Dubbio sul ciclo Otto
CIao:)
Ho un problema con il ciclo otto che non mi riesce di capire. Sostanzialmente so che il rendimento per una macchina reversibile che lavora tra due sorgenti qualsiasi è $eta=1-T_1/T_2$ (1)
Per il ciclo otto idealizzato è dimostrabile essere: $eta=1-(T_D-T_A)/(T_C-T_B)$ con A,B,C,D gli stati di equilibrio per ogni tratto componente il ciclo.
Ora, non riesco a capire come sia possibile dato che in teoria ogni ciclo dovrebbe avere rendimento dato dalla (1). Mi sembra ben diversa come espressione, eppure anche il ciclo otto dovrebbe lavorare tra due sorgenti.
Ho un problema con il ciclo otto che non mi riesce di capire. Sostanzialmente so che il rendimento per una macchina reversibile che lavora tra due sorgenti qualsiasi è $eta=1-T_1/T_2$ (1)
Per il ciclo otto idealizzato è dimostrabile essere: $eta=1-(T_D-T_A)/(T_C-T_B)$ con A,B,C,D gli stati di equilibrio per ogni tratto componente il ciclo.
Ora, non riesco a capire come sia possibile dato che in teoria ogni ciclo dovrebbe avere rendimento dato dalla (1). Mi sembra ben diversa come espressione, eppure anche il ciclo otto dovrebbe lavorare tra due sorgenti.
Risposte
Sì, diciamo che il dubbio sul ciclo otto in sé è stato analizzato a dovere nel corso della discussione 
. Mi rimaneva criptica la tua risposta sul teorema di carnot perché il mio libro prendeva due sorgenti e le collegava con due macchine una senzaipotesi alcuna e l'altra come macchina di carnot e dimostrava (per assurdo) che doveva aversi $eta_x<=eta_c$ con "c" carnot e "x" macchina incognita in parallelo a quella di carnot.
Ponendo come ipotesi sulla macchina X di essere reversibile si giunge ad avere rendimento pari a quello di carnot $eta_x=eta_c$, ma non che dovesse essere per forza una macchina di carnot. C'è una bella differenza nonostante sia una sfumatura all'apparenza.
Infatti dire che qualsiasi macchina reversibile tra due sorgenti ha rendimento pari a uno di carnot presuppone che ne possano esistere di diverse tra due sorgenti ma che tutte abbiano lo stesso rendimento. Ma non è così, infatti...
Il dubbio l'ho chiarito poi leggendo la tua risposta di anni fa che ho linkato nel mio ultimo intervento: tra due sorgenti esiste SOLO la macchina di carnot se voglio che sia reversibile tale macchina che vi opera.
Capito questo, forte della dimostrazione del libro che dice che ogni macchina reversibile o no ha valore $eta_x<=eta_c$ posso asserire:
Insomma il ciclo otto poiché reversibile non può agire tra DUE sole sorgenti, contravverrebbe quanto sopra.
Il punto però che non mi torna del tuo asserto è che dici "Il ciclo di Carnot è l'unico ciclo reversibile che può scambiare calore con due sole sorgenti ed ha il massimo rendimento teorico, a parità di temperature massime e minime raggiunte"
Non capisco la parte in grassetto come sia dimostrata, perché mi pare solo di aver detto che il rendimento massimo tra due sorgenti è quello operabile con un ciclo di carnot. Le massime e minime temperature raggiunte da carnot devono (per definizione) coincidere con le temperature delle sorgenti.
Quindi la macchina di carnot che vi opera ha rendimento masimo essendo l'unica macchina che può operare tra queste due sorgenti, tuttavia non capisco perché questa abbia rendimento massimo in generale anche rispetto a una qualsiasi altra macchina operante tra quelle de temperature (parlo di temperature e non di sorgenti): per quanto finora dimostrato nessuno mi vieta questa macchina abbia rendimento maggiore di carnot. Io ho solo dimostrato che carnot è l'unica macchina tra due sorgenti e che ha rendimento massimo essendo unica, ma non che ne possa esistere un'altra che opera tra quelle due temperature e che magari abbia rendimento maggiore di carnot.
Non so se ho molto chiarito
. Mi rimaneva criptica la tua risposta sul teorema di carnot perché il mio libro prendeva due sorgenti e le collegava con due macchine una senzaipotesi alcuna e l'altra come macchina di carnot e dimostrava (per assurdo) che doveva aversi $eta_x<=eta_c$ con "c" carnot e "x" macchina incognita in parallelo a quella di carnot.Ponendo come ipotesi sulla macchina X di essere reversibile si giunge ad avere rendimento pari a quello di carnot $eta_x=eta_c$, ma non che dovesse essere per forza una macchina di carnot. C'è una bella differenza nonostante sia una sfumatura all'apparenza.
