Domanda su energia magnetica ed energia elettrica
Scusate, ho un dubbio, ma perché nella letteratura l'equazione dell'energia magnetica viene trovata tramite il bilancio di potenze di un circuito $LR$ e non, per dire, semplicemente a partire dal campo magnetico prodotto da un filo percorso da corrente? Dopotutto la relazione $u_m=B^2/(2\mu_0)$ vale sia che abbia un induttore nel circuito, sia che non ce l'abbia. Allo stesso modo, la relazione per l'energia elettrica $u_e=\epsilon_0E^2/2$ viene ricavata dal condensatore, quindi da un campo elettrostatico, ma è valida anche per un campo elettromotore. Come mai?
Risposte
Mah se non vado errato il modo più generale per dedurle è dalle equazioni di maxwell, non è difficile ma richiede di smaneggiare un po' con il calcolo differenziale vettoriale, quindi rotori, divergenze etc. Immagino si ricavi prima di arrivare a quel punto per pura necessità didattica. Oppure forse ancora prima delle equazioni di maxwell dalla pura analisi armonica della forma matematica delle onde, ma appunto ricadiamo analogamente in un discorso che richiede più conoscenze che non come funzioni qualche circuito.
Grazie per avere risposto. Mentre ho un altro dubbio. Nella forma differenziale della quarta equazione di Maxwell si ha:
$\nablaxxB=\mu_0(j+\epsilon_0(\partialE)/(\partialt))$. Nello spazio vuoto diventa senza $j$, ma come mai? La corrente non attraversa comunque una superficie?
$\nablaxxB=\mu_0(j+\epsilon_0(\partialE)/(\partialt))$. Nello spazio vuoto diventa senza $j$, ma come mai? La corrente non attraversa comunque una superficie?
"umbe":
$\nablaxxB=\mu_0(j+\epsilon_0(\partial\Phi(E))/(\partialt))$. Nello spazio vuoto diventa senza $j$, ma come mai? La corrente non attraversa comunque una superficie?
Quale corrente? Nello spazio vuoto non ci sono cariche e non ci sono correnti
Tieni conto che la densità di corrente è sì il campo vettoriale il cui flusso attraverso una superficie è la corrente...ma, come dice mgrau, devono esserci cariche con una certa velocità di deriva, cosa che nel vuoto non può essere. Sarebbe bello però, ci risparmieremmo migliaia di km di cablaggio per trasportare energia elettrica se bastasse farla correre nell'aria.
Eh, ma allora non dovrebbe essere nullo anche il secondo termine (variazione nel tempo del campo elettrico)?
Cos'è il campo elettrico? Esiste solo nei punti in cui vi sono le cariche o si estende nello spazio?
No beh, può propagarsi anche nel vuoto (come le onde)
"umbe":
Nella forma differenziale della quarta equazione di Maxwell si ha:
$\nablaxxB=\mu_0(j+\epsilon_0(\partial\Phi(E))/(\partialt))$.
E':$" "nablaxxvec(B)=mu(vec(j)+epsilon (partialvec(E))/(partialt))" "$, quel simbolo di flusso è di troppo.
"Palliit":
[quote="umbe"]Nella forma differenziale della quarta equazione di Maxwell si ha:
$\nablaxxB=\mu_0(j+\epsilon_0(\partial\Phi(E))/(\partialt))$.
E':$" "nablaxxvec(B)=mu(vec(j)+epsilon (partialvec(E))/(partialt))" "$, quel simbolo di flusso è di troppo.[/quote]
Sì chiedo scusa, una svista. Correggo anzitempo.
Non ci avevo nemmeno fatto caso all'errore nell'equazione. Comunque non è che "si propaga come le onde" è proprio un'onda, appunto, elettromagnetica. E' generato da delle sorgenti (che possono anche non essere semplicemente delle cariche ferme da qualche parte) e si propaga nello spazio e tempo secondo una certa legge che dipende dal tipo di sorgente e dal mezzo interposto. Quindi non si necessita di una carica in un punto per avere il campo elettrico in quello stesso punto. Cosa diversa è la densità di corrente che vuole per definizione stessa un moto di cariche con una certa velocità di deriva proprio nello spazio che stai considerando.
