Direzione forza centrifuga in curva parabolica
Ciao a tutti, recentemente mi è capitato di discutere riguardo alla direzione della forza centrifuga che "agisce" su una macchina quando percorre una curva parabolica, quindi inclinata in modo tale che sia possibile percorrerla con più stabilità, senza ribaltarsi. Le due posizioni emerse sono:
- la direzione della forza centrifuga resta parallela al terreno NON inclinato, quindi perpendicolare all'asse di rotazione di una qualunque curva piana, pertanto è possibile scomporre la forza in due componenti, una perpendicolare al terreno inclinato e una parallela ad esso: in tal modo la stabilità della curva è data dalla stessa forza centrifuga che spinge la macchina verso il terreno
-la direzione della forza centrifuga è parallela al terreno inclinato sul quale la macchina percorre la curva, quindi perpendicolare all'asse di rotazione della curva inclinata e al terreno su cui la macchina si trova nel momento in cui percorre la curva. In tal modo la stabilità è data dall'azione della forza peso che va a controbilanciare la forza centrifuga, essendo quest'ultima parzialmente rivolta verso l'alto.
Personalmente ritengo che la seconda ipotesi sia esatta, perchè la forza centrifuga ha la stessa direzione di quella centripeta, il cui vettore si trova sulla retta passante per il centro della circonferenza su cui si trova la curva: nel caso di una curva parabolica, questa si trova su una circonferenza il cui centro si trova sotto terra. Non essendo un fisico non ne sono completamente sicuro però, quindi speravo che qualcuno più esperto potesse chiarirmi le idee. Grazie in anticipo
- la direzione della forza centrifuga resta parallela al terreno NON inclinato, quindi perpendicolare all'asse di rotazione di una qualunque curva piana, pertanto è possibile scomporre la forza in due componenti, una perpendicolare al terreno inclinato e una parallela ad esso: in tal modo la stabilità della curva è data dalla stessa forza centrifuga che spinge la macchina verso il terreno
-la direzione della forza centrifuga è parallela al terreno inclinato sul quale la macchina percorre la curva, quindi perpendicolare all'asse di rotazione della curva inclinata e al terreno su cui la macchina si trova nel momento in cui percorre la curva. In tal modo la stabilità è data dall'azione della forza peso che va a controbilanciare la forza centrifuga, essendo quest'ultima parzialmente rivolta verso l'alto.
Personalmente ritengo che la seconda ipotesi sia esatta, perchè la forza centrifuga ha la stessa direzione di quella centripeta, il cui vettore si trova sulla retta passante per il centro della circonferenza su cui si trova la curva: nel caso di una curva parabolica, questa si trova su una circonferenza il cui centro si trova sotto terra. Non essendo un fisico non ne sono completamente sicuro però, quindi speravo che qualcuno più esperto potesse chiarirmi le idee. Grazie in anticipo
Risposte
"ralf86":
....................
Usare concetti come le geodetiche (che a me continuano a a sembrare un concetto "superiore" rispetto agli altri) mi sembrava artificioso. Ma anche questo è soggettivo, una questione di gusti.
Non sono stato chiaro? Ripeto. Una qualunque superficie regolare ha infinite geodetiche: sono curve estremali della superficie, che si possono determinare con un principio variazionale. Dato un punto e una direzione su una superficie curva "regolare", la direzione iniziale determina l'andamento della geodetica su tutta la superficie.
Ma ho anche detto che la traiettoria della pallina sulla superficie, sotto l'azione della gravità, non è certamente una geodetica. E ho fatto l'esempio di un piano inclinato di un certo angolo $\alpha$ , su cui si lancia una pallina con un certo angolo $\phi$ rispetto alla linea di massima pendenza: la traiettoria è una parabola. Non è una geodetica del piano.
Mi sembra che non abbia detto di usare le geodetiche per risolvere il problema in esame.
"navigatore":
[OT] Riguardo alle tue osservazioni, ti faccio notare che parlare di "Fisica elementare" non vuol dire mancare di rispetto a nessuno, men che meno agli studenti.
nel tuo post iniziale ricordo un "fisichetta elementare" e non il ben più rispettoso "fisica elementare". Ma forse era tardi e avevo letto male, o forse è stato coscientemente modificato nel frattempo.
Ralf, mi dici dove vuoi arrivare? Tralascio ogni ulteriore commento. Non ne vale la pena.
"ralf86":
ottimo!
forse una scodella a paraboloide di rivoluzione è ancora più semplice perchè ha al più quadrati e non seni e coseni (o radici).
scilab riesce anche far visualizzare la soluzione in una sorta di "filmino"?
Credo sia possibile anche se non l'ho mai fatto. E' molto semplice comunque disegnare traiettorie nelle tre dimensioni.
Purtroppo però rivedendo le equazioni che hai scritto, ci vuole molta pazienza e tempo a scriverle in un sistema nella forma risolubile con un metodo Runge-Kutta, quindi non credo troverò il tempo, la pazienza e la determinazione per farlo...
"Faussone":
Credo sia possibile anche se non l'ho mai fatto. E' molto semplice comunque disegnare traiettorie nelle tre dimensioni.
Purtroppo però rivedendo le equazioni che hai scritto, ci vuole molta pazienza e tempo a scriverle in un sistema nella forma risolubile con un metodo Runge-Kutta, quindi non credo troverò il tempo, la pazienza e la determinazione per farlo...
Peccato, ero davvero molto curioso di vedere quelle equazioni all'opera!
Guarderò se ce la faccio a fare qualcosa, grazie comunque
Operando algebricamente sulle derivate seconde, il sistema di ODE può essere posto in forma normale (cioè con le derivate di ordine maggiore isolate a sinistra). Ciò si fa senza perdità di generalità infatti compare un denominatore che coincide con il modulo quadro di $\vec n = \vec t_1 \wedge \vec t_2$, certamente positivo visto che t1 e t2 sono linearmente indipendenti.
[appena ho tempo le scrivo]
@Faussone: spero che questo riaccenda la tua determinazione nella simulazione grafica
[appena ho tempo le scrivo]
@Faussone: spero che questo riaccenda la tua determinazione nella simulazione grafica
Sì, pensavo proprio a quei passaggi algebrici che sono noiosi e facilmente "sbagliabili".
Senza contare che poi tutto andrebbe scritto nel programmino per Runge Kutta (nella forma $dot vec y = vec{f}(vec y)$).
Senza contare che poi tutto andrebbe scritto nel programmino per Runge Kutta (nella forma $dot vec y = vec{f}(vec y)$).
