Disco che rimbalza e poi rotola 1181

[Antonio_80]




Non sto riuscendo a capire bene come rispondere alla domanda del testo, ma come ha detto Navigatore, provvedo subito a dire qualcosa di mio per impostare un ragionamento.

Si tratta di un disco che ruota attorno al suo asse di simmetria, ma non capisco per quale motivo il testo parla di frequenza angolare w ?
Il disco rotola su una superficie orizzontale.
Non comprendo bene cosa dice il testo, mi sembra che comunque il disco rimbalzi sul piano orizzontale e quindi penso che mi chiede di determinare la velocità quando il disco finisce di rimbalzare e quindi rotola con puro rotolamento.
Ho compreso correttamente la domanda ?

Detto questo, penso che si può utilizzare la prima equazione cardinale per il CM del disco e dire che:

$mddot(x) = -f$ dove $f=mu mg$, quindi scriviamo che:

$mddot(x) = -mu mg $

Scrivo anche la seconda equazione cardinale :
$I alpha = fR$

Metto a sistema queste due equazioni ed ho:

$mddot(x) = -mu mg $ (l'accelerazione $ddot(x)$ riguarda il CM)
$I alpha = fR$ (Riguarda i momenti intorno al CM)

$mddot(x) = -mu mg $
$I alpha = mu mg R$

$mddot(x) = -mu mg $
$I a/R = mu mg R$

$mddot(x) = -mu mg $
$1/2mR^2 a/R = mu mg R$

$mddot(x) = -mu mg $
$1/2 a = mu g$

E adesso giuro che non riesco a continuare!
Insomma, cosa devo fare per rispondere alla domanda dell'esercizio?
Non è come quando in Fisica si avevano dei dati nella traccia, dove per risolvere questi esercizi era più facile, ma essendo Meccanica Razionale, non ho tutto quello che occorre ed ho solo il fenomeno da studiare!

Adesso che ho scritto quelle equazioni sopra, cosa si fa per arrivare alla velocità nell'istante in cui il disco comincia a rotolare ?

Help!

[Sk_Anonymous]

Il disco non rimbalza. Ha una velocità angolare iniziale $\omega_0$ , e viene poggiato sul piano scabro. Per cui c'è una prima fase di slittamento durante la quale la velocità angolare diminuisce , fino a diventare quella necessaria per il rotolamento puro. In questa fase, si ha : $dotx
Quando il disco viene poggiato sul piano, il piano esercita sul disco una reazione vincolare, che ha una componente tangente (=forza di attrito) la quale accelera il CM del disco, e una componente normale che equilibra il peso del disco.

[Faussone]

"Antonio_80":[...........]
Non è come quando in Fisica si avevano dei dati nella traccia, dove per risolvere questi esercizi era più facile, ma essendo Meccanica Razionale, non ho tutto quello che occorre ed ho solo il fenomeno da studiare!

E questo sarebbe un esercizio di Meccanica Razionale?

Questo è un esercizio (e pure abbastanza facile) di Fisica 1.
E quando dico facile non lo dico con gli occhi di adesso (che ho più esperienza, non che mi ritenga tanto più bravo rispetto a quanto possa essere uno studente), ma anche con gli occhi di quando ho fatto l'esame di Fisica 1 (e non ero neanche allora un genio).

Cosa studi scusa?
Spero non Ingegneria né Fisica né Matematica, perché ai miei tempi (odio questa espressione ma ci sta qui) gli esercizi di Meccanica Razionale (per Ingegneria) erano altra cosa, te l'assicuro.

Questo esercizio si risolve in 3 passaggi applicando opportunamente la conservazione del momento angolare.

[Antonio_80]

"navigatore":Il disco non rimbalza. Ha una velocità angolare iniziale $\omega_0$ , e viene poggiato sul piano scabro. Per cui c'è una prima fase di slittamento durante la quale la velocità angolare diminuisce , fino a diventare quella necessaria per il rotolamento puro. In questa fase, si ha : $dotx
Quando il disco viene poggiato sul piano, il piano esercita sul disco una reazione vincolare, che ha una componente tangente (=forza di attrito) la quale accelera il CM del disco, e una componente normale che equilibra il peso del disco.

Con quello che mi hai spiegato, le cose adesso sono più chiare per me

Ecco cosa dico, seguendo la tua spiegazione che è nel quote.