Sì, beh è un'onda, dato che campo elettrico e magnetico coesistono come dimostrato da Maxwell, Faraday e Henry. Però scusa le cariche non possono essere ferme, altrimenti abbiamo un campo elettrostatico (cariche ferme o che si muovono senza perturbare le altre cariche), mentre il campo elettromagnetico impone che il campo elettrico non sia elettrostatico, dalla terza equazione di Maxwell che palesa come il campo elettromagnetico abbia una circuitazione non nulla.
Una cosa sulla legge di Ampère: questa sappiamo che ci dice che la circuitazione del campo magnetico è pari alla somma delle correnti concatenate dalla curva chiusa per la costante di permeabilità. Queste correnti concatenate vanno considerate dei contributi infinitesimi $di$ della corrente che attraversa il filo nella sezione considerata racchiusa dalla curva? Lo chiedo perché so che l'integrale viene calcolato in $d\theta$ considerando tratti infinitesimi di curva $ds$ tali da poterli assimilare a rettilinei (di fatto la circuitazione dipende solo da $d\theta=ds/r$, ove $r$ è la distanza tra il tratto di filo considerato e la curva) e questo è il motivo per cui la curva può avere qualsiasi forma, dato che il tratto $ds$ è sempre abbastanza piccolo da poterlo considerare rettilineo), ma la dicitura "somma delle correnti concatenate" mi fa pensare che, dato che la corrente che attraversa il filo è una, mi fa pensare ai contributi infinitesimi di corrente, ciascuno completamente circondato dalla curva lungo cui calcoliamo la circuitazione: è l'interpretazione corretta? Questo farebbe anche capire immediatamente e facilmente il perché, in virtù della definizione evidenziata sopra, la circuitazione sarebbe nulla se la curva non circondasse il filo.
Una cosa sulla legge di Ampère: questa sappiamo che ci dice che la circuitazione del campo magnetico è pari alla somma delle correnti concatenate dalla curva chiusa per la costante di permeabilità. Queste correnti concatenate vanno considerate dei contributi infinitesimi $di$ della corrente che attraversa il filo nella sezione considerata racchiusa dalla curva? Lo chiedo perché so che l'integrale viene calcolato in $d\theta$ considerando tratti infinitesimi di curva $ds$ tali da poterli assimilare a rettilinei (di fatto la circuitazione dipende solo da $d\theta=ds/r$, ove $r$ è la distanza tra il tratto di filo considerato e la curva) e questo è il motivo per cui la curva può avere qualsiasi forma, dato che il tratto $ds$ è sempre abbastanza piccolo da poterlo considerare rettilineo), ma la dicitura "somma delle correnti concatenate" mi fa pensare che, dato che la corrente che attraversa il filo è una, mi fa pensare ai contributi infinitesimi di corrente, ciascuno completamente circondato dalla curva lungo cui calcoliamo la circuitazione: è l'interpretazione corretta? Questo farebbe anche capire immediatamente e facilmente il perché, in virtù della definizione evidenziata sopra, la circuitazione sarebbe nulla se la curva non circondasse il filo.
Secondo me ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Andiamo con ordine, tu prima stavi dicendo che la variazione del campo nel tempo nel vuoto doveva essere zero perché non ci sono cariche. Ti ho detto che non significa niente perché un'onda generata da un sistema di cariche in una regione di spazio si propaga senza necessità d essere seguita dalla carica stessa. Pensa al Sole o a una qualsiasi luce (in senso un po' improprio ma fa lo stesso). Sono onde elettromagnetiche generate da una sorgente che raggiungono una zona di spazio anche parecchio distante da quella di generazione. Poi è chiaro che se il campo è elettrostatico la sua derivata nel tempo è zero ma non perché siamo nel vuoto. Perché è elettrostatico.
Quanto riguarda le correnti non sono cotributi infinitesimi, sono proprio correnti. Non c'è da interpretare, se hai più correnti concatenate queste vanno sommate, con relativo segno e molteplicità. Non capisco cosa intendi per "la corrente è una". Se la tua superficie "avvolge" un solo conduttore in cui passa corrente sarà una, se ne avvolge N, saranno, in generale, N.
