Esercizio conservazione qdm.
Ciao,
Una piccola pallina di massa $m$ è lanciata su un piano orizzontale alla velocità $v_0$. A un certo istante, la pallina incontra un piano inclinato, anch' esso di massa $m$, che è libero di scivolare senza attrito sul piano orizzontale. L'altezza del piano inclinato è $h= 1,63 m$.
Quale deve essere il minimo valore di $v_0$ affinché la pallina arrivi in cima al piano inclinato?
Ho provato a fare una considerazione sull'energia potenziale e cinetica: cioè ho posto $U=mgh=1/2mv_0^2=K$, ma il risultato del libro risulta poi diverso dal mio.
Credo che nel momento in cui la pallina tocca il piano inclinato cambia la sua energia cinetica, quindi la sua velocità, che sarà diversa da $v_0$, ma non capisco bene come. A parte risolvere il problema, mi potreste far capire dove sbaglio il ragionamento?
Grazie.
Una piccola pallina di massa $m$ è lanciata su un piano orizzontale alla velocità $v_0$. A un certo istante, la pallina incontra un piano inclinato, anch' esso di massa $m$, che è libero di scivolare senza attrito sul piano orizzontale. L'altezza del piano inclinato è $h= 1,63 m$.
Quale deve essere il minimo valore di $v_0$ affinché la pallina arrivi in cima al piano inclinato?
Ho provato a fare una considerazione sull'energia potenziale e cinetica: cioè ho posto $U=mgh=1/2mv_0^2=K$, ma il risultato del libro risulta poi diverso dal mio.
Credo che nel momento in cui la pallina tocca il piano inclinato cambia la sua energia cinetica, quindi la sua velocità, che sarà diversa da $v_0$, ma non capisco bene come. A parte risolvere il problema, mi potreste far capire dove sbaglio il ragionamento?
Grazie.
Risposte
Se la velocità è quella minima, la pallina arriva ferma in cima. Ma ferma rispetto al piano inclinato, ossia la pallina e il piano inclinato hanno la stessa velocità...
Se il piano inclinato fosse fisso, la velocità minima sarebbe $v_0=sqrt(2gh)$. Però siccome non è fisso, la pallina "trasmette" durante tutta la salita una parte della componente orizzontale della sua velocità al piano inclinato.
Per cui deve essere $v_0>sqrt(2gh)$. E qui non so come andare avanti
.
Per cui deve essere $v_0>sqrt(2gh)$. E qui non so come andare avanti
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Quando la pallina è in cima, la QM del sistema cuneo-pallina, di massa 2m, è uguale a quella della pallina prima dell'urto, quindi $v_0 = 2v$....
Vai avanti tu...
Vai avanti tu...
"mgrau":
Quando la pallina è in cima, la QM del sistema cuneo-pallina, di massa 2m, è uguale a quella della pallina prima dell'urto, quindi $v_0 = 2v$....
Vai avanti tu...
Ho ottenuto un nuovo risultato, che potrebbe avere senso, ma è diverso da quello del libro.
Se la qdm si conserva, dev'essere $v_0=2v$ dove $v$ è la velocità del sistema cuneo-pallina rispetto al piano orizzontale, quando la pallina è in cima, ferma rispetto al cuneo.
Poi ho fatto una considerazione energetica, ossia:
Prima dell'urto l'energia meccanica totale della pallina è $E=1/2mv_0^2$; quando la pallina è in cima al cuneo, ferma rispetto al cuneo, la sua energia meccanica totale è $E=1/2mv^2+mgh$.
L'energia meccanica in questo caso si conserva, allora $1/2mv_0^2=1/2mv^2+mgh$. Semplificando la massa si ha $1/2v_0^2=1/2v^2+gh$.
Allora ottengo questo sistema:
$\{(v_0=2v),(1/2v_0^2=1/2v^2+gh):}$
Insomma risolvendolo ottengo $v_0=6,53 m$, diverso dal risultato del libro che è $8,0 m$.
Dove sbaglio?
Grazie.
Hai dimenticato l'energia cinetica del cuneo
"mgrau":
Hai dimenticato l'energia cinetica del cuneo
Ora il risultato è giusto.
Però ora vorrei capire:
1) Perché la quantità di moto si conserva?
2) Se il sistema che ho scritto senza considerare l'energia cinetica del cuneo non va bene, significa che l'energia meccanica della sola pallina non si conserva? Se si perché?
Grazie.
1) Perchè non dovrebbe conservarsi? Le sole forze esterne sono verticali, la QM è orizzontale.
2) Certo che no. Mica è un sistema isolato. La pallina mette in moto il cuneo, gli trasferirà pure dell'energia, no?
2) Certo che no. Mica è un sistema isolato. La pallina mette in moto il cuneo, gli trasferirà pure dell'energia, no?
"mgrau":
1) Perchè non dovrebbe conservarsi? Le sole forze esterne sono verticali, la QM è orizzontale.
2) Certo che no. Mica è un sistema isolato. La pallina mette in moto il cuneo, gli trasferirà pure dell'energia, no?
La 2 l'ho capita, la 1 non mi è chiara.
Dopo l'urto con il cuneo, c'è la componente della forza di gravità che è opposta al moto di "salita" della pallina sul cuneo, e questa forza è parallela al moto.
"AnalisiZero":
Dopo l'urto con il cuneo, c'è la componente della forza di gravità che è opposta al moto di "salita" della pallina sul cuneo, e questa forza è parallela al moto.
E' vero, la componente verticale della QM non si conserva: è zero all'inizio, passa ad un valore diverso da zero al momento dell'urto con il cuneo e poi torna a zero alla fine della salita.
Ma quella orizzontale rimane costante il tutto il processo. Non ci sono forze esterne orizzontali.
