Considerazioni sul metodo della Fisica e sui vettori
Salve ragazzi, scusate se faccio queste domande APPARENTEMENTE banali, però sto cercando di far si che tutte le nozioni che per me erano intuitive e "innate" non lo siano più, bensì ne sia pienamente consapevole.
Vado al dunque.
In Fisica si definisce scalare quella grandezza che per essere completamente descritta necessita che siano specificati un numero seguito da un'unità di misura. Al contrario, si definisce vettoriale quella grandezza che per essere completamente descritta necessita che siano specificati due o più numeri seguiti da un'unità di misura. Per esempio, grandezze come il volume, la lunghezza, la temperatura ecc...sono scalari; grandezze quali la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento, la forza, ecc..sono di natura vettoriale. Per descrivere una forza, per esempio, non basta un solo numero; questo numero può servire per descriverne l'intensità, però poi ho bisogno di altri numeri che specifichino il punto di applicazione della forza, la direzione che questa forma rispetto ad un certo corpo, il verso lungo la quale è esercitata ecc. Analogamente, per definire la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento, un numero è insufficiente. Il metodo più veloce per individuare la posizione di un punto materiale consiste nel tracciarne le proiezioni ortogonali lungo tre rette orientate e misurare la lunghezza dei tre segmenti ottenuti: in totale, abbiamo bisogno di tre numeri.
La prima domanda è: tutto quello che ho detto finora può essere considerato indipendente dal concetto di segmento orientato? Potrei descrivere il mondo circostante senza far uso della nozione di segmento orientato?
Continuo. Nel discorso fatto di sopra ci siamo preoccupati di descrivere matematicamente una grandezza fisica, e abbiamo visto che alcune grandezze fisiche sono descritte da un solo numero (grandezze scalari), mentre altre da due o più numeri (grandezze vettoriali).
Ora la prossima domanda alla quale cercherò di rispondere è: perchè in Fisica si fa uso del concetto di vettore?
Provo a rispondere. Pensiamo alla nozione intuitiva di forza. Una forza può essere applicata in un punto, può essere più o meno "vigorosa", può essere applicata lungo una certa direzione ed infine può essere esercitata lungo un certo verso (si può "spingere" o "tirare"). E' chiaro, quindi, che per dare ad essa una caratterizzazione matematica, un solo numero è insufficiente, ed infatti abbiamo detto che essa è una grandezza vettoriale.
Notiamo però che le caratteristiche di una forza (intensità, direzione, verso, punto di applicazione) sono esattamente le stesse che possiede una freccia.. E' estremamente naturale, quindi, identificare geometricamente una forza con una freccia, un segmento orientato, che viene detto vettore. Avendo associato ad una forza una freccia, descrivere matematicamente la forza significa descrivere matematicamente la freccia, e di questo si occupa l'algebra vettoriale.
Insomma, anzichè descrivere matematicamente la forza, abbiamo prima associato alla forza una freccia (e ciò è molto intuitivo), e poi abbiamo descritto matematicamente la freccia, e dunque la forza. Qual è il vantaggio nel far ciò? Perchè anziché descrivere direttamente matematicamente la forza ho prima identificato la forza con una freccia e poi ho descritto la freccia?
Il vantaggio di tale procedura sta nel fatto che un segmento orientato è molto semplice da descrivere: basta valutare la lunghezza delle sue tre proiezioni ortogonali lungo gli assi di una terna cartesiana di riferimento e, a seconda del fatto che tali proiezioni siano concordi o discordi all'asse si assegna al loro valore numerico il segno + o -. Se non avessimo identificato prima la forza con una freccia, allora descriverla matematicamente sarebbe stato più complicato.
Per ora mi fermo qui, poi scriverò dell'altro. Hanno senso queste considerazioni?
Grazie
Vado al dunque.
