Direzione forza centrifuga in curva parabolica
Ciao a tutti, recentemente mi è capitato di discutere riguardo alla direzione della forza centrifuga che "agisce" su una macchina quando percorre una curva parabolica, quindi inclinata in modo tale che sia possibile percorrerla con più stabilità, senza ribaltarsi. Le due posizioni emerse sono:
- la direzione della forza centrifuga resta parallela al terreno NON inclinato, quindi perpendicolare all'asse di rotazione di una qualunque curva piana, pertanto è possibile scomporre la forza in due componenti, una perpendicolare al terreno inclinato e una parallela ad esso: in tal modo la stabilità della curva è data dalla stessa forza centrifuga che spinge la macchina verso il terreno
-la direzione della forza centrifuga è parallela al terreno inclinato sul quale la macchina percorre la curva, quindi perpendicolare all'asse di rotazione della curva inclinata e al terreno su cui la macchina si trova nel momento in cui percorre la curva. In tal modo la stabilità è data dall'azione della forza peso che va a controbilanciare la forza centrifuga, essendo quest'ultima parzialmente rivolta verso l'alto.
Personalmente ritengo che la seconda ipotesi sia esatta, perchè la forza centrifuga ha la stessa direzione di quella centripeta, il cui vettore si trova sulla retta passante per il centro della circonferenza su cui si trova la curva: nel caso di una curva parabolica, questa si trova su una circonferenza il cui centro si trova sotto terra. Non essendo un fisico non ne sono completamente sicuro però, quindi speravo che qualcuno più esperto potesse chiarirmi le idee. Grazie in anticipo
- la direzione della forza centrifuga resta parallela al terreno NON inclinato, quindi perpendicolare all'asse di rotazione di una qualunque curva piana, pertanto è possibile scomporre la forza in due componenti, una perpendicolare al terreno inclinato e una parallela ad esso: in tal modo la stabilità della curva è data dalla stessa forza centrifuga che spinge la macchina verso il terreno
-la direzione della forza centrifuga è parallela al terreno inclinato sul quale la macchina percorre la curva, quindi perpendicolare all'asse di rotazione della curva inclinata e al terreno su cui la macchina si trova nel momento in cui percorre la curva. In tal modo la stabilità è data dall'azione della forza peso che va a controbilanciare la forza centrifuga, essendo quest'ultima parzialmente rivolta verso l'alto.
Personalmente ritengo che la seconda ipotesi sia esatta, perchè la forza centrifuga ha la stessa direzione di quella centripeta, il cui vettore si trova sulla retta passante per il centro della circonferenza su cui si trova la curva: nel caso di una curva parabolica, questa si trova su una circonferenza il cui centro si trova sotto terra. Non essendo un fisico non ne sono completamente sicuro però, quindi speravo che qualcuno più esperto potesse chiarirmi le idee. Grazie in anticipo
Risposte
Prima di tutto una precisazione. Presumo che tu stia discutendo il problema da un riferimento solidale alla pista e non alla macchina. Se è così, allora si deve parlare di forza centripeta e non centrifuga. La forza centrifuga è una forza apparente che esiste solo nei riferimenti non inerziali (la macchina..) e non nel riferimento della pista. Premesso, poi, che la tua descrizione è fatta in modo un po' contorto e, credo, in alcuni punti scorretta, la versione giusta (ma sarebbe meglio dire "meno scorretta" 
) è la prima. La forza centripeta, per definizione, è una forza che si trova sul piano che contiene la traiettoria circolare (e quindi su un piano orizzontale, e non inclinato, come dici nella seconda "versione") ed orientata verso il centro . Il problema è, semmai, capire da chi è generata tale forza. Nel caso di pista piana, la forza centripeta è generata solo dall'attrito statico tra gomme e pista. Nel caso di pista parabolica, la forza centripeta è generata anche dalla reazione vincolare della pista (perpendicolare alla pista "inclinata") e quindi può raggiungere valori più alti rispetto a quelli consentiti dal solo attrito statico, consentendo così di percorrere la curva a velocità maggiori.
) è la prima. La forza centripeta, per definizione, è una forza che si trova sul piano che contiene la traiettoria circolare (e quindi su un piano orizzontale, e non inclinato, come dici nella seconda "versione") ed orientata verso il centro . Il problema è, semmai, capire da chi è generata tale forza. Nel caso di pista piana, la forza centripeta è generata solo dall'attrito statico tra gomme e pista. Nel caso di pista parabolica, la forza centripeta è generata anche dalla reazione vincolare della pista (perpendicolare alla pista "inclinata") e quindi può raggiungere valori più alti rispetto a quelli consentiti dal solo attrito statico, consentendo così di percorrere la curva a velocità maggiori.
Calma, ragazzi, freniamo un po', altrimenti entriamo in curva troppo velocemente e c'è il rischio che ci schiantiamo.
Forse Altair intende qualcosa di questo genere ? Il ciclista prima "sale" sul terrapieno, poi "scende" :
http://ironbikers.altervista.org/portale/node/361
La risposta di mathbells è senz'altro corretta, se la curva descritta dal corridore è "piana", e il piano in cui giace la curva è sempre parallelo al piano orizzontale del suolo. In tal caso, in ogni punto della curva il versore $vecn$ della normale principale alla curva rimane parallelo al suolo. Il "cerchio osculatore" alla curva, il cui raggio determina il raggio di curvatura, giace dunque in un piano orizzontale.
Ma se la curva, pure essendo "piana", giace in un piano che taglia quello orizzontale formando con esso un angolo maggiore di zero, ovvero se la curva non è "piana" ma sghemba nello spazio, allora non sarei più tanto sicuro che la seconda risposta di Altair sia del tutto sbagliata. Penso bisognerebbe considerare, in ciascun punto della curva, il "cerchio osculatore" alla curva, e determinare la posizione del centro di curvatura e del raggio, lungo il quale è diretto il versore della normale principale. Perciò non escludo a priori che la retta d'azione della forza centripeta possa essere inclinata, non parallela rispetto al suolo.
Supponiamo che il terrapieno del filmato su cui corre la bicicletta sia localmente piatto anziché concavo
( cioè le direttrici sono segmenti di retta anziché curve), e supponiamo di lanciare una pallina sul terrapieno, che segua una traiettoria come la bici, cioè con un angolo diverso da $90º$ rispetto al piano orizzontale nel punto di origine della traiettoria: la pallina prima sale e poi scende, ma la traiettoria non giace certamente in un piano orizzontale. Diremo che la forza centripeta è parallela al suolo orizzontale? Non mi sembra. Direi che in ogni punto dobbiamo trovare il cerchio osculatore e il relativo raggio locale.
Magari mi sbaglio, ma d'altronde, è difficile in situazioni del genere separare l'effetto del peso da quello della forza centripeta.
