Disco, carrello, molla e piano liscio
Ciao!
Consideriamo questo sistema:
Abbiamo un carrello di massa $M$ che si muove su un piano liscio.
Un disco di raggio $R$ e massa $M/4$ che si muove su questo carrello di rotolamento puro.
Tra carrello e disco c'è attrito.
Il centro del disco è collegato ad una molla di lunghezza a riposo $10R$.
Nella foto la molla è in uno stato di compressione ed applica al centro del disco una forza diretta verso destra.
Se il carrello si muove verso destra, il disco rotola in senso "opposto", ovvero in senso antiorario, come l'esperienza comune ci mostra quando tiriamo via un tappetto sul quale è appoggiato un oggetto che può ruotare.
Come mai se applico la seconda cardinale in $C$, il punto di contatto tra disco e carrello, ottengo una rotazione oraria?
Consideriamo questo sistema:
Abbiamo un carrello di massa $M$ che si muove su un piano liscio.
Un disco di raggio $R$ e massa $M/4$ che si muove su questo carrello di rotolamento puro.
Tra carrello e disco c'è attrito.
Il centro del disco è collegato ad una molla di lunghezza a riposo $10R$.
Nella foto la molla è in uno stato di compressione ed applica al centro del disco una forza diretta verso destra.
Se il carrello si muove verso destra, il disco rotola in senso "opposto", ovvero in senso antiorario, come l'esperienza comune ci mostra quando tiriamo via un tappetto sul quale è appoggiato un oggetto che può ruotare.
Come mai se applico la seconda cardinale in $C$, il punto di contatto tra disco e carrello, ottengo una rotazione oraria?
Risposte
Ciao
Se ruota in senso antiorario, la direzione dell'attrito è opposta
$M a_(cm) =muMg$ e $Ialpha=muMgR$ sono le due cardinali per il disco
Se ruota in senso antiorario, la direzione dell'attrito è opposta
$M a_(cm) =muMg$ e $Ialpha=muMgR$ sono le due cardinali per il disco
"Lucacs":
Ciao
Se ruota in senso antiorario, la direzione dell'attrito è opposta
$M a_(cm) =muMg$ e $Ialpha=muMgR$ sono le due cardinali per il disco
Ciao.
L'attrito è statico perché è rotolamento puro, per cui non si può scrivere $# F_a= muMg #$
La forza di attrito disegnata è quella che il carrello applica al disco.
Giusto per precisare, ho aggiunto una frase nel post: la figura rappresenta un istante in cui la molla è in uno stato di compressione ed applica al centro del disco una forza diretta verso destra.
Il problema è che, se il verso della forza di attrito fosse opposto, allora il disco applicherebbe al carrello una forza uguale e contraria diretta verso sinistra.
Questo significherebbe che il disco, ruotando in senso antiorario per effetto della forza di attrito statico (causata dalla spinta della molla), farebbe andare il carrello verso sinistra.
Allora perché, se in tale situazione, applico la seconda cardinale nel punto di contatto del disco $C$, ed ho l'unica forza elastica a creare momento, ottengo che il disco ruota in senso orario?
Per quale motivo non posso applicare la seconda cardinale nel punto di contatto, nonostante il punto di contatto appartenente al disco sia fermo?
"anonymous_f3d38a":
[quote="Lucacs"]Ciao
Se ruota in senso antiorario, la direzione dell'attrito è opposta
$M a_(cm) =muMg$ e $Ialpha=muMgR$ sono le due cardinali per il disco
Ciao.
L'attrito è statico perché è rotolamento puro, per cui non si può scrivere $# F_a= muMg #$[/quote]
Tra l'altro manca la forza della molla.
"professorkappa":
Tra l'altro manca la forza della molla.
professorkappa buonasera!
Una tua risposta, come sempre, sarebbe molto gradita.
Forse non puoi applicare la seconda cardinale in $C$ perché il disco non si trova in un sistema di riferimento inerziale?
Non ne sono sicuro, aspetta risposte di utenti in gamba.
Comunque seguo anche io il post, la domanda è interessante.
Non ne sono sicuro, aspetta risposte di utenti in gamba.
Comunque seguo anche io il post, la domanda è interessante.
Speriamo che qualcuno sveli l'arcano mistero, questa cosa mi preoccupa un po'.
Ha ragione Tauto, probabilmente il tuo errore e' li.
