Circuiti RL
Come risolvo questo problema? A parte scrivere le equazioni delle maglie e dei nodi non so come fare.. help
Risposte
Il testo è in allegato, qualcuno mi può aiutare?
Nessuno riesce ad aiutarmi?
Ti propongo questo metodo, che tuttavia ha dei problemi. Premetto che non mi sono cimentato a provare altri metodi, ne a cercarli, pertanto potrebbero esisterne di migliori.
Il circuito che descrive il testo dovrebbe essere il seguente:
[fcd="Circuito RL"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 80 32 4 3 0 0 0 * R
TY 31 2 4 3 0 0 0 * R
TY 55 32 4 3 0 0 0 * L
TY 3 37 4 3 0 0 0 * E
TY 11 5 3 2 0 0 0 * i(t)
TY 43 11 2 2 0 0 0 * iL(t)
TY 53 5 3 2 0 0 0 * iR(t)
LI 8 60 53 60 0
LI 53 60 78 60 0
LI 8 60 8 45 0
MC 8 25 0 0 450
LI 8 25 8 10 0
LI 8 10 28 10 0
MC 28 10 0 0 080
LI 38 10 53 10 0
LI 53 10 53 30 0
MC 53 30 1 0 120
LI 53 40 53 60 0
LI 78 60 78 40 0
MC 78 30 0 0 115
LI 53 10 78 10 0
LI 78 10 78 30 0
MC 59 10 0 0 074
MC 18 10 0 0 074
MC 53 17 1 0 074
SA 53 10 0
SA 53 60 0[/fcd]
Dove ho segnato le correnti.
Seguendo lo schema applico la LKC al nodo in cui si diramano le correnti e la LKV alle due maglie, si ottiene il seguente sistema
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=i_R(t)+i_L(t)\\
E-Ri(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}=0\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Inizio con il derivare la prima equazione in entrambi i membri.
Poi dalla secondo sposto i primi due termini a secondo membro e inverto i segni, si ottiene
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{di_L(t)}{dt}\\
L\frac{di_L(t)}{dt}=E-Ri(t)\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Adesso posso sostituire la seconda trovata nella prima e nella terza, escludo completamente la seconda:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{E-Ri(t)}{L}\\
E-Ri(t)-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Ricavo la derivata di $i_R(t)$ dalla prima, applico la derivata ad entrambi i membri alla seconda e inverto tutti i segni
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di_R(t)}{dt}=\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}\\
\frac{di(t)}{dt}+\frac{di_R(t)}{dt}=0
\end{array}
\right.
\)
Sostituisco ora la prima nella seconda, ottengo
\(\displaystyle \frac{di(t)}{dt}+\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}=0\)
Dopo semplici passaggi si ottiene l'equazione differenziale
\(\displaystyle 2L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=E\)
Poi ho risolto applicando la formula risolutiva che puoi trovare qui, applicata però considerando i coefficienti costanti, la formula è comunque la stessa. Gli estremi di integrazione dovrebbero essere $t$ e $0$, però io ti consiglio di risolverla senza, considerando gli integrali come indefiniti, in questo caso dovresti trovarti una costante additiva nella soluzione che puoi trovare mettendo a sistema con la condizione $i(0)=0$. La soluzione ottenuta da me è la seguente:
\(\displaystyle i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right) \)
Per trovare $i_R(t)$ considero la seconda equazione del penultimo sistema, esplicito rispetto a $i_R(t)$
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}-i(t) \)
Sostituendo e applicando semplici passaggi algebrici si ottiene
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t} \)
A questo punto considero la prima equazione del primo sistema e trovo anche $i_L(t)$
\(\displaystyle i(t)=i_R(t)+i_L(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-i_R(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-\left(\frac{E}{R}-i(t)\right) \quad \to \quad i_L(t)=2i(t)-\frac{E}{R} \)
Si ottiene
\(\displaystyle i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\)
Raccogliendo le soluzioni del sistema, e quindi le funzioni che esprimono le correnti nel circuito, sono:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\\
i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\\
i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)
\end{array}
\right.