Ho fatto questo, se qualcuno vuole darci un' occhiata...È la cosa più semplice che mi è venuta in mente.
Considero un cono circolare retto, con superficie interna liscia, vertice in basso, angolo di apertura uguale a $\pi/2$ (solo per semplificare certi passaggi), altezza $H$, posto nel campo gravitazionale terrestre.
Nel vertice assumo un riferimento cartesiano triortogonale con asse $z$ verso l'alto, assi $x$ ed $y$ orizzontali (ovvio).
Se introduco coordinate cilindriche $(\rho, \theta , z ) $ per la superficie del cono ho l'equazione :
$ z = sqrt(x^2 + y^2) = \rho$
con : $ 0<= z <= H $
$ 0<=\theta <= 2\pi$
e naturalmente :
$ x = \rho*cos\theta$
$ y = \rho*sen\theta$,
da cui l'inversa che non scrivo.
Un punto materiale $P$ vincolato a rimanere sulla superficie interna del cono, è lanciato con velocità iniziale $vecv_0 = (v_(0x) , v_(0y) , v_(0z))$ tangente alla superficie (la componente $v_(0z)$ è negativa o nulla), da un punto $P_0$ situato sulla circonferenza ad altezza $H$ , quindi di coordinate cartesiane : $ (x_0 , y_0 , H) $ ovvero cilindriche: $ (\rho_0 , \theta_0 , H) $. Le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ , la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio, quindi incidente all'asse $z$ in ogni punto, e la forza centripeta.
Determinare la traiettoria.
Credo che nelle condizioni dette la componente sull'asse $z$ del vettore momento angolare ( rispetto all'origine $O$ ) si conservi, perché l'unica forza esterna agente è il peso, il cui momento rispetto ad $O$ è un vettore parallelo al piano orizzontale, agendo il momento (del peso intendo) nel piano verticale. Dico bene o mi sbaglio?
Perciò si può scrivere un integrale primo del moto : $m*\rho^2*dot\theta = m*c = "costante"$ -----(1)
La costante si determina in base alle condizioni iniziali dette nel punto $P_0$ con la velocità iniziale data.
Un altro integrale primo si può scrivere, applicando la conservazione dell'energia poiché si è supposto la superficie liscia. Quindi :
$1/2m (dot\rho^2 + \rho^2*dot\theta^2 + dotz^2) + mgz = E = "costante" $--------(2)
Anche qui la costante si determina dalle condizioni iniziali.
Lungo il cono si ha : $ z = \rho$ , quindi dalla (2) si ricava : $ dot\rho^2 + (rho^2*dot\theta^2)/2 + g \rho = E/m $
e dalla (1) : $ \dot\theta^2 = c^2/(\rho^4) $ , che va sostituita nella precedente. Per cui si ha l'equazione differenziale :
$ dot\rho^2 = E/m - c^2/(2\rho^2) -g*\rho $ ------(3)
a cui si unisce la : $ \dot\theta = c/(\rho^2) $ ----(4)
Ma io le (3) e (4) non le so risolvere. Penso comunque che la traiettoria, proiettata sul piano orizzontale, dovrebbe essere una conica con un fuoco nell'origine $O$, visto che il momento angolare, relativo a questo solo moto sul piano orizzontale, non dovrebbe variare essendo la componente sull'asse $z$ del momento angolare totale del punto.
E quindi la traiettoria sul cono dovrebbe essere l'intersezione del cono stesso con un cilindro avente per direttrice nel piano orizzontale tale conica.
Ma se ci ripenso, mi sembra anche che la proiezione della traiettoria sul piano orizzontale dovrebbe essere invece una spirale...e quindi la traiettoria sul cono dovrebbe essere ancora una spirale disegnata sul cono...Non lo so.
Qualcuno vuole provarci?
Considero un cono circolare retto, con superficie interna liscia, vertice in basso, angolo di apertura uguale a $\pi/2$ (solo per semplificare certi passaggi), altezza $H$, posto nel campo gravitazionale terrestre.
Nel vertice assumo un riferimento cartesiano triortogonale con asse $z$ verso l'alto, assi $x$ ed $y$ orizzontali (ovvio).
Se introduco coordinate cilindriche $(\rho, \theta , z ) $ per la superficie del cono ho l'equazione :
$ z = sqrt(x^2 + y^2) = \rho$
con : $ 0<= z <= H $
$ 0<=\theta <= 2\pi$
e naturalmente :
$ x = \rho*cos\theta$
$ y = \rho*sen\theta$,
da cui l'inversa che non scrivo.
Un punto materiale $P$ vincolato a rimanere sulla superficie interna del cono, è lanciato con velocità iniziale $vecv_0 = (v_(0x) , v_(0y) , v_(0z))$ tangente alla superficie (la componente $v_(0z)$ è negativa o nulla), da un punto $P_0$ situato sulla circonferenza ad altezza $H$ , quindi di coordinate cartesiane : $ (x_0 , y_0 , H) $ ovvero cilindriche: $ (\rho_0 , \theta_0 , H) $. Le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ , la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio, quindi incidente all'asse $z$ in ogni punto, e la forza centripeta.
Determinare la traiettoria.
Credo che nelle condizioni dette la componente sull'asse $z$ del vettore momento angolare ( rispetto all'origine $O$ ) si conservi, perché l'unica forza esterna agente è il peso, il cui momento rispetto ad $O$ è un vettore parallelo al piano orizzontale, agendo il momento (del peso intendo) nel piano verticale. Dico bene o mi sbaglio?
Perciò si può scrivere un integrale primo del moto : $m*\rho^2*dot\theta = m*c = "costante"$ -----(1)
La costante si determina in base alle condizioni iniziali dette nel punto $P_0$ con la velocità iniziale data.
Un altro integrale primo si può scrivere, applicando la conservazione dell'energia poiché si è supposto la superficie liscia. Quindi :
$1/2m (dot\rho^2 + \rho^2*dot\theta^2 + dotz^2) + mgz = E = "costante" $--------(2)
Anche qui la costante si determina dalle condizioni iniziali.
Lungo il cono si ha : $ z = \rho$ , quindi dalla (2) si ricava : $ dot\rho^2 + (rho^2*dot\theta^2)/2 + g \rho = E/m $
e dalla (1) : $ \dot\theta^2 = c^2/(\rho^4) $ , che va sostituita nella precedente. Per cui si ha l'equazione differenziale :
$ dot\rho^2 = E/m - c^2/(2\rho^2) -g*\rho $ ------(3)
a cui si unisce la : $ \dot\theta = c/(\rho^2) $ ----(4)
Ma io le (3) e (4) non le so risolvere. Penso comunque che la traiettoria, proiettata sul piano orizzontale, dovrebbe essere una conica con un fuoco nell'origine $O$, visto che il momento angolare, relativo a questo solo moto sul piano orizzontale, non dovrebbe variare essendo la componente sull'asse $z$ del momento angolare totale del punto.
