Dubbi su invarianza di c e relatività della simultaneità
Salve, sono uno studente che cerca di capire per la prima volta la relatività.
Il mio dubbio è il seguente: nei miei libri di testo e in molti siti web per spiegare la relatività della simultaneità viene fatto l'esempio del treno e dei fulmini ( esettamente come è spiegato qui http://mondoailati.unical.it/corsi/istfisica/archivi/variazionisultempo/einstein/einstein_06.htm ). In questo esempio l'osservatore O2 che si trova sul treno percepirà i due eventi come non simultanei poiché muovendosi verso sinistra sarà raggiunto prima dalla luce che proviene da quel lato nonostante egli si trovi ad eguale distanza dai due eventi. Ma questo vorrebbe dire che, se il treno ha una velocità v rispetto al suolo, la velocità del fascio di luce proveniente da sinistra rispetto al sistema di riferimento del treno dovrebbe avere una velocità c+v il che va in contraddizione, almeno secondo quello che ho capito io, con il postulato sull'invarianza di c. Forse ho capito male io ma proprio non riesco a conciliare le due cose.
Il mio dubbio è il seguente: nei miei libri di testo e in molti siti web per spiegare la relatività della simultaneità viene fatto l'esempio del treno e dei fulmini ( esettamente come è spiegato qui http://mondoailati.unical.it/corsi/istfisica/archivi/variazionisultempo/einstein/einstein_06.htm ). In questo esempio l'osservatore O2 che si trova sul treno percepirà i due eventi come non simultanei poiché muovendosi verso sinistra sarà raggiunto prima dalla luce che proviene da quel lato nonostante egli si trovi ad eguale distanza dai due eventi. Ma questo vorrebbe dire che, se il treno ha una velocità v rispetto al suolo, la velocità del fascio di luce proveniente da sinistra rispetto al sistema di riferimento del treno dovrebbe avere una velocità c+v il che va in contraddizione, almeno secondo quello che ho capito io, con il postulato sull'invarianza di c. Forse ho capito male io ma proprio non riesco a conciliare le due cose.
Risposte
"rdrglg":
se lungoil treno fossero posti orologi uno a fianco all' altro come sulla banchina e i fulmini attraversassero entrambe i riferimenti treno e banchina, 4 orologi si romperebbero simultaneamente, anche ammettendo che i tempi relativi fossero diversi secondo le trasformazioni di lorentz, i due sul treno segnerebbero la stessa ora, diversa da quella segnata dai due sulla banchina ma sempre si avrebbe simultaneita', la discordanza viene solo dal fatto che gli osservatori stanno tra i due eventi e la luce uno lo raggiunge simultanente, l'altro che si muove col treno no, ma mentre questa e' un' apparenza la rottura simultanea dei 4 orologi e' la realta' ... o no ?
Direi di no.
Se c'è simultaneità tra i due fulmini per l'osservatore fermo, non c'è simultaneità per l'osservatore in movimento e viceversa. Dunque rompendosi gli orologi e fermandosi al tempo dell'evento, due di essi segnerebbero la stessa ora, gli altri due no.
Se leggi l'esempio dei telecomandi e dei petardi postato da me più sopra, vedi che se i petardi fosse 4, due sul treno e due a terra, con ciascuno un orologio vicino, e se per l'operatore O3 che viaggia in treno scoppiassero contemporaneamente tutti e 4, cioè quando si trovano due a due tra loro vicini, nel momento in cui preme O3 il telecomando i due orologi solidali al treno si troverebbero alla stessa distanza da lui, viceversa i due petardi a terra quando lui aziona il telecomando non si troverebbero alla stessa distanza da lui, dunque secondo la visione dell'operatore fermo O1 i petardi a terra scoppierebbero in momenti diversi e gli orologi si fermerebbero a ore diverse. Eppure per l'operatore in moto i 4 petardi scoppierebbero invece contemporaneamente. La ragione di questo sta nella differenza di tempo necessario al telecomando per raggiungere i petardi nelle due visioni di O1 e O3. Per O1 la velocità del segnale di telecomando verso i petardi a terra è c, mentre per O3 la velocità relativa del segnale del suo telecomando rispetto ai medesimi petardi è c $ \pm $ v (questo perché mentre il segnale per lui viaggia a velocità c i petardi a terra si allontanano o si avvicinano con velocità v).
