel primo (dove per formule del cambiamento di base in questo caso intendo quelle che si usano usualmente in Algebra Lineare) dunque decuco che nel caso dei tensori le fomule di cambiamento di base non sono le stesse delle matrici. Ora, il problema è: se io prendo una matrice $B$ con componenti $b_(ij)$ nel primo riferimento e mi si chiede di verificare che questo è un tensore, devo effettivamente verificare che preso un generico riferimento, le componenti di $B$ in quel riferimento sono legate alle componenti del primo riferimento mediante la prima relazione che ho scritto, tuttavia, se non so come trovare le componenti di $B$ in un altro riferimento dato che non sono date dalle formule dell'usuale cambiamento di base, in che modo dovrei confrontarle?
Inoltre, un altro dubbio mi veniva dal fatto che come altro criterio ci veniva dato un altro criterio che consisteva nel saturare/contrarre gli indici al fine di vedere se esce uno scalare invariante, indipendetemente dalla tensore con cui si prova a saturare.
Ora, per vedere se avessi capito il concetto ho preso due vettori di $R^2$ che rispetto alla base canonica sono $(1,2)$ e $(2,1)$ dunque facendo il prodotto tensoriale mi esce il tensore di componenti $T_(11)=2, T_(12)=1, T_(21)=4,T_(22)=2$ ora, mi metto nel seguente riferimento ${(1,1),(0,1)}$. In questo riferimento i vettori diventano $(1,1)$ e $(2,-1)$ e facendo il prodotto tensoriale (o applicando le formule di trasformazione per i tensori) mi escono le componenti $T'_(11)=2, T'_(12)=-1,T'_(21)=2,T'_(22)=-1$. Ora nel saturare entrambi gli indici prendo il tensore che nel primo riferimento a componenti $D_(11)=x^2, D_(12)=xy, D_(21)=yx, D_(22)=y^2$ e dunque $T_(ij)D^(ij)=x^2+5xy+y^2$.Ora, dato che le componenti di $D$ in un riferimento le ho ottenute con il prodotto tensoriale di $(x,y)$ con sè, in un altro riferimento dovrebbero essere date dal prodotto tensoriale di $(x',y')$ con sè, dove nel caso in questione $x=x'$ e $y'=-x+y$, tuttavia facendo $T'_(ij)D'^(ij)$ mi esce $3xy$ e dunque non coincidono, tuttavia questo dovrebbe essere il caso in cui coincidono sempre le due formule dato che so essere dei tensori e dunque penso di non averci capito molto.
In sintesi, se non vi reca disturbo, potreste aiutarmi a togliere questi dubbi?
Inoltre, un altro dubbio mi veniva dal fatto che come altro criterio ci veniva dato un altro criterio che consisteva nel saturare/contrarre gli indici al fine di vedere se esce uno scalare invariante, indipendetemente dalla tensore con cui si prova a saturare.
Ora, per vedere se avessi capito il concetto ho preso due vettori di $R^2$ che rispetto alla base canonica sono $(1,2)$ e $(2,1)$ dunque facendo il prodotto tensoriale mi esce il tensore di componenti $T_(11)=2, T_(12)=1, T_(21)=4,T_(22)=2$ ora, mi metto nel seguente riferimento ${(1,1),(0,1)}$. In questo riferimento i vettori diventano $(1,1)$ e $(2,-1)$ e facendo il prodotto tensoriale (o applicando le formule di trasformazione per i tensori) mi escono le componenti $T'_(11)=2, T'_(12)=-1,T'_(21)=2,T'_(22)=-1$. Ora nel saturare entrambi gli indici prendo il tensore che nel primo riferimento a componenti $D_(11)=x^2, D_(12)=xy, D_(21)=yx, D_(22)=y^2$ e dunque $T_(ij)D^(ij)=x^2+5xy+y^2$.Ora, dato che le componenti di $D$ in un riferimento le ho ottenute con il prodotto tensoriale di $(x,y)$ con sè, in un altro riferimento dovrebbero essere date dal prodotto tensoriale di $(x',y')$ con sè, dove nel caso in questione $x=x'$ e $y'=-x+y$, tuttavia facendo $T'_(ij)D'^(ij)$ mi esce $3xy$ e dunque non coincidono, tuttavia questo dovrebbe essere il caso in cui coincidono sempre le due formule dato che so essere dei tensori e dunque penso di non averci capito molto.