E quindi la traiettoria sul cono dovrebbe essere l'intersezione del cono stesso con un cilindro avente per direttrice nel piano orizzontale tale conica.
Ma se ci ripenso, mi sembra anche che la proiezione della traiettoria sul piano orizzontale dovrebbe essere invece una spirale...e quindi la traiettoria sul cono dovrebbe essere ancora una spirale disegnata sul cono...Non lo so.
Qualcuno vuole provarci?
"navigatore":
Le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ , la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio, quindi incidente all'asse $z$ in ogni punto, e la forza centripeta.
Avevo deciso di ignorare i tuoi messaggi, visto il modo aggressivo con cui ti poni nei miei confronti, mi limiterò soltanto a commentare il contenuto fisico di quello che scrivi tralasciando tutto il resto (per inciso questo è l'ultimo commento che faccio di questo genere).
Nella parte citata c'è una inesattezza, che più volte mi è capitato di ripetere: la forza centripeta non è una forza in se, diventano forza centripeta forze di tipo diverso in presenza di un moto a traiettoria non rettilinea, a secondo del moto in oggetto.
Nel caso specifico si dovrebbe dire: "le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ e la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio." E basta. Al limite si potrebbe aggiungere che la somma di queste due forze può dar luogo ad una componente centripeta rispetto alla circonferenza che approssima la traiettoria del punto materiale nell'istante considerato.
"navigatore":
Credo che nelle condizioni dette la componente sull'asse $z$ del vettore momento angolare ( rispetto all'origine $O$ ) si conservi, perché l'unica forza esterna agente è il peso, il cui momento rispetto ad $O$ è un vettore parallelo al piano orizzontale, agendo il momento (del peso intendo) nel piano verticale. Dico bene o mi sbaglio?
Mi pare corretto fin qui (non ho letto ancora con calma il resto).
Aggiungerei però che la reazione normale è una forza che va considerata nello scrivere l'equazione del momento (per il punto materiale non è una forza interna), anche questa forza non dà contributo al momento su $z$ comunque.
"Faussone":
[quote="navigatore"] Le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ , la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio, quindi incidente all'asse $z$ in ogni punto, e la forza centripeta.
Avevo deciso di ignorare i tuoi messaggi, visto il modo aggressivo con cui ti poni nei miei confronti, mi limiterò soltanto a commentare il contenuto fisico di quello che scrivi tralasciando tutto il resto (per inciso questo è l'ultimo commento che faccio di questo genere).[/quote]
Fai come vuoi Faussone. Ma non mi pongo in modo aggressivo nei tuoi confronti. Se fai di queste valutazioni, è solo perché come ti ho già detto non mi conosci. Naturalmente sei padrone di pensare ciò che vuoi, ma io mi sento di essere più che corretto nei confronti di tutti. Non mi hai fatto nulla, oltre a non essere d'accordo con me su certe questioni, per cui dovrei essere solo un folle ad "aggredirti". E non lo sono. Sono forse talvolta sarcastico, sferzante, troppo schietto, e talvolta voglio fare troppo il simpatico con battute ironiche.... e dovrei farlo meno....Certe volte meglio essere serio e antipatico.
Ma "aggressivo e folle" , no, proprio no.
Come hai visto, anziché lasciar cadere l'argomento ho continuato a pensarci, e a scrivere, come se nulla fosse accaduto.Questo dovrebbe dirti qualcosa.
Nella parte citata c'è una inesattezza, che più volte mi è capitato di ripetere: la forza centripeta non è una forza in se, diventano forza centripeta forze di tipo diverso in presenza di un moto a traiettoria non rettilinea, a secondo del moto in oggetto.
Nel caso specifico si dovrebbe dire: "le forze agenti sono il peso $ - mgveck$ e la reazione vincolare che è perpendicolare alla superficie essendo il piano liscio." E basta. Al limite si potrebbe aggiungere che la somma di queste due forze può dar luogo ad una componente centripeta rispetto alla circonferenza che approssima la traiettoria del punto materiale nell'istante considerato.
Si certo, è giusto, d'accordo. LA forza centripeta è determinata dalle condizioni di vincolo, oltre che dal peso.
Come in questo esercizio di Bad, dove la forza centripeta è data dalla sola componente orizzontale della reazione del piano.
applicazione-delle-leggi-del-moto-di-newton-t107142-20.html#p704824
"navigatore":
Credo che nelle condizioni dette la componente sull'asse $z$ del vettore momento angolare ( rispetto all'origine $O$ ) si conservi, perché l'unica forza esterna agente è il peso, il cui momento rispetto ad $O$ è un vettore parallelo al piano orizzontale, agendo il momento (del peso intendo) nel piano verticale. Dico bene o mi sbaglio?
Mi pare corretto fin qui (non ho letto ancora con calma il resto).
Aggiungerei però che la reazione normale è una forza che va considerata nello scrivere l'equazione del momento (per il punto materiale non è una forza interna), anche questa forza non dà contributo al momento su $z$ comunque.
L'integrale primo del moto che ho scritto, l'ho scritto appunto pensando alla conservazione della componente, sull'asse $z$ , del momento angolare totale rispetto all'origine. Poi c'è l'integrale primo per la conservazione dell'energia.
Sono sempre più convinto che questo consenta di dire che la proiezione della traiettoria da me ipotizzata sul piano orizzontale (normale quindi al detto asse $z$) sia una conica kepleriana, e che la traiettoria sulla superficie del cono dato si possa trovare come intersezione del cono con un cilindro avente come direttrice sul piano orizzontale la conica detta.
Ma io non so risolvere quelle equazioni differenziali.
"navigatore":
Ma io non so risolvere quelle equazioni differenziali.
Anche se non le sai risolvere, balza all'occhio che ci deve essere qualcosa che non va nelle (3) e (4) che hai scritto.
Se parti infatti con $dot rho=0$ e $dot theta$ qualunque, cioè con una velocità iniziale orizzontale con modulo arbitrario, dalla (3) otterresti che $dot rho=0$ sempre, visto che sarà nullo all'inizio e poi non può più cambiare non comparendo nella (3) alcuna dipendenza da $theta$; quindi insomma $rho="const"$ sempre e dalla (4) $dot theta="const"$, per cui si ottiene un moto circolare in un piano orizzontale sempre, cosa ovviamente sbagliata.
