Corpo rigido: superare uno scalino.
"Un disco di massa m = 50 kg e raggio R = 0.5 m, deve superare uno scalino alto h = 0.12 m. Calcolare il minimo valore della forza orizzontale che occorre applicare nel centro del disco."
Ho iniziato a risolvere il problema credendolo semplice, ma non sono riuscito a venirne a capo.
Io l'ho impostato così: (rotazione oraria positiva, asse x verso destra, asse y verso l'alto. Ho chiamato $N_S$ la reazione nel punto dello scalino, che non conosco a priori)
- Momenti calcolati rispetto al centro di massa:
$ Ialpha = N_S(R-h) $ dove R - h è il braccio del momento della forza $N_S$
- Accelerazione del centro di massa:
$ ma_x = F + R_x $
$ ma_y = N - mg + R_y $ ( N è la reazione del pavimento )
Ora non so più come andare avanti. Non so quale condizione devo impostare affinché il corpo riesca a superare lo scalino.
Una condizione che mi viene in mente è: il corpo quando supera lo scalino non subirà più la forza normale esercitata dal pavimento => per trovare la forza minima impongo N = 0.
Grazie per l'attenzione!
Ho iniziato a risolvere il problema credendolo semplice, ma non sono riuscito a venirne a capo.
Io l'ho impostato così: (rotazione oraria positiva, asse x verso destra, asse y verso l'alto. Ho chiamato $N_S$ la reazione nel punto dello scalino, che non conosco a priori)
- Momenti calcolati rispetto al centro di massa:
$ Ialpha = N_S(R-h) $ dove R - h è il braccio del momento della forza $N_S$
- Accelerazione del centro di massa:
$ ma_x = F + R_x $
$ ma_y = N - mg + R_y $ ( N è la reazione del pavimento )
Ora non so più come andare avanti. Non so quale condizione devo impostare affinché il corpo riesca a superare lo scalino.
Una condizione che mi viene in mente è: il corpo quando supera lo scalino non subirà più la forza normale esercitata dal pavimento => per trovare la forza minima impongo N = 0.
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Il disco ruota attorno al punto di contatto con lo scalino, che rimane fisso...quindi dove conviene applicare la seconda equazione cardinale?
Ok, mi conviene calcolare i momenti rispetto a questo punto fermo che chiamo P. Tali momenti sono:
$ vec(tau)(vec(N)) = Nhvec(u)_z $
$ vec(tau)(vec(F)_g) = -(R-h)Mgvec(u)_z $
$ vec(tau)(vec(F)) = (R-h)Fvec(u)_z$
Allora:
$ I_palpha = Nh - (R-h)Mg + (R - h)F $
Mi rimane il solito problema sulla condizione che devo applicare affinché il corpo sia in grado di superare lo scalino.
Forse devo imporre $ alpha = 0 $ in modo tale da trovare la forza massima che posso applicare per tenere il corpo fermo, che quindi appena superata farà ruotare il corpo?? Inoltre dovrei anche mettere N = 0, perché se il corpo si stacca da terra non risente della reazione del pavimento. In pratica:
$ 0 = - (R-h)Mg + (R - h)F_{m i n} => F_{m i n} = Mg $
E' giusto??
$ vec(tau)(vec(N)) = Nhvec(u)_z $
$ vec(tau)(vec(F)_g) = -(R-h)Mgvec(u)_z $
$ vec(tau)(vec(F)) = (R-h)Fvec(u)_z$
Allora:
$ I_palpha = Nh - (R-h)Mg + (R - h)F $
Mi rimane il solito problema sulla condizione che devo applicare affinché il corpo sia in grado di superare lo scalino.
Forse devo imporre $ alpha = 0 $ in modo tale da trovare la forza massima che posso applicare per tenere il corpo fermo, che quindi appena superata farà ruotare il corpo?? Inoltre dovrei anche mettere N = 0, perché se il corpo si stacca da terra non risente della reazione del pavimento. In pratica:
$ 0 = - (R-h)Mg + (R - h)F_{m i n} => F_{m i n} = Mg $
E' giusto??
Si giusto, deve essere N=0 e $alpha>=0$, da cui $F>=Mg$, la forza minima richiesta quindi è $F=Mg$
Un attimo, ho appena visto la soluzione del libro ed è profondamente diversa. Purtroppo la soluzione è schematica e non sono riuscito a cogliere i passaggi. La pubblico, così come scritta sul libro, per vedere se tu riesci a capirla.