"rdrglg":[/quote]
[quote="rdrglg"]una obiezione a questo esperimento mentale di einstein e' che se l' osservatore sul sistema di riferimento solidale al treno, chiamato con y l' asse parallelo al piano terrestre e perpendicolare alla direzione del treno, fosse a y=0 ,cioe' su un vagone, osserva una differeza di tempo fra i 2fulmini che per y crescente tende a 0
Non so se ho capito bene l'osservazione, ma se il treno viaggia in direzione x i punti lungo una direzione perpendicolare a x sono tutti tra loro sincroni, dunque la differenza di tempo tra due eventi in punti x1 e x2 diversi e y=0, per l'osservatore solidale essa si mantiene sempre inalterata qualunque valore di y egli assuma, dunque non tende a zero per y crescente.
Wow non credevo di sollevare un tale dibattito!
Falco5x dei calcoli che hai fatto sinceramente ho capito poco, essendo ancora al liceo, in particolare il fatto della separazione zero. In sostanza, riferendomi all'esperimento mentale proprosto da me, gli eventi dei due fulmini non sono simultanei, quindi i due fasci di luce arrivano a O3 non simultaneamente e l'invarianza di c viene rispettata. Comunque per le conoscenze limitate che ho io, dal punto di vista matematico avrei potuto giustificare entrambe le versioni, evidentemente mi mancano delle nozioni sulla relatività. Essendo interessato all'argomento mi potresti consigliare libri o link che mi permettano di approfondirlo?
Comunque grazie a tutti per i chiarimenti
Falco5x dei calcoli che hai fatto sinceramente ho capito poco, essendo ancora al liceo, in particolare il fatto della separazione zero. In sostanza, riferendomi all'esperimento mentale proprosto da me, gli eventi dei due fulmini non sono simultanei, quindi i due fasci di luce arrivano a O3 non simultaneamente e l'invarianza di c viene rispettata. Comunque per le conoscenze limitate che ho io, dal punto di vista matematico avrei potuto giustificare entrambe le versioni, evidentemente mi mancano delle nozioni sulla relatività. Essendo interessato all'argomento mi potresti consigliare libri o link che mi permettano di approfondirlo?
Comunque grazie a tutti per i chiarimenti
"printfede":
Wow non credevo di sollevare un tale dibattito!
Falco5x dei calcoli che hai fatto sinceramente ho capito poco, essendo ancora al liceo, in particolare il fatto della separazione zero. In sostanza, riferendomi all'esperimento mentale proprosto da me, gli eventi dei due fulmini non sono simultanei, quindi i due fasci di luce arrivano a O3 non simultaneamente e l'invarianza di c viene rispettata. Comunque per le conoscenze limitate che ho io, dal punto di vista matematico avrei potuto giustificare entrambe le versioni, evidentemente mi mancano delle nozioni sulla relatività. Essendo interessato all'argomento mi potresti consigliare libri o link che mi permettano di approfondirlo?
Comunque grazie a tutti per i chiarimenti
Ah beh ma allora dovevi dirlo che sei al liceo. Quando io ero al liceo non ne capivo un tubo (e anche adesso ogni tanto qualche dubbio ce l'ho...) soprattutto perché nessuno mi aveva spiegato bene la cosa
Allora visto che sei al liceo tiro fuori i miei migliori esempi e cerco di farti capire qualcosa di più.
Quando si è cominciato a notare che la luce dimostrava una strana costanza di velocità, ci si è posto il problema di quale fosse il mezzo sul quale essa, in quanto onda, viaggiava. Perché ad esempio facendo il caso del suono, questo viaggia su un mezzo materiale ben preciso, l'aria, l'acqua, oppure la materia solida, e la sua velocità dipende dal mezzo, non solo, ma a parità di mezzo è più o meno costante quando è misurata relativamente al mezzo sul quale viaggia.