Non mi è chiara la tua osservazione, che non condivido (e quando mai no, dirai...).
Ti faccio notare che la (3) e la (4) discendono soltanto attraverso manipolazioni algebriche da (1) e (2), che esprimono due fatti fisici sui quali penso tu sia d'accordo :
1) La conservazione della componente, sull'asse $z$ , del vettore momento angolare del punto in moto, (rispetto al polo $O$) poiché i momenti delle forze esterne (peso e reazione vincolare) agiscono nel piano verticale costantemente passante per il punto in moto, dunque anch'esso rotante attorno all'asse $z$.
2) LA conservazione dell'energia, visto che la superficie è liscia e la sua reazione è in ogni punto perpendicolare.
Nelle ipotesi da me poste, ho supposto che il punto, partendo da una certa posizione sulla circonferenza ad altezza $H$, abbia tre componenti (cartesiane) di velocità non nulle, non che $v_(0z)$ sia uguale a zero.
Per cui, è impossibile che sia : $dot\rho = 0 $ inizialmente.
Ma se anche fosse così, se cioè fosse inizialmente : $dot\rho = 0$ e quindi : $\rho = "costante"$ , vorrebbe dire che il punto percorre indefinitamente la circonferenza orizzontale ad altezza $H$.
E dov'è il problema? Ovvero, visto che tu dici: " È palesemente errato", dov'è l'errore? Per la mia sanità mentale, e perché la prossima notte io abbia un degno riposo notturno, ti prego: appalesami questo errore, poichè esso, deh, nelle immediate siffatte circostanze non mi è palese punto (ecco che mi prende la solita mania...).
Ricordiamci eziandio che stiamo trattando un caso "ideale", in cui non c'è attrito, e l'energia si conserva. Vuol dire, secondo la mia modesta idea (quantunque in tuo parere errata), che la traiettoria è inizialmente circolare e tale rimane, conservandosi sia il momento angolare rispetto all'origine che l'energia.
Non devesi pensar, ritengo, lasciandosi inquinar la mente, che ci sia una perdita di energia nel moto, cosa ben vera ma in una situazione reale, non una situazione ideale come questa.
Non risolviamo pur noi l'esercizio di Fisica elementare, in cui diciamo ad esempio che un punto legato ad un filo e messo in rotazione in un piano verticale nel campo della gravità, ha un minimo valore di velocità che gli consente di ritornare nel punto più alto lasciando il filo teso, e non diciamo pur anco che tale fenomeno può, in condizioni assolutamente ideali e quindi non realistiche, ripetersi all'infinito? C'è solo trasformazione di energia, non dissipazione.
Nel caso dell'esempio da me proposto, e nelle condizioni ideali dette, se fosse $dot\rho = 0$ , il punto ruoterebbe con velocità angolare costante sulla circonferenza di raggio $H$, ad altezza $H$ dal piano $xy$.
Dunque, ecco la domanda fatidica, come la fanno gli studenti ventenni : dove sbaglio?
(Faussone, tanto per chiarezza: non ti sto prendendo in giro col mio parlare aulico....voglio solo sdrammatizzare, intesi? )
Ti faccio notare che la (3) e la (4) discendono soltanto attraverso manipolazioni algebriche da (1) e (2), che esprimono due fatti fisici sui quali penso tu sia d'accordo :
1) La conservazione della componente, sull'asse $z$ , del vettore momento angolare del punto in moto, (rispetto al polo $O$) poiché i momenti delle forze esterne (peso e reazione vincolare) agiscono nel piano verticale costantemente passante per il punto in moto, dunque anch'esso rotante attorno all'asse $z$.
2) LA conservazione dell'energia, visto che la superficie è liscia e la sua reazione è in ogni punto perpendicolare.
Nelle ipotesi da me poste, ho supposto che il punto, partendo da una certa posizione sulla circonferenza ad altezza $H$, abbia tre componenti (cartesiane) di velocità non nulle, non che $v_(0z)$ sia uguale a zero.
Per cui, è impossibile che sia : $dot\rho = 0 $ inizialmente.
Ma se anche fosse così, se cioè fosse inizialmente : $dot\rho = 0$ e quindi : $\rho = "costante"$ , vorrebbe dire che il punto percorre indefinitamente la circonferenza orizzontale ad altezza $H$.
E dov'è il problema? Ovvero, visto che tu dici: " È palesemente errato", dov'è l'errore? Per la mia sanità mentale, e perché la prossima notte io abbia un degno riposo notturno, ti prego: appalesami questo errore, poichè esso, deh, nelle immediate siffatte circostanze non mi è palese punto (ecco che mi prende la solita mania...).
Ricordiamci eziandio che stiamo trattando un caso "ideale", in cui non c'è attrito, e l'energia si conserva. Vuol dire, secondo la mia modesta idea (quantunque in tuo parere errata), che la traiettoria è inizialmente circolare e tale rimane, conservandosi sia il momento angolare rispetto all'origine che l'energia.
Non devesi pensar, ritengo, lasciandosi inquinar la mente, che ci sia una perdita di energia nel moto, cosa ben vera ma in una situazione reale, non una situazione ideale come questa.
Non risolviamo pur noi l'esercizio di Fisica elementare, in cui diciamo ad esempio che un punto legato ad un filo e messo in rotazione in un piano verticale nel campo della gravità, ha un minimo valore di velocità che gli consente di ritornare nel punto più alto lasciando il filo teso, e non diciamo pur anco che tale fenomeno può, in condizioni assolutamente ideali e quindi non realistiche, ripetersi all'infinito? C'è solo trasformazione di energia, non dissipazione.
Nel caso dell'esempio da me proposto, e nelle condizioni ideali dette, se fosse $dot\rho = 0$ , il punto ruoterebbe con velocità angolare costante sulla circonferenza di raggio $H$, ad altezza $H$ dal piano $xy$.
Dunque, ecco la domanda fatidica, come la fanno gli studenti ventenni : dove sbaglio?
(Faussone, tanto per chiarezza: non ti sto prendendo in giro col mio parlare aulico....voglio solo sdrammatizzare, intesi? )
Curiosa la metamorfosi in stile dantesco
Se si prende ad esempio un cono con superficie interna molto "verticale" (cioè un cono che è quasi un cilindro) e si assegna una bassissima velocità iniziale senza componenti lungo z (cioè $dot\rho = 0$ e $dot\theta = "molto piccola"$) mi sembra fisicamente evidente che il punto materiale debba calare di quota (cioè è impossibile che $\rho = "costante"$).