\)
Nel seguito ho però problemi anch'io, infatti per risolvere l'esercizio deve essere
\(\displaystyle i_R(t)=i_L(t) \)
Trovando $t$ si ottiene
\(\displaystyle t=\frac{2L}{R}\ln 3 \)
Sostituendo ottengo come valore $4,39\mus$ che non compare nell'esercizio, ho anche verificate quelle equazioni, tutto corretto. Meglio aspettare qualche altro parere, probabilmente ho commesso io un errore.
Il circuito che descrive il testo dovrebbe essere il seguente:
[fcd="Circuito RL"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 80 32 4 3 0 0 0 * R
TY 31 2 4 3 0 0 0 * R
TY 55 32 4 3 0 0 0 * L
TY 3 37 4 3 0 0 0 * E
TY 11 5 3 2 0 0 0 * i(t)
TY 43 11 2 2 0 0 0 * iL(t)
TY 53 5 3 2 0 0 0 * iR(t)
LI 8 60 53 60 0
LI 53 60 78 60 0
LI 8 60 8 45 0
MC 8 25 0 0 450
LI 8 25 8 10 0
LI 8 10 28 10 0
MC 28 10 0 0 080
LI 38 10 53 10 0
LI 53 10 53 30 0
MC 53 30 1 0 120
LI 53 40 53 60 0
LI 78 60 78 40 0
MC 78 30 0 0 115
LI 53 10 78 10 0
LI 78 10 78 30 0
MC 59 10 0 0 074
MC 18 10 0 0 074
MC 53 17 1 0 074
SA 53 10 0
SA 53 60 0[/fcd]
Dove ho segnato le correnti.
Seguendo lo schema applico la LKC al nodo in cui si diramano le correnti e la LKV alle due maglie, si ottiene il seguente sistema
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=i_R(t)+i_L(t)\\
E-Ri(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}=0\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Inizio con il derivare la prima equazione in entrambi i membri.
Poi dalla secondo sposto i primi due termini a secondo membro e inverto i segni, si ottiene
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{di_L(t)}{dt}\\
L\frac{di_L(t)}{dt}=E-Ri(t)\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Adesso posso sostituire la seconda trovata nella prima e nella terza, escludo completamente la seconda:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{E-Ri(t)}{L}\\
E-Ri(t)-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Ricavo la derivata di $i_R(t)$ dalla prima, applico la derivata ad entrambi i membri alla seconda e inverto tutti i segni
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di_R(t)}{dt}=\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}\\
\frac{di(t)}{dt}+\frac{di_R(t)}{dt}=0
\end{array}
\right.
\)
Sostituisco ora la prima nella seconda, ottengo
\(\displaystyle \frac{di(t)}{dt}+\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}=0\)
Dopo semplici passaggi si ottiene l'equazione differenziale
\(\displaystyle 2L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=E\)
Poi ho risolto applicando la formula risolutiva che puoi trovare qui, applicata però considerando i coefficienti costanti, la formula è comunque la stessa. Gli estremi di integrazione dovrebbero essere $t$ e $0$, però io ti consiglio di risolverla senza, considerando gli integrali come indefiniti, in questo caso dovresti trovarti una costante additiva nella soluzione che puoi trovare mettendo a sistema con la condizione $i(0)=0$. La soluzione ottenuta da me è la seguente:
\(\displaystyle i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right) \)
Per trovare $i_R(t)$ considero la seconda equazione del penultimo sistema, esplicito rispetto a $i_R(t)$
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}-i(t) \)
Sostituendo e applicando semplici passaggi algebrici si ottiene
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t} \)
A questo punto considero la prima equazione del primo sistema e trovo anche $i_L(t)$
\(\displaystyle i(t)=i_R(t)+i_L(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-i_R(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-\left(\frac{E}{R}-i(t)\right) \quad \to \quad i_L(t)=2i(t)-\frac{E}{R} \)
Si ottiene
\(\displaystyle i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\)
Raccogliendo le soluzioni del sistema, e quindi le funzioni che esprimono le correnti nel circuito, sono:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\\
i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\\
i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)
\end{array}
\right.