Ad esempio la velocità media del suono rispetto all'aria è 343 m/s a 20 °C. Però se l'aria si muove a +30 m/s rispetto a un osservatore, la velocità del suono rispetto a quell'osservatore sarà di 343+30=373 m/s nel verso del vento e 343-30=313 m/s contro vento. Ecco, allora ci si sarebbe aspettati che la luce si "attaccasse" a un mezzo rispetto al quale dunque andasse misurata la sua velocità.
Però la luce si muoveva nel vuoto, dunque si è dato il nome di etere a questo fantomatico mezzo che avrebbe dovuto riempire l'universo e sul quale avrebbe dovuto camminare la luce.
Ma allora ci si è posti il problema che se c'era un etere la terra avrebbe dovuto avere una velocità attraverso di esso immaginato fermo nell'universo e quindi riferimento inerziale assoluto.
Ma Michelson e Morley non hanno rilevato velocità della luce diversa in funzione dell'orientamento dei loro strumenti, per cui se c'era un etere si dovette concludere che si sarebbe dovuto muovere anche lui insieme alla terra, cosa poco credibile in fondo. Così l'idea del'etere è stata abbandonata per convergere invece sulla strada della relatività, secondo la quale né il tempo né lo spazio sono assoluti, mentre la velocità della luce è una costante universale.
Però in fondo a me l'idea dell'etere piace come spunto didattico, per cui mi dico: nei problemi di relatività tutto va come se ci fosse un etere fermo immobile valido per ciascun osservatore, un etere relativo personale sul quale cammina la luce.
Allora nel tuo esempio l'osservatore O1 vede due fulmini contemporanei e fa il seguente calcolo.
Quello che cade alla testa del vagone emette un lampo che va verso l'osservatore O3 e gli arriva dopo $L/(c+v)$ secondi, mentre il fulmine che cade alla coda del vagone emette una luce che arriva a O3 dopo $L/(c-v)$ secondi (questo secondo l'orologio di O1). Però per altri versi sappiamo che qualunque calcolo sugli intervalli di tempo faccia O1, per trasferirlo su O3 occorre moltiplicarlo per $1/\gamma$ per il fenomeno relativistico del rallentamento degli orologi (*) (\( \gamma = \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)). Allora O3 riceve i due lampi di luce con un ritardo temporale tra i due pari a :
\[\begin{array}{l}
\Delta T = \left( {\frac{L}{{c - v}} - \frac{L}{{c + v}}} \right)\frac{1}{\gamma } = \left( {\frac{{L\left( {c + v} \right)}}{{{c^2} - {v^2}}} - \frac{{L\left( {c - v} \right)}}{{{c^2} - {v^2}}}} \right)\frac{1}{\gamma } = \frac{{2Lv}}{{{c^2} - {v^2}}}\frac{1}{\gamma } = \frac{{2L\frac{v}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \\
= 2\gamma L\frac{v}{{{c^2}}} \\
\end{array}\]
Ma siccome per O3 i due fulmini sono caduti entrambi a distanza L da lui, la velocità di propagazione della luce nel suo "etere" è uguale a c per entrambi, dunque l'intervallo di tempo che nota tra l'arrivo dei lampi è uguale all'intervallo di caduta dei due lampi, che quindi nel suo sistema di riferimento non sono caduti contemporaneamente ma distanziati della quantità che ho calcolato sopra e che è uguale a quella che esce dalla trasformazione di Lorenz che tu (comprensibilmente) hai stentato a seguire.
Non so se questo ragionamento ti suona meglio.