Attendiamo comunque il parere di Faussone
"navigatore":
... se ... inizialmente : $dot\rho = 0$ e quindi : $\rho = "costante"$ , vorrebbe dire che il punto percorre indefinitamente la circonferenza orizzontale ad altezza $H$.
E dov'è il problema?
Se si prende ad esempio un cono con superficie interna molto "verticale" (cioè un cono che è quasi un cilindro) e si assegna una bassissima velocità iniziale senza componenti lungo z (cioè $dot\rho = 0$ e $dot\theta = "molto piccola"$) mi sembra fisicamente evidente che il punto materiale debba calare di quota (cioè è impossibile che $\rho = "costante"$).
Attendiamo comunque il parere di Faussone
Certo, attendiamo, orsù. Non tarderà il Faussone a darci lume.
Taluno errore nascosto, che al momento la mia picciola mente non scorge ( ahimè, sol martello e chiodi fuero li strumenti che diero pane a la mia prole...) alligna forse nelle idee che umilmente espuosi a codesto nobile consesso di alti et fisici et matematici ingegni...
Mi sovviene ad esempio che perché la traiettoria circolare sia, vuolsi che la centripeta forza, che fa il "tiro alla fune" in su il punto, ond'egli non caschi giuso per lo pendio ma in tondo resti, uguagliar dovrebbe la risultante tra 'l peso e la vincolar reazione:
$mveca_c = vecP + vecR$
e componenti sol su l'orizzontale piano tale $veca_c$ aver dovrebbe, non pur anco sull'asse $z$....
Questo adunque analitiche conditioni dovrebbe porre, a le derivate seconde de le coordinate...
In verità, messer Ralfo, io credo fermamente che li due integrali primi del moto si possan scrivere invocando le conservationi già dette, de l'energia e de la componente assiale dell'angolar momento...Ma forse errore c'è ne la loro scrittura.
Perché adunque non provate voi, che tanto ben padroneggiate le equationi, come mostrato avete tempo addietro?
Taluno errore nascosto, che al momento la mia picciola mente non scorge ( ahimè, sol martello e chiodi fuero li strumenti che diero pane a la mia prole...) alligna forse nelle idee che umilmente espuosi a codesto nobile consesso di alti et fisici et matematici ingegni...
Mi sovviene ad esempio che perché la traiettoria circolare sia, vuolsi che la centripeta forza, che fa il "tiro alla fune" in su il punto, ond'egli non caschi giuso per lo pendio ma in tondo resti, uguagliar dovrebbe la risultante tra 'l peso e la vincolar reazione:
$mveca_c = vecP + vecR$
e componenti sol su l'orizzontale piano tale $veca_c$ aver dovrebbe, non pur anco sull'asse $z$....
Questo adunque analitiche conditioni dovrebbe porre, a le derivate seconde de le coordinate...
In verità, messer Ralfo, io credo fermamente che li due integrali primi del moto si possan scrivere invocando le conservationi già dette, de l'energia e de la componente assiale dell'angolar momento...Ma forse errore c'è ne la loro scrittura.
Perché adunque non provate voi, che tanto ben padroneggiate le equationi, come mostrato avete tempo addietro?
"ralf86":
Se si prende ad esempio un cono con superficie interna molto "verticale" (cioè un cono che è quasi un cilindro) e si assegna una bassissima velocità iniziale senza componenti lungo z (cioè $dot\rho = 0$ e $dot\theta = "molto piccola"$) mi sembra fisicamente evidente che il punto materiale debba calare di quota (cioè è impossibile che $\rho = "costante"$).
E' più o meno quello che intendevo (quanto detto vale anche per il cono con angolo di apertura 90° assunto): mi pare del tutto evidente che il punto materiale non può percorrere la circonferenza orizzontale per sempre qualunque sia la velocità orizzontale iniziale. Quello può avvenire solo in alcuni casi particolari, negli altri la distanza del punto materiale dall'asse del cono, e la sua altezza sulla superficie, deve cambiare. Questo indipendentemente dal fatto che non ci sia attrito.
Per inciso con l'intervento di prima non volevo dire, e non ritengo, che quelle equazioni di conservazione siano errate, ma solo sottolineare che non possono essere utilizzate da sole per determinare la traiettoria del punto, come (credo) intenda navigatore.
Le equazioni da integrare per il calcolo della traiettoria si scrivono meccanicamente, senza troppi problemi, con le equazioni di Lagrange (anche con l'appoccio di ralf ovviamente, ma probabilmente occorre fare qualche passaggio in più),
Credo sia anche semplice integrarle numericamente, appena posso lo faccio (spero di mantenere l'impegno stavolta).
EDIT: Piccola aggiunta per maggior chiarezza.
Prendiamo un punto materiale e mettiamolo sulla superficie del cono abbandonandolo a velocità iniziale nulla.
Bene integrando quelle equazioni sembrerebbe che il punto rimanga fermo per sempre e non scivoli verso il basso come dovrebbe. In effetti restando fermo le equazioni di conservazione scritte sono rispettate!
Lo stesso varrebbe se si ripetesse il ragionamento fatto da navigatore per un corpo posto ad una certa distanza dal Sole. Il pianeta partendo da velocità nulla rimarrebbe fermo, non andrebbe dritto verso il Sole.
In effetti rimanendo fermo le equazioni di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare sarebbero rispettate!
Rispondo. Se si abbandona un punto materiale ad altezza $H$ all'interno del cono liscio ipotizzato, con velocità nulla, è evidente che il punto cadrà per effetto della componente $gsen45º$ del peso, come su un "normale" piano inclinato.
Ma è anche evidente che in questo caso il momento angolare rispetto all'origine è costantemente nullo (perché $vecr$ e $vecv$ sono paralleli, dove con $r$ intendo il raggio vettore dal vertice del cono al punto), e non c'è alcuna componente di velocità in direzione orizzontale : $vecv$ è diretto verso l'origine.
Quindi non c'è da scrivere alcuna conservazione di momento angolare o di sua componente: è sempre zero! Inutile proprio invocarlo, il momento angolare.
E le forze agenti, peso $vecP$ e reazione del piano $vecR$, sono contenute sempre nello stesso piano verticale, che è fisso, non ruota.
C'è da scrivere solo la conservazione dell'energia, che è sufficiente a risolvere il problema.