"Eguaglianza dei momenti rispetto allo spigolo del gradino (punto di contatto)
$ F(R-h) = mgsqrt(R^2-(R-h)^2) = mgsqrt(2Rh - h^2) $
$ F = mgsqrt(2Rh - h^2)/(R-h) = 419 N $
"
"Eguaglianza dei momenti rispetto allo spigolo del gradino (punto di contatto)
$ F(R-h) = mgsqrt(R^2-(R-h)^2) = mgsqrt(2Rh - h^2) $
$ F = mgsqrt(2Rh - h^2)/(R-h) = 419 N $
"
Beh si certo, non avevo visto bene l'immagine, $Mg$ e $F$ non hanno lo stesso braccio rispetto al punto di contatto.
Il braccio di F è $(R-h)$, il braccio di Mg è $sqrt(R^2-(R-h)^2)$
Il braccio di F è $(R-h)$, il braccio di Mg è $sqrt(R^2-(R-h)^2)$
Sì giusto, hai ragione. Grazie per l'aiuto!
Ho trovato un tema d'esame molto molto simile. Il problema è che non si limita a chiedere la forza minima per cui il corpo rigido riesce a superare lo scalino, ma anche che, trovata questa forza minima, bisogna trovare la reazione $ vec(R) $ del gradino sul corpo rigido e l'angolo da essa formato con il piano orizzontale.
Allora io ho trovato la forza minima F nello stesso modo di prima:
$ F = sqrt(h/(2r-h))mg $
Dopodiché devo trovare R. Allora in questo caso sbaglio o bisogna risolvere il sistema rispetto al centro di massa del corpo?? Cioè applicare la seconda equazione cardinale rispetto al punto C ??
Provo a farlo:
La reazione nel punto P sarà:
$ vec(R) = R_xvec(u)_x + R_yvec(u)_y $
Posso fare una cosa del genere:
$ 0 = R_x(R-h) - R_yd + RF $
???
Cioè ho calcolato i momenti delle componenti del vettore R, invece che il momento del vettore R.
Sinceramente non so come continuare.
Allora io ho trovato la forza minima F nello stesso modo di prima:
$ F = sqrt(h/(2r-h))mg $
Dopodiché devo trovare R. Allora in questo caso sbaglio o bisogna risolvere il sistema rispetto al centro di massa del corpo?? Cioè applicare la seconda equazione cardinale rispetto al punto C ??
Provo a farlo:
La reazione nel punto P sarà:
$ vec(R) = R_xvec(u)_x + R_yvec(u)_y $
Posso fare una cosa del genere:
$ 0 = R_x(R-h) - R_yd + RF $
???
Cioè ho calcolato i momenti delle componenti del vettore R, invece che il momento del vettore R.
Sinceramente non so come continuare.
La reazione $R$ va trovata solo all'istante iniziale?, perché la reazione varia nel tempo in modulo e in direzione.
Riporto il testo del problema:
"Una ruota di massa 40 kg e raggio r = 1 m è a contatto con un gradino di altezza h = 25 cm. La ruota è soggetta ad una forza orizzontale F agente nel punto E (si veda la figura), per effetto della quale si stacca dal suolo nel punto B.
1. Si determini l'intensità minima di F per cui avviene il distacco (ovvero l'intensità di F per cui la ruota è in equilibrio, con la forza normale in B dovuta al suolo nulla);
2. Si determini, per questo valore minimo della forza, la reazione R del gradino sulla ruota e l'angolo da essa formato col piano orizzontale.
Quindi io credo nell'istante iniziale. Cioè all'istante "fotografato" in figura.
"Una ruota di massa 40 kg e raggio r = 1 m è a contatto con un gradino di altezza h = 25 cm. La ruota è soggetta ad una forza orizzontale F agente nel punto E (si veda la figura), per effetto della quale si stacca dal suolo nel punto B.
1. Si determini l'intensità minima di F per cui avviene il distacco (ovvero l'intensità di F per cui la ruota è in equilibrio, con la forza normale in B dovuta al suolo nulla);
2. Si determini, per questo valore minimo della forza, la reazione R del gradino sulla ruota e l'angolo da essa formato col piano orizzontale.
Quindi io credo nell'istante iniziale. Cioè all'istante "fotografato" in figura.