Una curiosità: vorrei capire perché certi fisici sono "terrorizzati" dal parlare di forza centrifuga, in certi problemi.
Ma l'hanno mai vista una turbina a gas, che fa $15000 - 20000 "rpm"$, letteralmente "esplosa" in una sala macchine, per un guasto dell'overspeed? La forza centrifuga spacca tutto il mondo attorno al rotore della turbina, e dei pezzi di palette rotoriche, se avanzano, sono graziosamente infilate come spilli in quello che circonda i miseri resti della turbina.
Le chiamano forze "apparenti".
Forse Altair intende qualcosa di questo genere ? Il ciclista prima "sale" sul terrapieno, poi "scende" :
http://ironbikers.altervista.org/portale/node/361
La risposta di mathbells è senz'altro corretta, se la curva descritta dal corridore è "piana", e il piano in cui giace la curva è sempre parallelo al piano orizzontale del suolo. In tal caso, in ogni punto della curva il versore $vecn$ della normale principale alla curva rimane parallelo al suolo. Il "cerchio osculatore" alla curva, il cui raggio determina il raggio di curvatura, giace dunque in un piano orizzontale.
Ma se la curva, pure essendo "piana", giace in un piano che taglia quello orizzontale formando con esso un angolo maggiore di zero, ovvero se la curva non è "piana" ma sghemba nello spazio, allora non sarei più tanto sicuro che la seconda risposta di Altair sia del tutto sbagliata. Penso bisognerebbe considerare, in ciascun punto della curva, il "cerchio osculatore" alla curva, e determinare la posizione del centro di curvatura e del raggio, lungo il quale è diretto il versore della normale principale. Perciò non escludo a priori che la retta d'azione della forza centripeta possa essere inclinata, non parallela rispetto al suolo.
Supponiamo che il terrapieno del filmato su cui corre la bicicletta sia localmente piatto anziché concavo
( cioè le direttrici sono segmenti di retta anziché curve), e supponiamo di lanciare una pallina sul terrapieno, che segua una traiettoria come la bici, cioè con un angolo diverso da $90º$ rispetto al piano orizzontale nel punto di origine della traiettoria: la pallina prima sale e poi scende, ma la traiettoria non giace certamente in un piano orizzontale. Diremo che la forza centripeta è parallela al suolo orizzontale? Non mi sembra. Direi che in ogni punto dobbiamo trovare il cerchio osculatore e il relativo raggio locale.
Magari mi sbaglio, ma d'altronde, è difficile in situazioni del genere separare l'effetto del peso da quello della forza centripeta.
Una curiosità: vorrei capire perché certi fisici sono "terrorizzati" dal parlare di forza centrifuga, in certi problemi.
Ma l'hanno mai vista una turbina a gas, che fa $15000 - 20000 "rpm"$, letteralmente "esplosa" in una sala macchine, per un guasto dell'overspeed? La forza centrifuga spacca tutto il mondo attorno al rotore della turbina, e dei pezzi di palette rotoriche, se avanzano, sono graziosamente infilate come spilli in quello che circonda i miseri resti della turbina.
Le chiamano forze "apparenti".
"navigatore":
Magari mi sbaglio, ma d'altronde, è difficile in situazioni del genere separare l'effetto del peso da quello della forza centripeta.
Tutto ok quello che hai scritto prima, ma la frase qui sopra non ha senso: direi piuttosto che la forza centripeta è fornita parte dal peso parte dall'attrito. Proprio il contributo aggiuntivo del peso alla forza centripeta necessaria permette alla fine di percorrere la curva a velocità maggiore, come già ben spiegato da mathbells prima.
"navigatore":
Una curiosità: vorrei capire perché certi fisici sono "terrorizzati" dal parlare di forza centrifuga, in certi problemi.
Ma l'hanno mai vista una turbina a gas, che fa $15000 - 20000 "rpm"$, letteralmente "esplosa" in una sala macchine, per un guasto dell'overspeed? La forza centrifuga spacca tutto il mondo attorno al rotore della turbina, e dei pezzi di palette rotoriche, se avanzano, sono graziosamente infilate come spilli in quello che circonda i miseri resti della turbina.
Le chiamano forze "apparenti".
navigatore, con queste affermazioni rischi di portare sulla strada sbagliata molti di coloro che ti leggono e che stanno iniziando ad affrontare questi concetti.
Non è questione di essere terrorizzati, semplicemente la forza centrifuga esiste solo per osservatori solidali a sistemi di riferimenti rotanti, per osservatori un sistemi non rotanti è errato riferirsi ad essa.
L'esempio della turbina che esplode puoi farlo riferendoti alla forza centrifuga o meno, dipende dal sistema di riferimento adottato.
Per un osservatore nel sistema di riferimento rotante con la turbina, la turbina esplode a causa della forza centrifuga elevata causata dalla troppo alta velocità di rotazione che fa distaccare le varie parti di cui è composta.
Per un osservatore in un sistema di riferimento esterno fisso invece la parti si distaccano a causa dalla loro inerzia che supera la forza di coesione con le quali erano state assemblate. Infatti essendo ogni parte rotante la forza centripeta che permette la rotazione della parte è data dalla forza di adesione della parte a tutto il resto: se la velocità di rotazione cresce la forza centripeta necessaria a mantenere la data parte in rotazione non riesce più a essere fornita dalla forza di adesione, e la parte appunto "parte per la tangente".
Nessuna forza centrifuga va tirata in ballo in questo caso!
Ovviamente le due descrizioni sono equivalenti, ma non per questo vanno sovrapposte, se si vuole mantenere un rigore fisico (che mi pare dovuto visto che siamo in un forum di fisica).
"Faussone":
[quote="navigatore"]
Magari mi sbaglio, ma d'altronde, è difficile in situazioni del genere separare l'effetto del peso da quello della forza centripeta.
Tutto ok quello che hai scritto prima, ma la frase qui sopra non ha senso: direi piuttosto che la forza centripeta è fornita parte dal peso parte dall'attrito. Proprio il contributo aggiuntivo del peso alla forza centripeta necessaria permette alla fine di percorrere la curva a velocità maggiore, come già ben spiegato da mathbells prima.[/quote]
Ho la prerogativa di non farmi capire da te, Faussone. Anzi, di non essere chiaro, forse è meglio dire così. Era quello che intendevo, ma evidentemente non è....evidente. Va bene, d'accordo sul chiarimento. Mi premeva però sottolineare soprattutto che, data una traiettoria di un punto materiale che descrive una curva, a mio parere non è sempre vero che la forza centripeta sia sempre diretta orizzontalmente: dipende dalla disposizione della curva nello spazio, rispetto al piano orizzontale. Sei d'accordo su questo? Perciò la seconda idea di Altair non mi sembra tanto campata in aria.