(*)la definizione "rallentamento degli orologi" è impropria, il fattore di rallentamento andrebbe invece chiamato fattore di trasferimento dei tempi da un sistema all'altro, perchè non ha senso dire che l'orologio dei O3 vada più piano dell'orologio di O1, perché i due sistemi sono simmetrici dunque O3 potrebbe a uguale diritto dire che l'orologio di O1 va più lento del suo. E infatti anche facendo il caso inverso il fattore da utilizzare per il trasferimento dei tempi è esattamente lo stesso fattore di rallentamento. Questo per amor di precisione.
in risposta a falcox dico che hai ragione se l' osservatore sul treno fa le sue deduzioni stando sempre fermo, ma se vuole conoscere la verita' vera, prende una fettuccia e misura la distanza origine-primo orologio e origine-secondo orologio nota che sono uguali e vede anche che i due orologi sono rotti sullo stesso orario perche' cosi' e' impostato il problema, giusto? immagina anche che, volendo rimanere sull' origine, questo osservatore abbia posto un doppino telefonico o un cavo a fibra ottica tra se e i due orologi, la velocita' del segnale nel cavo e' imperturbata dal moto del treno e quindi rileva anche lui, come quello a terra, la simultaneita' degli eventi------------------- nell' altro caso da me esposto cioe' osservatore solidale al treno ma con y molto maggiore della distanza origine-orologio, questa diventa trascurabile rispetto alla distanza treno-osservatore e l'osservatore in movimento vede i due flash da lontano, vicini tra loro e con uno scarto temporale quasi nullo---non so se hai mai sentito che tra i relativisti ci sono due correnti discordanti sul paradosso dei gemelli : una dice che alla fine hanno la stessa eta' l' altra che quello che ha accelerato per allontanarsi dall' altro e' piu' giovane ma una spiegazione sul perche' l' orologio interno debba ricordarsi se si e' accelerato piu' o meno non l' ho mai avuta
Ma che c'entra l'accelerazione adesso? Stai facendo un sacco di fumo ma nessun ragionamento chiaro e sensato e non è possibile seguirti. E le conclusioni a cui giungi sono errate.
"rdrglg":
non so se hai mai sentito che tra i relativisti ci sono due correnti discordanti sul paradosso dei gemelli
Ah si'?
Puoi darmi dei dettagli in piu' per favore?
"rdrglg":
in risposta a falcox dico che hai ragione se l' osservatore sul treno fa le sue deduzioni stando sempre fermo, ma se vuole conoscere la verita' vera, prende una fettuccia e misura la distanza origine-primo orologio e origine-secondo orologio nota che sono uguali e vede anche che i due orologi sono rotti sullo stesso orario perche' cosi' e' impostato il problema, giusto? immagina anche che, volendo rimanere sull' origine, questo osservatore abbia posto un doppino telefonico o un cavo a fibra ottica tra se e i due orologi, la velocita' del segnale nel cavo e' imperturbata dal moto del treno e quindi rileva anche lui, come quello a terra, la simultaneita' degli eventi------------------- nell' altro caso da me esposto cioe' osservatore solidale al treno ma con y molto maggiore della distanza origine-orologio, questa diventa trascurabile rispetto alla distanza treno-osservatore e l'osservatore in movimento vede i due flash da lontano, vicini tra loro e con uno scarto temporale quasi nullo---
Sostanzialmente dunque tu non credi alla relatività. Padronissimo, però dovresti oppore formule e calcoli alternativi invece di opinioni. E comunque sulla relatività speciale non credo possano esserci ormai molti dubbi, per cui temo che tu ti debba rassegnare al fatto che quando la simultaneità è riscontrata da un particolare osservatore non è condivisa da tutti gli altri che si muovono rispetto a lui con velocità relativa diversa da zero.
"rdrglg":
non so se hai mai sentito che tra i relativisti ci sono due correnti discordanti sul paradosso dei gemelli : una dice che alla fine hanno la stessa eta' l' altra che quello che ha accelerato per allontanarsi dall' altro e' piu' giovane ma una spiegazione sul perche' l' orologio interno debba ricordarsi se si e' accelerato piu' o meno non l' ho mai avuta
Non so molto di relatività generale (qui si parla di accelerazione e quindi distorsione dello spazio-tempo) per cui riguardo ai genelli non conosco la giustificazione teorica. Credo però che si siano fatti esperimenti con orologi atomici riscontrando un effettivo ritardo di quello che ha viaggiato rispetto all'altro, dunque immagino che esistano dati sperimentali a giustificazione, ma se non fosse così la cosa non mi sconvolgerebbe di certo: esistono mille altre verifiche sperimentali alla relatività.
