Esercizi piano inclinato
Ciao!volevo sapere come si faceva a svolgere i punti degli esercizi sul piano incinato, in cui mette di calcolare l'equazione del moto, la legge oraria ecc..
Metto un esempio:
Problema n. 2: Nel sistema rappresentato in figura un corpo A di massa M = 7.2 kg è posto
su un piano inclinato liscio sufficientemente lungo che forma un angolo α = 30° con
l’orizzontale, ed è mantenuto in quiete nel punto di mezzo del piano stesso tramite un
opportuno appoggio. Un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola disposta
verticalmente collega il corpo A a un secondo corpo B di massa m = 1.2 kg che pende
verticalmente ed è collegato all’estremità di una molla, in configurazione verticale, avente
lunghezza di riposo l0 = 0.3 m e costante elastica k = 160 N/m. L’altra estremità della molla è
fissata ad un gancio G del piano orizzontale. Le masse del filo, della molla e della carrucola C
sono trascurabili rispetto alla massa dei due corpi. Il sistema è inizialmente in condizioni di
equilibrio statico, con la molla avente lunghezza x0 = 0.4 m. All’istante t = 0 l’appoggio viene
rimosso e il corpo A inizia a muoversi lungo il piano inclinato. Calcolare nel sistema di
riferimento Ox con l’origine O ancorata al gancio G e l’asse x perpendicolare al piano
orizzontale:
a) la tensione iniziale T del filo;
b) la reazione R sviluppata dall’appoggio sul corpo A;
c) l’equazione del moto del sistema A + B per t > 0;
d) la legge oraria del moto del corpo B per t > 0.
Per la figura:
http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid510295.pdf
Il mio problema sarebbero quindi i punti c, d..grazie
Metto un esempio:
Problema n. 2: Nel sistema rappresentato in figura un corpo A di massa M = 7.2 kg è posto
su un piano inclinato liscio sufficientemente lungo che forma un angolo α = 30° con
l’orizzontale, ed è mantenuto in quiete nel punto di mezzo del piano stesso tramite un
opportuno appoggio. Un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola disposta
verticalmente collega il corpo A a un secondo corpo B di massa m = 1.2 kg che pende
verticalmente ed è collegato all’estremità di una molla, in configurazione verticale, avente
lunghezza di riposo l0 = 0.3 m e costante elastica k = 160 N/m. L’altra estremità della molla è
fissata ad un gancio G del piano orizzontale. Le masse del filo, della molla e della carrucola C
sono trascurabili rispetto alla massa dei due corpi. Il sistema è inizialmente in condizioni di
equilibrio statico, con la molla avente lunghezza x0 = 0.4 m. All’istante t = 0 l’appoggio viene
rimosso e il corpo A inizia a muoversi lungo il piano inclinato. Calcolare nel sistema di
riferimento Ox con l’origine O ancorata al gancio G e l’asse x perpendicolare al piano
orizzontale:
a) la tensione iniziale T del filo;
b) la reazione R sviluppata dall’appoggio sul corpo A;
c) l’equazione del moto del sistema A + B per t > 0;
d) la legge oraria del moto del corpo B per t > 0.
Per la figura:
http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid510295.pdf
Il mio problema sarebbero quindi i punti c, d..grazie
Risposte
per il punto c analizza le forze in gioco e imposta l'equazione di Newton per entrambi i corpi secondo il s.di riferimento in figura...
per il punto d devi risolvere l'equazione di Newton relativa al corpo B trovando la legge oraria, che sarà di tipo armonico
per il punto d devi risolvere l'equazione di Newton relativa al corpo B trovando la legge oraria, che sarà di tipo armonico
Grazie...il punto c allora avevo capito......ma come si fa a trovare la legge oraria??..Il prof nn ci ha fatto neanche un esempio!
quindi il punto c è:
-m(a)gsen30 + m(b)g + k(l-lzero) = (m(a) + m(b))a
e il d?grazie mille ancora
quindi il punto c è:
-m(a)gsen30 + m(b)g + k(l-lzero) = (m(a) + m(b))a
e il d?grazie mille ancora
Per il d devi considerare solo la massa B.
Dunque scrivi l'equazione del moto di B che è
$ma=-mg-k(y-l_0)$
in forma differenziale puoi vederla come
$m\frac{d^2y}{dt}+k(y-l_0)+mg=0$
Dovresti risolvere l'e. differenziale, ma sai che è un moto armonico pertanto la legge oraria si scrive.......
tu devi solo trovarti le costanti in funzione delle tue condizioni iniziali.