Il disco non è a contatto e giustmante ha una velocità angolare $omega$, entra a contatto con il pavimento e si ha puro rotolamento, quindi si possono scrivere la prima e la seconda equazione cardinale della meccanica:

$ { ( m ddot(x)_c = -f_a ),( Iddot(theta)=-f_aR ):} $

sappiamo allora che si ha:

$ { ( m ddot(x)_c = -mu mg ),( 1/2mR^2 ddot(theta)=-mumgR ):} ->{ ( ddot(x)_c = -mu g ),( ddot(theta)=-(2mug)/(R) ):} $

Sappiamo che se vogliamo una velocità come in questo caso in cui abbiamo accelerazioni, possiamo integrare e otteniamo le velocità che vogliamo, quindi integro la prima $ddot(x)_c = -mu g $, ottenendo:

$dot(x)_c = -mu g t$

Poi integro anche la seconda formula $ddot(theta)=-(2mug)/(R)$, ed ho:

$dot(theta)=-(2mug)/(R) t + k$

dove a secondo membro compare una costante $k$ che in questo caso si tratta della velocità angolare iniziale, quindi scriviamo così:

$dot(theta)=-(2mug)/(R) t + omega_0$

che poi sappiamo essere la semplice equazione della velocità angolare.
Nav., ho detto bene fino a questo punto

Come hai giustamente detto, appena il disco tocca il pavimento, si la velocità angolare che diminuisce e penso si possa dire che questa velocità angolare si converte in velocità lineare che in questo caso aumenta, ma nell'istante di contatto mi dici che deve essere $dot(x) < R dot(theta)$, ma perchè è negativa , perchè deve essere come dici tu $dot(x) = - R dot(theta)$

[Antonio_80]

Help!

[Faussone]

"Antonio_80":Help!

"when I was younger so much younger than today I never needed anybodys' help in any way..."

Hai ignorato quello che ti avevo scritto prima, capisco che il messaggio poteva risultare fastidioso e antipatico, (mi spiace, ma è quello che sinceramente mi sono chiesto e che ho pensato leggendo qui quello che hai scritto), in ogni caso c'era anche un suggerimento che ti riporto qui.

"Faussone":
Questo esercizio si risolve in 3 passaggi applicando opportunamente la conservazione del momento angolare.

Rifletti su quello, non c'è molto di più da fare e da suggerire, oltre alla conservazione del momento angolare (rispetto a che punto ti conviene scriver il momento angolare?) aggiungo solo che ti basta poi considerare la condizione di rotolamento che lega la velocità angolare a quella di avanzamento del centro di massa.

[Antonio_80]

"Faussone":[quote="Antonio_80"]Help!

"when I was younger so much younger than today I never needed anybodys' help in any way..." .[/quote]
Yes, but I'm hard because I can not follow the lessons, work, study and have three children!
Luckily there are people like you, have a passion to explain to people in my circumstances!

Adesso faccio tesoro della dritta che mi hai dato sull'esercizio e posto le mie considerazioni, nella speranza che riesca a dire bene!

[Faussone]

"Antonio_80":
Yes, but I'm hard because I can not follow the lessons, work, study and have three children!
Luckily there are people like you, have a passion to explain to people in my circumstances!

Veramente la mia era solo una citazione di Help! dei Beatles.
Per il resto capisco la tua situazione, ma quanto ho scritto rimane valido.

"Antonio_80":
Adesso faccio tesoro della dritta che mi hai dato sull'esercizio e posto le mie considerazioni, nella speranza che riesca a dire bene!

Ok. Basta un minimo di calma e di riflessione.

[Antonio_80]

Non riesco a capire come risolvere l'esercizio con il tuo consiglio, la conservazione del moemnto angolare che dici, come la utilizzeresti?