Mi veniva in mente oggi questo: supponiamo di avere un grande tronco di cono in muratura, con la base minore poggiata a terra , la base maggiore aperta verso l'alto ( hai presente un anfiteatro romano a pianta circolare?) Io sono dentro al tronco di cono, e lancio una pallina, un punto materiale, a partire da un punto della circonferenza minore verso l'alto, ma non lungo la generatrice rettilinea, bensì con un certo angolo rispetto a questa. La pallina percorre una traiettoria curva, che io non so calcolare, ben inteso, sulla superficie interna del tronco di cono. Com'è diretta la forza centripeta? Non certo nel piano orizzontale. Bisogna fare il discorso del cerchio osculatore.
"navigatore":
Una curiosità: vorrei capire perché certi fisici sono "terrorizzati" dal parlare di forza centrifuga, in certi problemi. .....................
navigatore, con queste affermazioni rischi di portare sulla strada sbagliata molti di coloro che ti leggono e che stanno iniziando ad affrontare questi concetti.
Non è questione di essere terrorizzati, semplicemente la forza centrifuga esiste solo per osservatori solidali a sistemi di riferimenti rotanti, per osservatori un sistemi non rotanti è errato riferirsi ad essa.
L'esempio della turbina che esplode puoi farlo riferendoti alla forza centrifuga o meno, dipende dal sistema di riferimento adottato.
Per un osservatore nel sistema di riferimento rotante con la turbina, la turbina esplode a causa della forza centrifuga elevata causata dalla troppo alta velocità di rotazione che fa distaccare le varie parti di cui è composta.
Per un osservatore in un sistema di riferimento esterno fisso invece la parti si distaccano a causa dalla loro inerzia che supera la forza di coesione con le quali erano state assemblate. ......
Ovviamente le due descrizioni sono equivalenti, ma non per questo vanno sovrapposte, se si vuole mantenere un rigore fisico (che mi pare dovuto visto che siamo in un forum di fisica).
Da lunga data discutiamo su forza centripeta e forza centrifuga! So bene quali sono i riferimenti nei quali vanno considerate queste forze. Io non le sovrappongo.
Ma so anche che andrebbero riscritti numerosi trattati di Costruzione di Macchine, che tu certamente conosci, dove si parla di "calcolo di dischi rotanti sollecitati da forza centrifuga" .
Tutti sbagliati.
Ovvero tutti esatti, se visti dalla parte delle molecole dell'acciaio costituente il disco.
Libri scritti da ingegneri e non da fisici, ovviamente.
E che mi dici delle pompe centrifughe? Mi prenderebbero per matto, se dicessi : " Pompe centripete se viste da me, ma centrifughe se viste dall'acqua che passa dentro i condotti". Sarebbe una definizione un po' lunga.
E delle centrifughe delle lavatrici? Dovremmo dire:" centrifughe dal punto di vista dei panni da strizzare ma centripete per mia moglie che fa il bucato...."
Io lo so che è come tu dici, è esattissimo....
Ma dobbiamo essere rapidi, e farci capire nei discorsi tecnici e non tecnici con il resto del mondo. Senza per questo farci terrorizzare da usi che sembrano, anzi sono, sbagliati. Si soffre e si muore per altre cause. Una volta mi è capitato che un pezzo di quelle turbine esplose abbia ammazzato un operaio...Lascio perdere il resto.
Ti saluto Faussone.
"navigatore":
Mi premeva però sottolineare soprattutto che, data una traiettoria di un punto materiale che descrive una curva, a mio parere non è sempre vero che la forza centripeta sia sempre diretta orizzontalmente:
Immagino ti stia riferendo a quanto detto da me
. E' vero quello che dici, ma io non ho detto che la forza centripeta è orizzontale. Io ho detto che la forza centripeta si trova sul piano che contiene la traiettoria, poi tra parentesi, riferendomi al caso in esame, ho specificato che il piano in questione è orizzontale. Ho assunto che la traiettoria del problema proposto da Altair34 fosse contenuta su un piano orizzontale perché nel suo post dice che il terreno (nel senso del terreno dove è costruita la pista) non è inclinato."Faussone":
direi piuttosto che la forza centripeta è fornita parte dal peso parte dall'attrito
Non credo che il peso c'entri qualcosa. Il peso è verticale, quindi non può avere una componente orizzontale che contribuisce alla forza centripeta. Secondo me è' la componente orizzontale della reazione normale della pista sull'auto a contribuire alla forza centripeta. E tu mi dirai: "sì ma questa reazione è dovuta in parte anche al peso!" Ed io risponderò: "sì, ma io, di questa reazione, sto considerando solo la parte eccedente quella necessaria a bilanciare il peso". Non so se ho previsto correttamente le tue obiezioni...
Mathbells, sta pur tranquillo che, data un traiettoria qualsiasi immersa in un campo gravitazionale ( per esempio la traiettoria descritta dalla pallina di cui ho parlato, lanciata su per la superficie interna di un tronco di cono), il vettore $vecg$ in un qualsiasi punto P della curva ha in generale tre componenti non nulle sui tre assi della terna intrinseca : $vecg*vecT$, $vecg*vecN$,$vecg*vecB$, e ciascuna delle tre componenti ha un suo effetto sulla dinamica del moto. A questo si unisce la reazione vincolare, che io non so se è sempre perpendicolare alla superficie, forse lo è solo nel caso di "vincolo liscio", ma se il vincolo è scabro non lo è.
Posso provare a dire questo: se la superficie su cui si svolge il moto è lontana da un campo gravitazionale, quindi in un riferimento inerziale, la curvatura della superficie su cui è lanciata la pallina fa in modo che la traiettoria, che è determinata dal punto iniziale e dalla direzione della velocità iniziale, è una geodetica della superficie passante per quel punto. Ma non di più. Se c'è anche un campo gravitazionale, le cose sono più complicate credo.
Io non so risolvere questo problema, ma il fatto sai qual è? Che questo problema non credo sia risolvibile con i metodi della Fisica elementare. Con questi possiamo limitarci ad affrontare casi molto semplici, moti piani ad esempio come negli esercizietti sui piani inclinati che fanno tribolare gli studenti del primo anno. MA poco di più.
Per inciso, sulla dinamica degli autovecoli esistono ponderosi trattati, e appositi corsi che si studiano in Ingegneria, anzi in corsi molto specialistici. Per dare risposte compiute bisogna essere padroni della materia a livello approfondito. Io non lo sono, quindi dopo aver detto quattro fesserie non continuo. Meglio rimanere sulle generali, e dire: non ti so rispondere, perché le cose sono piuttosto complicate.