Dunque scrivi l'equazione del moto di B che è
$ma=-mg-k(y-l_0)$
in forma differenziale puoi vederla come
$m\frac{d^2y}{dt}+k(y-l_0)+mg=0$
Dovresti risolvere l'e. differenziale, ma sai che è un moto armonico pertanto la legge oraria si scrive.......
tu devi solo trovarti le costanti in funzione delle tue condizioni iniziali.
grazie mille potrei aver capito!..perchè sugli altri esempi ke c'erano tutti usavano le eq.differenziali...ke però quando il prof spiegava noi nn le conoscevamo ancora..e quindi mi trovavo in difficoltà..grazie!
Allora io ho provato ad eseguire, però a me i segni vengono diversi..
ma=mg+k(y-lzero)
Perchè le due forze vanno verso il basso!..e secondo quello utilizzato dall'inizio dell'esercizio l'asse x va verso destra..e quindi poi verso il basso..
quindi viene m(dquadrox/dt)-k(x-lzero)-mg)=0
Io so che la legge generale di un moto armonico è x(t)=Asen(wt+fi) (che poi nn capisco xkè w=radice di k/m )
Da qui io non ho praticamente niente x completare la legge oraria..perchè da come avevi scritto tu nn mi sembrava indispensabile risolvere l'equaz differenziale..(anke xkè nn son capace!)..come trovo le costanti della legge oraria??..Scusami ma questi passaggi nn li ho mai fatti e nessuno li ha spegati!grazie
ma=mg+k(y-lzero)
Perchè le due forze vanno verso il basso!..e secondo quello utilizzato dall'inizio dell'esercizio l'asse x va verso destra..e quindi poi verso il basso..
quindi viene m(dquadrox/dt)-k(x-lzero)-mg)=0
Io so che la legge generale di un moto armonico è x(t)=Asen(wt+fi) (che poi nn capisco xkè w=radice di k/m )
Da qui io non ho praticamente niente x completare la legge oraria..perchè da come avevi scritto tu nn mi sembrava indispensabile risolvere l'equaz differenziale..(anke xkè nn son capace!)..come trovo le costanti della legge oraria??..Scusami ma questi passaggi nn li ho mai fatti e nessuno li ha spegati!grazie
"Andro89":
Grazie...il punto c allora avevo capito......ma come si fa a trovare la legge oraria??..Il prof nn ci ha fatto neanche un esempio!
quindi il punto c è:
-m(a)gsen30 + m(b)g + k(l-lzero) = (m(a) + m(b))a
e il d?grazie mille ancora
Hai controllato i risultati per sapere se questo punto è giusto ? perchè la forza elastica ha sempre segno segno opposto alla direzione in cui la si sta tirando, e non capisco se quella differenza $l-l_0$ dia un numero negativo dato che non compare il dato $l$ nel testo.
"la forza elastica ha sempre segno segno opposto alla direzione in cui la si sta tirando" cosa intendi precisamente? perchè ho visto ank'io che nel libro la formula inizia con il meno..però nn riuscivo ad applicarla sempre correttamente e allora alla fine avevo capito di considerarla positiva se la forza tirava verso sinistra..e positiva se verso destro..(intendo ocme asse di riferimento l'asse del piano inclinato orientato a destra)
Perchè infatti nel punto ha quando devo calcolare $T$ del filo iniziale ho notato che calcolando $Ta$ e $Tb$ ho due risultati diversi..nn so se dipenda da quello..ora ti scrivo tutto: (in tutto con ma e mb intendo massa A e massa B..a differenza del testo che le chiama M e m)
considerando $ma$
su x ho: $Ta-Fpax=ma(a)$
su y ho: $N-Fpay=0$
considerando $mb$
solo su x: $-Tb+Fpb+Fel=mb(a)
Avendo all'inizio $a=0$
$Ta=Fpax=magsen30=35,3N$
INvece:
$Tb=Fpb+Fel=mbg+k(x0-l0)=27,8N$
Io vedo invece che il prof prendeva sempre $Ta=Tb$
INfatti poi nn capisco dove sia R sviluppata dall'appoggio!