Infatti dire che qualsiasi macchina reversibile tra due sorgenti ha rendimento pari a uno di carnot presuppone che ne possano esistere di diverse tra due sorgenti ma che tutte abbiano lo stesso rendimento. Ma non è così, infatti...
Il dubbio l'ho chiarito poi leggendo la tua risposta di anni fa che ho linkato nel mio ultimo intervento: tra due sorgenti esiste SOLO la macchina di carnot se voglio che sia reversibile tale macchina che vi opera.
Capito questo, forte della dimostrazione del libro che dice che ogni macchina reversibile o no ha valore $eta_x<=eta_c$ posso asserire:
1) L'unico ciclo reversibile in grado di scambiare calore tra due SOLE sorgenti è il ciclo di carnot. Quindi solo questo ciclo reversibile esiste tra due sorgenti e quindi il rendimento massimo per un ciclo reversibile sarà il suo, non esistendo altri cicli reversibili tra due sole sorgenti.
2) resterebbe una ipotetica macchina irreversibile che può avere resa maggiore ma dal teorema di carnot possiamo dimostrare che nessun ciclo (in realtà sia reversibile -ma ci frega poco perché abbiamo già mostrato unico- che anche irreversibile) è maggiore di carnot
abbiamo quindi il corollario che => il ciclo di carnot è l'unico ciclo (in particolare reversibile) che può scambiare calore con due sole sorgenti ed ha il massimo rendimento teorico.
Insomma il ciclo otto poiché reversibile non può agire tra DUE sole sorgenti, contravverrebbe quanto sopra.
Il punto però che non mi torna del tuo asserto è che dici "Il ciclo di Carnot è l'unico ciclo reversibile che può scambiare calore con due sole sorgenti ed ha il massimo rendimento teorico, a parità di temperature massime e minime raggiunte"
Non capisco la parte in grassetto come sia dimostrata, perché mi pare solo di aver detto che il rendimento massimo tra due sorgenti è quello operabile con un ciclo di carnot. Le massime e minime temperature raggiunte da carnot devono (per definizione) coincidere con le temperature delle sorgenti.
Quindi la macchina di carnot che vi opera ha rendimento masimo essendo l'unica macchina che può operare tra queste due sorgenti, tuttavia non capisco perché questa abbia rendimento massimo in generale anche rispetto a una qualsiasi altra macchina operante tra quelle de temperature (parlo di temperature e non di sorgenti): per quanto finora dimostrato nessuno mi vieta questa macchina abbia rendimento maggiore di carnot. Io ho solo dimostrato che carnot è l'unica macchina tra due sorgenti e che ha rendimento massimo essendo unica, ma non che ne possa esistere un'altra che opera tra quelle due temperature e che magari abbia rendimento maggiore di carnot.
Non so se ho molto chiarito
"lozaio":
]...]
Le massime e minime temperature raggiunte da carnot devono (per definizione) coincidere con le temperature delle sorgenti.
Quindi la macchina di carnot che vi opera ha rendimento masimo essendo l'unica macchina che può operare tra queste due sorgenti, tuttavia non capisco perché questa abbia rendimento massimo in generale anche rispetto a una qualsiasi altra macchina operante tra quelle de temperature (parlo di temperature e non di sorgenti): per quanto finora dimostrato nessuno mi vieta questa macchina abbia rendimento maggiore di carnot. Io ho solo dimostrato che carnot è l'unica macchina tra due sorgenti e che ha rendimento massimo essendo unica, ma non che ne possa esistere un'altra che opera tra quelle due temperature e che magari abbia rendimento maggiore di carnot.
Come funzionerebbe una macchina che segue un ciclo che ha temperatura massima e minima pari a due sorgenti di una ipotetica macchina di Carnot?
Dovrebbe essere o una macchina irreversibile, se prende e cede calore a due sole temperature, e ricadiamo nell'ambito del teorema di Carnot, oppure se fosse reversibile vuol dire che gli scambi di calore avvengono a molte (in generale infinite) temperature e la più alta da cui si assorbe calore è la massima del ciclo di Carnot associato con cui stiamo facendo il confronto, e la più bassa a cui cede calore è la minima del ciclo di Carnot di confronto.
Quindi anche in questo caso il rendimento sarebbe inferiore della macchina di Carnot che lavora con le due sole sorgenti alla temperatura massima e minima.
"Faussone":
Come funzionerebbe una macchina che segue un ciclo che ha temperatura massima e minima pari a due sorgenti di una ipotetica macchina di Carnot?