In sintesi, se non vi reca disturbo, potreste aiutarmi a togliere questi dubbi?
Risposte
Per curiosità, per le domande off topic di 3 messaggi fa, sarebbe più opportuno creare un thread per ognuno, o dato che per ora mi basta sapere se quelle affermazioni siano o meno corrette posso evitare?
Alcune delle risposte che cerchi sono già nei numerosi link che hai avuto. Hai intelligenza sufficiente per trovarle.
Ti suggerisco ancora , per la relatività, tre corsi che sono on line, non ricordo se te ne avevo già parlato. Uno è di Sean Carroll, lo trovi su arxiv, sono delle note del 1997:
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019#
un altro è di Andrew Hamilton:
https://jila.colorado.edu/~ajsh/courses ... grbook.pdf
il terzo è di Mathias Blau :
http://www.blau.itp.unibe.ch/GRLecturenotes.html
Comincia a guardare questi, se proprio vai di fretta; ma io al tuo posto aspetterei gli sviluppi del corso che stai seguendo. Non esiste più la possibilità di fare domande ai docenti?
Se vuoi, puoi chiedere ciò che desideri, ma il punto è che hai fatto molte domande su argomenti non facili; capisci che se uno dovesse (e sapesse...!) rispondere a tutte ci vorrebbe una eternità, e facilmente si potrebbe incorrere in errori. Poi, visto l’andazzo del forum, non vedo molta voglia... Una volta si facevano delle discussioni di 15 o 20 pagine, ora mi sembra non più.
Put your brain at work !
Ti suggerisco ancora , per la relatività, tre corsi che sono on line, non ricordo se te ne avevo già parlato. Uno è di Sean Carroll, lo trovi su arxiv, sono delle note del 1997:
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019#
un altro è di Andrew Hamilton:
https://jila.colorado.edu/~ajsh/courses ... grbook.pdf
il terzo è di Mathias Blau :
http://www.blau.itp.unibe.ch/GRLecturenotes.html
Comincia a guardare questi, se proprio vai di fretta; ma io al tuo posto aspetterei gli sviluppi del corso che stai seguendo. Non esiste più la possibilità di fare domande ai docenti?
Se vuoi, puoi chiedere ciò che desideri, ma il punto è che hai fatto molte domande su argomenti non facili; capisci che se uno dovesse (e sapesse...!) rispondere a tutte ci vorrebbe una eternità, e facilmente si potrebbe incorrere in errori. Poi, visto l’andazzo del forum, non vedo molta voglia... Una volta si facevano delle discussioni di 15 o 20 pagine, ora mi sembra non più.
Put your brain at work !
@Shackle: hai troppo fiducia nella mia capacità di capire questi argomenti, comunque grazie per tutta la tua pazienza e per i link. Per quanto riguarda la prof...ho provato a farle le domande...e non è andata a finire benissimo, ovvero mi ha ignorato. Proverò a rifargliele domani, e a vedere i 3 corsi che hai linkato, anche se non penso che avrò la certezza finchè qualcuno che ne sappia più di me, mi darà conferma, dato che ho paura di frainterede cose che posso facilmente andare oltre il mio livello, anche perchè in matematica spesso ci sono differenze molto fini, che salvo di trattare l'argomento in qualche corso che ha quello tra gli argomenti prinicpali non vengono esposte.
Ho fatto altre ricerche. Conosci "Arfken : mathematical methods for physicists” ? Ho preso queste pagine da lí.
Non aver paura di fraintendere qualcosa, può succedere. E se l’argomento va oltre il tuo livello, lascialo perdere. Ma le nozioni fondamentali sui tensori sono abbastanza semplici, penso. Sfronda la materia da tanti formalismi, e guarda all’essenziale: le regole di trasformazione per le componenti, per cambio di coordinate. Prova ad applicare la procedura ad un vettore di $RR^2$ , passando da coordinate cartesiane a coordinate polari sul piano, giusto come esercizio. Un vettore è un tensore controvariante del primo ordine, quindi la regola di trasformazione è una sola :
$A’ ^\alpha = (del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta$
Naturalmente le coordinate sono $(x,y) $ per le cartesiane e $(r, theta )$ per le polari. Si tratta in definitiva di trovare, con la procedura di derivazione parziale e somma su indici ripetuti, ( nel caso suddetto l’indice su cui devi sommare è $\beta$ al secondo membro, che stando sotto il segno di frazione è considerato “indice basso” per cui si satura con l’indice di $A ^\beta$ ), le componenti $(A^r,A^\theta)$ , essendo note $(A^x, A^y)$, o viceversa.