D'altra parte la relatività finora ha retto abbastanza bene a ogni critica. Probabilmente nemmeno lei è la teoria definitiva, però di certo si avvicina alla realtà molto più della fisica classica.
in risposta a dissonance : perche' e' fumo? non ho mai capito perche' per galileo e newton un sistema di riferimento puo' essere grande a piacere come lo spazio r3 mentre per einstein deve essere localizzato.l' accelerazione c'entra perche' per la fisica non si puo' stabilire se ci si sta muovendo a v=cost o si sta fermi mentre se v varia si' : quindi per chi il tempo scorre piu' lentamente? se tu l'hai capita la relativita', spiegala. un esercizio d' esame di fisica 1 era sapere se uno sciatore ad una determinata velocita', data la lunghezza degli sci e la larghezza di un crepaccio potesse cadervi dentro, i calcoli con le trasformazioni di lorentz sono banali ma la simmetria della relativita' dice che lo sciatore vede il crepaccio piu' stretto e non vi cade dentro e un osservatore solidale con la terra vede gli sci piu' corti e lo sciatore non ci passa sopra e cade ma la reata' qual e'? come vedi ci sono incongruenze sia nella dilatazione del tempo che nella contrazione dello spazio------- per falco5x ricordo che se la luce si propaga lungo la corrente di un fiume ad esempio, per un osservatore a terra questa si compone, non come il suono col vento, ma si compone; l' esperimento di michelson e morley non dette interferenza ma quello di la sage si' e si disse perche' nella rotazione e' presente un accelerazione ma anche la terra, certo piu' lentamente, ruota
"Falco5x":
Non so molto di relatività generale (qui si parla di accelerazione e quindi distorsione dello spazio-tempo) per cui riguardo ai genelli non conosco la giustificazione teorica.
Il fatto che ci sia un sistema non inerziale in ballo non implica che non si possa trattare il tutto con la relativita' ristretta.
L'asimmetria tra il gemello sedentario e il gemello viaggiatore e' dovuta al fatto che il sistema del secondo non e' inerziale, mentre quello del primo si'.
Per cui tu puoi distinguere l'uno dall'altro, per l'appunto controntando gli orologi (in partenza identici) alla fine del round-trip.
"rdrglg":
non ho mai capito perche' per galileo e newton un sistema di riferimento puo' essere grande a piacere come lo spazio r3 mentre per einstein deve essere localizzato.
La domanda vera e': perche' un sistema di riferimento dovrebbe permettere di confrontare eventi lontani?
In altre parole: come puoi realizzare un sistema di riferimento "rigido"?
un esercizio d' esame di fisica 1 era sapere se uno sciatore ad una determinata velocita', data la lunghezza degli sci e la larghezza di un crepaccio potesse cadervi dentro, i calcoli con le trasformazioni di lorentz sono banali ma la simmetria della relativita' dice che lo sciatore vede il crepaccio piu' stretto e non vi cade dentro e un osservatore solidale con la terra vede gli sci piu' corti e lo sciatore ci passa sopra ma la reata' qual e'?
La realta' e' che il problema e' mal posto, perche' la definizione stessa di corpo rigido in relativita' e' mal posta, in quanto si basa sull'assunto che si possa univocamente determinare una distribuzione estesa di eventi simultanei (cioe' indipendente dal sistema di riferimento).
Questa cosa e' solo una approssimazione che puo' andare bene quando tratti di meccanica dei solidi in contesti comuni (i.e. velocita' basse, quindi effetti relativistici trascurabili, e io ci metterei anche campi gravitazionali trascurabili).
Nel momento in cui vai a considerare una qualunque trattazione relativistica, ti rendi conto che la definizione classica di corpo rigido e', semplicemente, errata.
