Condotto adiabatico attraversato da un fluido
Supponiamo di avere un condotto con del fuido (gas perfetto) che scorre al suo interno, isolato termicamente dall'ambiente esterno (condotto + fluido) e che unisce due ambienti che si trovano a pressione diversa.
Come si può calcolare la variazione di energia interna del fluido tra ingresso e uscita in condizioni stazionarie?
Quello che vorrei conoscere è soprattutto come si può spiegare la conversione di energia cinetica macroscopica del fluido in energia interna (energia cinetica microscopica, trattandosi di un gas perfetto).
PS: se mancano dei dati ...
Come si può calcolare la variazione di energia interna del fluido tra ingresso e uscita in condizioni stazionarie?
Quello che vorrei conoscere è soprattutto come si può spiegare la conversione di energia cinetica macroscopica del fluido in energia interna (energia cinetica microscopica, trattandosi di un gas perfetto).
PS: se mancano dei dati ...
Risposte
"piero_":
[quote="VINX89"]Non capisco perchè la velocità del fluido non dovrebbe coincidere con quella delle molecole.
Se con questo intendi delle singole molecole non sono totalmente d'accordo, ma se intendi la velocità quadratica media direi di sì.
"VINX89":
E' vero, io non ho considerato l'agitazione termica di tali molecole, ma se siamo in regime stazionario tale moto caotico non dovrebbe essere trascurabile?
sono d'acccordo con te e anche con i tuoi calcoli (dal punto di vista teorico, perchè i conti propriamente detti non li ho ricontrollati)[/quote]
Si, intendevo la velocità quadratica media; d'altronde, essa risulta essere:
$v = ((3 k_b T)/m)^(1/2)$
relazione che ho utilizzato nei miei calcoli.
E' chiaro che non può essere la velocità delle singole molecole: essa spazia in un intervallo molto ampio dato dalla distribuzione di Maxwell.
Non ho ben capito la tua soluzione vinx, potresti spiegarla?
Soprattutto non ho capito perchè hai sostituito la velocità quadratica media con la velocità del fluido...
Soprattutto non ho capito perchè hai sostituito la velocità quadratica media con la velocità del fluido...
"nnsoxke":
Questi teoremi sono validi in un sistema di riferimento in cui la velocità macroscopica è nulla, giusto? Dove l'energia cinetica delle particelle è solo dovuta all'agitazione termica.
Veramente il teorema (o principio) di equipartizione parla di moto complessivo di una particella, intendendo secondo me includere la velocità del fluido.
Facendo un confronto anche intuitivo si ottiene che se l'energia cinetica (complessiva) di una particella è equipartita in un sistema di riferimento (quello con velocità macrscopica nulla) non lo è in un sistema di riferimento che si muove con una certa velocità rispetto a questo. C'è una concentrazione di energia nella direzione e verso del moto macroscopico.
Uno dei dubbi che ho a questo punto è come mai si verifica macroscopicamente che la temperatura del recipiente sulla superficie in condizioni stazionarie si stabilisce su un valore maggiore rispetto a quella del fluido.
Uno dei dubbi che ho a questo punto è come mai si verifica macroscopicamente che la temperatura del recipiente sulla superficie in condizioni stazionarie si stabilisce su un valore maggiore rispetto a quella del fluido.
"piero_":
@nnsoxke:
Nella teoria cinetica dei gas perfetti l'energia interna viene definita come la somma delle energie cinetiche molecolari, considerando le molecole come sfere rigide (pressochè puntiformi).
(1) Inoltre per il teorema di equipartizione dell'energia di Maxwell:I valori medi di tutti i termini, la cui somma costituisce l'energia di una molecola, sono uguali e dipendono solo dalla temperatura tale valore è uguale a $1/2kT$
Nel caso di molecole sferiche l'energia cinetica è la somma di tre termini, uno per ogni componente della velocità del centro di massa, quindi uno per ogni grado di libertà e mediamente uguali ($1/2kT$). Diverso nelle considerazioni, ma analogo nella sostanza, il caso di molecole poliatomiche (traslazioni, vibrazioni, rotazioni), ci riporta comunque al teorema (1).