Cosi devi ritrovare per questa via le componenti del vettore nelle coordinate polari date le cartesiane, o viceversa. Questo lo sai fare sicuramente per via più “geometrica” .
È solo più brigoso agli inizi. MA serve a svincolarsi dalle coordinate. Se una quantità è un tensore in un certo riferimento, rimane un tensore in un altro, dopo trasformazione, conservando il rango. Se una certa equazione è tensoriale in un riferimento, lo è anche in altri. E questo è in sintesi quello che serviva ad Einstein : le leggi della fisica devono essere scritte alla stessa maniera da tutti gli osservatori , non solo quelli inerziali, per cui occorre svincolarle dalle coordinate. E si può fare solo col calcolo tensoriale, scrivendo appunto equazioni “tensoriali”.
Non aver paura di fraintendere qualcosa, può succedere. E se l’argomento va oltre il tuo livello, lascialo perdere. Ma le nozioni fondamentali sui tensori sono abbastanza semplici, penso. Sfronda la materia da tanti formalismi, e guarda all’essenziale: le regole di trasformazione per le componenti, per cambio di coordinate. Prova ad applicare la procedura ad un vettore di $RR^2$ , passando da coordinate cartesiane a coordinate polari sul piano, giusto come esercizio. Un vettore è un tensore controvariante del primo ordine, quindi la regola di trasformazione è una sola :
$A’ ^\alpha = (del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta$
Naturalmente le coordinate sono $(x,y) $ per le cartesiane e $(r, theta )$ per le polari. Si tratta in definitiva di trovare, con la procedura di derivazione parziale e somma su indici ripetuti, ( nel caso suddetto l’indice su cui devi sommare è $\beta$ al secondo membro, che stando sotto il segno di frazione è considerato “indice basso” per cui si satura con l’indice di $A ^\beta$ ), le componenti $(A^r,A^\theta)$ , essendo note $(A^x, A^y)$, o viceversa.
Cosi devi ritrovare per questa via le componenti del vettore nelle coordinate polari date le cartesiane, o viceversa. Questo lo sai fare sicuramente per via più “geometrica” .
È solo più brigoso agli inizi. MA serve a svincolarsi dalle coordinate. Se una quantità è un tensore in un certo riferimento, rimane un tensore in un altro, dopo trasformazione, conservando il rango. Se una certa equazione è tensoriale in un riferimento, lo è anche in altri. E questo è in sintesi quello che serviva ad Einstein : le leggi della fisica devono essere scritte alla stessa maniera da tutti gli osservatori , non solo quelli inerziali, per cui occorre svincolarle dalle coordinate. E si può fare solo col calcolo tensoriale, scrivendo appunto equazioni “tensoriali”.
@Shackle: appena finisco di ricopiare gli appunti scriverò le formule del cambiamento di coordinate da cartesiane a polari. Comunque oggi la professoressa ha risposto alle domande in topic dando conferma, tuttavia oggi mi ha mandato in confusione nuovamente perché nel dimostrare che il tensore di inerzia è effettivamente un tensore ha dimostrato che esiste un endomorfismo che valutato in un generico vettore restituisce un vettore che è il prodotto interno tra la matrice che rappresenta il tensore e il vettore su cui l'endomorfismo agisce. Ma il problema è che ciò dovrebbe accadare per ogni matrice, dunque non capisco in che modo rappresenti un criterio per la tensorialità.
Ecco quello che ho fatto sul cambiamento di coordinate:
Comunque circa l'ultima cosa che avevo scritto, penso di aver capito anche il fatto dell'endomorfismo: ovvero se dimostro che una matrice come ad esempio quella associata al tensore di inerzia, che ha per componenti funzioni che dipendono da un punto, è tale che moltiplicata per un vettore, mi dà un altro vettore che se trasformato con un cambio di coordinate mediante la matrice del cambiamento, non è uguale alla matrice di partenza applicata al vettore nelle componenti di una nuova base, allora non valgono le leggi di trasformazione è allora la matrice di partenza non era un tensore. Invece, nel caso del tensore di inerzia, dato che trovo un endomorfismo che me lo rappresenta, in automatico è un tensore.