Faccio anche notare che la spiegazione giusta si trova in svariati testi di fisica, non e' una cosa "esoterica"...
a yoshiharu: quindi lo sciatore cade o no?e il gemello viaggiatore sara' piu' giovane solo del tempo guadagnato durante le fasi non inerziali? per quale motivo il suo orologio biologico dovrebbe ricordarsi se ha accelerato o no? ----- a falco5x: misero un orologio atomico su un aereo che volo' concorde alla terra un altro su uno discorde, dopo li confrontarono con un orologio atomico a terra : uno era in anticipo l' altro in ritardo ma nelle trasformazioni di lorentz la velocita' e' al quadrato quindi avrebbero doduto essere tutti e due in ritardo
"rdrglg":
...misero un orologio atomico su un aereo che volo' concorde alla terra un altro su uno discorde, dopo li confrontarono con un orologio atomico a terra : uno era in anticipo l' altro in ritardo ma nelle trasformazioni di lorentz la velocita' e' al quadrato quindi avrebbero doduto essere tutti e due in ritardo...
Non ho capito, sostieni che esista una prova sperimentale della falsità della relatività generale? Onestamente, non mi risulta. In ogni modo, per onestà intellettuale, dovresti specificare la fonte delle tue informazioni. "...misero un orologio atomico su un aereo..." sembra più un racconto che un'argomentazione di carattere scientifico. Spero tu abbia una fonte più o meno attendibile. Altrimenti, stai solo facendo perdere del tempo.
"rdrglg":
a yoshiharu: quindi lo sciatore cade o no?
Cade, perche' non esistono corpi rigidi (se non puoi trascurare effetti relativistici).
e il gemello viaggiatore sara' piu' giovane solo del tempo guadagnato durante le fasi non inerziali? per quale motivo il suo orologio biologico dovrebbe ricordarsi se ha accelerato o no? -----
Ma perche' l'orologio (biologico, atomico, fai tu) dovrebbe accorgersi di alcunche'...
L'orologio che ha viaggiato nel riferimento non inerziale ha conservato il suo andamento costante, cioe' ha continuato a funzionare sempre allo stesso modo.
Ma la simultaneita' non e' invariante relativistico, per cui quando ritorna a casa trova che l'orologio del fratello e' andato avanti in maniera diversa (cioe' segna un'ora diversa).
Ti sembra paradossale solo perche' le tue percezioni ti hanno abituato a pensare in un certo modo, e i fenomeni relativistici
(che non sei abituato a percepire) non li inquadri nel tuo paradigma mentale.
Non e' colpa della relativita', pero'...
a falco5x: misero un orologio atomico su un aereo che volo' concorde alla terra un altro su uno discorde, dopo li confrontarono con un orologio atomico a terra : uno era in anticipo l' altro in ritardo ma nelle trasformazioni di lorentz la velocita' e' al quadrato quindi avrebbero doduto essere tutti e due in ritardo
Da dove prendi questa convinzione?
La velocita' sara' pure al quadrato, ma se uno va in un verso e l'altro in quello opposto, poiche' la terra gira, la velocita' relativa risultante nei due casi non e' mica la stessa...
Inoltre ci sono pure gli effetti di RG...
Ti basta dare un'occhiata al link di wikipedia, in particolare laddove dice "The published outcome of the experiment was consistent with special and general relativity" e poi ribadisce che misure successive hanno perfino migliorato la precisione con cui hanno confermato l'accordo con la teoria...altro che disaccordo...
"yoshiharu":
[quote="Falco5x"]
Non so molto di relatività generale (qui si parla di accelerazione e quindi distorsione dello spazio-tempo) per cui riguardo ai genelli non conosco la giustificazione teorica.
Il fatto che ci sia un sistema non inerziale in ballo non implica che non si possa trattare il tutto con la relativita' ristretta.
L'asimmetria tra il gemello sedentario e il gemello viaggiatore e' dovuta al fatto che il sistema del secondo non e' inerziale, mentre quello del primo si'.
Per cui tu puoi distinguere l'uno dall'altro, per l'appunto controntando gli orologi (in partenza identici) alla fine del round-trip.[/quote]
Fammi capire meglio, perché in relatività ristretta non vedo come si possa tenere conto della asimmetria, proprio perché se prescindiamo dagli aspetti inerziali i punti di vista dei due gemelli sono identici. E' proprio la presenza di un campo gravitazionale simulato dalla non inerzialità a fare la differenza, però non mi risulta che in relatività ristretta la gravità possa influenzare lo spazio-tempo, anzi in relatività ristretta gli effetti gravitazionali (o inerziali causati da accelerazioni, il che mi pare sia la stessa cosa per Einstein) non entrano in nessun calcolo. Entrano solo nei calcoli della relatività generale. Dunque come fai ad affermare che la relatività ristretta è suffciente a risolvere il paradosso?