e poi per il punto c)
$-Fpax+Fpb+Fel=(ma+mb)a$
$-magsen30+mbg+k(l-l0)=(ma+mb)a$
Perchè infatti nel punto ha quando devo calcolare $T$ del filo iniziale ho notato che calcolando $Ta$ e $Tb$ ho due risultati diversi..nn so se dipenda da quello..ora ti scrivo tutto: (in tutto con ma e mb intendo massa A e massa B..a differenza del testo che le chiama M e m)
considerando $ma$
su x ho: $Ta-Fpax=ma(a)$
su y ho: $N-Fpay=0$
considerando $mb$
solo su x: $-Tb+Fpb+Fel=mb(a)
Avendo all'inizio $a=0$
$Ta=Fpax=magsen30=35,3N$
INvece:
$Tb=Fpb+Fel=mbg+k(x0-l0)=27,8N$
Io vedo invece che il prof prendeva sempre $Ta=Tb$
INfatti poi nn capisco dove sia R sviluppata dall'appoggio!
e poi per il punto c)
$-Fpax+Fpb+Fel=(ma+mb)a$
$-magsen30+mbg+k(l-l0)=(ma+mb)a$
Per il corpo B l'equazione di Newton nel sistema di riferimento è:
$m\ddot{x}=-k(x-x_0)-mg+T$
Perchè l'asse $x$ va verso l'alto, data l'informazione di $x_0=[size=150]+[/size] 0.4$ m
In sostanza è un moto armonico del tipo
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$
Devi ricavarti $A$ e $\phi$ dalle condizioni iniziali,mettendo a sistema, trovate quelle hai scritto la legge oraria
Una è la posizione al tempo $t=0$ e l'altra è la velocità allo stesso istante che è nulla
$m\ddot{x}=-k(x-x_0)-mg+T$
Perchè l'asse $x$ va verso l'alto, data l'informazione di $x_0=[size=150]+[/size] 0.4$ m
In sostanza è un moto armonico del tipo
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$
Devi ricavarti $A$ e $\phi$ dalle condizioni iniziali,mettendo a sistema, trovate quelle hai scritto la legge oraria
Una è la posizione al tempo $t=0$ e l'altra è la velocità allo stesso istante che è nulla
cmq i risultati nn li ho..perchè son esami degli appelli scorsi e nn ci dà gli svolgimenti!nè i risultati numerici!
tu prova a svolgere come ti ho detto e vedrai che fai bene
Quindi quando considero solo il corpo B..cambio asse di riferimento??..xkè come ho scritto prima quando considero tutto il piano io prendo un unico asse ke va verso destra e quindi diciamo idealmente parte dalla base del piano inclinato segue la sua salita e poi cade verticalmente...
Perchè tu usi il coseno..invece io anche nel mio libro e in altri esercizi simili già risolti ho trovato il seno??
Perchè tu usi il coseno..invece io anche nel mio libro e in altri esercizi simili già risolti ho trovato il seno??
devo calcolare T del filo iniziale ho notato che calcolando Ta e Tb ho due risultati diversi.
Perchè la tensione è la stessa lungo tutto il filo. Non ci sono nè $Ta$ nè $Tb$, ma solo T, come ti è stato mostrato nelle soluzioni di ELWOOD.
"Andro89":
Quindi quando considero solo il corpo B..cambio asse di riferimento??
Scusa, l'hai letto il problema?a me pare dica che il sistema di rif. da adottare sia con asse $x$ perpendicolare al piano orrizzontale......più chiaro di così!
"Andro89":
Perchè tu usi il coseno..invece io anche nel mio libro e in altri esercizi simili già risolti ho trovato il seno??
Tranquillo, non cambia assolutamente niente....come sai $\sin\theta=\cos(\theta+(\pi)/2)$
scusa ho dei seri problemi...tra mille esami nn capisco più niente di niente!hai ragione..quindi è x quello ke sbaglio anke i primi punti mi sa!!!=)
Per seno e coseno infatti immaginavo!
Allora io nel libro ho queste relazioni su $A fi$ e $w$ (fi è la lettera greca..)
$tgfi=(wx0)/vo$ e $A^2=(x0)^2+((v0)^2)/w^2$
che ovviamente il prof nn ci ha mai detto!
però dal sistema delle due io ho più di 2 incognite!conosco solo $x0$, ho provato a trovare $vo$ dalla prima e sostituendola si elimina $w$..però mi restano sempre le altre!
Per seno e coseno infatti immaginavo!
Allora io nel libro ho queste relazioni su $A fi$ e $w$ (fi è la lettera greca..)
$tgfi=(wx0)/vo$ e $A^2=(x0)^2+((v0)^2)/w^2$
che ovviamente il prof nn ci ha mai detto!
però dal sistema delle due io ho più di 2 incognite!conosco solo $x0$, ho provato a trovare $vo$ dalla prima e sostituendola si elimina $w$..però mi restano sempre le altre!
le relazioni che hai detto del libro provengono esattamente dal sistema che ti ho detto di impostare.