Per ritornare al problema posto, rispondo a Ralf. Essendo l'angolo di inclinazione uguale a $45º$, se metto ad altezza qualsiasi $h$ (anche minore di $H$) il punto materiale, il peso è $vecP = -mghatk$. Se il punto è posto in rotazione con una velocità iniziale orizzontale, e chiamo $vecR$ la reazione normale alla superficie ( che forma quindi $45º$ con la verticale), scrivo la legge del moto :
$m*veca_c = vecP + vecR$
da cui si vede subito che per far sí che il punto rimanga a quella altezza e quindi a quella distanza dall'asse, la componente verticale di $vecR$ deve essere uguale e contraria a $vecP$, cioè in modulo : $R_v = mg$. Dunque la reazione $vecR$ ha modulo : $ R = sqrt2*mg$ , e la forza centrifuga ha modulo : $ma_c = mg$ , da cui $a_c = g$ .
Insomma l'accelerazione centripeta deve essere uguale a $g$ (questo è facile da vedere con un disegnino, no?)
E perciò, la velocità iniziale parallela al piano orizzontale deve essere ricavata da :
$ g = a_c = v_0^2/h$ , quindi : $ v_0 = sqrt(gh) $ .
Ci siamo su questo? Non può essere una velocità qualunque, (rettifico se ho detto così) altrimenti ritroviamo anche il caso banale prospettato prima da Faussone di velocità uguale a zero. E a questo punto abbandoniamo il problema.
Piuttosto, mi domando: pur ponendo il punto ad altezza $h$ con velocità iniziale orizzontale uguale in modulo a $sqrt(gh)$, che assicura l'accelerazione centripeta giusta come prima detto, è stabile questa situazione?
Non lo so. Cioè allontanando il punto da questa altezza, che succede? E se invece si imprime al punto una velocità orizzontale minore o maggiore di quella, che succede? Se minore, non c'è dubbio che il punto va giù. Però andando giù il raggio diminuisce, quindi $a_c$ aumenta.... E se maggiore? Ho l'impressione che "esca" dalla tangente alla circonferenza orizzontale per aumentare $h$ e quindi il raggio, però ora il raggio aumenta e quindi $a_c$ diminuisce....Non lo so, che cosa succede.
Aggiungo qualche altra considerazione invece, per la soluzione del problema.
Essendo le due forze sempre contenute nello stesso piano verticale, rotante col punto, non ci sono forze trasversali a tale piano verticale. Perciò in ogni momento la componente orizzontale del vettore velocità è costante :
$dotx^2 + doty^2 = "costante" = v_0^2$
L'integrale primo della conservazione della componente del momento angolare ( rispetto ad O) sull'asse $z$ si può anche scrivere in coordinate cartesiane.
Posto il raggio vettore : $vecr(t) = x(t)hati + y(t)hatj + z(t)hatk$ ( e quindi velocità e accelerazione come derivate rispetto al tempo), si ha : $vecL = vecr \timesmvecv$ , che si può calcolare col determinante simbolico.
LA componente su $z$ che deve essere costante è data (a meno di $m$) da : $ L_z = x*doty - y*dotx = "cost" $ , e questa si determina con le condizioni iniziali.
Io sono ancora convinto che i due integrali primi siano sufficienti per risolvere il problema. Come è sufficiente l'integrale primo della conservazione dell'energia per il problema unidimensionale. Naturalmente, deve essere tenuto conto dell'equazione della superficie in esame: ci deve essere la differenza, per esempio, tra un cono, una coppa semisferica, un paraboloide...altrimenti queste leggi di conservazione vanno bene per qualunque tipo di superficie di rotazione!
E sono sempre convinto che, nel caso in esame, la conservazione della componente $L_z$ porta ad una conica sul piano $xy$.
Ma è anche evidente che in questo caso il momento angolare rispetto all'origine è costantemente nullo (perché $vecr$ e $vecv$ sono paralleli, dove con $r$ intendo il raggio vettore dal vertice del cono al punto), e non c'è alcuna componente di velocità in direzione orizzontale : $vecv$ è diretto verso l'origine.
Quindi non c'è da scrivere alcuna conservazione di momento angolare o di sua componente: è sempre zero! Inutile proprio invocarlo, il momento angolare.
E le forze agenti, peso $vecP$ e reazione del piano $vecR$, sono contenute sempre nello stesso piano verticale, che è fisso, non ruota.
C'è da scrivere solo la conservazione dell'energia, che è sufficiente a risolvere il problema.
Per ritornare al problema posto, rispondo a Ralf. Essendo l'angolo di inclinazione uguale a $45º$, se metto ad altezza qualsiasi $h$ (anche minore di $H$) il punto materiale, il peso è $vecP = -mghatk$. Se il punto è posto in rotazione con una velocità iniziale orizzontale, e chiamo $vecR$ la reazione normale alla superficie ( che forma quindi $45º$ con la verticale), scrivo la legge del moto :
$m*veca_c = vecP + vecR$
da cui si vede subito che per far sí che il punto rimanga a quella altezza e quindi a quella distanza dall'asse, la componente verticale di $vecR$ deve essere uguale e contraria a $vecP$, cioè in modulo : $R_v = mg$. Dunque la reazione $vecR$ ha modulo : $ R = sqrt2*mg$ , e la forza centrifuga ha modulo : $ma_c = mg$ , da cui $a_c = g$ .
Insomma l'accelerazione centripeta deve essere uguale a $g$ (questo è facile da vedere con un disegnino, no?)
E perciò, la velocità iniziale parallela al piano orizzontale deve essere ricavata da :
$ g = a_c = v_0^2/h$ , quindi : $ v_0 = sqrt(gh) $ .
Ci siamo su questo? Non può essere una velocità qualunque, (rettifico se ho detto così) altrimenti ritroviamo anche il caso banale prospettato prima da Faussone di velocità uguale a zero. E a questo punto abbandoniamo il problema.
Piuttosto, mi domando: pur ponendo il punto ad altezza $h$ con velocità iniziale orizzontale uguale in modulo a $sqrt(gh)$, che assicura l'accelerazione centripeta giusta come prima detto, è stabile questa situazione?
Non lo so. Cioè allontanando il punto da questa altezza, che succede? E se invece si imprime al punto una velocità orizzontale minore o maggiore di quella, che succede? Se minore, non c'è dubbio che il punto va giù. Però andando giù il raggio diminuisce, quindi $a_c$ aumenta.... E se maggiore? Ho l'impressione che "esca" dalla tangente alla circonferenza orizzontale per aumentare $h$ e quindi il raggio, però ora il raggio aumenta e quindi $a_c$ diminuisce....Non lo so, che cosa succede.
Aggiungo qualche altra considerazione invece, per la soluzione del problema.