Per scrupolo faccio il semplice calcolo nel caso di un gemello viaggiatore che viaggia per un certo tempo T (misurato dal gemello stanziale) e poi si ferma a distanza D (misura del gemello stanziale) e confronta l'orologio col gemello stanziale, che anche se distante è comunque nel medesimo sistema di riferimento perché solidale con quello del gemello.
Senza apice le grandezze del gemello stanziale, con apice le grandezze del gemello viuaggiatore.
Calcolo del tempo fatto dal gemello stanziale e risultato attribuito al gemello viaggiatore:
\[\begin{array}{l}
T' = \gamma \left( {T - D\frac{v}{{{c^2}}}} \right) \\
D = Tv \\
T' = \gamma T\left( {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right) = \frac{T}{\gamma } \\
\end{array}\]
Calcolo del tempo fatto dal gemello viaggiatore e risultato attribuito al gemello stanziale:
\[\begin{array}{l}
T = \gamma \left( {T' - D'\frac{v}{{{c^2}}}} \right) \\
D' = \gamma D \\
T = \gamma \left( {T' - \gamma D\frac{v}{{{c^2}}}} \right) = \gamma T' - T{\gamma ^2}\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} \\
\gamma T' = T\left( {1 + {\gamma ^2}\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right) = T\left( {1 + {\gamma ^2}\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right) \\
\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{\gamma ^2} - 1}}{{{\gamma ^2}}} \\
T' = \gamma T \\
\end{array}\]
Mi pare che esca proprio un paradosso nel senso che i due calcoli danno risultati opposti quindi non possono essere veri entrambi.
Io ho sempre creduto che per risolvere il paradosso occorra invocare la relatività generale che coinvolge distorsioni dello spaziotempo nel caso del gemello accelerato e quindi rende non simmetrico il calcolo per i due gemelli. Altrimenti il paradosso rimane tale, proprio a dimostrare che la relatività speciale è insufficiente quando si vuole applicarla al caso accelerato.
Chi ne sa qualcosa di più è pregato di intervenire perché io qui mi fermo.
a yoshiharu: nelle trasformazioni di lorentz la v che compare e' proprio la velocita' relativa tra 2 riferimenti (terra aereo) se cosi' non fosse immagina 3 gemelli uno sulla terra uno che va a +v uno va a -v e quando questi ritornano uno e' piu' vecchio uno e' piu' giovane di quello sulla terra cioe' il tempo dipende dal verso?
a yoshiharu: ho letto il link e non ho capito perche' dice che il riferimento e' solidale al centro della terra, ma il laboratorio di comparazione sta sulla superficie. tu dici che la simultaneita' non e' un invariante relativistico ma da cio' e' nata questa discussione, se l' esperimento mentale di einstein banchina treno fulmini e' costruito proprio con i due fulmini simultanei, perche' l' osservatore in movimento non li vede cosi' ? voglio dire che se organizza un buon sistema di misurazione, vedi cio' che ho scritto prima, anche lui converra' sulla simultaneita'--------------- mi hai risposto che lo sciatore cade perche' nella relativita' non esistono riferimenti rigidi, se cio' vale per la lunghezza degli sci perche' non per i bordi del crepaccio? visto che si parla nell' esercizio solo di velocita', chi si muove fra i due?
"rdrglg":
a yoshiharu: ho letto il link e non ho capito perche' dice che il riferimento e' solidale al centro della terra, ma il laboratorio di comparazione sta sulla superficie. tu dici che la simultaneita' non e' un invariante relativistico ma da cio' e' nata questa discussione, se l' esperimento mentale di einstein banchina treno fulmini e' costruito proprio con i due fulmini simultanei, perche' l' osservatore in movimento non li vede cosi' ? voglio dire che se organizza un buon sistema di misurazione, vedi cio' che ho scritto prima, anche lui converra' sulla simultaneita'---------------
Confesso che non ti capisco. Vorrei chiederti di rispondere al seguente test.