Se vedi nel messaggio precedente, ho utilizzato una via risolutiva che però non ha avuto risposta da nessuno, non so perchè, ma adesso ripeto i passaggi:

Il disco non è a contatto e giustmante ha una velocità angolare $omega$, entra a contatto con il pavimento e si ha puro rotolamento, quindi si possono scrivere la prima e la seconda equazione cardinale della meccanica:

$ { ( m ddot(x)_c = -f_a ),( Iddot(theta)=-f_aR ):} $

sappiamo allora che si ha:

$ { ( m ddot(x)_c = -mu mg ),( 1/2mR^2 ddot(theta)=-mumgR ):} ->{ ( ddot(x)_c = -mu g ),( ddot(theta)=-(2mug)/(R) ):} $

Sappiamo che se vogliamo una velocità come in questo caso in cui abbiamo accelerazioni, possiamo integrare e otteniamo le velocità che vogliamo, quindi integro la prima $ddot(x)_c = -mu g $, ottenendo:

$dot(x)_c = -mu g t$

Poi integro anche la seconda formula $ddot(theta)=-(2mug)/(R)$, ed ho:

$dot(theta)=-(2mug)/(R) t + k$

dove a secondo membro compare una costante $k$ che in questo caso si tratta della velocità angolare iniziale, quindi scriviamo così:

$dot(theta)=-(2mug)/(R) t + omega_0$

Ma sapendo anche che la velocità $dot(x)_c= - dot(theta)R$, e sapendo che $dot(x)_c = -mu g t$ possiamo dire che:

$- dot(theta)R = -mu g t ->- dot(theta) = -(mu g t)/R $

Adesso prendo la seguente $dot(theta)=-(2mug)/(R) t + omega_0$ e prendo anche $dot(theta) = -(mu g t)/R $
ottenendo:

$ -(mu g t)/R=-(2mug)/(R) t + omega_0$

da cui

$ -(mu g t)=-(2mug) t + Romega_0$

E ricavo così il tempo $t$ che i interessa:

$t= (omega_0 R)/(3mug)$

In questo istante la mia velocità trovata sarà:

$dot(x)_c = -(mu g t) = -1/3omega R$

Adesso non so se ho fatto bene, magari tu riuscirai a chiarirmi le idee su quello che ho fatto!
Ho usato artifici matematici, ma non ho capito tanto il senso, quindi chiedo a te cosa ho fatto bene e fatto male, magari mi aiuterai a capire il senso!
Vorrei capire anche il metodo che dici tu!

A te la parola!

[Faussone]

"Antonio_80":
[....]
$ { ( m ddot(x)_c = -f_a ),( Iddot(theta)=-f_aR ):} $

sappiamo allora che si ha:

$ { ( m ddot(x)_c = -mu mg ),( 1/2mR^2 ddot(theta)=-mumgR ):} ->{ ( ddot(x)_c = -mu g ),( ddot(theta)=-(2mug)/(R) ):} $

Non puoi porre l'attrito pari $mu m g$, già mi pare ti fosse stato detto da navigatore, o da Falco5x, o da entrambi: tu sai che l'attrito statico è al massimo pari a $mu m g$ non che è pari in ogni caso a $mu m g$.
Quindi la tua soluzione non va bene.

"Antonio_80":
Vorrei capire anche il metodo che dici tu!

A te la parola!

No la parola è a te, io te l'ho già spiegato il modo di procedere, dirti altro significa scriverti la soluzione e non sarebbe corretto.
Quindi riflettici e prova a vedere se il momento angolare rispetto a qualche punto si conserva e perché, e poi prova a scrivere qualche equazione.
Io non ho null'altro da dire che non ho già detto.

[Sk_Anonymous]

Anto', qua sbagli , e lo fai per la seconda volta :

Il disco non è a contatto e giustmante ha una velocità angolare ω, entra a contatto con il pavimento e si ha puro rotolamento….

quando il disco dotato di velocità angolare iniziale viene posto sul pavimento , non si ha subito il rotolamento puro, casseruola!

Te lo avevo pure detto qui :

"navigatore":Il disco non rimbalza. Ha una velocità angolare iniziale $ \omega_0 $ , e viene poggiato sul piano scabro. Per cui c'è una prima fase di slittamento durante la quale la velocità angolare diminuisce , fino a diventare quella necessaria per il rotolamento puro. In questa fase, si ha : $ dotx < Rdot\theta$ . La velocità lineare invece aumenta.

Quando il disco viene poggiato sul piano, il piano esercita sul disco una reazione vincolare, che ha una componente tangente (=forza di attrito) la quale accelera il CM del disco, e una componente normale che equilibra il peso del disco.

la fase iniziale non è "puro rotolamento" , c'è uno slittamento !