Lo spigolo dello scalino è un punto fisso attorno al quale ruota il disco, fissato quindi un sistema di riferimento xy che ha origine nello spigolo e detto $theta$ l'angolo che il raggio che collega il centro del disco con lo spigolo forma con l'asse x, si ha:
$x=Rcostheta$
$y=Rsintheta$
Derivando due volte quelle due espressioni, si ottengono le accelerazioni $ddot(x)$ e $ddot(y)$ del cdm del disco, che dipenderanno da $ddot(theta)$ (l'accelerazione angolare del disco) e da $dot(theta)^2$, siccome la F determinata nel problema è quella minima che fa salire il disco con velocità angolare nulla allora $ddot(theta)=0$, e siccome siamo all'istante iniziale, ossia quando il disco è fermo, allora anche $dot(theta)=0$ e quindi all'istante iniziale sia $ddot(x)$ sia $ddot(y)$ valgono $0$, quindi applicando la seconda legge della dinamica va solo imposto che la somma delle forze totali sia nulla.
$x=Rcostheta$
$y=Rsintheta$
Derivando due volte quelle due espressioni, si ottengono le accelerazioni $ddot(x)$ e $ddot(y)$ del cdm del disco, che dipenderanno da $ddot(theta)$ (l'accelerazione angolare del disco) e da $dot(theta)^2$, siccome la F determinata nel problema è quella minima che fa salire il disco con velocità angolare nulla allora $ddot(theta)=0$, e siccome siamo all'istante iniziale, ossia quando il disco è fermo, allora anche $dot(theta)=0$ e quindi all'istante iniziale sia $ddot(x)$ sia $ddot(y)$ valgono $0$, quindi applicando la seconda legge della dinamica va solo imposto che la somma delle forze totali sia nulla.
Quindi l'accelerazione del centro di massa è nulla. Allora applico la prima equazione cardinale rispetto al centro di massa e ho:
$ Mvec(a)_{CM} = vec(0) = vec(R) + vec(F)_g + vec(F) $ non metto la reazione normale al piano N che considero nulla
Allora in componenti diventa:
lungo x: $ R_x = -F $
lungo y: $ R_y = Mg $
L'angolo lo trovo tramite Pitagora: $ theta = arcsin(R_y/sqrt(R_x^2 + R_y^2)) $
Vero??
$ Mvec(a)_{CM} = vec(0) = vec(R) + vec(F)_g + vec(F) $ non metto la reazione normale al piano N che considero nulla
Allora in componenti diventa:
lungo x: $ R_x = -F $
lungo y: $ R_y = Mg $
L'angolo lo trovo tramite Pitagora: $ theta = arcsin(R_y/sqrt(R_x^2 + R_y^2)) $
Vero??
Mmm no, cioè l'uguaglianza $R_x=-F$ non ha senso, si tratta dei moduli delle forze, se non ci metti il segno del vettore sopra allora è $R_x=F$ ossia il modulo di $R_x$ è uguale a quello di F, mentre se usi il vettore allora $vec(R)_x=-vec(F)$, per il resto va bene.
Ecco qui tocchiamo un mio tasto dolente. Ancora non ho capito bene come devo comportarmi nei casi in cui non conosco a priori una forza e devo ritrovarmela tramite il calcolo analitico.
Allora io seguo questo ragionamento, sicuramente sbagliato:
- Scrivo la forza da trovare in forma vettoriale: $ vec(R) = R_xvec(u)_x + R_yvec(u)_y $
- Scrivo le altre forze in forma vettoriale:
$ vec(F) = Fvec(u)_x $
$ vec(F)_g = -mgvec(u)_y $
- Scrivo la seconda legge di Newton in forma vettoriale: $ vec(F) + vec(F)_g + vec(R) = vec(0) $
- La divido nelle sue componenti:
lungo x: $ F + R_x = 0 => R_x = -F $
lungo y: $ R_y - mg = 0 => R_y = mg $
Cioè Rx e Ry sono delle componenti, così come F e -mg.
Il modulo di R invece sarebbe $ R = sqrt(R_x^2 + R_y^2) $ che non è né Rx né Ry.
Quindi $ vec(R) = -Fvec(u)_x + mgvec(u)_y $ che mi rendo contro essere sbagliato dal momento che non tengo conto dell'inclinazione $ theta $ !!
EDIT:
Forse in realtà io dovrei scrivere: $ vec(R) = R_xcos(theta)vec(u)_x + R_ysin(theta)vec(u)_y $
Quindi ragionando sui moduli:
$ F + R_x = 0 => R_x = |-F| = F $
$ R_y - mg = 0 => R_y = mg $
E allora:
$ vec(R) = Fcos(theta)vec(u)_x + mgsin(theta)vec(u)_y $
Allora io seguo questo ragionamento, sicuramente sbagliato:
- Scrivo la forza da trovare in forma vettoriale: $ vec(R) = R_xvec(u)_x + R_yvec(u)_y $
- Scrivo le altre forze in forma vettoriale:
$ vec(F) = Fvec(u)_x $
$ vec(F)_g = -mgvec(u)_y $
- Scrivo la seconda legge di Newton in forma vettoriale: $ vec(F) + vec(F)_g + vec(R) = vec(0) $
- La divido nelle sue componenti:
lungo x: $ F + R_x = 0 => R_x = -F $
lungo y: $ R_y - mg = 0 => R_y = mg $
Cioè Rx e Ry sono delle componenti, così come F e -mg.