In Fisica si definisce scalare quella grandezza che per essere completamente descritta necessita che siano specificati un numero seguito da un'unità di misura. Al contrario, si definisce vettoriale quella grandezza che per essere completamente descritta necessita che siano specificati due o più numeri seguiti da un'unità di misura. Per esempio, grandezze come il volume, la lunghezza, la temperatura ecc...sono scalari; grandezze quali la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento, la forza, ecc..sono di natura vettoriale. Per descrivere una forza, per esempio, non basta un solo numero; questo numero può servire per descriverne l'intensità, però poi ho bisogno di altri numeri che specifichino il punto di applicazione della forza, la direzione che questa forma rispetto ad un certo corpo, il verso lungo la quale è esercitata ecc. Analogamente, per definire la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento, un numero è insufficiente. Il metodo più veloce per individuare la posizione di un punto materiale consiste nel tracciarne le proiezioni ortogonali lungo tre rette orientate e misurare la lunghezza dei tre segmenti ottenuti: in totale, abbiamo bisogno di tre numeri.
La prima domanda è: tutto quello che ho detto finora può essere considerato indipendente dal concetto di segmento orientato? Potrei descrivere il mondo circostante senza far uso della nozione di segmento orientato?
Continuo. Nel discorso fatto di sopra ci siamo preoccupati di descrivere matematicamente una grandezza fisica, e abbiamo visto che alcune grandezze fisiche sono descritte da un solo numero (grandezze scalari), mentre altre da due o più numeri (grandezze vettoriali).
Ora la prossima domanda alla quale cercherò di rispondere è: perchè in Fisica si fa uso del concetto di vettore?
Provo a rispondere. Pensiamo alla nozione intuitiva di forza. Una forza può essere applicata in un punto, può essere più o meno "vigorosa", può essere applicata lungo una certa direzione ed infine può essere esercitata lungo un certo verso (si può "spingere" o "tirare"). E' chiaro, quindi, che per dare ad essa una caratterizzazione matematica, un solo numero è insufficiente, ed infatti abbiamo detto che essa è una grandezza vettoriale.
Notiamo però che le caratteristiche di una forza (intensità, direzione, verso, punto di applicazione) sono esattamente le stesse che possiede una freccia.. E' estremamente naturale, quindi, identificare geometricamente una forza con una freccia, un segmento orientato, che viene detto vettore. Avendo associato ad una forza una freccia, descrivere matematicamente la forza significa descrivere matematicamente la freccia, e di questo si occupa l'algebra vettoriale.
Insomma, anzichè descrivere matematicamente la forza, abbiamo prima associato alla forza una freccia (e ciò è molto intuitivo), e poi abbiamo descritto matematicamente la freccia, e dunque la forza. Qual è il vantaggio nel far ciò? Perchè anziché descrivere direttamente matematicamente la forza ho prima identificato la forza con una freccia e poi ho descritto la freccia?
Il vantaggio di tale procedura sta nel fatto che un segmento orientato è molto semplice da descrivere: basta valutare la lunghezza delle sue tre proiezioni ortogonali lungo gli assi di una terna cartesiana di riferimento e, a seconda del fatto che tali proiezioni siano concordi o discordi all'asse si assegna al loro valore numerico il segno + o -. Se non avessimo identificato prima la forza con una freccia, allora descriverla matematicamente sarebbe stato più complicato.
Per ora mi fermo qui, poi scriverò dell'altro. Hanno senso queste considerazioni?
Grazie
Risposte
"lisdap":
La prima domanda è: tutto quello che ho detto finora può essere considerato indipendente dal concetto di segmento orientato? Potrei descrivere il mondo circostante senza far uso della nozione di segmento orientato?
Continuo. Nel discorso fatto di sopra ci siamo preoccupati di descrivere matematicamente una grandezza fisica, e abbiamo visto che alcune grandezze fisiche sono descritte da un solo numero (grandezze scalari), mentre altre da due o più numeri (grandezze vettoriali).
Ora la prossima domanda alla quale cercherò di rispondere è: perchè in Fisica si fa uso del concetto di vettore?
Lisdap ,
ho notato che fai spesso lunghi discorsi , forse più a te stesso che a noi , tapini lettori frequentatori di questo forum...
Senza i vettori sarebbe tutto più complicato . Punto .
Faccio spesso lunghi discorsi perchè cerco di capire veramente quello che studio, dal momento che mi piace.