Posso provare a dire questo: se la superficie su cui si svolge il moto è lontana da un campo gravitazionale, quindi in un riferimento inerziale, la curvatura della superficie su cui è lanciata la pallina fa in modo che la traiettoria, che è determinata dal punto iniziale e dalla direzione della velocità iniziale, è una geodetica della superficie passante per quel punto. Ma non di più. Se c'è anche un campo gravitazionale, le cose sono più complicate credo.
Io non so risolvere questo problema, ma il fatto sai qual è? Che questo problema non credo sia risolvibile con i metodi della Fisica elementare. Con questi possiamo limitarci ad affrontare casi molto semplici, moti piani ad esempio come negli esercizietti sui piani inclinati che fanno tribolare gli studenti del primo anno. MA poco di più.
Per inciso, sulla dinamica degli autovecoli esistono ponderosi trattati, e appositi corsi che si studiano in Ingegneria, anzi in corsi molto specialistici. Per dare risposte compiute bisogna essere padroni della materia a livello approfondito. Io non lo sono, quindi dopo aver detto quattro fesserie non continuo. Meglio rimanere sulle generali, e dire: non ti so rispondere, perché le cose sono piuttosto complicate.
"mathbells":
[quote="Faussone"]direi piuttosto che la forza centripeta è fornita parte dal peso parte dall'attrito
Non credo che il peso c'entri qualcosa. Il peso è verticale, quindi non può avere una componente orizzontale che contribuisce alla forza centripeta. Secondo me è' la componente orizzontale della reazione normale della pista sull'auto a contribuire alla forza centripeta. E tu mi dirai: "sì ma questa reazione è dovuta in parte anche al peso!" Ed io risponderò: "sì, ma io, di questa reazione, sto considerando solo la parte eccedente quella necessaria a bilanciare il peso". Non so se ho previsto correttamente le tue obiezioni...
[/quote]Non ho obiezioni a quanto dici, tanto meno quelle da te previste
Nella mia frase citata sopra, rivolta a navigatore e non a te, mi stavo riferendo al suo esempio, in cui la traiettoria curva non giace su un piano.
In tal caso è corretto dire che la forza centripeta è fornita parte dal peso, parte dall'attrito e parte (è vero questo non l'avevo menzionato, perché mi premeva sottolineare il ruolo del peso, così come aveva fatto navigatore) alla reazione normale della pista. Così come per una massa legata ad un filo che viene fatta ruotare su un piano verticale la forza centripeta è nel corso della traiettoria fornita parte dal peso parte dal filo (in proporzione diversa durante il giro).
@navigatore
Non ho nulla da dire a quello che hai scritto sul discorso della traiettoria non piana.
Avevo fatto solo una precisazione su una tua espressione non chiara (secondo me ovviamente) sulla relazione tra forza peso e forza centripeta (quello che ho anche ripetuto qui sopra), e una sottolineatura sul fatto che per parlare di forze apparenti (quali la forza centrifuga) bisogna adottare il punto di vista di un osservatore solidale al sistema rotante.
Se non lo si fa, e se si usano in proposito espressioni poco chiare, si rischia di far nascere convinzioni errate.
Che poi questo discorso è spesso sottinteso, persino su alcuni testi o manuali tecnici, siamo d'accordo, ma in un forum di fisica, specialmente se si risponde a qualcuno che non ha alcuni concetti ben formati, occorrerebbe essere il più chiari e rigorosi possibile.
Tutto qui.
Dire che si muore e si soffre per altre cause e citare l'incidente dell'operaio, perdonami, c'entra come i cavoli a merenda, anzi meno visto che ogni tanto merenda con i cavoli l'ho fatta.
sono perfettamente daccordo con faussone riguardo le forze apparenti: credo sia sempre necessario specificare rispetto a quale sistema (non inerziale) si sta descrivendo il fenomeno.
Navigatore, riguardo al problema del moto in superfici regolari qualsiasi non sono un esperto ma non credo sia necessario scomodare le geodetiche, la "fisichetta elementare", come la chiami tu, basta e avanza (sorvolo sulla criticabile accezione spregiativa).
Io farei così:
- parametrizzo la superficie con (u,v). Cioè x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v). La traiettoria del punto sarà nota una volta note le 2 funzioni scalari incognite u(t),v(t). Si può pensare di riparametrizzare sostituendo al posto di v il tempo t. Cioè x=x(u,t), y=y(u,t), z=z(u,t). Il vantaggio è che ora la funzione incognita è solo una: v(t)
- scrivo le 3 equazioni di F=ma in ogni punto, qui serve un po' di geometria differenziale delle superfici. In queste equazioni compaiono altre 2 incognite: la reazione normale alla superficie e quella tangente alla superficie e normale alla velocità locale. La componente lungo la velocità deve essere nulla se ammettiamo ad esempio che l'oggetto sia come un "pattino su ghiaccio".
A questo punto ho scritto tutto.
Uso 2 equazioni delle 3 per eliminare le due reazioni vincolari dal sistema, rimango con un equazione differenziale in u(t) non lineare, la risolvo, e se voglio dopo calcolo le reazioni incognite e ad esempio verifico l'"aderenza"
In modo più elegante si potrebbe risolvere con le euquazioni di Lagrange, ma le ho sempre trovate meno dirette e fisicamente meno chiare rispetto a F=ma.
Navigatore, riguardo al problema del moto in superfici regolari qualsiasi non sono un esperto ma non credo sia necessario scomodare le geodetiche, la "fisichetta elementare", come la chiami tu, basta e avanza (sorvolo sulla criticabile accezione spregiativa).
Io farei così:
- parametrizzo la superficie con (u,v). Cioè x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v). La traiettoria del punto sarà nota una volta note le 2 funzioni scalari incognite u(t),v(t). Si può pensare di riparametrizzare sostituendo al posto di v il tempo t. Cioè x=x(u,t), y=y(u,t), z=z(u,t). Il vantaggio è che ora la funzione incognita è solo una: v(t)
- scrivo le 3 equazioni di F=ma in ogni punto, qui serve un po' di geometria differenziale delle superfici. In queste equazioni compaiono altre 2 incognite: la reazione normale alla superficie e quella tangente alla superficie e normale alla velocità locale. La componente lungo la velocità deve essere nulla se ammettiamo ad esempio che l'oggetto sia come un "pattino su ghiaccio".
A questo punto ho scritto tutto.
Uso 2 equazioni delle 3 per eliminare le due reazioni vincolari dal sistema, rimango con un equazione differenziale in u(t) non lineare, la risolvo, e se voglio dopo calcolo le reazioni incognite e ad esempio verifico l'"aderenza"
In modo più elegante si potrebbe risolvere con le euquazioni di Lagrange, ma le ho sempre trovate meno dirette e fisicamente meno chiare rispetto a F=ma.