\)
Nel seguito ho però problemi anch'io, infatti per risolvere l'esercizio deve essere
\(\displaystyle i_R(t)=i_L(t) \)
Trovando $t$ si ottiene
\(\displaystyle t=\frac{2L}{R}\ln 3 \)
Sostituendo ottengo come valore $4,39\mus$ che non compare nell'esercizio, ho anche verificate quelle equazioni, tutto corretto. Meglio aspettare qualche altro parere, probabilmente ho commesso io un errore.
Ora che finalmente riesco a capire cosa c'era scritto, posso "aiutarti". 
Direi che il metodo più rapido sia quello di usare Thevenin per andare a semplificare la rete "vista" dall'induttore con un generatore da E/2 in serie con un resistore da R/2 e considerare che quando le correnti in R e in L risultano uguali sul resistore destro ci sarà una tensione E/3, scrivendo quindi la corrente nell'induttore direttamente come semplice salita esponenziale
$\frac{E}{3R}=\frac{E}{R}(1-e^{-t_x/\tau})$
dove $\tau=2L/R$
possiamo ricavare il tempo incognito
$t_x=-4ln(2/3)approx 1.62 \mu s$
Direi che il metodo più rapido sia quello di usare Thevenin per andare a semplificare la rete "vista" dall'induttore con un generatore da E/2 in serie con un resistore da R/2 e considerare che quando le correnti in R e in L risultano uguali sul resistore destro ci sarà una tensione E/3, scrivendo quindi la corrente nell'induttore direttamente come semplice salita esponenziale
$\frac{E}{3R}=\frac{E}{R}(1-e^{-t_x/\tau})$
dove $\tau=2L/R$
possiamo ricavare il tempo incognito
$t_x=-4ln(2/3)approx 1.62 \mu s$
Perché ci troviamo risultati diversi?
Puoi verificare anche tu i miei passaggi, magari ho sbagliato qualcosa.
Puoi verificare anche tu i miei passaggi, magari ho sbagliato qualcosa.
"CaMpIoN":
Perché ci troviamo risultati diversi?
Non ci ritroviamo perché hai usato una condizione iniziale errata.
Là dice che "all'istante $t=0$ non scorre alcuna corrente nel circuito", dovrebbe stare a significare che $i(0)=0$?
Noto però che all'instante $t=0$ le correnti $i_R$ e $i_L$ sono uguali ed opposte, strano, ma nei passaggi è sufficiente solo la prima condizione.
Noto però che all'instante $t=0$ le correnti $i_R$ e $i_L$ sono uguali ed opposte, strano, ma nei passaggi è sufficiente solo la prima condizione.
"CaMpIoN":
Là dice che "all'istante $t=0$ non scorre alcuna corrente nel circuito", dovrebbe stare a significare che $i(0)=0$?
Il testo è scritto come al solito da un incompetente, ma ti ricordo che c'è un $t=0^-$ e un $t=0^+$ e quindi ci sono delle grandezze che nel passaggio da t=0- a t=0+ non possono presentare discontinuità, ovvero le variabili di stato (IL in questo caso), e altre che possono presentare discontinuità (la i e la iR in questo caso); ne segue che quel "non scorre nessuna corrente per t=0" deve essere interpretato come $i_L(0^-)=0, i(0^-)=0, i_R(0^-)=0$ e non come $i(0^+)=0$ in quanto al tempo $t=0^+$ la corrente nei due resistori non può essere di certo nulla, mentre lo sarà solo nell'induttore $i_L(0^+)=i_L(0^-)=0$, non credi?
Il testo avrebbe dovuto specificare che ... non scorre nessuna corrente nel circuito per t < 0 e all'istante t=0 viene "acceso" il generatore di tensione.
"CaMpIoN":
... Noto però che all'instante $t=0$ le correnti $i_R$ e $i_L$ sono uguali ed opposte, strano, ...
Direi sia impossibile, come può circolare corrente nell'induttore per t=0+ se non circolava per t=0-?
Riassumendo la situazione per $t=0-$ è la seguente:
$i(0^-)=0$
$i_L(0^-)=0$
$i_R(0^-)=0$
mentre per $t=0+$ avremo:
$i(0^+)=E/(2R)$
$i_L(0^+)=0$
$i_R(0^+)=E/(2R)$
ed infine a regime, per $t=\infty$:
$i(\infty)=E/R$
$i_L(\infty)=E/R$
$i_R(\infty)=0$
Le leggi di Kirchhoff non dovrebbero risolvere tutti i circuiti? Perché allora utilizzandole in questo caso il risultato non va bene?