Io mi trovo meglio a svolgere il sistema, ogni caso ha delle condizioni diverse
Io mi trovo meglio a svolgere il sistema, ogni caso ha delle condizioni diverse
Io come ti ho detto le equazioni differenziali nn le so fare..quindi nn riesco con il tuo metodo..
L'equazione differenziale l'abbiamo già risolta.....abbiamo detto che è questa:
$x(t)=A\cos(\omega t +\Phi)$
che corrisponde alla legge oraria.
E' una legge generale però, e per farla corrispondere al tuo esercizio devi determinare le 2 incognite $A$ e $\Phi$......
ps: non ci credo che all'università di Fisica tu non abbia visto le equazioni differenziali ad analisi
$x(t)=A\cos(\omega t +\Phi)$
che corrisponde alla legge oraria.
E' una legge generale però, e per farla corrispondere al tuo esercizio devi determinare le 2 incognite $A$ e $\Phi$......
ps: non ci credo che all'università di Fisica tu non abbia visto le equazioni differenziali ad analisi
Faccio matematica applicata...cmq sì le ho viste in giugno ad Analisi 1..non le ho ancora studiate bene...il punto è che fisica1 l'ho fatta il primo quadrimestre quando le equaz differenziale nn le avevamo ancora fatte....questo intendevo..
Cmq ho capito che devo determinare $A$ e $fi$ ma so di aver dei seri problemi..però nn ho ancora capito come...perchè tu nn mi avevi mica sritto le cose che tu metti a sistema..(perchè con quelle del libro nn ci vengo proprio fuori!)
Cmq ho capito che devo determinare $A$ e $fi$ ma so di aver dei seri problemi..però nn ho ancora capito come...perchè tu nn mi avevi mica sritto le cose che tu metti a sistema..(perchè con quelle del libro nn ci vengo proprio fuori!)
Il sistema che devi risolvere è questo:
$\{(x(t)=A\cos(\omegat+\Phi)),(\dot{x}(t=0)=0),(x(t=0)=x_0):}$
lo sforzo di risolverlo però cerca di mettercelo tu, ragiona su che cos'è $\dot{x}(t)$ e $x_0$ e non puoi sbagliarti
$\{(x(t)=A\cos(\omegat+\Phi)),(\dot{x}(t=0)=0),(x(t=0)=x_0):}$
lo sforzo di risolverlo però cerca di mettercelo tu, ragiona su che cos'è $\dot{x}(t)$ e $x_0$ e non puoi sbagliarti
Io posso anche ragionare..ma nn son mai sicuro di niente!
Allora $x$ con il puntino so ke è la velocità...e $x0$ è la posizione iniziale..
Intanto ho capito ke la posizione finale deve essere uguale alla posizione iniziale(ovviamente!)..quindi mettendo nella prima $t=0$..ho che $Acosfi$ deve essere uguale a zero così $x(t)$ è uguale a $xzero$ ke sommo alla prima..quindi $fi=pigreco/2$
Poi x la velocità non capisco esattamente cosa devo fare..cioè so ke $v(t)=(dx)/(dt)$..e quindi potrei derivare la prima e mi risulta $x'(t)=-Awsen(wt+fi)$
Prendo già $fi=pigreco/2$..se ho $t=0$ devo quindi avere: $-Awsen(pigreco/2)=0$..mi risulta $A=0, w=0$
Ma la seconda parte mi convince gran poco..cioè così nn determino la velocità $w$
Uff..nn le capisco proprio queste cose..purtroppo la fisica nn fa x me..posso ragionare giorno e notte ma più di così nn ce la faccio!=)
Allora $x$ con il puntino so ke è la velocità...e $x0$ è la posizione iniziale..
Intanto ho capito ke la posizione finale deve essere uguale alla posizione iniziale(ovviamente!)..quindi mettendo nella prima $t=0$..ho che $Acosfi$ deve essere uguale a zero così $x(t)$ è uguale a $xzero$ ke sommo alla prima..quindi $fi=pigreco/2$
Poi x la velocità non capisco esattamente cosa devo fare..cioè so ke $v(t)=(dx)/(dt)$..e quindi potrei derivare la prima e mi risulta $x'(t)=-Awsen(wt+fi)$
Prendo già $fi=pigreco/2$..se ho $t=0$ devo quindi avere: $-Awsen(pigreco/2)=0$..mi risulta $A=0, w=0$
Ma la seconda parte mi convince gran poco..cioè così nn determino la velocità $w$
Uff..nn le capisco proprio queste cose..purtroppo la fisica nn fa x me..posso ragionare giorno e notte ma più di così nn ce la faccio!=)
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