"Faussone":
.......
Non ho nulla da dire a quello che hai scritto sul discorso della traiettoria non piana.
Avevo fatto solo una precisazione su una tua espressione non chiara (secondo me ovviamente) sulla relazione tra forza peso e forza centripeta (quello che ho anche ripetuto qui sopra), e una sottolineatura sul fatto che per parlare di forze apparenti (quali la forza centrifuga) bisogna adottare il punto di vista di un osservatore solidale al sistema rotante.
Se non lo si fa, e se si usano in proposito espressioni poco chiare, si rischia di far nascere convinzioni errate.
Che poi questo discorso è spesso sottinteso, persino su alcuni testi o manuali tecnici, siamo d'accordo, ma in un forum di fisica, specialmente se si risponde a qualcuno che non ha alcuni concetti ben formati, occorrerebbe essere il più chiari e rigorosi possibile.
Mi sembra che la chiarezza nelle mie risposte non manchi. Ma mi sembra anche che ripetere all'infinito sempre gli stessi concetti, come se avessimo a che fare con dei deficienti, è del tutto superfluo. Nulla di contrario a quanto universalmente noto sui concetti di riferimento inerziale o non inerziale, e forze inerziali, è mai stato detto da me, anche se qualcuno ha voluto talvolta forzatamente cercare l'imprecisione e l'errore in certe mie risposte. Quello che tu hai ripetuto sopra, non aggiunge niente alla sostanza della discussione.
Poi, sai che cosa ti dico? Sentiti pure libero di chiarire e precisare tutto ciò che vuoi. Io nella mia testa, e limitatamente al mio mondo tecnico, continuerò a dire che la turbina esplode a causa della forza centrifuga, che la pompa è una pompa centrifuga, e che la lavatrice "fa la centrifuga". E che se vado in macchina e affronto una curva, la forza di attrito tra la strada e le gomme è la forza centripeta che mi fa girare la macchina, ma io che ci sto dentro sento sul mio corpo la forza apparente centrifuga.
Io sto dalla parte delle giranti di pompe, turbine, lavatrici, e dentro le automobili. E dalla parte di chi scrive testi universitari e fa lezioni su questi argomenti.Non voglio sentirmi inerziale, lo dissi pure al ciclista relativistico. C'è tempo per diventare inerziale.
Dire che si muore e si soffre per altre cause e citare l'incidente dell'operaio, perdonami, c'entra come i cavoli a merenda, anzi meno visto che ogni tanto merenda con i cavoli l'ho fatta.
Non ti perdono. Quella volta c'ero io, e ti assicuro che non siamo andati troppo per il sottile, dopo.
"ralf86":
sono perfettamente daccordo con faussone riguardo le forze apparenti: credo sia sempre necessario specificare rispetto a quale sistema (non inerziale) si sta descrivendo il fenomeno.
Non temere ralf86, quando è necessario lo specifico anch'io, il riferimento, inerziale o meno, dipende. Chi ti dice che io non sia d'accordo con quello che dice Faussone? In verità, bisogna essere d'accordo con quanto dice la Fisica.
Navigatore, riguardo al problema del moto in superfici regolari qualsiasi non sono un esperto ma non credo sia necessario scomodare le geodetiche, la "fisichetta elementare", come la chiami tu, basta e avanza (sorvolo sulla criticabile accezione spregiativa).
Puoi anche criticare, se ti va. Che cosa ne sai tu di ciò che io apprezzo e di ciò che disprezzo?
Le geodetiche sono semplicemente curve autoparallele di ogni superficie, non c'è niente di strano a nominarle. Il vettore tangente alla curva geodetica in un punto si trasporta per parallelismo lunga la geodetica stessa. Ma nell'esempio proposto la traiettoria della pallina non è una geodetica, credo.
Io farei così:
.........
Scusami ralf, ma la tua procedura non mi è affatto chiara. Se te la senti, perché non lo fai? Fa i calcoli, mettili qui, e così li guardiamo, e io imparo qualcosa che, ora come ora, non so fare, perché l'ho dimenticato. Lo dico seriamente, non per sfidarti, non è mia abitudine.
Ci provo anche se non sono un esperto:
moto di un punto materiale su una superficie liscia, con gravità.
descriviamo matematicamente la superficie tramite la seguente parametrizzazione.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u,v)}\\
{y(u,v)}\\
{z(u,v)}
\end{array}} \right)\]
x, y, z rappresentano le coordinate cartesiane del generico punto della superficie. Il verso crescente di z è opposto alla gravità.
x(u,v),y(u,v),z(u,v) sono funzioni note. A parità di superficie "fisica" se ne possono scegliere diverse, più o meno complicate.
Cambiando u,v ci si muove sulla superficie.
La particolare parametrizzazione induce due vettori tangenti locali alla superficie t1 t2. Sono sempre linearmente indipendentise la parametrizzazione è "buona". Userò una notazione abbreviata per le derivate parziali.
\[{{\vec t}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x(u,v)}}{{\partial u}}}\\
{\frac{{\partial y(u,v)}}{{\partial u}}}\\
{\frac{{\partial z(u,v)}}{{\partial u}}}
\end{array}} \right) \buildrel \Delta \over = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right),{{\vec t}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x(u,v)}}{{\partial v}}}\\
{\frac{{\partial y(u,v)}}{{\partial v}}}\\
{\frac{{\partial z(u,v)}}{{\partial v}}}
\end{array}} \right) \buildrel \Delta \over = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\]
Velocità: derivo la posizione rispetto al tempo
\[\vec v = \frac{d}{{dt}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u,v)}\\
{y(u,v)}\\
{z(u,v)}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\dot v}\\
{\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial y}}{{\partial v}}\dot v}\\
{\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial z}}{{\partial v}}\dot v}
\end{array}} \right) = \dot u\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right) + \dot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\]
Accelerazione: derivo la velocità rispetto al tempo
\[\begin{array}{l}
\vec a = \frac{d}{{dt}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right)\dot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\dot v} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uu}}\dot u + {x_{uv}}\dot v}\\
{{y_{uu}}\dot u + {y_{uv}}\dot v}\\
{{z_{uu}}\dot u + {z_{uv}}\dot v}
\end{array}} \right)\dot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right)\ddot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{vu}}\dot u + {x_{vv}}\dot v}\\
{{y_{vu}}\dot u + {y_{vv}}\dot v}\\
{{z_{vu}}\dot u + {z_{vv}}\dot v}
\end{array}} \right)\dot v + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\ddot v = \\
= {{\dot u}^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uu}}}\\
{{y_{uu}}}\\
{{z_{uu}}}
\end{array}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{vv}}}\\
{{y_{vv}}}\\
{{z_{vv}}}
\end{array}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uv}}}\\
{{y_{uv}}}\\
{{z_{uv}}}
\end{array}} \right) + \ddot u\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right) + \ddot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)
\end{array}\]
proietto F=ma lungo t1, t2. L'unica forza che sopravvive è il peso perchè la superficie è liscia.
