Condotto adiabatico attraversato da un fluido
Supponiamo di avere un condotto con del fuido (gas perfetto) che scorre al suo interno, isolato termicamente dall'ambiente esterno (condotto + fluido) e che unisce due ambienti che si trovano a pressione diversa.
Come si può calcolare la variazione di energia interna del fluido tra ingresso e uscita in condizioni stazionarie?
Quello che vorrei conoscere è soprattutto come si può spiegare la conversione di energia cinetica macroscopica del fluido in energia interna (energia cinetica microscopica, trattandosi di un gas perfetto).
PS: se mancano dei dati ...
Come si può calcolare la variazione di energia interna del fluido tra ingresso e uscita in condizioni stazionarie?
Quello che vorrei conoscere è soprattutto come si può spiegare la conversione di energia cinetica macroscopica del fluido in energia interna (energia cinetica microscopica, trattandosi di un gas perfetto).
PS: se mancano dei dati ...
Risposte
Pensieri a ruota libera...
Io applicherei l'equazione di Bernoulli considerando il condotto orizzontale (per iniziare con le cose semplici)
Quindi $p_a + 1/2 rho v_a^2 = p_b + 1/2 rho v_b^2$
So, inoltre, che $U = n c_v T$.
A livello microscopico, la velocità del fluido coincide con la velocità delle molecole, cioè (dalla teoria cinetica dei gas):
$v^2 = (3 K_b T)/m = (3 R T)/(N_a m) = (3 R T)/A = (3 R T n)/M$
con $m$ massa di una molecola, $A$ massa molecolare e $M$ massa di tutto il gas.
Quindi, sostituendo nella densità di energia cinetica, si ha:
$1/2 rho (3(c_p - c_v)T n)/M = 1/2 (3(c_p - c_v)T n)/V$ dove ho applicato la relazione di Mayer.
Ora posso scrivere:
$(3 c_p T n - 3 c_v t n)/(2 V) = (3 c_p T n - 3 U)/(2 V)$ dove ho esplicitato l'energia interna U...ora ci penso un pò su...
Io applicherei l'equazione di Bernoulli considerando il condotto orizzontale (per iniziare con le cose semplici)
Quindi $p_a + 1/2 rho v_a^2 = p_b + 1/2 rho v_b^2$
So, inoltre, che $U = n c_v T$.
A livello microscopico, la velocità del fluido coincide con la velocità delle molecole, cioè (dalla teoria cinetica dei gas):
$v^2 = (3 K_b T)/m = (3 R T)/(N_a m) = (3 R T)/A = (3 R T n)/M$
con $m$ massa di una molecola, $A$ massa molecolare e $M$ massa di tutto il gas.
Quindi, sostituendo nella densità di energia cinetica, si ha:
$1/2 rho (3(c_p - c_v)T n)/M = 1/2 (3(c_p - c_v)T n)/V$ dove ho applicato la relazione di Mayer.
Ora posso scrivere:
$(3 c_p T n - 3 c_v t n)/(2 V) = (3 c_p T n - 3 U)/(2 V)$ dove ho esplicitato l'energia interna U...ora ci penso un pò su...
ciao
Se stiamo parlando di una trasformazione adiabatica quasi-statica dal I P.T. abbiamo:
$deltaL+dU=0$
essendo poi
$L=(p_AV_A-p_BV_B)/(gamma-1)$
otteniamo la relazione
$DeltaU=-L$
avendo posto
$gamma=c_p/c_v$
Se stiamo parlando di una trasformazione adiabatica quasi-statica dal I P.T. abbiamo:
$deltaL+dU=0$
essendo poi
$L=(p_AV_A-p_BV_B)/(gamma-1)$
otteniamo la relazione
$DeltaU=-L$
avendo posto
$gamma=c_p/c_v$
"VINX89":
Pensieri a ruota libera...
Io applicherei l'equazione di Bernoulli considerando il condotto orizzontale (per iniziare con le cose semplici)
Quindi $p_a + 1/2 rho v_a^2 = p_b + 1/2 rho v_b^2$
L'equazione di Bernoulli si può applicare nel caso in cui il flusso sia non viscoso, incomprimibile (o perlomeno approssimativamente). Questo andrebbe perlomeno specificato.