Essendo le due forze sempre contenute nello stesso piano verticale, rotante col punto, non ci sono forze trasversali a tale piano verticale. Perciò in ogni momento la componente orizzontale del vettore velocità è costante :
$dotx^2 + doty^2 = "costante" = v_0^2$
L'integrale primo della conservazione della componente del momento angolare ( rispetto ad O) sull'asse $z$ si può anche scrivere in coordinate cartesiane.
Posto il raggio vettore : $vecr(t) = x(t)hati + y(t)hatj + z(t)hatk$ ( e quindi velocità e accelerazione come derivate rispetto al tempo), si ha : $vecL = vecr \timesmvecv$ , che si può calcolare col determinante simbolico.
LA componente su $z$ che deve essere costante è data (a meno di $m$) da : $ L_z = x*doty - y*dotx = "cost" $ , e questa si determina con le condizioni iniziali.
Io sono ancora convinto che i due integrali primi siano sufficienti per risolvere il problema. Come è sufficiente l'integrale primo della conservazione dell'energia per il problema unidimensionale. Naturalmente, deve essere tenuto conto dell'equazione della superficie in esame: ci deve essere la differenza, per esempio, tra un cono, una coppa semisferica, un paraboloide...altrimenti queste leggi di conservazione vanno bene per qualunque tipo di superficie di rotazione!
E sono sempre convinto che, nel caso in esame, la conservazione della componente $L_z$ porta ad una conica sul piano $xy$.
Complice la serata uggiosa, che mi ha spinto a passare un tranquillo sabato sera in compagnia di qualche equazioncina differenziale ecco qui le traiettorie ottenute, integrando le equazioni del moto (NON quelle di conservazione che non portano a determinare la traiettoria, come dicevo).
Sono partito dal punto sul cono a raggio 2 m e altezza 2 m (il vertice del cono con apertura di 90° si trova a quota zero).
La prima cosa che ho provato è partire con velocità angolare iniziale orizzontale pari a $sqrt(g/2) s^(-1)$ che dovrebbe corrispondere alla traiettoria orizzontale con una circonferenza chiusa di raggio 2 m. E infatti eccola qui (ho fermato l'integrazione un attimo prima della chiusura per non sovrapporre i pallini).
I pallini si succedono sempre ogni 0.05 (secondi).
Ho poi preso poi una velocità angolare iniziale sempre orizzontale ma il 5% più piccola di quella precedente, il risultato è molto simpatico. Eccolo qui di seguito.
Come ci si aspetta il punto va subito verso il basso, però poi descrive una traiettoria piuttosto singolare, che non si chiude in tempi brevi, ho arrestato l'integrazione dopo circa 8 secondi (se non ricordo male), perché se no non si capiva più niente.
Ho poi preso una velocità angolare il 5% più grande di quella iniziale, il risultato è anche questo di seguito.
Anche qui il risultato è quello aspettato il punto materiale si arrampica un po' sul cono e poi segue una traiettoria strana che non si chiude in tempi brevi (come il caso precedente).
Se qualcuno a da proporre condizioni iniziali particolari sono a disposizione
EDIT
PS (per navigatore).
So che è inutile dirtelo, ma dovresti riconsiderare i tuoi convincimenti in proposito.
Sono partito dal punto sul cono a raggio 2 m e altezza 2 m (il vertice del cono con apertura di 90° si trova a quota zero).
La prima cosa che ho provato è partire con velocità angolare iniziale orizzontale pari a $sqrt(g/2) s^(-1)$ che dovrebbe corrispondere alla traiettoria orizzontale con una circonferenza chiusa di raggio 2 m. E infatti eccola qui (ho fermato l'integrazione un attimo prima della chiusura per non sovrapporre i pallini).
I pallini si succedono sempre ogni 0.05 (secondi).
Ho poi preso poi una velocità angolare iniziale sempre orizzontale ma il 5% più piccola di quella precedente, il risultato è molto simpatico. Eccolo qui di seguito.
Come ci si aspetta il punto va subito verso il basso, però poi descrive una traiettoria piuttosto singolare, che non si chiude in tempi brevi, ho arrestato l'integrazione dopo circa 8 secondi (se non ricordo male), perché se no non si capiva più niente.
Ho poi preso una velocità angolare il 5% più grande di quella iniziale, il risultato è anche questo di seguito.
Anche qui il risultato è quello aspettato il punto materiale si arrampica un po' sul cono e poi segue una traiettoria strana che non si chiude in tempi brevi (come il caso precedente).
Se qualcuno a da proporre condizioni iniziali particolari sono a disposizione
EDIT
PS (per navigatore).
So che è inutile dirtelo, ma dovresti riconsiderare i tuoi convincimenti in proposito.
Bel lavoro, in verità!
Come si vede, la prima è la traiettoria circolare, che doveva comunque esistere...l'accelerazione centripeta, quanto vale?
Vorrei vedere le equazioni differenziali del moto, se possibile. Poi riconsidererò i miei convincimenti.
Perchè dici : "So che è inutile dirtelo?" Questo mi conferma che di me hai un'opinione errata.
Tu hai riconsiderato i tuoi convincimenti, vedendo che la traiettoria circolare comunque esiste, e che in ogni caso le leggi di conservazione ci sono, e nessuno le può negare?
Ora metti una velocità "tangenziale alla superficie" non orizzontale, vediamo che succede.
Come si vede, la prima è la traiettoria circolare, che doveva comunque esistere...l'accelerazione centripeta, quanto vale?
Vorrei vedere le equazioni differenziali del moto, se possibile. Poi riconsidererò i miei convincimenti.
Perchè dici : "So che è inutile dirtelo?" Questo mi conferma che di me hai un'opinione errata.
Tu hai riconsiderato i tuoi convincimenti, vedendo che la traiettoria circolare comunque esiste, e che in ogni caso le leggi di conservazione ci sono, e nessuno le può negare?
Ora metti una velocità "tangenziale alla superficie" non orizzontale, vediamo che succede.
Non avevo affatto detto che il moto circolare non potesse esistere, avevo detto che non può esistere per qualunque valore di velocità orizzontale, e lo avevo citato proprio come spunto per far vedere che le equazioni di conservazione da sole che hai scritto non bastano a determinare la traiettoria.
Solo con un valore preciso della velocità orizzontale iniziale, dipendente dalla posizione iniziale, (che sì certo corrisponde ad una accelerazione centripeta pari a $g$) si ha quel risultato, come avevo sottolineato.
Le equazioni del moto sono le seguenti.
$ddot d - 1/2 d dot theta ^2 + g sqrt(2)/2=0$
$1/2 d^2 ddot theta + dot theta dot d d=0$
con $d=r*sqrt(2)$ (cioè $d$ distanza dal vertice del cono e $r$ distanza dall'asse del cono).
