Centro di massa sfera con asta
Salve a tutti, sono "bloccato" nel secondo punto di questo esercizio, dopo aver trovato la costante k, devo trovare l'accelerazione del centro di massa.
Sono partito dall'usare la seguente formula: \(\displaystyle M = I * \alpha \)
Sapendo che \(\displaystyle \alpha = a * r \), ho ricavato a, ma al momento del calcolo r non si semplifica. Come posso fare?
Sono partito dall'usare la seguente formula: \(\displaystyle M = I * \alpha \)
Sapendo che \(\displaystyle \alpha = a * r \), ho ricavato a, ma al momento del calcolo r non si semplifica. Come posso fare?
Risposte
$alpha=a/r$
Ho provato anche con questo ma non torna.
Sapendo che:
\(\displaystyle I_{sfera} = \frac{2}{5}mR^{2} + m(4r)^2 \)
Ho che:
\(\displaystyle kx2r = I_{sfera} * \alpha \) => \(\displaystyle \frac{a}{r} = \frac{kx2r}{ \frac{2}{5}mr^{2} + m(4r)^2}\)
\(\displaystyle a = \frac{kx2r * r}{ \frac{2}{5}mr^{2} + m(4r)^2} \)
Il risultato deve essere \(\displaystyle 9,6 m/s^2\), ma non torna.
Sapendo che:
\(\displaystyle I_{sfera} = \frac{2}{5}mR^{2} + m(4r)^2 \)
Ho che:
\(\displaystyle kx2r = I_{sfera} * \alpha \) => \(\displaystyle \frac{a}{r} = \frac{kx2r}{ \frac{2}{5}mr^{2} + m(4r)^2}\)
\(\displaystyle a = \frac{kx2r * r}{ \frac{2}{5}mr^{2} + m(4r)^2} \)
Il risultato deve essere \(\displaystyle 9,6 m/s^2\), ma non torna.
Devo dire che non capisco perchè l'accelerazione iniziale non sia semplicemente g
"mgrau":
Devo dire che non capisco perchè l'accelerazione iniziale non sia semplicemente g
Iniziale si sarà g, ma devo calcolare l'accelerazione dopo che la molla si stacca e fa muovere la massa
Quando dici "subito dopo aver staccato la molla" cosa intendi?
Al tempo 0? Dopo 1/10 di secondo? O 1/100? O che cosa?
Al tempo 0 mi pare che l'accelerazione sia g. Certo, dopo diminuisce, ma se non si dice quando...
Al tempo 0? Dopo 1/10 di secondo? O 1/100? O che cosa?
Al tempo 0 mi pare che l'accelerazione sia g. Certo, dopo diminuisce, ma se non si dice quando...
"mgrau":
Quando dici "subito dopo aver staccato la molla" cosa intendi?
Al tempo 0? Dopo 1/10 di secondo? O 1/100? O che cosa?
Al tempo 0 mi pare che l'accelerazione sia g. Certo, dopo diminuisce, ma se non si dice quando...
Non ho il tempo, ho solo i dati che vedi nel testo del primo post.
L'accelerazione all'istante iniziale è data dalla seconda equazione cardinale $M=Ialpha$, e non necessariamente coincide con $g$ dato che sul sistema agisce la reazione vincolare del perno in $O$, infatti all'istante iniziale il perno esercita una reazione vincolare N verticale diretta in su, quindi dalla prima eq. cardinale si ha $ma_G=mg-N$, quindi l'accelerazione all'istante iniziale deve essere minore di $g$
La molla viene staccata, e il sistema si muove, nell'equazione $M=Ialpha$ la forza elastica non c'è. Quindi prova a rifare i conti e vedi cosa torna. Il momento M è quello dovuto alla forza peso della sfera.
Allora, per come lo capisco io, vuol dire: "nell'istante in cui si stacca la molla", cioè al tempo zero.
Per cui, torno a dire, mi pare che sia g... proprio come se ci fosse la sola sfera, senza tutti gli altri ammenicoli.
@Vulplasir All'istante iniziale l'asta è orizzontale, e non esercita nessuna forza sulla sfera, è come se non ci fosse. Successivamente, certo, comincia a tirare verso O, ma all'inizio no.