In pratica sembrerebbe che la "Matematica" si inventi i valori di $i_R$ e $i_L$ in $t=0$.
In pratica sembrerebbe che la "Matematica" si inventi i valori di $i_R$ e $i_L$ in $t=0$.
"CaMpIoN":
Le leggi di Kirchhoff non dovrebbero risolvere tutti i circuiti? Perché allora utilizzandole in questo caso il risultato non va bene?
Non capisco cosa tu intenda dire.
"CaMpIoN":
In pratica sembrerebbe che la "Matematica" si inventi i valori di $i_R$ e $i_L$ in $t=0$.
La "Matematica" non si deve inventare proprio nulla, qui è la "Fisica" dei due bipoli che impone, per semplici "Ragioni" energetiche che, in una rete (non degenere) come questa, non ci possa essere discontinuità nella tensione ai morsetti di un condensatore e nella corrente che percorre un induttore.
In realtà ciò che vorrei sapere è se esiste una strada per arrivare ai giusti risultati utilizzando le leggi di Kirchhoff. Esiste?
"CaMpIoN":
In realtà ciò che vorrei sapere è se esiste una strada per arrivare ai giusti risultati utilizzando le leggi di Kirchhoff. Esiste?
Continuo a non capire, le leggi di Kirchhoff possono tranquillamente essere usate, sia la KCL sia le due KVL.
Le relazioni iniziali da te scritte sono infatti corrette, il tuo problema è solo sulla condizione iniziale da utilizzare per la soluzione dell'equazione differenziale, la riga incriminata è la seguente
"CaMpIoN":
... nella soluzione che puoi trovare mettendo a sistema con la condizione $i(0)=0$.
Dove non vai a distinguere l'istante precedente dall'accensione del GIT (t=0-), nel quale la i(0-)=0, da quello immediatamente successivo (t=0+), nel quale la i(0+)=E/(2R); discontinuità dovuta alla possibilità di avere una corrente circolante solo sulla maglia esterna e non attraverso l'induttore.
Io quello l'ho capito, ma credo che quel $i(0^+)=\frac{E}{2R}$ tu l'abbia calcolato considerando nulla la corrente nell'induttore. Chiedevo se esistesse una via puramente matematica, utilizzando le leggi di Kirchhoff, per avere gli stessi risultati.
"CaMpIoN":
Io quello l'ho capito, ma credo che quel $i(0^+)=\frac{E}{2R}$ tu l'abbia calcolato considerando nulla la corrente nell'induttore.
Non c'è ombra di dubbio che io l'abbia calcolata in quel modo, ma non c'è alternativa; se mi vengono a dire che la corrente in un induttore è inizialmente nulla, quella è l'unica strada possibile, ... è come dirmi che in quel ramo è presente un GIC con corrente nulla [nota]Teorema di sostituzione.[/nota] e quindi applicando Kirchhoff scrivo una KCL, i-iR-0=0 e una KVL alla maglia esterna, E-Ri-Ri=0.
"CaMpIoN":
Chiedevo se esistesse una via puramente matematica, utilizzando le leggi di Kirchhoff, per avere gli stessi risultati.
Quali risultati? ... dimostrare forse che iL(0+)=iL(0-)? ... ricordando la sua equazione costitutiva si spiega facilmente.
Solo adesso ho compreso perfettamente la cosa. Grazie.
"RenzoDF":
Ora che finalmente riesco a capire cosa c'era scritto, posso "aiutarti".
Direi che il metodo più rapido sia quello di usare Thevenin per andare a semplificare la rete "vista" dall'induttore con un generatore da E/2 in serie con un resistore da R/2 e considerare che quando le correnti in R e in L risultano uguali sul resistore destro ci sarà una tensione E/3, scrivendo quindi la corrente nell'induttore direttamente come semplice salita esponenziale
$\frac{E}{3R}=\frac{E}{R}(1-e^{-t_x/\tau})$
dove $\tau=2L/R$
possiamo ricavare il tempo incognito
$t_x=-4ln(2/3)approx 1.62 \mu s$
Renzo hai centrato! Il risultato è giusto...però mi devi spiegare come hai fatto, non ho capito il tuo procedimento. Me lo spiegheresi perfavore?