\[\begin{array}{l}
\vec F \cdot {{\vec t}_1} = - mg\hat k \cdot {{\vec t}_1} = - mg{z_u}\\
\vec F \cdot {{\vec t}_2} = - mg\hat k \cdot {{\vec t}_2} = - mg{z_v}\\
\\
\vec a \cdot {{\vec t}_1} = {{\dot u}^2}\left( {{x_u}{x_{uu}} + {y_u}{y_{uu}} + {z_u}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_u}{x_{vv}} + {y_u}{y_{vv}} + {z_u}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_u}{x_{uv}} + {y_u}{y_{uv}} + {z_u}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}^2 + {y_u}^2 + {z_u}^2} \right) + \ddot v\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right)\\
\\
\vec a \cdot {{\vec t}_2} = {{\dot u}^2}\left( {{x_v}{x_{uu}} + {y_v}{y_{uu}} + {z_v}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_v}{x_{vv}} + {y_v}{y_{vv}} + {z_v}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_v}{x_{uv}} + {y_v}{y_{uv}} + {z_v}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right) + \ddot v\left( {{x_v}^2 + {y_v}^2 + {z_v}^2} \right)\\
\\
\left\{ \begin{array}{l}
- g{z_u} = {{\dot u}^2}\left( {{x_u}{x_{uu}} + {y_u}{y_{uu}} + {z_u}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_u}{x_{vv}} + {y_u}{y_{vv}} + {z_u}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_u}{x_{uv}} + {y_u}{y_{uv}} + {z_u}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}^2 + {y_u}^2 + {z_u}^2} \right) + \ddot v\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right)\\
\\
- g{z_v} = {{\dot u}^2}\left( {{x_v}{x_{uu}} + {y_v}{y_{uu}} + {z_v}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_v}{x_{vv}} + {y_v}{y_{vv}} + {z_v}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_v}{x_{uv}} + {y_v}{y_{uv}} + {z_v}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right) + \ddot v\left( {{x_v}^2 + {y_v}^2 + {z_v}^2} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]
Sono due equazioni differenziali ordinarie non lineari nelle funzioni incognite $u(t),v(t)$ che possono essere risolte con le opportune condizioni iniziali.
Trovate$u(t),v(t)$, quindi anche l'equazione del moto \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u(t),v(t))}\\
{y(u(t),v(t))}\\
{z(u(t),v(t))}
\end{array}} \right)\]
è necessario verificare che la reazione normale alla superficie sia positiva, altrimenti significa che il punto si stacca e fa un salto, i.e. che la componente normale alla superficie dell' accelerazione sia rivolta esternamente alla superficie, sul lato dove si trova il punto materiale.
la normale si può calcolare con $\vec n = \vec t_1 \wedge \vec t_2$
moto di un punto materiale su una superficie liscia, con gravità.
descriviamo matematicamente la superficie tramite la seguente parametrizzazione.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u,v)}\\
{y(u,v)}\\
{z(u,v)}
\end{array}} \right)\]
x, y, z rappresentano le coordinate cartesiane del generico punto della superficie. Il verso crescente di z è opposto alla gravità.
x(u,v),y(u,v),z(u,v) sono funzioni note. A parità di superficie "fisica" se ne possono scegliere diverse, più o meno complicate.
Cambiando u,v ci si muove sulla superficie.
La particolare parametrizzazione induce due vettori tangenti locali alla superficie t1 t2. Sono sempre linearmente indipendentise la parametrizzazione è "buona". Userò una notazione abbreviata per le derivate parziali.
\[{{\vec t}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x(u,v)}}{{\partial u}}}\\
{\frac{{\partial y(u,v)}}{{\partial u}}}\\
{\frac{{\partial z(u,v)}}{{\partial u}}}
\end{array}} \right) \buildrel \Delta \over = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right),{{\vec t}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x(u,v)}}{{\partial v}}}\\
{\frac{{\partial y(u,v)}}{{\partial v}}}\\
{\frac{{\partial z(u,v)}}{{\partial v}}}
\end{array}} \right) \buildrel \Delta \over = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\]
Velocità: derivo la posizione rispetto al tempo
\[\vec v = \frac{d}{{dt}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u,v)}\\
{y(u,v)}\\
{z(u,v)}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\dot v}\\
{\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial y}}{{\partial v}}\dot v}\\
{\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\dot u + \frac{{\partial z}}{{\partial v}}\dot v}
\end{array}} \right) = \dot u\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right) + \dot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\]
Accelerazione: derivo la velocità rispetto al tempo
\[\begin{array}{l}
\vec a = \frac{d}{{dt}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right)\dot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\dot v} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uu}}\dot u + {x_{uv}}\dot v}\\
{{y_{uu}}\dot u + {y_{uv}}\dot v}\\
{{z_{uu}}\dot u + {z_{uv}}\dot v}
\end{array}} \right)\dot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right)\ddot u + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{vu}}\dot u + {x_{vv}}\dot v}\\
{{y_{vu}}\dot u + {y_{vv}}\dot v}\\
{{z_{vu}}\dot u + {z_{vv}}\dot v}
\end{array}} \right)\dot v + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)\ddot v = \\
= {{\dot u}^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uu}}}\\
{{y_{uu}}}\\
{{z_{uu}}}
\end{array}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{vv}}}\\
{{y_{vv}}}\\
{{z_{vv}}}
\end{array}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{uv}}}\\
{{y_{uv}}}\\
{{z_{uv}}}
\end{array}} \right) + \ddot u\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_u}}\\
{{y_u}}\\
{{y_u}}
\end{array}} \right) + \ddot v\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_v}}\\
{{y_v}}\\
{{z_v}}
\end{array}} \right)
\end{array}\]
proietto F=ma lungo t1, t2. L'unica forza che sopravvive è il peso perchè la superficie è liscia.