"VINX89":
A livello microscopico, la velocità del fluido coincide con la velocità delle molecole, cioè (dalla teoria cinetica dei gas):
$v^2 = (3 K_b T)/m = (3 R T)/(N_a m) = (3 R T)/A = (3 R T n)/M$
Siamo sicuri che la velocità del fluido coincida con quella delle molecole?
"piero_":
ciao
Se stiamo parlando di una trasformazione adiabatica quasi-statica dal I P.T. abbiamo:
$deltaL+dU=0$
essendo poi
$L=(p_AV_A-p_BV_B)/(gamma-1)$
otteniamo la relazione
$DeltaU=-L$
avendo posto
$gamma=c_p/c_v$
Nel caso in cui sia isoentropica, penso che sia giusto.
Il caso che volevo prendere in considerazione è quello di trasformazione irreversibile subita dal fluido, con irreversibilità dovuta alle interazioni delle molecole del fluido con il condotto.
"nnsoxke":
Nel caso in cui sia isoentropica, penso che sia giusto.
hai ragione: se la trasformazione è irreversibile non si può scrivere $deltaL=pdV$ e quindi non vale quello che ho scritto. Mi ero messo nel caso più "comodo"
Per quanto concerne la velocità, in generale escluderei che quella del fluido sia uguale a quella delle singole particelle; basti pensare ad un fluido (inteso come liquido): la velocità ai bordi del condotto è diversa rispetto a quella più interna. Qui però parliamo di un gas perfetto, quindi di un aeriforme mooolto rarefatto, non mi sento di escludere che si possa approssimare la velocità del fluido con quella delle singole particelle.
Non so se ho la risposta, ma il fatto che l'entropia sia una funzione di stato ci permette di fare qualche considerazione:
per un elemento di trasformazione reversibile possiamo scrivere (da orango e primate quale sono)
$dA=(deltaQ_(rev))/T=(dU+pdV)/T$
$dU=nc_vdT=c_v/R*d(pV)$
$dS=(nc_vd(pV))/(pV)+(nR)/(pV)pdV=n(c_v+R)(dV)/V+nc_v(dp)/p$
e adesso integriamo
$int_(S_o)^SdS=n(c_v+R)int_(V_o)^V(dV)/V+nc_vint_(p_o)^p(dp)/p=$
$DeltaS=nc_vlog((pV^(gamma))/(p_0V_0^(gamma)))$
per un elemento di trasformazione reversibile possiamo scrivere (da orango e primate quale sono)
$dA=(deltaQ_(rev))/T=(dU+pdV)/T$
$dU=nc_vdT=c_v/R*d(pV)$
$dS=(nc_vd(pV))/(pV)+(nR)/(pV)pdV=n(c_v+R)(dV)/V+nc_v(dp)/p$
e adesso integriamo
$int_(S_o)^SdS=n(c_v+R)int_(V_o)^V(dV)/V+nc_vint_(p_o)^p(dp)/p=$
$DeltaS=nc_vlog((pV^(gamma))/(p_0V_0^(gamma)))$
"piero_":
Non so se ho la risposta, ma il fatto che l'entropia sia una funzione di stato ci permette di fare qualche considerazione:
per un elemento di trasformazione reversibile possiamo scrivere (da orango e primate quale sono)
$dA=(deltaQ_(rev))/T=(dU+pdV)/T$
$dU=nc_vdT=c_v/R*d(pV)$
$dS=(nc_vd(pV))/(pV)+(nR)/(pV)pdV=n(c_v+R)(dV)/V+nc_v(dp)/p$
e adesso integriamo
$int_(S_o)^SdS=n(c_v+R)int_(V_o)^V(dV)/V+nc_vint_(p_o)^p(dp)/p=$
$DeltaS=nc_vlog((pV^(gamma))/(p_0V_0^(gamma)))$
Ho controllato quello che hai scritto e pare anche a me giusto. Praticamente hai deciso di prendere una trasformazione reversibile qualsiasi che abbia lo stesso stato iniziale e finale della trasformazione reale e calcolare così la variazione di entropia, che come hai detto giustamente, per come viene definita, è una funzione di stato e la sua variazione è indipendente dalla trasformazione seguita.