Dovrebbe essere o una macchina irreversibile, se prende e cede calore a due sole temperature, e ricadiamo nell'ambito del teorema di Carnot
Esattissimo su questo ci sono: ogni irreversibile che opera a due sole temperature perde con quella reversibile alle medesime DUE temperature (uniche e sole con cui scambia calore).
oppure se fosse reversibile vuol dire che gli scambi di calore avvengono a molte (in generale infinite) temperature
Certamente carnot è l'unica reversibile che opera scambi di calore a due sole temperature
e la più alta da cui si assorbe calore è la massima del ciclo di Carnot associato con cui stiamo facendo il confronto, e la più bassa a cui cede calore è la minima del ciclo di Carnot di confronto.
Quindi anche in questo caso il rendimento sarebbe inferiore della macchina di Carnot che lavora con le due sole sorgenti alla temperatura massima e minima.
Non capisco la validità dell'inferenza "quindi" è questo che cercavo di dire che mi sfugge
.Non ho mai dimostrato nel mio studio di teoria che il rendimento di una macchina di carnot sia superiore a una macchina anche a infinite temperature per cui scambia calore e che sia operante a quei valori estremanti di temperatura pari alle sorgenti di carnot.
So solo che la macchina di carnot è superiore per rendimento a qualunque macchina reversibile (beh certo carnot è l'unica reversibile) e irreversibile che opera scambi di calore solo a due temperature. Ma se quelle due non sono le uniche temperature in cui scambio calore (ossia ho infinite altre sorgenti nel mezzo con cui la macchina scambia calore) potrei pensare vi sia una macchina reversibile che ci lavori e batta carnot per rendimento.
"lozaio":
Non capisco la validità dell'inferenza "quindi" è questo che cercavo di dire che mi sfugge
Non ho mai dimostrato nel mio studio di teoria che il rendimento di una macchina di carnot sia superiore a una macchina anche a infinite temperature per cui scambia calore e che sia operante a quei valori estremanti di temperatura pari alle sorgenti di carnot.
So solo che la macchina di carnot è superiore per rendimento a qualunque macchina reversibile (beh certo carnot è l'unica reversibile) e irreversibile che opera scambi di calore solo a due temperature. Ma se quelle due non sono le uniche temperature in cui scambio calore (ossia ho infinite altre sorgenti nel mezzo con cui la macchina scambia calore) potrei pensare vi sia una macchina reversibile che ci lavori e batta carnot per rendimento.
Ok allora se questo è il dubbio si risolve facilmente.
Dobbiamo dunque dimostrare che una macchina reversibile che scambia calore a varie temperature diverse (eventualmente infinite) deve avere un rendimento inferiore alla macchina di Carnot che scambia calore solo alle due temperature estreme tra le varie temperature considerate.
Questa in pratica è questione di matematica una volta osservato che la macchina reversibile che stiamo considerando è equivalente in termini di rendimento a un certo numero (anche questo eventualmente infinito) di macchine di Carnot che lavorano insieme scambiando ciascuna calore tra coppie di queste varie temperature a patto che la somma dei calori assorbiti e ceduti in totale sia uguale a quello assorbito e ceduto dalla macchina in oggetto.
Il motivo è banale, visto che il rendimento in questo modo sarà uguale per definizione.
Ora il rendimento di ognuna di queste macchine di Carnot è sicuramente inferiore, o al massimo uguale, a quello della macchina di Carnot di raffronto visto che quest'ultima lavora tra le temperature massime e minime considerate.
L'ultimo passaggio è una questione di matematica, anzi diciamo di algebra, visto che il rendimento complessivo delle macchine di Carnot (e quindi della macchina iniziale che scambia calore alle diverse temperature) sarà pari a
$eta_{"Tot"}=\frac{sum_{i=1}^{N} eta_i*Q_i^{"ass"}}{ sum_{i=1}^{N} Q_i^{"ass"}}$
con $Q_i^{"ass"}$ i calori assorbiti dalle varie macchine di Carnot alle varie temperature e $eta_i$ i rispettivi rendimenti.
Ovviamente si ha che
$eta_{"Tot"} \equiv \frac{sum_{i=1}^{N} eta_i*Q_i^{"ass"}}{ sum_{i=1}^{N} Q_i^{"ass"}}<=\frac{sum_{i=1}^{N} eta_{"Carnot"} Q_i^{"ass"}}{sum Q_i^{"ass"}}\equiv eta_{"Carnot"}$
visto che ogni $eta_i<=eta_{"Carnot"}$ (ovviamente intendo con $eta_{"Carnot"}$ il rendimento della macchina di Carnot che scambia calore solo alle temperature estreme tra quelle considerate).
Non ci avevo proprio pensato a questa furbata di posizionare infinite macchine di carnot. Non credevo fosse possibile coprire ogni ciclo con una infinità di esse.
Direi che ora è fugato ogni dubbio, grazie mille davvero! Non ne sarei uscito da solo, è una bella dimostrazione
Direi che ora è fugato ogni dubbio, grazie mille davvero! Non ne sarei uscito da solo, è una bella dimostrazione
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