\[\begin{array}{l}
\vec F \cdot {{\vec t}_1} = - mg\hat k \cdot {{\vec t}_1} = - mg{z_u}\\
\vec F \cdot {{\vec t}_2} = - mg\hat k \cdot {{\vec t}_2} = - mg{z_v}\\
\\
\vec a \cdot {{\vec t}_1} = {{\dot u}^2}\left( {{x_u}{x_{uu}} + {y_u}{y_{uu}} + {z_u}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_u}{x_{vv}} + {y_u}{y_{vv}} + {z_u}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_u}{x_{uv}} + {y_u}{y_{uv}} + {z_u}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}^2 + {y_u}^2 + {z_u}^2} \right) + \ddot v\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right)\\
\\
\vec a \cdot {{\vec t}_2} = {{\dot u}^2}\left( {{x_v}{x_{uu}} + {y_v}{y_{uu}} + {z_v}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_v}{x_{vv}} + {y_v}{y_{vv}} + {z_v}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_v}{x_{uv}} + {y_v}{y_{uv}} + {z_v}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right) + \ddot v\left( {{x_v}^2 + {y_v}^2 + {z_v}^2} \right)\\
\\
\left\{ \begin{array}{l}
- g{z_u} = {{\dot u}^2}\left( {{x_u}{x_{uu}} + {y_u}{y_{uu}} + {z_u}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_u}{x_{vv}} + {y_u}{y_{vv}} + {z_u}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_u}{x_{uv}} + {y_u}{y_{uv}} + {z_u}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}^2 + {y_u}^2 + {z_u}^2} \right) + \ddot v\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right)\\
\\
- g{z_v} = {{\dot u}^2}\left( {{x_v}{x_{uu}} + {y_v}{y_{uu}} + {z_v}{z_{uu}}} \right) + {{\dot v}^2}\left( {{x_v}{x_{vv}} + {y_v}{y_{vv}} + {z_v}{z_{vv}}} \right) + 2\dot u\dot v\left( {{x_v}{x_{uv}} + {y_v}{y_{uv}} + {z_v}{z_{uv}}} \right) + \\
+ \ddot u\left( {{x_u}{x_v} + {y_u}{y_v} + {z_u}{z_v}} \right) + \ddot v\left( {{x_v}^2 + {y_v}^2 + {z_v}^2} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]
Sono due equazioni differenziali ordinarie non lineari nelle funzioni incognite $u(t),v(t)$ che possono essere risolte con le opportune condizioni iniziali.
Trovate$u(t),v(t)$, quindi anche l'equazione del moto \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x(u(t),v(t))}\\
{y(u(t),v(t))}\\
{z(u(t),v(t))}
\end{array}} \right)\]
è necessario verificare che la reazione normale alla superficie sia positiva, altrimenti significa che il punto si stacca e fa un salto, i.e. che la componente normale alla superficie dell' accelerazione sia rivolta esternamente alla superficie, sul lato dove si trova il punto materiale.
la normale si può calcolare con $\vec n = \vec t_1 \wedge \vec t_2$
"navigatore":
Non temere ralf86, quando è necessario lo specifico anch'io, il riferimento, inerziale o meno, dipende. Chi ti dice che io non sia d'accordo con quello che dice Faussone?
Nessuno e non l'ho mai detto. Semplicemente ritengo che vada sempre specificato il sistema di riferimento quando si parla di forze apparenti soprattutto in un forum di fisica.
"navigatore":Puoi anche criticare, se ti va. Che cosa ne sai tu di ciò che io apprezzo e di ciò che disprezzo? [/quote] Non ne so nulla, che centra. Solo non mi sembra rispettoso e carino parlare di "fisichetta elementare" davanti a ragazzi e ragazze che si impegnano con convinzione per impararla. Lo trovo quasi scoraggiante, ma è solo una mia impressione.
[quote="ralf86"]la "fisichetta elementare", come la chiami tu, basta e avanza (sorvolo sulla criticabile accezione spregiativa).
"navigatore":Le geodetiche sono semplicemente curve autoparallele di ogni superficie, non c'è niente di strano a nominarle.[/quote] Mi sembrano un argomento "superiore" rispetto alle tecniche e alla teoria utilizzate nel mio post precedente (sempre se non ho scritto stupidaggini).
[quote="ralf86"]riguardo al problema del moto in superfici regolari qualsiasi non sono un esperto ma non credo sia necessario scomodare le geodetiche
"ralf86":
proietto F=ma lungo t1, t2. L'unica forza che sopravvive è il peso perchè la superficie è liscia.
Ciao ralf, non ho capito qui: anche se la superficie è liscia va considerata la reazione normale.
[EDIT]
I due vettori sono tangenti quindi la componente normale della forza è nulla. Ok.
Mi sembra a posto.
"Faussone":
[quote="ralf86"]
proietto F=ma lungo t1, t2. L'unica forza che sopravvive è il peso perchè la superficie è liscia.
Ciao ralf, non ho capito qui: anche se la superficie è liscia va considerata la reazione normale.[/quote]
Ciao Faussone, è un piacere risentirti!
Premetto che posso aver fatto benissimo errori, non ho mai fatto un calcolo di questo tipo e attendo con interesse le vostre opinioni.
t1 e t2 sono vettori (in generale non unitari, dipende dalla parametrizzazione usata) tangenti alla superficie nel punto considerato. la superficie in quanto supposta liscia può esercitare sul punto materiale solo forze normali alla superficie (e con verso opportuno se il contatto è unilatero). L'unica altra forza che agisce sul punto materiale è il peso.
Quindi se proietto F=ma lungo le due tangenti non ho contributo della forza normale, ma al più solo del peso.
Ho editato in corrispondenza della tua risposta.
Sì mi era sfuggito il punto chiave, scusami.
Come dicevo mi pare ok.
Sì mi era sfuggito il punto chiave, scusami.
Come dicevo mi pare ok.
Ok, no problem.
Sarebbe carino fare una simulazione grafica, credo che con Mathematica si riesca a fare.
Il caso in cui
- la superficie non sia più liscia
- il punto materiale sia dotato di una sorta di "pattino da ghiaccio", che faccia sì che ci sia una specie di attrito infinito nella direzione tangente alla superficie e ortogonale alla velocità (la lama del pattino e la velocità sono paralleli punto per punto), e che invece l'attrito sia nullo in direzione della lama
credo che non possa essere risolto con F=ma (almeno io non saprei come fare) e necessiti di un formalismo lagrangiano
Sarebbe carino fare una simulazione grafica, credo che con Mathematica si riesca a fare.
Il caso in cui
- la superficie non sia più liscia
- il punto materiale sia dotato di una sorta di "pattino da ghiaccio", che faccia sì che ci sia una specie di attrito infinito nella direzione tangente alla superficie e ortogonale alla velocità (la lama del pattino e la velocità sono paralleli punto per punto), e che invece l'attrito sia nullo in direzione della lama
credo che non possa essere risolto con F=ma (almeno io non saprei come fare) e necessiti di un formalismo lagrangiano
"ralf86":
Ok, no problem.
Sarebbe carino fare una simulazione grafica, credo che con Mathematica si riesca a fare.