Ammesso che si conosca anche lo stato finale della trasformazione reale si può può fare questo calcolo.
Se servono altri dati come lunghezza del condotto, diametro, fattore di attrito tra fluido e superficie del condotto ($Deltap=f_(att)l/D1/2rhov^2$), mettiamo che siano dati.
"piero_":
[quote="nnsoxke"]Nel caso in cui sia isoentropica, penso che sia giusto.
hai ragione: se la trasformazione è irreversibile non si può scrivere $deltaL=pdV$ e quindi non vale quello che ho scritto. Mi ero messo nel caso più "comodo"
Per quanto concerne la velocità, in generale escluderei che quella del fluido sia uguale a quella delle singole particelle; basti pensare ad un fluido (inteso come liquido): la velocità ai bordi del condotto è diversa rispetto a quella più interna. Qui però parliamo di un gas perfetto, quindi di un aeriforme mooolto rarefatto, non mi sento di escludere che si possa approssimare la velocità del fluido con quella delle singole particelle.[/quote]
Mettiamo che la trasformazione sia quasi statica ma che ci sia irreversibilità dovuta all'attrito viscoso con la parete, cioè il lavoro dovuto alla variazione di volume di una certa quantità di fluido che scorre lungo il condotto possa essere scritto $deltaL=pdV$, ma che non valga la relazione $pV^(gamma)=cost$, propria di una trasformazione isoentropica di un gas perfetto.
Dal punto di vista macroscopico si può definire una velocità in funzione del punto preso all'interno del condotto.Il fatto è che al moto macroscopico, quando si parla di velocità di particelle, va aggiunto anche il moto dovuto all'agitazione termica.
Quello che vorrei capire è proprio come l'energia cinetica macroscopica venga convertita in energia cinetica di agitazione termica e come si spiega l'irreversibilità.
"nnsoxke":
Mettiamo che la trasformazione sia quasi statica ma che ci sia irreversibilità dovuta all'attrito viscoso con la parete
Non sarebbe più una trasformazione quasistatica, che è definita come un passaggio da stato A a stato B attraverso successivi stati di equilibrio, in cui è sempre possibile riportarsi ad uno stato precedente - senza alterare il sistema -
Nell'ipotesi di gas perfetto escluderei sia attriti sia viscosità.
Inoltre, come per ogni quantità termodinamica, anche per l'entropia possiamo cercare una relazione con gli elementi microscopici del sistema; ad un unico macrostato corrisponde un alto numero di microstati diversi tra loro. Questo ci porta dalle parti della meccanica statistica. Qui ricordo poco poco se non che la descrizione termodinamica di un sistema richiede un numero limitato di variabili e non la determinazione della velocità di ogni costituente del sistema. In termodinamica, insomma conta l'effetto globale che può passare attraverso stati microscopici diversi.
Azzardo però qualche considerazione:
Quando diciamo che un sistema è in equilibrio termodinamico, generalmente questo è falso a livello microscopico.
In questo senso possiamo parlare di probabilità termodinamica e di legame tra probabilità termodinamica ed entropia.
Per le velocità utilizziamo la legge di dstribuzione di Maxwell:
$n(v)dv=4pin_0(m/(2pikT))^(3/2)*e^((-mv^2)/(2kT))v^*dv$
$n(v)dv $ è il numero medio di molecole nell'unità di volume aventi modulo di velocità tra v e v+dv, $n_0 $ molecole nell'unità di volume e k la costante di Boltzmann.
La velocità quadratica media risulta $v_(qm)=sqrt(3kT)/sqrtm.
"VINX89":
Pensieri a ruota libera...
Io applicherei l'equazione di Bernoulli considerando il condotto orizzontale (per iniziare con le cose semplici)
Quindi $p_a + 1/2 rho v_a^2 = p_b + 1/2 rho v_b^2$
So, inoltre, che $U = n c_v T$.