Quanto riguarda le correnti non sono cotributi infinitesimi, sono proprio correnti. Non c'è da interpretare, se hai più correnti concatenate queste vanno sommate, con relativo segno e molteplicità. Non capisco cosa intendi per "la corrente è una". Se la tua superficie "avvolge" un solo conduttore in cui passa corrente sarà una, se ne avvolge N, saranno, in generale, N.
Ok, quindi il teorema di Ampère è generalizzato a casi in cui posso avere n fili nella sezione della curva chiusa. Nel caso in cui ho un solo filo non ho somma di correnti moltiplicate alla costante, ma la sola unica corrente che attraversa il filo.
Sì
Grazie mille. Tornando all'argomento principale, mi sono un po' rivisto il modello classico della conduzione di corrente elettrica: sarebbe scorretto dire che il termine j nella quarta eq di Maxwell va a 0 semplicemente perché nel vuoto non abbiamo cariche su cui il campo agisce e quindi non abbiamo accelerazione legata alla forza che il campo esercita su di esse, e quindi niente accelerazione, dunque niente velocità di deriva (che è in sostanza la velocità, opposta in verso al campo, della corrente?), e quindi niente corrente?
Beh certo la densità di corrente è proporzionale a $q^2E$ quindi chiaro niente cariche, niente su cui agisca la forza e così via. Però appunto nel momento in cui dici "niente cariche" viene già automatico il "niente" su tutto ciò che è associato alla carica, quindi inutile fare ragionamenti che girano troppo in tondo.
Certo, grazie per le risposte. Già che sono qua però e abbiamo parlato di onde mi viene in mente un'altra cosa, proprio in merito alle onde. Nel libro che sto usando quando parla delle onde piane dice che le soluzioni dell'equazione di D'Alembert sono due: $E_0=E(x_0+-vt_0)$ e dice che la soluzione col + rappresenta onde piane in propagazione verso il semiasse negativo e quella col - onde in propagazione verso il semiasse positivo. Ma non è un po' controintuitivo? Non dovrebbe essere il contrario?
Inoltre nelle armoniche, per dimostrare che $B=E/c$ fa così:
Ma non capisco tre cose:
- perché, se suppone $E$ parallelo a $y$ e $B$ parallelo a $z$, i campi hanno una componente in $y$ e una in $z$. Potrei capirlo se, come fa qualche paragrafo dopo dove spiega la polarizzazione, scegliesse due assi $u$ e $v$ ruotati di un angolo $\theta$ rispettivamente rispetto a $y$ e $z$;
- perché nel fare il quadrato di $B$, una volta sostituite le componenti di $B$ con le componenti di $E$ rapportate a $c$, i termini con il coseno spariscono?
- Nell'equazione delle onde piane armoniche in base a cosa scelgo $E=E_0cos(kx+-\omegat)$ o $E=E_0sin(kx+-\omegat)$?
Inoltre nelle armoniche, per dimostrare che $B=E/c$ fa così:
Ma non capisco tre cose:
- perché, se suppone $E$ parallelo a $y$ e $B$ parallelo a $z$, i campi hanno una componente in $y$ e una in $z$. Potrei capirlo se, come fa qualche paragrafo dopo dove spiega la polarizzazione, scegliesse due assi $u$ e $v$ ruotati di un angolo $\theta$ rispettivamente rispetto a $y$ e $z$;
- perché nel fare il quadrato di $B$, una volta sostituite le componenti di $B$ con le componenti di $E$ rapportate a $c$, i termini con il coseno spariscono?
- Nell'equazione delle onde piane armoniche in base a cosa scelgo $E=E_0cos(kx+-\omegat)$ o $E=E_0sin(kx+-\omegat)$?
Se guardi la soluzione $cos(2pi(x/lambda +- t/T))$ questa rappresenta una sinusoide con periodo spaziale $lambda$ e periodo temporale $T$.
Se vuoi renderti conto del fatto che la soluzione col meno rappresenta un'onda che si muove in avanti, puoi fissare l'attenzione su un massimo, per es. $x = t = 0$. Il massimo si ha quando l'argomento del coseno è zero. Ora, se tu immagini di spostarti in avanti a velocità $lambda/T$, cioè assumi che sia $x = lambda/T*t$ l'argomento diventa $2pi((lambda*t)/(lambdaT) - t/T)$ che è identicamente zero, cioè ti trovi sempre sul massimo iniziale, ovvero ti stai spostando insieme all'onda.