Il problema presenta un ammontare di calcoli notevole e spero che nel copia e incolla non scappi qualcosa.
Intanto nota che e' un sistema a 2 gradi di liberta. quindi per descriverlo ti occorrono 2 parametri.
Io scelgo, arbitrariamente, la coordinata del baricentro del carrello e quella del disco.
Se fisso un sistema con l'origine nella molla a riposo, asse verso dx e rotazioni orarie positive, posso scrivere, usando D e B come pedici per Disco e Blocco
$F_a-kx_D=m_Dddotx_D$
$-kx_DR-m_Dddotx_BR=3/2m_DR^2ddottheta$
Per il blocco
$-F_a=m_Bddotx_B$
E infine sappiamo che $ddotx_D=ddotx_B+Rddottheta$
Queste 4 equazioni mi risolvono il sistema. Ho scirtto le masse $m_D$ e $m_B$ solo per farti capire le equazioni, ma ora per evitare ri rompermi le scatole e per semplificare i calcoli le sostituisco con $M$ e $M/4$ come da consegna.
Quindi
$F_a-kx_D=M/4ddotx_D$
$-kx_DR-M/4ddotx_BR=3/2M/4R^2ddottheta$
$-F_a=Mddotx_B$
$ddotx_D=ddotx_B+Rddottheta$
Dato che ho scelto $x_B$ e $x_D$ come variabili, eliminiamo $F_a$ e $Rddottheta$
Sommo la prima con la terza m.a.m. per eliminare $F_a$
$-kx_D=M/4ddotx_D+Mddotx_B$ [1]
Semplifico la seconda per R e sostituisco il valore di $Rddottheta$ ottenuto dalla quarta equazione
$-kx_D-M/4ddotx_B=3/2M/4(ddotx_D-ddotx_B)$ [2]
Adesso ho due equazioni, nei parametri che volevo io. Basta risolvere per un parametro e sostituire nell'altro.
Se lo fai (FALLO...) ti viene un' equazione del tipo $alphaMddotx+betakx=0$
Questa ha soluzione del tipo $x_D=Acos(omegat+phi)$ dove ovviamente $omega^2=[betak]/[alphaM]$
Le condizioni al contorno sono $x_D=x_0$ e $dotx(0) = 0$ e quindi si ottiene l'equazione di moto del baricentro del disco che '
$x_D=x_0cosomegat$
$dotx_D=-x_0omegasinomegat$
$ddotx_D=-omega^2x_0cosomegat$
Significato fisico della seconda: se $x_0>0$ sognifica che sto tirando la molla, il disco parte con velocita' crescente e negativa tornando verso l'origine. Viceversa, ovviamente, se la molla e' compressa di $x_0<0$
Da qui puoi calcolare tutto il resto, usando le 4 equazioni originali:
Forza d'attrito
$F_a=M/4ddotx+kx_D$ ovvero $F_a=-M/4omega^2x_0cosomegat+kx_0cosomegat=(k-M/4omega^2)x_0cosomegat$
Il segno della forza d'attrito alla partenza, sempre nell ipotesi di tirarla ($x_0>0$) dipende dal $(k-M/4omega^2)$
Indipendemente dal corpo che rotola, il termine e' sempre positivo, quindi la forza che agisce sul corpo e' sempre verso destra.
Prova a dimostrare che la pulsazione in generale, per ogni corpo che rotola e'
$omega^2=[kR^2(m_B+I_G/R^2)]/[m_D[I_Cm_B+I_Gm_D]$
Lascio a te il compito di calcolare il verso della rotazione e di ricontrollare i miei calcoli. Se trovi un errore fammelo sapere, ma il concetto generale resta quello esposto
Edit: rimosso una svista sul segno di $F_a$
Il problema presenta un ammontare di calcoli notevole e spero che nel copia e incolla non scappi qualcosa.
Intanto nota che e' un sistema a 2 gradi di liberta. quindi per descriverlo ti occorrono 2 parametri.
Io scelgo, arbitrariamente, la coordinata del baricentro del carrello e quella del disco.