Tanto per cominciare, concordi sul calcolo della iL(t) via Thevenin?
"RenzoDF":
Ora che finalmente riesco a capire cosa c'era scritto, posso "aiutarti".
Direi che il metodo più rapido sia quello di usare Thevenin per andare a semplificare la rete "vista" dall'induttore con un generatore da E/2 in serie con un resistore da R/2 e considerare che quando le correnti in R e in L risultano uguali sul resistore destro ci sarà una tensione E/3, scrivendo quindi la corrente nell'induttore direttamente come semplice salita esponenziale
$\frac{E}{3R}=\frac{E}{R}(1-e^{-t_x/\tau})$
dove $\tau=2L/R$
possiamo ricavare il tempo incognito
$t_x=-4ln(2/3)approx 1.62 \mu s$
salve
gentilmente potresti spiegare come hai utilizzato thevenin in questo caso ?
io ho pensato:
1) cortocircuito il generatore di tensione
2) trovare la resistenza equivalente che non è altro che R
3) trovo E-thevenin <-- qui non ho capito come fare in questo caso ;
non so continuare... non ho capito come mai introduciamo il generatore E/2 e il resistore R/2 ;
grazie
"mat100":
... non ho capito come mai introduciamo il generatore E/2 e il resistore R/2
Quando "guardi" la rete da "punto di vista" dell'induttore, ovvero la consideri "vista" dai morsetti A B di figura,
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 89 38 4 3 0 0 0 * R
TY 37 5 4 3 0 0 0 * R
TY 24 37 4 3 0 0 0 * E
LI 13 65 58 65 0
LI 58 65 83 65 0
LI 13 65 13 50 0
MC 13 30 0 0 450
LI 13 30 13 15 0
LI 13 15 33 15 0
MC 33 15 0 0 080
LI 43 15 58 15 0
LI 58 15 58 26 0
LI 58 51 58 65 0
LI 83 65 83 45 0
LI 58 15 83 15 0
LI 83 15 83 35 0
SA 58 15 0
SA 58 65 0
MC 83 35 1 0 080
EV 57 26 59 28 0
EV 59 49 57 51 0
TY 62 27 4 3 0 1 2 * A
TY 62 44 4 3 0 1 2 * B[/fcd]
per ricavare il circuito equivalente di Helmholtz-Thevenin, dovrai ricavare la tensione a vuoto fra i due morsetti, in quanto (per esempio), via partitore di tensione
$E_{Th}=V_{AB0}=E/2$
e la resistenza equivalente "vista" sempre dai morsetti A B una volta "passivata" la rete, ovvero una volta "spenti" i generatori indipendenti.
In questo caso, "spento" E, dai morsetti "vedrai" il parallelo fra le due resistenze R e quindi
$R_{Th}=R/2$
BTW Dire che si cortocircuita un generatore di tensione, vuol dire che si va a metterlo "in conflitto" con un generatore di tensione nulla, e non è una "bella cosa" in quanto ciascuno dei due vorrà imporre la sua "regola"; meglio dire che si sostituisce un generatore di tensione con un cortocircuito oppure, equivalentemente e gergalmente, che "si spegne il generatore di tensione".
perfetto; grazie mille...
posso approfittarne per chiedere una cosa inerente thevenin ?
Nel caso a) avessimo avuto anche un condensatore in serie al resistore di destra , oppure b) un condensatore al posto del suddetto ;
avremmo avuto
a) Req = R/2
B) Req= R
?
grazie per le utilissime dritte teoriche e pratiche
posso approfittarne per chiedere una cosa inerente thevenin ?
Nel caso a) avessimo avuto anche un condensatore in serie al resistore di destra , oppure b) un condensatore al posto del suddetto ;
avremmo avuto
a) Req = R/2
B) Req= R
?
grazie per le utilissime dritte teoriche e pratiche
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