Per le molecole biatomiche ad es:
$U=1/2N_0KT(3 $traslazione$+2 $rotazione)$=5/2RT$
è proprio indipendente dal tipo di grado di libertà l'energia ad esso associata?
é un principio o un teorema quello dell'equipartizione?
"nnsoxke":
Non ho ben capito la tua soluzione vinx, potresti spiegarla?
Soprattutto non ho capito perchè hai sostituito la velocità quadratica media con la velocità del fluido...
Scusa il ritardo della mia risposta...
Allora...innanzi tutto, ho semplicemente applicato il teorema di Bernoulli, valido in quanto il gas in questione è ideale, quindi privo di attriti viscosi.
Dopodichè, poichè $U = n c_v T$, ho cercato con qualche passaggio algebrico di riportare questa espressione nell'equazione che ho scritto, in modo da esplicitarla rispetto a $U_b - U_a$ (quantità rischiesta dal problema).
Per far questo, ho considerato la velocità quadratica media del moto delle particelle, perchè essa descrive quantitativamente il moto medio di tutte le molecole; a livello macroscopico, quindi, tale velocità media non è altro che la velocità del fluido.
Non avrebbe senso utilizzare la velocità di una particella, perchè tutte le molecole hanno velocità differenti; nessuna, quindi, si riflette a livello macroscopico (tranne quelle che si muovono proprio con la velocità quadratica media).
Ora, poichè il regime è stazionario, il sistema è molto meno caotico di quanto possa sembrare (siamo ovviamente in una idealizzazione): infatti, fissata una posizione nel condotto, per definizione di regime stazionario ogni molecola che passa per quel punto ha sempre la stessa velocità.
Le mie sono considerazioni suscettibili di errori, e quindi di eventuali revisioni: basti pensare, ad esempio, al fatto che la velocità quadratica media è calcolata, nella teoria cinetica dei gas, per una sostanza in equilibrio statico all'interno di un recipiente in un sistema di riferimento inerziale, e non per un gas complessivamente in moto (comprendo quindi le tue riserve). Si potrebbe giustificare il tutto affermando che, all'altezza di $a$ e di $b$, il fluido si può considerare in moto rettilineo ed uniforme per un tratto infinitesimo (mentre lungo tutto il condotto, ovviamente, la velocità è variabile); questo vuol dire che la velocità delle molecole coincide, in quei due tratti, con la velocità di trascinamento di un sistema inerziale solidale col gas, in modo tale da ricondurre il tutto alla situazione di cui sopra (equilibrio statico).
Stà di fatto, comunque, che l'espressione finale trovata dai miei calcoli è (??) ragionevole.
Spero di aver esposto il tutto in modo più chiaro.
"VINX89":
Per far questo, ho considerato la velocità quadratica media del moto delle particelle, perchè essa descrive quantitativamente il moto medio di tutte le molecole; a livello macroscopico, quindi, tale velocità media non è altro che la velocità del fluido.
Non avrebbe senso utilizzare la velocità di una particella, perchè tutte le molecole hanno velocità differenti; nessuna, quindi, si riflette a livello macroscopico (tranne quelle che si muovono proprio con la velocità quadratica media).
Mi pare che stai confondendo la velocità quadratica media con la velocità media (media di vettori)
"nnsoxke":
Mi pare che stai confondendo la velocità quadratica media con la velocità media (media di vettori)
Non mi sembra: la velocità quadratica media è definita nel seguente modo:
$ bar v = sqrt(bar(v_x^2) + bar(v_y^2) + bar(v_z^2))$
E' diversa dalla media delle velocità, ma comunque descrive il moto medio delle molecole.
La velocità macroscopica del fluido è quella media delle particelle (media di vettori)
"nnsoxke":
La velocità macroscopica del fluido è quella media delle particelle (media di vettori)
Scusa, ma allora la velocità quadratica media cosa descrive?