Queste sono cose che nessun professore o libro ti dicono, e per questo mi piacerebbe parlarne con voi.
Queste sono cose che nessun professore o libro ti dicono, e per questo mi piacerebbe parlarne con voi.
Ciao Lisdap,
i tuoi interrogativi sono comprensibili e probabilmente sono domande che molti di noi si pongono, analizzando a freddo ciò che si è imparato dopo un primo approccio con la fisica.
Ricorda però che la grande importanza che rivestono i vettori segue dall'assunzione che le grandezze fisiche a cui noi associamo dei vettori obbediscono alla legge di composizione vettoriale, il che non è affatto ovvio altrimenti. La legge di composizione dei vettori in algebra lineare non è formulata a caso, ma per coerenza con l'evidenza sperimentale. A tale proposito ti faccio notare che il vettore velocità è additivo in meccanica classica, mentre non lo è in meccanica relativistica, dove la legge di composizione della velocità è differente. Un altro esempio è quello del vettore campo gravitazionale, che è additivo secondo la meccanica di Newton, mentre in relatività generale si trovano delle equazioni non lineari per il campo, che non obbedisce quindi al principio di sovrapposizione (ovvero il campo generato da due masse in un certo punto non è dato dalla somma dei campi ognuno in assenza dell'altro).
i tuoi interrogativi sono comprensibili e probabilmente sono domande che molti di noi si pongono, analizzando a freddo ciò che si è imparato dopo un primo approccio con la fisica.
Ricorda però che la grande importanza che rivestono i vettori segue dall'assunzione che le grandezze fisiche a cui noi associamo dei vettori obbediscono alla legge di composizione vettoriale, il che non è affatto ovvio altrimenti. La legge di composizione dei vettori in algebra lineare non è formulata a caso, ma per coerenza con l'evidenza sperimentale. A tale proposito ti faccio notare che il vettore velocità è additivo in meccanica classica, mentre non lo è in meccanica relativistica, dove la legge di composizione della velocità è differente. Un altro esempio è quello del vettore campo gravitazionale, che è additivo secondo la meccanica di Newton, mentre in relatività generale si trovano delle equazioni non lineari per il campo, che non obbedisce quindi al principio di sovrapposizione (ovvero il campo generato da due masse in un certo punto non è dato dalla somma dei campi ognuno in assenza dell'altro).
Ciao Alephy, innanzitutto grazie per la risposta (un pò avanzata a dire il vero 
). Una domanda che mi sono sempre posto è: se l'uso del vettore per quanto riguarda la descrizione della forza appare fortemente giustificato, secondo me non lo è, invece, per quanto riguarda la posizione di un punto materiale. Perché la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento cartesiano si può indicare anche descrivendo il vettore che parte dall'origine del riferimento e termina nel punto considerato? Non è solo un'inutile complicazione? Perchè spesso alla specificazione delle proiezioni del punto lungo gli assi cartesiani si identifica alternativamente il punto con un vettore e si rappresenta matematicamente il vettore?
Grazie e buona serata!
). Una domanda che mi sono sempre posto è: se l'uso del vettore per quanto riguarda la descrizione della forza appare fortemente giustificato, secondo me non lo è, invece, per quanto riguarda la posizione di un punto materiale. Perché la posizione di un punto materiale rispetto ad un certo sistema di riferimento cartesiano si può indicare anche descrivendo il vettore che parte dall'origine del riferimento e termina nel punto considerato? Non è solo un'inutile complicazione? Perchè spesso alla specificazione delle proiezioni del punto lungo gli assi cartesiani si identifica alternativamente il punto con un vettore e si rappresenta matematicamente il vettore?Grazie e buona serata!
"navigatore":[/quote]
[quote="lisdap"]
tapini
Scusa, che significa "tapini"?
"lisdap":[/quote]
[quote="navigatore"][quote="lisdap"]
tapini
Scusa, che significa "tapini"?[/quote]
Non preoccuparti , non è una parolaccia ! Hai uno Zanichelli a casa ?