A livello microscopico, la velocità del fluido coincide con la velocità delle molecole, cioè (dalla teoria cinetica dei gas):
$v^2 = (3 K_b T)/m = (3 R T)/(N_a m) = (3 R T)/A = (3 R T n)/M$
con $m$ massa di una molecola, $A$ massa molecolare e $M$ massa di tutto il gas.
Quindi, sostituendo nella densità di energia cinetica, si ha:
$1/2 rho (3(c_p - c_v)T n)/M = 1/2 (3(c_p - c_v)T n)/V$ dove ho applicato la relazione di Mayer.
Ora posso scrivere:
$(3 c_p T n - 3 c_v t n)/(2 V) = (3 c_p T n - 3 U)/(2 V)$ dove ho esplicitato l'energia interna U...ora ci penso un pò su...
Continuando il ragionamento, ho scritto:
$p_a + (3 c_p T_a n - 3 U_a)/(2 V) = p_b + (3 c_p T_b n - 3 U_b)/(2 V)$
da cui si ricava la variazione di energia interna:
$U_b - U_a = (2 V)/3 (p_b - p_a) + n c_p (T_b - T_a)$
Dimensionalmente la relazione è corretta; inoltre risulta essere in accordo con l'"intuito": infatti, fissate le pressioni, si ha una variazione positiva di $U$ per un aumento di temperatura e viceversa. Analogamente, fissate le temperature, la variazione di energia interna è proporzionale alla differenza di pressione, cioè dipende dalle forze che "spingono" il gas nel condotto.
Ho qualche dubbio sul volume V: credo sia quello di tutto il condotto (calcolabile a partire da sezione e lunghezza).
Perchè ho usato il teorema di Bernoulli? Perchè il gas è perfetto, quindi non c'è attrito viscoso (in pratica abbiamo un fluido ideale).
Inoltre, se supponiamo che la sezione del condotto sia costante, in regime stazionario non credo ci siano variazioni di volume del gas (non ci metto la mano sul fuoco...).
Fra l'altro, per "giustificare" la mia ipotesi, si può pensare a diverse applicazioni del teorema di Bernoulli, fra cui il tubo di Venturi e il tubo di Pitot, entrambi utilizzati per misurare la velocità di un gas (comunque, in teoria, compressibile), e non di un liquido.
Non capisco perchè la velocità del fluido non dovrebbe coincidere con quella delle molecole. E' vero, io non ho considerato l'agitazione termica di tali molecole, ma se siamo in regime stazionario tale moto caotico non dovrebbe essere trascurabile?
"piero_":
[quote="nnsoxke"]Mettiamo che la trasformazione sia quasi statica ma che ci sia irreversibilità dovuta all'attrito viscoso con la parete
Non sarebbe più una trasformazione quasistatica, che è definita come un passaggio da stato A a stato B attraverso successivi stati di equilibrio, in cui è sempre possibile riportarsi ad uno stato precedente - senza alterare il sistema -
[/quote]
Hai ragione, non sarebbe perfettamente una trasformazione quasi statica.
Mettiamo comunque che fissata una coordinata assiale al condotto possano essere definite approssimativamente una temperatura ed una pressione corrispondenti ad ogni valore di questa coordinata, si può scrivere allora $deltaL=pdV$
"piero_":
Nell'ipotesi di gas perfetto escluderei sia attriti sia viscosità.
Non mi ricordo bene le ipotesi che si fanno riguardo ad un gas perfetto, quelle che conosco dalla termodinamica sono che il gas segue la relazione tra $pV=nRT$ tra le variabili termodinamiche e l'energia interna sia solo funzione della temperatura.
Se prendiamo l'aria in condizioni atmosferiche segue con buona approssimazione l'equazione di stato di un gas perfetto e si verifica che ha anche una viscosità.
Mi ricordo anche però che nella teoria cinetica dei gas ci sono delle condizioni diverse nel definire un gas perfetto, forse è a questo che ti riferisci.