Se fisso un sistema con l'origine nella molla a riposo, asse verso dx e rotazioni orarie positive, posso scrivere, usando D e B come pedici per Disco e Blocco
$F_a-kx_D=m_Dddotx_D$
$-kx_DR-m_Dddotx_BR=3/2m_DR^2ddottheta$
Per il blocco
$-F_a=m_Bddotx_B$
E infine sappiamo che $ddotx_D=ddotx_B+Rddottheta$
Queste 4 equazioni mi risolvono il sistema. Ho scirtto le masse $m_D$ e $m_B$ solo per farti capire le equazioni, ma ora per evitare ri rompermi le scatole e per semplificare i calcoli le sostituisco con $M$ e $M/4$ come da consegna.
Quindi
$F_a-kx_D=M/4ddotx_D$
$-kx_DR-M/4ddotx_BR=3/2M/4R^2ddottheta$
$-F_a=Mddotx_B$
$ddotx_D=ddotx_B+Rddottheta$
Dato che ho scelto $x_B$ e $x_D$ come variabili, eliminiamo $F_a$ e $Rddottheta$
Sommo la prima con la terza m.a.m. per eliminare $F_a$
$-kx_D=M/4ddotx_D+Mddotx_B$ [1]
Semplifico la seconda per R e sostituisco il valore di $Rddottheta$ ottenuto dalla quarta equazione
$-kx_D-M/4ddotx_B=3/2M/4(ddotx_D-ddotx_B)$ [2]
Adesso ho due equazioni, nei parametri che volevo io. Basta risolvere per un parametro e sostituire nell'altro.
Se lo fai (FALLO...) ti viene un' equazione del tipo $alphaMddotx+betakx=0$
Questa ha soluzione del tipo $x_D=Acos(omegat+phi)$ dove ovviamente $omega^2=[betak]/[alphaM]$
Le condizioni al contorno sono $x_D=x_0$ e $dotx(0) = 0$ e quindi si ottiene l'equazione di moto del baricentro del disco che '
$x_D=x_0cosomegat$
$dotx_D=-x_0omegasinomegat$
$ddotx_D=-omega^2x_0cosomegat$
Significato fisico della seconda: se $x_0>0$ sognifica che sto tirando la molla, il disco parte con velocita' crescente e negativa tornando verso l'origine. Viceversa, ovviamente, se la molla e' compressa di $x_0<0$
Da qui puoi calcolare tutto il resto, usando le 4 equazioni originali:
Forza d'attrito
$F_a=M/4ddotx+kx_D$ ovvero $F_a=-M/4omega^2x_0cosomegat+kx_0cosomegat=(k-M/4omega^2)x_0cosomegat$
Il segno della forza d'attrito alla partenza, sempre nell ipotesi di tirarla ($x_0>0$) dipende dal $(k-M/4omega^2)$
Indipendemente dal corpo che rotola, il termine e' sempre positivo, quindi la forza che agisce sul corpo e' sempre verso destra.
Prova a dimostrare che la pulsazione in generale, per ogni corpo che rotola e'
$omega^2=[kR^2(m_B+I_G/R^2)]/[m_D[I_Cm_B+I_Gm_D]$
Lascio a te il compito di calcolare il verso della rotazione e di ricontrollare i miei calcoli. Se trovi un errore fammelo sapere, ma il concetto generale resta quello esposto
Edit: rimosso una svista sul segno di $F_a$
"professorkappa":
Se fisso un sistema con l'origine nella molla a riposo, asse verso dx e rotazioni orarie positive, posso scrivere, usando D e B come pedici per Disco e Blocco
$F_a-kx_D=m_Dddotx_D$
$-kx_DR-m_Dddotx_BR=3/2m_DR^2ddottheta$
professorkappa grazie mille per la risposta.
Nella seconda hai applicato la seconda cardinale per il disco? Come mai hai scritto $x_B$?
Non ho proprio capito la seconda equazione.
"professorkappa":
E infine sappiamo che $ddotx_D=ddotx_B+Rddottheta$
Nelle soluzioni (o meglio, nei suggerimenti) c'è scritto che
$ddotx_D=ddotx_B- Rddottheta$
E non + . Ovvero, il disco si muove di quanto trasla il blocco - di quanto ruota il disco.
Prima di procedere con i conti provo a capire questi due passaggi.
$F_a-kx_D=m_Dddotx_D$
Ovvero $ Ma_(cm)+kx=mu Mg$
$-kx_DR-m_Dddotx_BR=3/2m_DR^2ddottheta$
Ovvero $kx R+mu Mg R=I alpha $
Visto che qualcuno voleva anche la molla
Ovvero $ Ma_(cm)+kx=mu Mg$
$-kx_DR-m_Dddotx_BR=3/2m_DR^2ddottheta$
Ovvero $kx R+mu Mg R=I alpha $
Visto che qualcuno voleva anche la molla
Non puoi scrivere $F_a = muMg$, abbiamo attrito statico.