Pensa ad un'altra assunzione importante: il secondo principio della dinamica. Ovviamente capisci l'importanza di tale principio, che costituisce anche un metodo operativo per risolvere il moto dei sistemi fisici (una volta nota la forza F). Identificare la posizione con un raggio vettore permette di porsi in un sistema di coordinate nel quale descrivere matematicamente il problema, e semplificare notevolmente le cose. Ma forse quello di cui non ti capaciti è il fatto che a questa terna di coordinate venga associato un vettore con una freccetta. Le coordinate (ovvero le componenti del vettore posizione spiccato da un polo O) dipendono dal sistema cartesiano scelto, mentre il vettore dello spazio fisico è qualcosa di definito indipendentemente dalla base rispetto alla quale esso viene espresso. Il vettore ha quindi un significato intrinseco, mentre la terna di coordinate no.
"lisdap":[/quote]
[quote="navigatore"][quote="lisdap"]
tapini
Scusa, che significa "tapini"?[/quote]
[OT]
...ma non hai mai letto Topolino? Quando lo leggevo io "me tapino" era l'esclamazione di sconforto tipica di Zio Paperone.
[/OT]
Mio scuso per l'OT, non ho resistito
"Faussone":
[OT]
ma non hai mai letto Topolino? Quando lo leggevo io "me tapino" era l'esclamazione di sconforto tipica di Zio Paperone.
[/OT]
Mio scuso per l'OT, non ho resistito
Te lo giuro, non l'ho mai letto. Io da piccolo mi mettevo a smanettare con i motorini elettrici, le batterie e le lampadine...
"lisdap":
[quote="Faussone"]
[OT]
ma non hai mai letto Topolino? Quando lo leggevo io "me tapino" era l'esclamazione di sconforto tipica di Zio Paperone.
[/OT]
Mio scuso per l'OT, non ho resistito
Te lo giuro, non l'ho mai letto. Io da piccolo mi mettevo a smanettare con i motorini elettrici, le batterie e le lampadine...
[/quote]Lisdap , allora dovevi studiare ingegneria elettrica ....
Scherzi a parte , si può dire che si potrebbe fare molta parte della Fisica classica (escludiamo la Termodinamica , e qualche altra cosa ...) solo con i vettori , senza coordinate cartesiane .... che sono una barba , Cartesio mi perdoni !
"navigatore":
Lisdap , allora dovevi studiare ingegneria elettrica ....
Dimenticavo, montavo anche macchinine radiocomandate con motore a scoppio
"navigatore":
Scherzi a parte , si può dire che si potrebbe fare molta parte della Fisica classica (escludiamo la Termodinamica , e qualche altra cosa ...) solo con i vettori , senza coordinate cartesiane .... che sono una barba , Cartesio mi perdoni !
Se volessi rappresentare una forza senza usare un segmento orientato, come dovrei fare?
Con le componenti cartesiane .
"navigatore":
Con le componenti cartesiane .
Potresti fare un esempio?
Sicuro : scrivo : $ F = ( 2,3,4) $ e sottintendo che sono le tre componenti su tre assi cartesiani $Oxyz $ di un riferimento .
Il modulo di $\vecF$ non cambia , se cambio il riferimento . Le componenti si , se il nuovo riferimento è ruotato rispetto al precedente ( se è solo traslato , no ) .
Perciò devo conoscere il riferimento , rispetto al quale valgono quelle componenti ....vedi che pesantezza ?
E poi , devo anche definire il punto di applicazione : ma questo sempre , se parliamo di " forze applicate "
Il modulo di $\vecF$ non cambia , se cambio il riferimento . Le componenti si , se il nuovo riferimento è ruotato rispetto al precedente ( se è solo traslato , no ) .
Perciò devo conoscere il riferimento , rispetto al quale valgono quelle componenti ....vedi che pesantezza ?
E poi , devo anche definire il punto di applicazione : ma questo sempre , se parliamo di " forze applicate "
"navigatore":
Sicuro : scrivo : $ F = ( 2,3,4) $ e sottintendo che sono le tre componenti su tre assi cartesiani $Oxyz $ di un riferimento .
Ok, ma le tre componenti di che cosa? Di un punto?