Io potrei farlo con Scilab, risolvendo le equazioni con un Runge-Kutta. Se trovo il tempo ci provo (si potrebbe partire con una superficie emisferica tanto per provare cosa viene fuori).
ottimo! 
forse una scodella a paraboloide di rivoluzione è ancora più semplice perchè ha al più quadrati e non seni e coseni (o radici).
scilab riesce anche far visualizzare la soluzione in una sorta di "filmino"?
forse una scodella a paraboloide di rivoluzione è ancora più semplice perchè ha al più quadrati e non seni e coseni (o radici).
scilab riesce anche far visualizzare la soluzione in una sorta di "filmino"?
Ralf, non pensavo che avresti raccolto il mio invito. Come vedo, e spero di non vederlo solo io, la soluzione non è tanto semplice. Non ci si arriva in maniera elementare.
[OT] Riguardo alle tue osservazioni, ti faccio notare che parlare di "Fisica elementare" non vuol dire mancare di rispetto a nessuno, men che meno agli studenti. Ti basti dare un'occhiata ai miei post, visto che finora non lo hai fatto, per notare quanto mi sia dato da fare in questi mesi, per aiutare quelli che potevo, non solo con semplici risposte scritte al computer, ma anche con disegni, esercizi, grafici e altro, che ho fatto spesso a mano e scannerizzato, o con Geogebra, o preso da libri....
....E mi domando, ad un certo punto: ma chi me lo fa fare, visto che poi basta dire "Fisica elementare" per essere fraintesi, o peggio?
MA non intendo far polemica, altrimenti dicono che sono....polemico. Altri frequentatori del forum non fanno mai polemiche. Salvo a fregarsi le mani e scrivere messaggi demolitori, appena notano quello che secondo loro è un errore.
Ma basta cosi. [/OT]
Riguardo alle geodetiche, ho fatto solo un cenno, non si tratta di concetti superiori. MA qui le traiettorie di cui ti stai interessando non sono geodetiche della superficie, perché una geodetica è definita in un punto da una direzione assegnata, cioè solo dal vettore tangente.
Basta pensare questo: se prendi nella situazione in esame la superficie più semplice possibile, un piano liscio, inclinato rispetto all'orizzontale di $\alpha$ , e lanci su per la salita la pallina, col vettore velocità iniziale inclinato di $\phi$ rispetto alla linea di massima pendenza, il campo gravitazionale utile è dato dalla componente di $vecg$ parallela al piano, di modulo $g*sen \alpha$ costante, l'altra componente è equilibrata dalla reazione del piano liscio, e non ci sono forze che modificano la componente orizzontale della velocità: la traiettoria sul piano è proprio una parabola, ( come nel moto dei proiettili). Invece la geodetica del piano è retta.
E se prendi il piano inclinato, e ne incurvi la linea di base secondo un arco di cerchio, ottieni la superficie interna di un tronco di cono, come dicevo. Penso che nelle condizioni dette ( superficie liscia, angolo $\alpha$ costante) la traiettoria assomigli ad una parabola, essendo sempre $g*sen\alpha$ costante, ma variando la componente orizzontale della velocità a seconda della circonferenza su cui si trova istantaneamente il punto : più sale, più diminuisce questa $v_0$....Penso.
Forse si potrebbe fare anche con la Fisica elementare....E non si offende nessuno.
[OT] Riguardo alle tue osservazioni, ti faccio notare che parlare di "Fisica elementare" non vuol dire mancare di rispetto a nessuno, men che meno agli studenti. Ti basti dare un'occhiata ai miei post, visto che finora non lo hai fatto, per notare quanto mi sia dato da fare in questi mesi, per aiutare quelli che potevo, non solo con semplici risposte scritte al computer, ma anche con disegni, esercizi, grafici e altro, che ho fatto spesso a mano e scannerizzato, o con Geogebra, o preso da libri....
....E mi domando, ad un certo punto: ma chi me lo fa fare, visto che poi basta dire "Fisica elementare" per essere fraintesi, o peggio?
MA non intendo far polemica, altrimenti dicono che sono....polemico. Altri frequentatori del forum non fanno mai polemiche. Salvo a fregarsi le mani e scrivere messaggi demolitori, appena notano quello che secondo loro è un errore.
Ma basta cosi. [/OT]
Riguardo alle geodetiche, ho fatto solo un cenno, non si tratta di concetti superiori. MA qui le traiettorie di cui ti stai interessando non sono geodetiche della superficie, perché una geodetica è definita in un punto da una direzione assegnata, cioè solo dal vettore tangente.
Basta pensare questo: se prendi nella situazione in esame la superficie più semplice possibile, un piano liscio, inclinato rispetto all'orizzontale di $\alpha$ , e lanci su per la salita la pallina, col vettore velocità iniziale inclinato di $\phi$ rispetto alla linea di massima pendenza, il campo gravitazionale utile è dato dalla componente di $vecg$ parallela al piano, di modulo $g*sen \alpha$ costante, l'altra componente è equilibrata dalla reazione del piano liscio, e non ci sono forze che modificano la componente orizzontale della velocità: la traiettoria sul piano è proprio una parabola, ( come nel moto dei proiettili). Invece la geodetica del piano è retta.
E se prendi il piano inclinato, e ne incurvi la linea di base secondo un arco di cerchio, ottieni la superficie interna di un tronco di cono, come dicevo. Penso che nelle condizioni dette ( superficie liscia, angolo $\alpha$ costante) la traiettoria assomigli ad una parabola, essendo sempre $g*sen\alpha$ costante, ma variando la componente orizzontale della velocità a seconda della circonferenza su cui si trova istantaneamente il punto : più sale, più diminuisce questa $v_0$....Penso.
Forse si potrebbe fare anche con la Fisica elementare....E non si offende nessuno.
"navigatore":
Ralf, non pensavo che avresti raccolto il mio invito.
Figurati, perchè non avrei dovuto.
"navigatore":
Come vedo, e spero di non vederlo solo io, la soluzione non è tanto semplice.
Non ho mai detto che l'equazione risolvente sarebbe stata semplice, anzi in generale è un bel guaio risolverla!
"navigatore":
Non ci si arriva in maniera elementare.
Be', questo alla fine è soggettivo. Comunque a me il procedimento sembra semplice e soprattutto diretto; in fin dei conti gli ingredienti sono F=ma, regola di derivazione delle funzioni composte, vettori tangenti a una superficie, e derivate rispetto al tempo.
Usare concetti come le geodetiche (che a me continuano a a sembrare un concetto "superiore" rispetto agli altri) mi sembrava artificioso. Ma anche questo è soggettivo, una questione di gusti.
"navigatore":
[OT] Riguardo alle tue osservazioni, ti faccio notare che parlare di "Fisica elementare" non vuol dire mancare di rispetto a nessuno, men che meno agli studenti.
nel tuo post iniziale ricordo un "fisichetta elementare" e non il ben più rispettoso "fisica elementare". Ma forse era tardi e avevo letto male, o forse è stato coscientemente modificato nel frattempo.
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