Riguardo poi all'ultimo punto, seno oppure coseno: In realtà la vera soluzione comprende, oltre a $(kx - omegat)$ anche una fase $phi$, arbitraria. Se $phi = 0$ hai per es. $cos(kt - omegat)$, se prendi $phi = pi/2$ ottieni $cos(kt - omegat + pi/2) = sin(kt - omegat)$.
Insomma, seno o coseno è la stessa cosa, si tratta solo di un cambiamento di fase. Che naturalmente può prendere qualunque valore, non sono $0$ o $pi/2$, e visivamente corrisponde ad una traslazione dell'onda di una frazione del periodo.
Se vuoi renderti conto del fatto che la soluzione col meno rappresenta un'onda che si muove in avanti, puoi fissare l'attenzione su un massimo, per es. $x = t = 0$. Il massimo si ha quando l'argomento del coseno è zero. Ora, se tu immagini di spostarti in avanti a velocità $lambda/T$, cioè assumi che sia $x = lambda/T*t$ l'argomento diventa $2pi((lambda*t)/(lambdaT) - t/T)$ che è identicamente zero, cioè ti trovi sempre sul massimo iniziale, ovvero ti stai spostando insieme all'onda.
Riguardo poi all'ultimo punto, seno oppure coseno: In realtà la vera soluzione comprende, oltre a $(kx - omegat)$ anche una fase $phi$, arbitraria. Se $phi = 0$ hai per es. $cos(kt - omegat)$, se prendi $phi = pi/2$ ottieni $cos(kt - omegat + pi/2) = sin(kt - omegat)$.
Insomma, seno o coseno è la stessa cosa, si tratta solo di un cambiamento di fase. Che naturalmente può prendere qualunque valore, non sono $0$ o $pi/2$, e visivamente corrisponde ad una traslazione dell'onda di una frazione del periodo.
"umbe":
- perché, se suppone $E$ parallelo a $y$ e $B$ parallelo a $z$
E' un po' sfocato ma non leggo dove fa questa assunzione, mette subito entrambe le componenti per i campi.
"umbe":
- perché nel fare il quadrato di $B$, una volta sostituite le componenti di $B$ con le componenti di $E$ rapportate a $c$, i termini con il coseno spariscono?
E' un'eguaglianza quella, i coseni sono sia nei termini magnetici che elettrici si semplificano portandoli a fattor comune.
"umbe":
- Nell'equazione delle onde piane armoniche in base a cosa scelgo $E=E_0cos(kx+-\omegat)$ o $E=E_0sin(kx+-\omegat)$?
Qui non ho capito bene cosa vuoi dire, spiegati meglio.
"mgrau":
Se guardi la soluzione $cos(2pi(x/lambda +- t/T))$ questa rappresenta una sinusoide con periodo spaziale $lambda$ e periodo temporale $T$.
Se vuoi renderti conto del fatto che la soluzione col meno rappresenta un'onda che si muove in avanti, puoi fissare l'attenzione su un massimo, per es. $x = t = 0$. Il massimo si ha quando l'argomento del coseno è zero. Ora, se tu immagini di spostarti in avanti a velocità $lambda/T$, cioè assumi che sia $x = lambda/T*t$ l'argomento diventa $2pi((lambda*t)/(lambdaT) - t/T)$ che è identicamente zero, cioè ti trovi sempre sul massimo iniziale, ovvero ti stai spostando insieme all'onda.
Riguardo poi all'ultimo punto, seno oppure coseno: In realtà la vera soluzione comprende, oltre a $(kx - omegat)$ anche una fase $phi$, arbitraria. Se $phi = 0$ hai per es. $cos(kt - omegat)$, se prendi $phi = pi/2$ ottieni $cos(kt - omegat + pi/2) = sin(kt - omegat)$.
Insomma, seno o coseno è la stessa cosa, si tratta solo di un cambiamento di fase. Che naturalmente può prendere qualunque valore, non sono $0$ o $pi/2$, e visivamente corrisponde ad una traslazione dell'onda di una frazione del periodo.
Per il secondo punto credo di avere capito: seno o coseno dipende dal valore della fase che considero, per quello si dice se due onde sono sfasate? I valori della fase possono essere solo 0 o pi greca mezzi?
Per il primo punto non ho capito niente.
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