Equazione della traiettoria
Salve, Un corpo si muove secondo la seguente legge oraria: $x(t)=4t-3;y(t)=-t^3-1$.
gli spostamenti sono misurati in metri ed il tempo in secondi. Scrivere l’
equazione della traiettoria e determinare la componente y dello spostamento
quando x =−3. 0
Il risultato mi viene $-1.0m$, ma l'equazione della traiettoria mi lascia dubbi, corretta scritta così:
$t=(3+x(t))/4$
Corretta? Grazie
gli spostamenti sono misurati in metri ed il tempo in secondi. Scrivere l’
equazione della traiettoria e determinare la componente y dello spostamento
quando x =−3. 0
Il risultato mi viene $-1.0m$, ma l'equazione della traiettoria mi lascia dubbi, corretta scritta così:
$t=(3+x(t))/4$
Corretta? Grazie
Risposte
Allora, tu ora hai una mappa $\gamma: [0,+\infty) \rarr RR^2$ che manda $t \mapsto (x(t),y(t))$, ok?
Sostanzialmente quello che ti sta chiedendo lui è... scrivimi esplicitamente chi è $Im(\gamma)$
Vuole ovvero che trovi una relazione tra $x$ e $y$ (tipo $x^2+y^2=1$) in modo che tutte e sole le coppie $(x,y)$ che soddisfano tale relazione appartengano a $Im(\gamma)$.
Se ho scritto troppo difficile dimmelo e lo riformulo, non so bene cosa stai studiando
Sostanzialmente quello che ti sta chiedendo lui è... scrivimi esplicitamente chi è $Im(\gamma)$
Vuole ovvero che trovi una relazione tra $x$ e $y$ (tipo $x^2+y^2=1$) in modo che tutte e sole le coppie $(x,y)$ che soddisfano tale relazione appartengano a $Im(\gamma)$.
Se ho scritto troppo difficile dimmelo e lo riformulo, non so bene cosa stai studiando
hai scritto bene, soltanto che io sono un pò negata per la matematica.Comunque sto preparando l'esame di fisica per la facoltà di biotecnologie.
Ok allora provo a riformulare in modo meno formale. Tu hai un corpo che si muove nel piano cartesiano (quello che formalmente io chiamavo $RR^2$). La traiettoria di questo corpo è la "curva" che lui percorre nel piano. I punti del piano cartesiano sono individuati da una coppia di numeri reali $(x,y)$. La domanda quindi è: quali $(x,y)$ appartengono a questa curva percorsa dal corpo? Al liceo avrai fatto un po' di geometria analitica e forse ricorderai che queste curve nel piano possono essere descritte tramite equazioni che contengono $x$ ed $y$. Ad esempio l'equazione $x^2+y^2=1$ individua una circonferenza nel piano, l'equazione $y-x^2=0$ una parabola ecc
Cosa possiamo fare noi? Noi sappiamo che punto del piano è occupato dal corpo ad un dato tempo $t$, perchè hai le due leggi orarie. Quello che dobbiamo fare però è eliminare la dipendenza dal tempo. Quindi facciamo così. Fissiamo una $x$ sull'asse delle ascisse. Chiediamoci, a che tempo il nostro corpo si troverà in un punto con ascissa $x$? Può essere che il nostro corpo si trovi ad avere la stessa ascissa più volte (caso più complicato), però siamo fortunati e vediamo subito che il nostro corpo avrà ascissa $x$ solo una volta, più precisamente al tempo $t=(3+x)/4$. Ok, ora la domanda è, quando il corpo ha ascissa $x$, che ordinata $y$ ha? Beh sappiamo a che tempo ha l'ascissa $x$, quindi è semplice capire che $y$ ha a quel tempo. Avrà $y=-t^3-1=-((3+x)/4)^3-1=...$ lascio a te i conti. Quindi che cosa abbiamo fatto? Abbiamo scoperto che ordinata $y$ ha il corpo quando ha ascissa $x$. Ovvero abbiamo trovato una relazione tra $x$ e $y$ che individua le coppie $(x,y)$ da cui passa il corpo, ed è ciò che volevamo fare
Cosa possiamo fare noi? Noi sappiamo che punto del piano è occupato dal corpo ad un dato tempo $t$, perchè hai le due leggi orarie. Quello che dobbiamo fare però è eliminare la dipendenza dal tempo. Quindi facciamo così. Fissiamo una $x$ sull'asse delle ascisse. Chiediamoci, a che tempo il nostro corpo si troverà in un punto con ascissa $x$? Può essere che il nostro corpo si trovi ad avere la stessa ascissa più volte (caso più complicato), però siamo fortunati e vediamo subito che il nostro corpo avrà ascissa $x$ solo una volta, più precisamente al tempo $t=(3+x)/4$. Ok, ora la domanda è, quando il corpo ha ascissa $x$, che ordinata $y$ ha? Beh sappiamo a che tempo ha l'ascissa $x$, quindi è semplice capire che $y$ ha a quel tempo. Avrà $y=-t^3-1=-((3+x)/4)^3-1=...$ lascio a te i conti. Quindi che cosa abbiamo fatto? Abbiamo scoperto che ordinata $y$ ha il corpo quando ha ascissa $x$. Ovvero abbiamo trovato una relazione tra $x$ e $y$ che individua le coppie $(x,y)$ da cui passa il corpo, ed è ciò che volevamo fare
quindi il quesito chiede l'equazione della traiettoria, che io scrivo come la prima equazione che mi hai scritto?