Il modulo di R invece sarebbe $ R = sqrt(R_x^2 + R_y^2) $ che non è né Rx né Ry.
Quindi $ vec(R) = -Fvec(u)_x + mgvec(u)_y $ che mi rendo contro essere sbagliato dal momento che non tengo conto dell'inclinazione $ theta $ !!
EDIT:
Forse in realtà io dovrei scrivere: $ vec(R) = R_xcos(theta)vec(u)_x + R_ysin(theta)vec(u)_y $
Quindi ragionando sui moduli:
$ F + R_x = 0 => R_x = |-F| = F $
$ R_y - mg = 0 => R_y = mg $
E allora:
$ vec(R) = Fcos(theta)vec(u)_x + mgsin(theta)vec(u)_y $
E a che ti serve l'angolo? L'angolo è determinato dalle componenti, non è l'angolo che determina le componenti.
SI ha: $vec(R)=-Fvec(u)_x+mgvec(u)_y$
Ossia le componenti di R sono due vettori, uno di modulo mg diretto lungo l'asse y positivamente, uno di modulo F diretto lungo l'asse x negativamente. L'angolo da loro formato è $theta=arctan((R_y/(R_x))$
SI ha: $vec(R)=-Fvec(u)_x+mgvec(u)_y$
Ossia le componenti di R sono due vettori, uno di modulo mg diretto lungo l'asse y positivamente, uno di modulo F diretto lungo l'asse x negativamente. L'angolo da loro formato è $theta=arctan((R_y/(R_x))$
E scusami allora andava bene si dall'inizio quando ho scritto: Rx = -F (comunque sì, la cosa dell'angolo è stata una svista, anche grave )
Si, andava bene, ho sbagliato
Ok, grazie Vulplasir, sei sempre di grande aiuto!
Per completezza finisco il tema d'esame. Vulplasir se ti va ancora di dare un occhiata alla mia risoluzione sempre su questo problema te ne sarò molto grato. Comunque penso di averlo risolto bene.
C'era un ultima richiesta:
"Se la forza F agisse verticalmente nel punto D, come in figura, si calcoli il valore minimo della sua intensità per cui avviene il distacco. Esso sarebbe maggiore o minore rispetto al caso precedente? Si determini la reazione R in questo nuovo caso."
E' tutto molto simile alle richieste precedenti. La seconda eq. cardinale è:
$ -sqrt(2rh - h^2)mg + sqrt(2rh - h^2)F_{m i n} = 0 => F_{min} = mg $
La reazione R è:
$ R_x = 0 $
$ R_y = mg - F = mg - mg = 0$
Quindi utilizzando una F come in figura lo scalino non esercita nessuna reazione contro il corpo rigido (ovviamente nell'istante fotografato in figura, e non quando sta ruotando).
La forza minima da applicare risulta maggiore rispetto alla forza minima trovata prima.
C'era un ultima richiesta:
"Se la forza F agisse verticalmente nel punto D, come in figura, si calcoli il valore minimo della sua intensità per cui avviene il distacco. Esso sarebbe maggiore o minore rispetto al caso precedente? Si determini la reazione R in questo nuovo caso."
E' tutto molto simile alle richieste precedenti. La seconda eq. cardinale è:
$ -sqrt(2rh - h^2)mg + sqrt(2rh - h^2)F_{m i n} = 0 => F_{min} = mg $
La reazione R è:
$ R_x = 0 $
$ R_y = mg - F = mg - mg = 0$
Quindi utilizzando una F come in figura lo scalino non esercita nessuna reazione contro il corpo rigido (ovviamente nell'istante fotografato in figura, e non quando sta ruotando).
La forza minima da applicare risulta maggiore rispetto alla forza minima trovata prima.
Hai sbagliato i bracci delle forze, il braccio della forza peso è giusto, ma quello di F è sbagliato, F e la forza peso non hanno lo stesso braccio.
E' vero: il braccio di F è: r + d dove d è proprio il braccio della forza peso e r il raggio del disco. Cioè braccio di F è:
$ b = (r + sqrt(2rh - h^2)) $
Grazie Vulplasir !!
$ b = (r + sqrt(2rh - h^2)) $
Grazie Vulplasir !!
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