L'energia cinetica di una particella è $E_c=1/2mv^2$, proporzionale al quadrato della velocità.
Inoltre la variazione della quantità di moto di una particella durante l'urto con una parete perpendicolare ad una direzione x è proporzionale alla media quadratica della componente della velocità di una particella lungo la direzione x.
Inoltre la variazione della quantità di moto di una particella durante l'urto con una parete perpendicolare ad una direzione x è proporzionale alla media quadratica della componente della velocità di una particella lungo la direzione x.
"nnsoxke":
la variazione della quantità di moto di una particella durante l'urto con una parete perpendicolare ad una direzione x è proporzionale alla media quadratica della componente della velocità di una particella lungo la direzione x.
Non capisco...se il gas è ideale, gli urti tra molecola e parete sono perfettamente elastici; detta $m$ la massa della particella e $v_x$ la componente della sua velocità lungo l'asse $x$, allora la variazione della sua quantità di moto lungo tale direzione è:
$q_x = m v_x - ( - m v_x) = 2 m v_x$
in quanto la velocità della particella cambia solo in verso, e non in modulo.
Perchè dici che tale variazione è proporzionale alla media quadratica della componente della velocità lungo x?
Dalla distribuzione di Maxwell delle velocità si vede che che la velocità più probabile è minore della velocità media, che a sua volta è minore della velocità quadratica media. Tali differenze però sono abbastanza irrisorie: non mi sembra un'approssimazione tanto azzardata considerare la $v_(qm)$ invece della velocità media, visto che è già una grossa semplificazione considerare le molecole come sferette puntiformi piuttosto che oggetti quantistici.
"VINX89":
Dalla distribuzione di Maxwell delle velocità si vede che che la velocità più probabile è minore della velocità media, che a sua volta è minore della velocità quadratica media. Tali differenze però sono abbastanza irrisorie: non mi sembra un'approssimazione tanto azzardata considerare la $v_(qm)$ invece della velocità media, visto che è già una grossa semplificazione considerare le molecole come sferette puntiformi piuttosto che oggetti quantistici.
Penso che bisognerebbe scrivere "il modulo più probabile" e il "modulo medio" della velocità di una particella, per non confonderli con la velocità media e la velocità più probabile.
Riguardo alla variazione della quantità di moto di una particella durante l'urto è giusto, non c'è una velocità al quadrato, avrei dovuto scrivere rapporto tra variazione di quantità di moto della particella e tempo intercorrente tra due urti con la stessa parete.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_cinetica_dei_gas
Si, intendevo il modulo comunque...
Esiste una espressione analitica per questi moduli?
Il modulo della velocità più probabile è il punto di massimo della funzione di distribuzione delle velocità di Maxwell, quindi è facilmente ricavabile derivando tale funzione...ma per quanto riguarda la velocità media, invece?
Ricavandola, infatti, si potrebbe sostituire nella mia equazione al posto della velocità quadratica media...
Comunque, non ho ancora ben capito perchè la velocità macroscopica del gas è descrivibile con la velocità media e non con la velocità quadratica media.
Esiste una espressione analitica per questi moduli?
Il modulo della velocità più probabile è il punto di massimo della funzione di distribuzione delle velocità di Maxwell, quindi è facilmente ricavabile derivando tale funzione...ma per quanto riguarda la velocità media, invece?
Ricavandola, infatti, si potrebbe sostituire nella mia equazione al posto della velocità quadratica media...
Comunque, non ho ancora ben capito perchè la velocità macroscopica del gas è descrivibile con la velocità media e non con la velocità quadratica media.
Ammetto di non aver letto tutti i messaggi, ma volevo proporre una possibile soluzione.
Se me lo concedete mi metto in una situazione comoda, ovvero che le due camere abbiano lo stesso volume $V$ e siano alla stessa temperatura $T$,e si trovano ad una differenza di pressione $DeltaP$.
Prendendo il tutto come sistema, abbiamo $L=0$ (pareti rigide) e $Q=0$ (pareti adiabatiche), quindi per il primo principio $DeltaE=0$.