Comunque circa l'ultima cosa che avevo scritto, penso di aver capito anche il fatto dell'endomorfismo: ovvero se dimostro che una matrice come ad esempio quella associata al tensore di inerzia, che ha per componenti funzioni che dipendono da un punto, è tale che moltiplicata per un vettore, mi dà un altro vettore che se trasformato con un cambio di coordinate mediante la matrice del cambiamento, non è uguale alla matrice di partenza applicata al vettore nelle componenti di una nuova base, allora non valgono le leggi di trasformazione è allora la matrice di partenza non era un tensore. Invece, nel caso del tensore di inerzia, dato che trovo un endomorfismo che me lo rappresenta, in automatico è un tensore.
Buono quello che hai fatto! ( I passaggi non li ho guardati ma certamente sono giusti). Hai visto che in fin dei conti non era tanto difficile? Naturalmente qui il caso era piuttosto semplice, ma ci sono tensori ben più difficili da trattare. Poco male, è solo una complicazione formale, bisogna solo stare molto attenti agli indici alti e bassi, e alla fine verificare che quelli sopravvissuti a sinistra siano uguali a quelli sopravvissuti a destra.
Riguardando le trasformazioni che hai scritto, nelle ultime due, che sono le inverse delle prime, devi poi calcolare le derivate parziali indicate, oppure puoi semplicemente invertire le prime due. E un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
Un’ultimissima cosa. Nel calcolo tensoriale non è definita la divisione tra tensori ( cosí come non è definita, nel calcolo vettoriale, la divisione tra vettori). Allora come si fa a ricavare, da una espressione come questa :
$ A’ ^\alpha = (del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta $
la quantità $A ^\beta $, supponendo nota quella al primo membro, con l’apice? È semplice, si ricorre ad un trucchetto, sfruttando il $delta_\mu^\nu$ di Kronecker, che ha componenti uguali a 1 quando i due indici sono uguali e uguali a zero per indici diversi, in questo modo :
moltiplichiamo primo e secondo membro per $(del x^\mu) /(delx’^\alpha)$ :
$(del x^\mu) /(delx’^\alpha) A’ ^\alpha = (del x^\mu) /(delx’^\alpha)(del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta =(del x^\mu)/(delx^\beta) * A ^\beta= \delta_\beta^\mu A ^\beta = A^\mu$
e quindi : $A^\mu =(del x^\mu) /(delx’^\alpha) A’ ^\alpha$
che è quello che volevamo, cioè la trasformazione inversa dal tensore con apice a quello senza apice. Come vedi, è la stesse legge di trasformazione tra tensori (del primo ordine qui) di quella di partenza, solo che è invertita.
Questo trucchetto, che non è un trucco, si adopera molto spesso.
Ora ti lascio ai tuoi studi, appunti, link, e tutta quella marea di roba che hai avuto
Riguardando le trasformazioni che hai scritto, nelle ultime due, che sono le inverse delle prime, devi poi calcolare le derivate parziali indicate, oppure puoi semplicemente invertire le prime due. E un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
Un’ultimissima cosa. Nel calcolo tensoriale non è definita la divisione tra tensori ( cosí come non è definita, nel calcolo vettoriale, la divisione tra vettori). Allora come si fa a ricavare, da una espressione come questa :
$ A’ ^\alpha = (del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta $
la quantità $A ^\beta $, supponendo nota quella al primo membro, con l’apice? È semplice, si ricorre ad un trucchetto, sfruttando il $delta_\mu^\nu$ di Kronecker, che ha componenti uguali a 1 quando i due indici sono uguali e uguali a zero per indici diversi, in questo modo :
moltiplichiamo primo e secondo membro per $(del x^\mu) /(delx’^\alpha)$ :
$(del x^\mu) /(delx’^\alpha) A’ ^\alpha = (del x^\mu) /(delx’^\alpha)(del x’^\alpha) /(delx^\beta) * A ^\beta =(del x^\mu)/(delx^\beta) * A ^\beta= \delta_\beta^\mu A ^\beta = A^\mu$
e quindi : $A^\mu =(del x^\mu) /(delx’^\alpha) A’ ^\alpha$
che è quello che volevamo, cioè la trasformazione inversa dal tensore con apice a quello senza apice. Come vedi, è la stesse legge di trasformazione tra tensori (del primo ordine qui) di quella di partenza, solo che è invertita.
Questo trucchetto, che non è un trucco, si adopera molto spesso.
Ora ti lascio ai tuoi studi, appunti, link, e tutta quella marea di roba che hai avuto
Grazie per il trucco e per tutte le tue risposte.
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