Ti dico questo:

1) la fase di rotolamento con slittamento dura : $t_0 = (\omega_0R)/(3\mug)$
2) al termine di questa fase, la velocità angolare risulta : $\omega = \omega_0/3$ , e la velocità lineare del CM risulta :
$v_c = (\omega_0R)/3$ ( a meno dei segni, che dipendono dall'orientamento dell'asse $x$ ovviamente) .

Quindi ora inizia il moto di puro rotolamento. Insomma , nella prima fase la velocità angolare si riduce ad $1/3$ del valore iniziale.

Faussone, in questo caso siccome inizialmente si ha rotolamento con slittamento la forza tangenziale che il piano esercita sul disco è uguale alla max forza di attrito : $F = \mumg$ .

[Antonio_80]

"Faussone":

Non puoi porre l'attrito pari $mu m g$, già mi pare ti fosse stato detto da navigatore, o da Falco5x, o da entrambi: tu sai che l'attrito statico è al massimo pari a $mu m g$ non che è pari in ogni caso a $mu m g$.
Quindi la tua soluzione non va bene.

Perdonami se insisto su quel metodo che ho usato, ma fortunatamente sono riuscito a trvare una soluzione per questo esercizio, e guarda un po ha usato il mmio stesso metodo:




Non penso di essere l'unico ad usare questo metodo, se come hai detto non si può scrivere la forza di attrito...., come mai lo ha usato anche un testo

Ma chi starà sbagliando

[Faussone]

"Antonio_80":
Non penso di essere l'unico ad usare questo metodo, se come hai detto non si può scrivere la forza di attrito...., come mai lo ha usato anche un testo

Sul discorso dell'attrito confesso che ho scritto una cosa corretta ma non pertinente: avevo in mente ovviamente la soluzione al problema che ti stavo indicando da tempo e basata sulla conservazione del momento angolare e vedendo che sei partito su altro mi sono fatto trarre in inganno da quel passaggio che in realtà essendo fatto riguardo all'attrito dinamico e non all'attrito statico è corretto (devo dire che è molto frustrante per chi risponde non veder presi in considerazione i suggerimenti dati, visto il tempo speso a scrivere, questo a parziale giustificazione di quella mia svista di cui mi scuso).

Tuttavia alla luce del testo il metodo di soluzione riportato è penoso: l'esercizio si risolve, ribadisco, in 3 passaggi, e sin dall'inizio deve essere chiaro che la conoscenza del coefficiente di attrito dinamico e statico non occorre visto che si chiede solo la velocità di traslazione finale alla fine dalla fase di strisciamento, quando cioè il disco rotola senza strisciare.

Conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto iniziale tra disco e piano, l'attrito tra disco e piano non dà contributo quindi il momento angolare si conserva:

$I omega_i = I omega_f+ m v_c R$

condizione di rotolamento senza strisciamento finale: $omega_f = v_c/ R$

Sostituendo e tenendo conto che $I=1/2 m R^2$ si ottiene il risultato richiesto: semplice e indolore.

"Antonio_80":
Ma chi starà sbagliando

Alla fine nessuno, ma una soluzione più complicata del necessario non è la migliore possibile.

[Antonio_80]

"Faussone": L'esercizio si risolve, ribadisco, in 3 passaggi, e sin dall'inizio deve essere chiaro che la conoscenza del coefficiente di attrito dinamico e statico non occorre visto che si chiede solo la velocità di traslazione finale alla fine dalla fase di strisciamento, quando cioè il disco rotola senza strisciare.

Conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto iniziale tra disco e piano, l'attrito tra disco e piano non dà contributo quindi il momento angolare si conserva:

$I omega_i = I omega_f+ m v_c R$

condizione di rotolamento senza strisciamento finale: $omega_f = v_c/ R$

Sostituendo e tenendo conto che $I=1/2 m R^2$ si ottiene il risultato richiesto: semplice e indolore.

Da premettere che è difficile decifrare se c'è o non c'è forza di attrito, non so come hai fatto tu a pensare che non ci sia
Sulla base di cosa riesci ad essere sicuro che non ci dovrebbe essere forza di attrito

In attesa di risposta, sto cercando di trovare la velocità che viene richiesta dal testo con il tuo metodo.....