Molto chiaro, ho segnato tutto ciò che mi hai detto.
Molto chiaro, ho segnato tutto ciò che mi hai detto.
Si ma quella che scrivi tu ($t=(3+x)/4$) non è l'equazione delle traiettoria, hai semplicemente isolato $t$ nella legge oraria. La traiettoria è una relazione tra $x$ e $y$, in cui devi far sparire la dipendenza dal tempo. Negli esercizi più semplici questo si ottiene isolando $t$ in una equazione e sostituendola nell'altra, per i motivi che dicevo sopra.
quindi scrivo l'equazione come la seconda, svolgendo i calcoli? Perchè il prof mette quesiti a risposta multipla, quindi non so se debba anche tipo svolgere il cubo di prima o lasciare l'equazione come l'hai scritta tu nel secondo caso
Si io direi che il cubo sarebbe meglio svolgerlo
in pratica il prof richiede precisamente nell'esercizio:
Un corpo si muove secondo la seguente legge oraria $x(t)=4t-3$ e $y(t)=-3t^3-1$. Gli spostamenti sono in metri ed il tempo in secondi, determinare l'equazione della traiettoria e determina la componente y dello spostamento.
$16.2$
$11.6$
$1.52$
$-2.6$
$-1.0$
$3.72$
In pratica l'esercizio richiede l'equazione della traiettoria, quindi richiede che svolga il cubo o basta anche lasciarlo così?
Il risultato finale dell'esercizio a me viene $-1.0$
Un corpo si muove secondo la seguente legge oraria $x(t)=4t-3$ e $y(t)=-3t^3-1$. Gli spostamenti sono in metri ed il tempo in secondi, determinare l'equazione della traiettoria e determina la componente y dello spostamento.
$16.2$
$11.6$
$1.52$
$-2.6$
$-1.0$
$3.72$
In pratica l'esercizio richiede l'equazione della traiettoria, quindi richiede che svolga il cubo o basta anche lasciarlo così?
Il risultato finale dell'esercizio a me viene $-1.0$
risolvo la seconda equazione:
$-3((3+x)/4)^3-1$
????
$-3((9+x^3+27x+9x^2)/4)-1$
$(-27-3x^3-81x-27x^2)/4)-1$
$-3((3+x)/4)^3-1$
????
$-3((9+x^3+27x+9x^2)/4)-1$
$(-27-3x^3-81x-27x^2)/4)-1$
$3x^3+27x^2+81x+27-64$
$3x^3+27x^2+81x-37$
$3x^3+27x^2+81x-37$
$4^3$?
corretto
corretto come ho scritto io?
No non è corretto, come hai sviluppato quel cubo di binomio?
$-3(9+x^3+27x+9x^2)/4-1$
$(-27+x^3+27x+9x^2)/4-1$
$-27+x^3+27x+9x^2-64$
$-91+x^3+27x+9x^2$
$x^3+9x^2+27x-91$
Corretto?
$(-27+x^3+27x+9x^2)/4-1$
$-27+x^3+27x+9x^2-64$
$-91+x^3+27x+9x^2$
$x^3+9x^2+27x-91$
Corretto?
"chiaramc":
$-3((3+x)/4)^3-1$
Ricomincia da qui.
$-3(9+x^3+27x+9x^2/64)-1$
$(-27+x^3+27x+9x^2)/(64)-1$
$-27-9x^3-27x-27x^2-64$
$-9x^3-27x^2-27x-91$
$9x^3+27x^2+27x+91$
Mi viene di nuovo così, cosa sbaglio?
$(-27+x^3+27x+9x^2)/(64)-1$
$-27-9x^3-27x-27x^2-64$
$-9x^3-27x^2-27x-91$
$9x^3+27x^2+27x+91$
Mi viene di nuovo così, cosa sbaglio?
Tanto.
$(3+x)^3=27+27x+9x^2+x^3$
Ed è solo l'inizio ...
$(3+x)^3=27+27x+9x^2+x^3$
Ed è solo l'inizio ...
ho sbagliato come ho fatto io sopra?
Hai sbagliato a sviluppare il cubo del binomio, e poi altre cose... anche se mi sembra di capire che tu non debba scrivere st'equazione nel risultato, quindi volendo puoi anche tenerla così e sostituire direttamente $x=-3$ che è più comodo...
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