Scusami se non ho risposto subito , sono uscito di casa , e ora rientro .
Le "componenti" di una forza , non le coordinate di un punto ! Ma scusa , non hai ancora studiato il calcolo vettoriale ?
Dare una forza $ F = (2,3,4) $ significa , in termini vettoriali , che , considerati in tre versori $ \veci , \vecj , \veck $ dei tre assi coordinati assegnati , puoi scrivere la forza come vettore così : $ \vecF = 2\veci + 3\vecj +4 \veck $ , a prescindere dal punto di applicazione del vettore .
Viceversa , assegnato il vettore in questa forma , ottieni le componenti eseguendo il prodotto scalare di $\vecF$ per ciascuno dei tre versori .
Pensavo che queste nozioni ti fossero già note , visto cha parli già di "moto di un corpo rigido " .
Le "componenti" di una forza , non le coordinate di un punto ! Ma scusa , non hai ancora studiato il calcolo vettoriale ?
Dare una forza $ F = (2,3,4) $ significa , in termini vettoriali , che , considerati in tre versori $ \veci , \vecj , \veck $ dei tre assi coordinati assegnati , puoi scrivere la forza come vettore così : $ \vecF = 2\veci + 3\vecj +4 \veck $ , a prescindere dal punto di applicazione del vettore .
Viceversa , assegnato il vettore in questa forma , ottieni le componenti eseguendo il prodotto scalare di $\vecF$ per ciascuno dei tre versori .
Pensavo che queste nozioni ti fossero già note , visto cha parli già di "moto di un corpo rigido " .
Si che l'ho studiato, ho anche fatto l'esame di Fisica, forse mi sono spiegato male.
Il modo consueto di descrivere una forza è quello di rappresentarla con un vettore, cioè con un segmento orientato. Quest'ultimo è poi descritto tramite le sue proiezioni lungo i tre assi, dette appunto componenti cartesiane.
Ora quello che chiedo è: come si può descrivere una forza senza rappresentarla tramite un vettore?
Ciao.
Il modo consueto di descrivere una forza è quello di rappresentarla con un vettore, cioè con un segmento orientato. Quest'ultimo è poi descritto tramite le sue proiezioni lungo i tre assi, dette appunto componenti cartesiane.
Ora quello che chiedo è: come si può descrivere una forza senza rappresentarla tramite un vettore?
Ciao.
Te l'ho già detto : fissato un riferimento cartesiano , una forza puoi rappresentarla con le tre componenti in questo riferimento . e se ti interessa il punto di applicazione , devi assegnare anche le sue coordinate.
Non sono uno storico della Matematica , e non so dirti quando il calcolo vettoriale fu inventato e introdotto, con enorme profitto , nelle scienze fisiche ....MA penso che prima dell'introduzione dei vettori si facesse nel modo che ti ho detto .
Io però non ho capito dove vuoi arrivare , lisdap . Per me , se uno strumento esiste , ed è più utile di un altro , bè , lo preferisco . Che cosa ti turba ?
Non sono uno storico della Matematica , e non so dirti quando il calcolo vettoriale fu inventato e introdotto, con enorme profitto , nelle scienze fisiche ....MA penso che prima dell'introduzione dei vettori si facesse nel modo che ti ho detto .
Io però non ho capito dove vuoi arrivare , lisdap . Per me , se uno strumento esiste , ed è più utile di un altro , bè , lo preferisco . Che cosa ti turba ?
"lisdap":
Ora quello che chiedo è: come si può descrivere una forza senza rappresentarla tramite un vettore?
A parole, come faceva Aristotele... Il quale non ha mai saputo spiegare compiutamente il mondo fisico.
"gugo82":
A parole, come faceva Aristotele... Il quale non ha mai saputo spiegare compiutamente il mondo fisico.
Se non erro, il concetto di segmento orientato, largamente utilizzato oggi, era stato introdotto nell'ottocento da un tizio che si chiamava Hamilton. Newton, invece, fondatore della meccanica, è vissuto 150 anni prima. Dunque la domanda è: come descriveva Newton matematicamente una forza, non disponendo ancora della nozione di vettore?
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