Allora, hai scritto la formula seguente:

$I omega_i = I omega_f+ m v_c R$

Inizialmente prima del contatto:

Se la ruota gira inizialmente intorno al perno (asse z), si ha che il momento angolare iniziale si riduce ad:

$L_i = I omega_i =1/2 m R^2 omega_i$

la lasciamo scritta in questo modo, non considero velocità lineari $omega=v/R->v=omegaR$, in quanto non si hanno velocità lineari, bensi solo angolari.

Appena entra in contatto:

Bene, il disco entra in contatto con il piano, ed in questo caso si ha che il momento angolare si riduce ad essere:

$L_f= (I+mR^2) omega_f$

In questo caso la velocità angolare va presa come lineare e quindi si usa la seguente relazione $omega=v/R$, quindi scrivo:

$L_f= (I+mR^2) v/R$

$L_f= (3/2mR^2) v/R$

$L_f= (3mv)/(2R)$

Adesso mettiamo in relazione le formule $L_i$ ed $L_f$:

La conservazione del moemento angolare, ci fornisce che:

$L_i = L_f$

$1/2 m R^2 omega_i= (3mv)/(2R)$

$(3v)/(2R)=1/2 R^2 omega_i$

$(v)/(R)=1/3 R^2 omega_i$

Se non erro, la condizione di rotolamento senza strisciamento, ci porta a poter scrivere quest'ultima formula in questo modo:

$(v)/(R)=1/3 R^2 omega_i$

così:

$omega_f =1/3 R^2 omega_i$

C'è qualcosa che non mi torna
Dove sto sbagliando

Adesso mi chiedo come fai ad arrivare alla velocità a cui ti riferisci tu

[Faussone]

"Antonio_80":

Da premettere che è difficile decifrare se c'è o non c'è forza di attrito, non so come hai fatto tu a pensare che non ci sia
Sulla base di cosa riesci ad essere sicuro che non ci dovrebbe essere forza di attrito

Scusami antonio, ma mi cadano le ...braccia: qui c'è un evidente problema di comprensione di quello che leggi, chi ha detto che non c'è attrito?
Io ho detto che se calcoli il momento rispetto al punto di contatto iniziale tra disco e piano, quando il disco inizia a strisciare sul piano quindi, allora il momento dell'attrito è nullo rispetto a tale punto di contatto (ho parlato di contributo al momento infatti). Non ho affatto detto che l'attrito è nullo. Visto che a noi interessa il momento dell'attrito, per verificare che il momento angolare si conserva, è quello ciò che interessa veramente.

"Antonio_80":
In attesa di risposta, sto cercando di trovare la velocità che viene richiesta dal testo con il tuo metodo.....
[....]

Dai, sono letteralmente tre formule!


$ I omega_i = I omega_f+ m v_c R $

condizione di rotolamento senza strisciamento finale: $ omega_f = v_c/ R $

Sostituendo

$I omega_i = I v_c /R + m v_c R$

$I omega_i = (I /R + m R)v_c$

quindi:

$v_c= \frac{I omega_i}{I/R + m R}$

ora $I=1/2 m R ^2$

quindi

$v_c = \frac{1/2 m R^2 omega_i}{1/2 mR + mR}=\frac{1/2 m R^2 omega_i}{3/2 mR}=omega_i R/3$


Ma hai fatto Fisica1? Questi sono concetti di base di Fisica 1 e questo è un problema ultra classico di Fisica 1 sulla conservazione del momento angolare (viene dato in genere con disco/cilindro oppure con sfera).

[Antonio_80]

Ok, adesso ho capito!

Devo esserti grato per il metodo che mi hai ribadito, più metodi si sanno e meglio è

Per il resto sono felice di avere dibattiti in materia, è costruttivo

[Antonio_80]

"Faussone":

$ I omega_i = I omega_f+ m v_c R $

Scusami, giusto una ultima domanda in merito a questa formula nel quote....

Si evince che la stessa potrebbe essere scritta anche in questo modo:

$ I omega_i = I omega_f+ m omega_f R^2 $

mentre nel nostro caso abbiamo utilizzato nel secondo addendo la velocità lineare e quindi si ha:

$ I omega_i = I omega_f+ m (v_f)/(R) R^2 $

che è quella che hai scritto tu:

$ I omega_i = I omega_f+ mv_fR$

Ma per quale motivo abbiamo utilizzato la velocità lineare nel secondo addendo

[Faussone]

Puoi vederlo come applicazione del primo teorema di Konig per il calcolo del momento angolare.