Mi vengono dei dubbi sull'impossibilità di attrito anche su queste condizioni perchè se consideriamo un gas di questo tipo che scorre con una velocità macroscopica all'interno di un condotto la cui superficie interna non è piana ma presenta degli "ostacoli", gli urti delle particelle con questi determinano in media una variazione negativa della componente della quantità di moto lungo la direzione del flusso, che in condizioni stazionarie deve essere bilanciata da una variazione della pressione lungo la direzione del flusso.
"nnsoxke":
Non mi ricordo bene le ipotesi che si fanno riguardo ad un gas perfetto, quelle che conosco dalla termodinamica sono che il gas segue la relazione tra $pV=nRT$ tra le variabili termodinamiche e l'energia interna sia solo funzione della temperatura.
Mi ricordo anche però che nella teoria cinetica dei gas ci sono delle condizioni diverse nel definire un gas perfetto, forse è a questo che ti riferisci.
Secondo me hai colto nel segno. Solitamente si assume come perfetto un gas che
a) È costituito da molecole puntiformi .
b) Le molecole non esercitano tra di loro alcuna forza attrattiva o repulsiva a distanza.
c) Le molecole negli urti tra di loro e con il recipiente si comportano come sfere perfettamente elastiche.
"piero_":
Quando diciamo che un sistema è in equilibrio termodinamico, generalmente questo è falso a livello microscopico.
In questo senso possiamo parlare di probabilità termodinamica e di legame tra probabilità termodinamica ed entropia.
Per le velocità utilizziamo la legge di dstribuzione di Maxwell:
$n(v)dv=4pin_0(m/(2pikT))^(3/2)*e^((-mv^2)/(2kT))v^*dv$
$n(v)dv $ è il numero medio di molecole nell'unità di volume aventi modulo di velocità tra v e v+dv, $n_0 $ molecole nell'unità di volume e k la costante di Boltzmann.
La velocità quadratica media risulta $v_(qm)=sqrt(3kT)/sqrtm.
Hai fatto bene a fare queste precisazioni e a riportare la distribuzione di Maxwell, visto cheno sono molto pratico.
Questa distribuzione sul modulo della velocità è indipendente dalla direzione della velocità della molecola ed è definita considerando un sistema di riferimento in cui il fluido ha velocità macroscopica nulla.
Mi chiedo come vari questa distribuzione se invece la velocità non è nulla.
"piero_":
[quote="nnsoxke"]Non mi ricordo bene le ipotesi che si fanno riguardo ad un gas perfetto, quelle che conosco dalla termodinamica sono che il gas segue la relazione tra $pV=nRT$ tra le variabili termodinamiche e l'energia interna sia solo funzione della temperatura.
Mi ricordo anche però che nella teoria cinetica dei gas ci sono delle condizioni diverse nel definire un gas perfetto, forse è a questo che ti riferisci.
Secondo me hai colto nel segno. Solitamente si assume come perfetto un gas che
a) È costituito da molecole puntiformi .
b) Le molecole non esercitano tra di loro alcuna forza attrattiva o repulsiva a distanza.
c) Le molecole negli urti tra di loro e con il recipiente si comportano come sfere perfettamente elastiche.[/quote]
Anche sotto queste ipotesi se le pareti del condotto in cui scorre il fluido non sono liscie e perfettamente parallele alla velocità macroscopica negli urti, anche se perfettamente elastici, c'è in media una variazione della quantità di moto negativa lungo la direzione del flusso.
Non so se questo può essere definito attrito.
"VINX89":
Non capisco perchè la velocità del fluido non dovrebbe coincidere con quella delle molecole.
Se con questo intendi delle singole molecole non sono totalmente d'accordo, ma se intendi la velocità quadratica media direi di sì.