Quello è attrito statico, senza manco rotola, striscia
E si $v_d=v_b+Rω$
E si $v_d=v_b+Rω$
@professorkappa
forse nella seconda equazione hai scritto la seconda cardinale, indicando con il termine in cui compare $ddot(x)_B$ la forza fittizia, dovuta al fatto che mi trovo in un sistema di riferimento non inerziale?
Dunque se avessi calcolato la seconda cardinale nel centro di massa del disco, sarebbe stato tutto più comodo, in quanto avrei avuto la sola forza di attrito tra disco e carrello?
Questo punto forse mi è più chiaro.
Continuo a non essere d'accordo tuttavia con la relazione cinematica.
Secondo me:
Accelerazione centro di massa del disco = (Accelerazione del carrello) - (quanto ruota disco)
$ddot(x)_D= ddot(x)_C - Rddot(vartheta)$
Per due ragioni:
1) perché ci è stato detto a lezione e ce l'ho scritto tra gli appunti
2) Se prendo un foglio (nostro carrello), ci appoggio sopra un cilindro (nostro disco), e tiro via il foglio, il disco rotola nel senso "opposto". Dunque il disco farà un passettino in avanti per via del carrello e un piccolo passettino indietro dovuto alla rotazione.
Non so se sono stato chiaro.
Preciso che non intendo dire che ho ragione. Faccio per argomentare e per capire fino in fondo.
Anche perché se seguo solamente come un bovino ciò che mi viene detto, senza però farlo mio, non sarò poi in grado di risolvere esercizi in cui le condizioni sono diverse.
forse nella seconda equazione hai scritto la seconda cardinale, indicando con il termine in cui compare $ddot(x)_B$ la forza fittizia, dovuta al fatto che mi trovo in un sistema di riferimento non inerziale?
Dunque se avessi calcolato la seconda cardinale nel centro di massa del disco, sarebbe stato tutto più comodo, in quanto avrei avuto la sola forza di attrito tra disco e carrello?
Questo punto forse mi è più chiaro.
Continuo a non essere d'accordo tuttavia con la relazione cinematica.
Secondo me:
Accelerazione centro di massa del disco = (Accelerazione del carrello) - (quanto ruota disco)
$ddot(x)_D= ddot(x)_C - Rddot(vartheta)$
Per due ragioni:
1) perché ci è stato detto a lezione e ce l'ho scritto tra gli appunti
2) Se prendo un foglio (nostro carrello), ci appoggio sopra un cilindro (nostro disco), e tiro via il foglio, il disco rotola nel senso "opposto". Dunque il disco farà un passettino in avanti per via del carrello e un piccolo passettino indietro dovuto alla rotazione.
Non so se sono stato chiaro.
Preciso che non intendo dire che ho ragione. Faccio per argomentare e per capire fino in fondo.
Anche perché se seguo solamente come un bovino ciò che mi viene detto, senza però farlo mio, non sarò poi in grado di risolvere esercizi in cui le condizioni sono diverse.
Inoltre visto che sono tutte forze conservative, potevi usare l'energia
"Lucacs":
Inoltre visto che sono tutte forze conservative, potevi usare l'energia
Non so se sarebbe stato semplice giungere all'equazione del moto (che era uno dei miei intenti) scrivendo l'energia meccanica totale e derivandola.
Penso che l'uso delle cardinali in questo caso sarebbe più semplice.
"anonymous_f3d38a":
Nella seconda hai applicato la seconda cardinale per il disco? Come mai hai scritto $x_B$?
Non ho proprio capito la seconda equazione.
Si, al punto di contatto. Con l'accortezza che pero' consideri il momento della forza di inerzia, che e'
$-m_dddotx_B$
[/quote]
"anonymous_f3d38a":
Nelle soluzioni (o meglio, nei suggerimenti) c'è scritto che
$ddotx_D=ddotx_B- Rddottheta$
E non + . Ovvero, il disco si muove di quanto trasla il blocco - di quanto ruota il disco.