Detto ciò mi spiace, ma non credo interverrò più su altre tue domande sul forum.
Quando posso e so aiuto volentieri, ma il modo in cui hai sempre risposto (in questa e altre discussioni) agli input non mi piace: dai l'impressione di non impegnarti e di neanche leggere con attenzione ciò che ti si indica, finché non ti viene riportato tutto fino ai minimi passaggi logici e algebrici, e il forum non è pensato per dare lezioni private.
Magari è solo un'impressione, ma qui ci si può basare solo sulle impressioni.
Non prenderla sul personale, ma questo è un pessimo esempio di utilizzo del forum e non voglio incoraggiarlo.

[Antonio_80]

Faussone, ok, il teorema di Konig!
Un detto dice che se si va con lo zoppo si impara a zoppicare, io voglio frequentare esperti per diventare un esperto, tutto qui! Spesso i testi di questi materie dicono tanto, ma per farlo diventare qualcosa di concreto, io trovo ottimo parlarne con chi conosce i fenomeni, tutto qui!

P.S. Le tue impressioni sono sbagliate, due messaggi in due giorni, la prima volta non ti ho risposto per non dare seguito, ma vedo che il mio messaggio di silenzio non è stato captato e a seguire hai ancora rimarcato il tuo pensiero.
Studio tanto, potrai dire quello che pensi, ma ti prego di non dire sempre ad alta voce quello che pensi, un pensiero senza certezza, e meglio non alimentarlo!

Per tutto il resto ti ringrazio!

[Antonio_80]

Teorema di Konig:
Questo teorema dimostra che il moto di un sistema di punti materiali può essere descritto attraverso il moto del centro di massa ed il moto interno del sistema rispetto al centro di massa.

[Faussone]

"Antonio_80":
P.S. Le tue impressioni sono sbagliate, due messaggi in due giorni, la prima volta non ti ho risposto per non dare seguito, ma vedo che il mio messaggio di silenzio non è stato captato e a seguire hai ancora rimarcato il tuo pensiero.
Studio tanto, potrai dire quello che pensi, ma ti prego di non dire sempre ad alta voce quello che pensi, un pensiero senza certezza, e meglio non alimentarlo!

Ti assicuro che non mi permetto di giudicare le persone e esprimere giudizi trancianti, lo faccio con tantissima cautela nella vita reale figuriamoci se lo facessi qui, che di una persona si può conoscere solo il poco che traspare da ciò che scrive qui, su questioni di fisica di base peraltro.

Ho solo espresso un'impressione sul modo con cui ti poni nello studiare e nel riflettere sui concetti, tema questo che è pertinente col forum. Non so che persona sei (né ha importanza che io lo sappia, né ho interesse più di tanto a saperlo), ma vedendo il tuo modo di utilizzare il forum ti ho consigliato di riflettere di più prima di chiedere ulteriori chiarimenti a chi ti risponde.

Questo per un vantaggio tuo prima di tutto: se rifletti e ti "spremi" da te, i concetti importanti ti resteranno davvero alla fine e li farai tuoi; in secondo luogo quell'atteggiamento ti fa apparire superficiale e svogliato e non invoglia a continuare a risponderti.

Non sto dicendo che tu sia una persona svogliata e superficiale questo non mi permetterei di dirlo perché non posso saperlo, ma sto dicendo che il tuo modo di scrivere e di utilizzare il forum fa trasparire quello, e solo il modo di scrivere qui appare da dietro il nickname.

Poi ci mancherebbe... siamo in libertà e anche questo forum è libero (a patto di rispettare il regolamento) quindi fa' come vuoi: al limite avrai perso il mio solo contributo ai tuoi dubbi, magari gli altri vedono le cose diversamente (ma è difficile che le vedano molto diversamente).


Le altre riflessioni erano più generali ed erano una curiosità (neanche tanto velatamente critica) sul mondo della scuola e dell'università di oggi, spero di sbagliare nel vederlo inferiore come livello all'università che ho frequentato io, e che sia solo una questione di punti di vista diversi (magari sono anche io vittima della frase "ai miei tempi": sono solo più vecchio di quando ho studiato e non riesco a vedere le cose con gli occhi di allora, quindi ho solo un'impressione errata).

Ti saluto.

Sta' bene.