Leggi le seguenti affermazioni e decidi: se opti per la 5 ragioni come Einstein, altrimenti se opti per la 4 sei contraddetto da migliaia di esperimenti:
1-I due fulmini sono contemporanei per l'osservatore O1 fermo solidale con la terra
2-O1 vede che O3 solidale col treno riceve la luce dei fulmini in modo non contemporaneo perché il vagone si muove e allora la luce del fulmine caduto sulla testa del vagone gli giunge prima della luce del fulmine caduto sulla coda del vagone.
3-L'osservatore O3 solidale col vagone misura uguale distanza tra sè e i due fulmini, perché sta nel mezzo del vagone.
4-Visto che la luce dei due fulmini gli giunge in momenti diversi egli può concludere che i fulmini sono caduti contemporaneamente ma la luce ha viaggiato a velocità diverse provenendo a lui dalla testa e della coda del vagone.
5- Oppure se pensa che la velocità della luce sia costante nel suo sistema di riferimento deve concludere che i fulmini non sono caduti contemporaneamente.
Fammi sapere quale ipotesi scegli tra la 4 e la 5, ciao.
a falco5x: 5 si' la 4 proprio no: un postulato della relativita' e' che la velocita' della luce sia costante e la massima possibile, ora, pero' vorrei sapere da te per quale motivo o3, visti i due eventi non simultanei debba affermare che lo siano, visto che come ti ho detto precedentemente, con fettuccia e n orologi puo' effettivamente riscontrarne la simultaneita'? nota bene che einstein postula la costanza di c ecco perche' sono sempre stato scettico su questa teoria. secondo te, ripeto, se sul treno e lungo la banchina ci sono n orologi affiancati, quando i fulmini trapassano treno e banchina, non se ne rompono 4 e a 2 a 2 segnano la stessa ora? grazie
"rdrglg":
a falco5x: 5 si' la 4 proprio no: un postulato della relativita' e' che la velocita' della luce sia costante e la massima possibile, ora, pero' vorrei sapere da te per quale motivo o3, visti i due eventi non simultanei debba affermare che lo siano, visto che come ti ho detto precedentemente, con fettuccia e n orologi puo' effettivamente riscontrarne la simultaneita'? nota bene che einstein postula la costanza di c ecco perche' sono sempre stato scettico su questa teoria. secondo te, ripeto, se sul treno e lungo la banchina ci sono n orologi affiancati, quando i fulmini trapassano treno e banchina, non se ne rompono 4 e a 2 a 2 segnano la stessa ora? grazie
No, perché se i due orologi del treno si rompessero contemporaneamente vuol dire che i fulmini sarebbero contemporanei anche per O3 e la loro luce arriverebbe contemporanea a O3. Siccome a O3 arriva non contemporanea e tu confermi la mia affermazione 5 ... non capisco come tu possa sotenere la contemporaneità assoluta dei due fulmini. Se due cose sono simultanee e informano con un raggio di luce qualcuno che sta alla stessa distanza da entrambe, costui riceve la luce nello stesso tempo. O no?
a falco5x: usando la relativita' l' osservatore sul treno vede in o3 la non simultaneita' ma con l' esempio che ti ho fatto gli orologi si rompono tutti e 4 simultaneamente perche' cosi' e' costruito il problema cioe' i fulmini nascono da una stessa nuvola e raggiungono terra allo stesso istante, immaginati che tu sei sul treno e fisicamente ispezioni dopo l'evento gli orologi, ne trovi due rotti alla stessa ora e ne deduci che i fulmini sono stati simultanei anche se tu stando equidistante dai 2 li hai visti rompersi in tempi diversi che la cosa appaia in un modo non e' detto che sia la verita'. una similitudine puo' essere affermare che gli oggetti lontani da noi sono piccoli cioe' rimpiccoliscano con la distanza, ma per logica sappiamo che questa e' solo un apparenza
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