EDIT: Tante correzioni, ma niente di essenziale ho cercato di specificare meglio cosa fosse $d$ e ho corretto infine una $m$ di troppo.
Solo con un valore preciso della velocità orizzontale iniziale, dipendente dalla posizione iniziale, (che sì certo corrisponde ad una accelerazione centripeta pari a $g$) si ha quel risultato, come avevo sottolineato.
Le equazioni del moto sono le seguenti.
$ddot d - 1/2 d dot theta ^2 + g sqrt(2)/2=0$
$1/2 d^2 ddot theta + dot theta dot d d=0$
con $d=r*sqrt(2)$ (cioè $d$ distanza dal vertice del cono e $r$ distanza dall'asse del cono).
EDIT: Tante correzioni, ma niente di essenziale ho cercato di specificare meglio cosa fosse $d$ e ho corretto infine una $m$ di troppo.
@faussone
bellissimo lavoro. E' possibile disegnare nel grafico anche la superficie conica, ad esempio con delle sfumature di colore che diano l'idea della tridimensionalità? questo aiuterebbe a visualizzare meglio la traiettoria nello spazio tridimensionale
bellissimo lavoro. E' possibile disegnare nel grafico anche la superficie conica, ad esempio con delle sfumature di colore che diano l'idea della tridimensionalità? questo aiuterebbe a visualizzare meglio la traiettoria nello spazio tridimensionale
@Navigatore: hai ragione, mi ero scordato che le tue equazioni valgono solo per il cono a 45°, quindi non ha senso il mio "considera un cono quasi verticale.." ciò non toglie che per bassissime velocità orizzontali (al limite anche nulle come osserva Faussone) la soluzione è errata, o meglio una delle soluzioni è errata (vedi punto b sotto)
@Faussone: splendido, questa sì che è matematica [i puristi ora mi uccidono] grazie mille
A questo punto penso rimanga un po' a tutti la domanda: "Perchè le equazioni di Navigatore non funzionano?"
In fin dei conti sono due equazioni, chiaramente indipendenti e fisicamente ben fondate nelle due funzioni incognite $\rho (t),\theta (t)$.
Credo che le uniche situazioni siano queste:
a - c'è qualche errore di calcolo nel ricavarle
b - non c'è nessun errore, ma il problema di Cauchy che ne esce non rispetta il teorema di unicità della soluzione.
c - vanno bene in alcuni casi, in altri (come quelli a bassa velocità) danno risultati errati. Se siamo in questo caso sarebbe interessante cercare di ricavare dalle equazioni di Faussone quelle di Navigatore, per vedere quali ipotesi si fanno nel farlo e quindi quali soluzioni si stanno scartando. [scusate se propongo senza fare, ma sono davvero indaffarato in questi giorni]
@Faussone: splendido, questa sì che è matematica [i puristi ora mi uccidono] grazie mille
A questo punto penso rimanga un po' a tutti la domanda: "Perchè le equazioni di Navigatore non funzionano?"
In fin dei conti sono due equazioni, chiaramente indipendenti e fisicamente ben fondate nelle due funzioni incognite $\rho (t),\theta (t)$.
Credo che le uniche situazioni siano queste:
a - c'è qualche errore di calcolo nel ricavarle
b - non c'è nessun errore, ma il problema di Cauchy che ne esce non rispetta il teorema di unicità della soluzione.
c - vanno bene in alcuni casi, in altri (come quelli a bassa velocità) danno risultati errati. Se siamo in questo caso sarebbe interessante cercare di ricavare dalle equazioni di Faussone quelle di Navigatore, per vedere quali ipotesi si fanno nel farlo e quindi quali soluzioni si stanno scartando. [scusate se propongo senza fare, ma sono davvero indaffarato in questi giorni]
@ralf
In realtà quella non è Matematica, anzi credo che risolvere equazioni differenziali con il calcolo numerico sia, se non un obbrobrio, una mezza sconfitta per i veri Matematici!
Un matematico, se la soluzione analitica non è disponibile, sarebbe molto più interessato alle proprietà della soluzione, esistenza, unicità ecc ecc
Ad esempio con le equazioni di Navier-Stokes i matematici sono ancora impegnati a provare l'esistenza della soluzione in tutti i casi, i fisici e gli ingegneri invece ....le risolvono col calcolatore tutti i giorni.
Questa non è ovviamente una critica, ma solo una segnalazione dei diversi interessi (per questo io non avrei mai potuto studiare matematica).
Per quanto riguarda il motivo per cui solo con il sistema delle equazioni di conservazione non si arriva alla traiettoria, lascio a navigatore e a voi altri di pensarci su (io ho qualche idea, che si dovrebbe capire da quello che ho già scritto, ma non sono sicuro sia il motivo vero che spiega la cosa).
@mathbells
Riporto di seguito i vari grafici con il disegno del cono, forse è leggermente più chiaro ora (grazie del suggerimento!), anche se comunque è difficile dare l'idea della tridimensionalità.
Rispetto a prima ho solo aumentato (dal 1% al 60%) la distanza dalla velocità angolare di circonferenza orizzontale nei due ultimi casi, in questo modo l'asse z è più simile agli altri due come scala.
In realtà quella non è Matematica, anzi credo che risolvere equazioni differenziali con il calcolo numerico sia, se non un obbrobrio, una mezza sconfitta per i veri Matematici!
Un matematico, se la soluzione analitica non è disponibile, sarebbe molto più interessato alle proprietà della soluzione, esistenza, unicità ecc ecc
Ad esempio con le equazioni di Navier-Stokes i matematici sono ancora impegnati a provare l'esistenza della soluzione in tutti i casi, i fisici e gli ingegneri invece ....le risolvono col calcolatore tutti i giorni.
Questa non è ovviamente una critica, ma solo una segnalazione dei diversi interessi (per questo io non avrei mai potuto studiare matematica).
Per quanto riguarda il motivo per cui solo con il sistema delle equazioni di conservazione non si arriva alla traiettoria, lascio a navigatore e a voi altri di pensarci su (io ho qualche idea, che si dovrebbe capire da quello che ho già scritto, ma non sono sicuro sia il motivo vero che spiega la cosa).
@mathbells
Riporto di seguito i vari grafici con il disegno del cono, forse è leggermente più chiaro ora (grazie del suggerimento!), anche se comunque è difficile dare l'idea della tridimensionalità.
Rispetto a prima ho solo aumentato (dal 1% al 60%) la distanza dalla velocità angolare di circonferenza orizzontale nei due ultimi casi, in questo modo l'asse z è più simile agli altri due come scala.
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