"VINX89":
E' vero, io non ho considerato l'agitazione termica di tali molecole, ma se siamo in regime stazionario tale moto caotico non dovrebbe essere trascurabile?
sono d'acccordo con te e anche con i tuoi calcoli (dal punto di vista teorico, perchè i conti propriamente detti non li ho ricontrollati)
Se si fa l'ipotesi di urti perfettamente elastici con le pareti secondo me non si riesce ad esprimere in maniera completa il fenomeno, si può forse parlare di forza di attrito ma non si spiegano gli scambi energetici: direi che ci sono degli urti in cui c'è scambio di energia tra le particelle e la parete.
Per un fluido fermo dentro ad un contenitore che si trova alla stessa temperatura, in media lo scambio di energia netto è nullo.
Da che cosa dipende questo scambio di energia? Dalla velocità con cui la particella urta la parete? è l'effetto della variazione della disctribuzione di probabilità della velocità dovuta ad una velocità macroscopica non nulla rispetto al contenitore che incrementa lo scambio di energia tra fluido e parete (a parità di temperatura)?
Per un fluido fermo dentro ad un contenitore che si trova alla stessa temperatura, in media lo scambio di energia netto è nullo.
Da che cosa dipende questo scambio di energia? Dalla velocità con cui la particella urta la parete? è l'effetto della variazione della disctribuzione di probabilità della velocità dovuta ad una velocità macroscopica non nulla rispetto al contenitore che incrementa lo scambio di energia tra fluido e parete (a parità di temperatura)?
@nnsoxke:
Nella teoria cinetica dei gas perfetti l'energia interna viene definita come la somma delle energie cinetiche molecolari, considerando le molecole come sfere rigide (pressochè puntiformi).
(1) Inoltre per il teorema di equipartizione dell'energia di Maxwell:I valori medi di tutti i termini, la cui somma costituisce l'energia di una molecola, sono uguali e dipendono solo dalla temperatura tale valore è uguale a $1/2kT$
Nel caso di molecole sferiche l'energia cinetica è la somma di tre termini, uno per ogni componente della velocità del centro di massa, quindi uno per ogni grado di libertà e mediamente uguali ($1/2kT$). Diverso nelle considerazioni, ma analogo nella sostanza, il caso di molecole poliatomiche (traslazioni, vibrazioni, rotazioni), ci riporta comunque al teorema (1).
Per le molecole biatomiche ad es:
$U=1/2N_0KT(3 $traslazione$+2 $rotazione)$=5/2RT$
Nella teoria cinetica dei gas perfetti l'energia interna viene definita come la somma delle energie cinetiche molecolari, considerando le molecole come sfere rigide (pressochè puntiformi).
(1) Inoltre per il teorema di equipartizione dell'energia di Maxwell:I valori medi di tutti i termini, la cui somma costituisce l'energia di una molecola, sono uguali e dipendono solo dalla temperatura tale valore è uguale a $1/2kT$
Nel caso di molecole sferiche l'energia cinetica è la somma di tre termini, uno per ogni componente della velocità del centro di massa, quindi uno per ogni grado di libertà e mediamente uguali ($1/2kT$). Diverso nelle considerazioni, ma analogo nella sostanza, il caso di molecole poliatomiche (traslazioni, vibrazioni, rotazioni), ci riporta comunque al teorema (1).
Per le molecole biatomiche ad es:
$U=1/2N_0KT(3 $traslazione$+2 $rotazione)$=5/2RT$
Questi teoremi sono validi in un sistema di riferimento in cui la velocità macroscopica è nulla, giusto? Dove l'energia cinetica delle particelle è solo dovuta all'agitazione termica.
Nel caso in cui invece si prenda un sistema di riferimento in cui questa velocità macroscopica non è nulla anche all'equilibrio termico avremo che l'energia non è equipartita sulle componenti della velocità.
Vorrei sapere come questo influisce sugli scambi energetici tra fluido e parete de contenitore quando tra questi c'è velocità relativa, trascurando l'instazionarietà.
Nel caso in cui invece si prenda un sistema di riferimento in cui questa velocità macroscopica non è nulla anche all'equilibrio termico avremo che l'energia non è equipartita sulle componenti della velocità.
Vorrei sapere come questo influisce sugli scambi energetici tra fluido e parete de contenitore quando tra questi c'è velocità relativa, trascurando l'instazionarietà.
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