E' una semplice questione di sistema di riferimento. Non cambia nulla. COme ho scritto all'inizio del post, per me e' positivo il movimento del blocco e del piano mobile quando si muovono verso destra. Le rotazioni sono positive orarie, quindi PER ME vale il +.
Se il tuo libro ha preso positivi gli stessi spostamenti miei, ma positive le rotazioni antiorarie, per lui viene il segno meno. Nessuno dei 2 ha torto o ragione (sarebbe un problema se i risultati dipendessero da scelte arbitrarie). L'importante e' scrivere le equazioni con i segni congruenti al sdr
"Lucacs":
Quello è attrito statico, senza manco rotola, striscia
E si $v_d=v_b+Rω$
Gabrio (che a questo punto il dubbio e' diventato certezza). Per favore non incasinare i post. Quegli stessi utenti a cui hai la presunzione di "spiegare" le cose ti hanno gia' scritto a ragione che la forza di attrito NON e' $mumg$
Se spieghi qualcosa non puoi buttare equazioni a cavolo come fai sempre. Se non hai voglia di rispondere, non rispondere. Se rispondi, sii preciso.
La molla e' un elemento del problema, senza molla non si muove nulla. Quindi non e' che "qualcuno" voleva la molla. Ce la devovi mettere e argomentare i passaggi, cosi come dovevi mettere il momento della forza di inerzia.
Scrivere $M=Ialpha$ non aggiunge nulla a chi fa la domanda, incasina solo il thread. Si presume che lo sappiano gia', se no non sarebbero su questo forum. Devi spiegare cosa ci va in M, invece di scrivere la banale formuletta che sanno gia'.
Grazie
"professorkappa":
E' una semplice questione di sistema di riferimento. Non cambia nulla. COme ho scritto all'inizio del post, per me e' positivo il movimento del blocco e del piano mobile quando si muovono verso destra. Le rotazioni sono positive orarie, quindi PER ME vale il +.
E' proprio su questo che non sono d'accordo.
Se prendo come sistema di riferimento un sistema di riferimento con:
asse $x$ crescente verso destra
asse $y$ crescente verso il basso
asse $z$ entrante
rotazioni positive in senso orario
Avrò che quando il carrello accelera verso destra $mddot(x)_B>0$, il disco ruota in senso antiorario, per cui $Rddot(theta)<0$.
Viceversa, se prendo come sistema di riferimento un sistema di riferimento con:
asse $x$ crescente verso sinistra
asse $y$ crescente verso il basso
asse $z$ uscente
rotazioni positive in senso antiorario
Avrò che quando il carrello accelera verso destra $mddot(x)_B<0$, il disco ruota in senso antiorario, per cui $Rddot(theta)>0$.
Insomma, avrò sempre accelerazione del carrello e rotazione del disco discordi, qualsiasi terna destrorsa io scelga.
No. Come accelera il disco quando il carello accelera e' un'incognita. Lo sai perche lo "vedi" mentalmente. Ma non e' un dato, ti viene fuori dalla risoluzione delle equazioni.
Per te l'unica certezza e' la scelta del sistema di riferimento.
Scrivi bovinamente le equazioni congruentemente col sistema di riferimento e risolvi. Il segno di $theta$ ti indichera come rotolera' il disco. Nel mio sistema di riferimento, quello adottato nella risoluzione dell'esercizio, se calcoli $theta$ (dovrebbe essere facile, ormai hai tutto risolto), vedrai che ti viene negativa, ad indicare che il disco parte con rotazione antioraria.
Per te l'unica certezza e' la scelta del sistema di riferimento.
Scrivi bovinamente le equazioni congruentemente col sistema di riferimento e risolvi. Il segno di $theta$ ti indichera come rotolera' il disco. Nel mio sistema di riferimento, quello adottato nella risoluzione dell'esercizio, se calcoli $theta$ (dovrebbe essere facile, ormai hai tutto risolto), vedrai che ti viene negativa, ad indicare che il disco parte con rotazione antioraria.
In altre parole, io posso ammettere che se $ddotx_B=kddottheta$ a priori. E' la soluzione del sistema che mi dice che $k<0$ ristabilendo la tua tranquillita' mentale
"professorkappa":
In altre parole, io posso ammettere che se $ddotx_B=kddottheta$ a priori. E' la soluzione del sistema che mi dice che $k<0$ ristabilendo la tua tranquillita' mentale
Grazie mille professorkappa
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