"mgrau":
[quote="AnalisiZero"]
Dopo l'urto con il cuneo, c'è la componente della forza di gravità che è opposta al moto di "salita" della pallina sul cuneo, e questa forza è parallela al moto.
E' vero, la componente verticale della QM non si conserva: è zero all'inizio, passa ad un valore diverso da zero al momento dell'urto con il cuneo e poi torna a zero alla fine della salita.
Ma quella orizzontale rimane costante il tutto il processo. Non ci sono forze esterne orizzontali.[/quote]
1)La reazione vincolare del piano inclinato essendo perpendicolare al piano inclinato non ha una componente orizzontale?
2)Tornando all' energia meccanica, se l'energia meccanica della sola pallina non si conserva, qual' è la forza non conservativa che fa lavoro in questo caso?
"AnalisiZero":
1)La reazione vincolare del piano inclinato essendo perpendicolare al piano inclinato non ha una componente orizzontale?
Sì: ma è una forza interna. Il sistema è formato da pallina + cuneo
"AnalisiZero":
2)Tornando all' energia meccanica, se l'energia meccanica della sola pallina non si conserva, qual' è la forza non conservativa che fa lavoro in questo caso?
Non ci sono forze non conservative. Nell'urto parte dell'energia e della QM sono trasferite al cuneo. Inoltre c'è il sollevamento della pallina.
P.S. Ho però pensato che forse il problema così come è dato, non va tanto bene. Perchè, se l'urto è elastico, come dobbiamo supporre, la pallina RIMBALZA, non sale lungo il piano inclinato. Bisogna, credo immaginare che ci sia una guida, una rotaia in grado di trattenere la pallina a contatto del piano.
"mgrau":
[quote="AnalisiZero"]
1)La reazione vincolare del piano inclinato essendo perpendicolare al piano inclinato non ha una componente orizzontale?
Sì: ma è una forza interna. Il sistema è formato da pallina + cuneo
"AnalisiZero":
2)Tornando all' energia meccanica, se l'energia meccanica della sola pallina non si conserva, qual' è la forza non conservativa che fa lavoro in questo caso?
Non ci sono forze non conservative. Nell'urto parte dell'energia e della QM sono trasferite al cuneo. Inoltre c'è il sollevamento della pallina.
P.S. Ho però pensato che forse il problema così come è dato, non va tanto bene. Perchè, se l'urto è elastico, come dobbiamo supporre, la pallina RIMBALZA, non sale lungo il piano inclinato. Bisogna, credo immaginare che ci sia una guida, una rotaia in grado di trattenere la pallina a contatto del piano.[/quote]
1) E la componente della forza di gravità che rallenta la pallina mentre sale (cioè parallela al piano inclinato) ha a sua volta una componente orizzontale non "bilanciata"?.
2)Ma secondo il principio di conservazione dell'energia meccanica non dovrebbe esserci un lavoro di forze non conservative se l'energia meccanica non si conserva?
Grazie.
"AnalisiZero":
1) E la componente della forza di gravità che rallenta la pallina mentre sale (cioè parallela al piano inclinato) ha a sua volta una componente orizzontale non "bilanciata"?.
Ma la gravità non ha componenti orizzontali. Una scomposizione ad hoc non può far nascere quel che non c'è
"AnalisiZero":
2)Ma secondo il principio di conservazione dell'energia meccanica non dovrebbe esserci un lavoro di forze non conservative se l'energia meccanica non si conserva?
Ma dov'è questa energia che non si conserva? Certo, se invece che il sistema intero consideri solo un pezzo... come se, nell'urto fra due palle da bigliardo, vedendo che, poniamo, una si ferma, dimenticandoti dell'altra che schizza via, dicessi che l'energia non si conserva...
Si intendo l'energia della sola pallina, che ovviamente non si conserva. Quindi pensando al principio di conservazione dell'energia meccanica, ci deve essere una forza non conservativa che non fa conservare l'energia meccanica della sola pallina? Il tuo esempio della palla da biliardo è identico a quello che voglio dire, mi riferisco a una sola palla.
"AnalisiZero":
ci deve essere una forza non conservativa che non fa conservare l'energia meccanica della sola pallina?
Ma cosa ti salta in mente??
Buongiorno riprendo questa discussione perchè anche io mi sono imbattuto in questo problema e all'inizio l'avevo risolto con la conservazione della quantità di moto. Mi è sorto un dubbio. La conservazione della quantità di moto si può applicare solo per sistemi isolati. Su questo sistema agisce la forza peso della pallina che sul piano inclinato ha una componente parallela al moto non bilanciata. Ma allora non si può applicare la legge di conservazione. Non lo so mi sembra strano come problema.
Grazie in anticipo per chi risponderà
Grazie in anticipo per chi risponderà
In un sistema isolato...... Forza peso e interna.
Non può conservarsi in un sistema di riferimento e non conservarsi in un altro.
Se non ci sono forze esterne si conserva sempre
Non può conservarsi in un sistema di riferimento e non conservarsi in un altro.
Se non ci sono forze esterne si conserva sempre
La forza peso viene esercitata dalla Terra quindi dovrebbe essere esterna. Se si considera un corpo in caduta libera, la sua quantità di moto non si conserva quindi deve agire su di esso una forza esterna che dovrebbe essere proprio la forza peso. Allo stesso modo nemmeno nel porblema dovrebbe conservarsi. Dove sbaglio?
Come già detto nel corso della discussione è la quantità di moto orizzontale che si conserva, quella verticale no, visto che il peso è una forza esterna al sistema.
Nella caduta libera la forza non è perpendicolare ma è nello stesso verso e direzione dello spostamento
È si ho scritto interna nel senso che non la consideri
È si ho scritto interna nel senso che non la consideri
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