Anche se l'energia interna totale non varia, se consideriamo le due camere avremo due $DeltaE$, uno per ciascuna camera, aventi lo stesso modulo ma di segno opposto (L'energia interna è una quantità estensiva ed in questo caso quella totale non varia). Naturalmente una certa quantità di gas $Deltan$ fluirà da una stanza all'altra per la differenza di pressione (vedi più in basso).
Dato che si tratta di una espansione libera, la temperatura era $T$ all'inizio e sarà $T$ alla fine (essendo un gas perfetto e $DeltaE=0$). Tuttavia se scriviamo le due variazioni di energia interna separate per la due camere
$DeltaE_1=-DeltaE_2=c^v*T*Deltan$
Cioè la variazione di energia interna per ciascuna camera è dovuta solamente al passaggio di $Deltan$ moli di gas. In pratica all'interno del sistema c'è uno "spostamento" di energia interna, il $DeltaE_1=-DeltaE_2$, "trasportata" da quelle $Deltan$ moli (cioè quello che chiede nnsoxke).
Viste le ipotesi iniziali, la $DeltaP$ dipende solo dal $Deltan$, cioè
$DeltaP=(R*T)/V*Deltan$
$Deltan=(DeltaP*V)/(R*T)$
e sostituendo il $Deltan$ nella relazione sopra
$DeltaE=c^v*T*(DeltaP*V)/(R*T)$
supponiamo il gas monoatomico, quindi $c^v=3/2R$, trovando infine
$DeltaE=3/2*DeltaP*V$
In realtà non sono convintissimo di questa soluzione, per lo meno spero sia un pretesto per continuare a parlare di questo problema che mi pareva interessante.
Se me lo concedete mi metto in una situazione comoda, ovvero che le due camere abbiano lo stesso volume $V$ e siano alla stessa temperatura $T$,e si trovano ad una differenza di pressione $DeltaP$.
Prendendo il tutto come sistema, abbiamo $L=0$ (pareti rigide) e $Q=0$ (pareti adiabatiche), quindi per il primo principio $DeltaE=0$.
Anche se l'energia interna totale non varia, se consideriamo le due camere avremo due $DeltaE$, uno per ciascuna camera, aventi lo stesso modulo ma di segno opposto (L'energia interna è una quantità estensiva ed in questo caso quella totale non varia). Naturalmente una certa quantità di gas $Deltan$ fluirà da una stanza all'altra per la differenza di pressione (vedi più in basso).
Dato che si tratta di una espansione libera, la temperatura era $T$ all'inizio e sarà $T$ alla fine (essendo un gas perfetto e $DeltaE=0$). Tuttavia se scriviamo le due variazioni di energia interna separate per la due camere
$DeltaE_1=-DeltaE_2=c^v*T*Deltan$
Cioè la variazione di energia interna per ciascuna camera è dovuta solamente al passaggio di $Deltan$ moli di gas. In pratica all'interno del sistema c'è uno "spostamento" di energia interna, il $DeltaE_1=-DeltaE_2$, "trasportata" da quelle $Deltan$ moli (cioè quello che chiede nnsoxke).
Viste le ipotesi iniziali, la $DeltaP$ dipende solo dal $Deltan$, cioè
$DeltaP=(R*T)/V*Deltan$
$Deltan=(DeltaP*V)/(R*T)$
e sostituendo il $Deltan$ nella relazione sopra
$DeltaE=c^v*T*(DeltaP*V)/(R*T)$
supponiamo il gas monoatomico, quindi $c^v=3/2R$, trovando infine
$DeltaE=3/2*DeltaP*V$
In realtà non sono convintissimo di questa soluzione, per lo meno spero sia un pretesto per continuare a parlare di questo problema che mi pareva interessante.
"strangolatoremancino":
Ammetto di non aver letto tutti i messaggi, ma volevo proporre una possibile soluzione.
La tua soluzione mi sembra molto interessante e pertinente, sicuramente più della mia che presenta il "problema" della velocità quadratica media.
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