Per cui, torno a dire, mi pare che sia g... proprio come se ci fosse la sola sfera, senza tutti gli altri ammenicoli.
@Vulplasir All'istante iniziale l'asta è orizzontale, e non esercita nessuna forza sulla sfera, è come se non ci fosse. Successivamente, certo, comincia a tirare verso O, ma all'inizio no.
@mgrau anche a me sembra, però non è così, il sistema è vincolato, per determinare il moto di un sistema vincolato bisogna considerare anche le reazioni vincolari, se si applica la seconda equazione cardinale al polo O, essendo il vincolo liscio, essa determina in modo univoco il moto del sistema, e quindi la sua velocità angolare, una volta nota la velocità angolare si determina la velocità lineare del centro di massa, una volta nota l'accelerazione del centro di massa, sfruttando la prima equazione cardinale, si scopre che, contrariamente a quanto si pensa, all'istante iniziale il vincolo in O esercita una forza verticale.
All'istante iniziale l'asta è orizzontale, e non esercita nessuna forza sulla sfera, è come se non ci fosse. Successivamente, certo, comincia a tirare verso O, ma all'inizio no.L'asta e la sfera sono un sistema, un tutt'uno, quindi la reazione che l'asta esercita sulla sfera non influisce in alcun modo sul moto del sistema, è la reazione del vincolo in O che determina il moto, e infatti la reazione in O non è zero all'istante iniziale, quindi l'accelerazione non è g.
@vulplasir Hai provato a fare i conti? Ci scommetto qualcosa che per t = 0 viene a = g. Naturalmente per t > 0, sarà, come dici tu, a
PS: dire che la reazione che l'asta esercita sulla sfera non influisce in alcun modo sul moto del sistema mi pare un po' forte. In virtù di che cosa la sfera dovrebbe comportarsi diversamente da quel che farebbe se fosse da sola, se non in seguito alle forze esercitate dall'asta?
PS: dire che la reazione che l'asta esercita sulla sfera non influisce in alcun modo sul moto del sistema mi pare un po' forte. In virtù di che cosa la sfera dovrebbe comportarsi diversamente da quel che farebbe se fosse da sola, se non in seguito alle forze esercitate dall'asta?
Non ho fatto i conti, però dalla equazione $M=Ialpha$, si capisce subito che, se per esempio al posto della sfera ci fosse un disco dello stesso raggio e stessa massa, $M$ a sinistra resterebbe invariato, mentre varierebbe $I$ a destra, quindi avrebbero accelerazioni angolari iniziali $alpha$ diverse, motivo per cui ho detto che all'istante iniziale non è g. Ho detto che non influisce sul moto perché il sistema asta+sfera è un sistema rigido, in un sistema rigido il moto è individuato solo dalle forze esterne e quelle vincolari, una volta saputo che l'asta e la sfera formano un sistema rigido vincolato in O, allora non interessa sapere le forze che l'asta e la sfera si scambiano tra loro.
La tua risposta sarebbe giusta se la sfera non fosse saldata all'asta, ma vi fosse imperniata, in quel caso la sfera si può considerare come un punto materiale, in effetti il testo non dice nulla a riguardo se è imperniata o saldata all'asta. Il caso di sfera saldata e imperniata costituiscono due moti fenomenologicamente diversi, una sfera che cade libera non è uguale a una sfera che cade vincolata con saldatura all'asta, ma è uguale a una sfera che cade imperniata all'asta (ovviamente nell'istante iniziele), infatti nel caso di saldatura la sfera ruota con l'asta, nel caso fosse imperniata all'asta la sfera, all'istante iniziale non ruota in maniera infinitesima con l'asta, quindi è come se fosse libera, in quel caso la sua accelerazione sarebbe g. Il testo non specifica se è saldata o imperniata, quindi direi che non ha soluzione.
Il problema dell'accelerazione è che essa è qualcosa tra due istanti infinitesimi, nel caso di sfera saldata e imperniata (o libera), l'istante iniziale del moto è lo stesso per entrambe, ma l'istante "infinitesimo" finale è diverso, nel caso dell'asta saldata essa, in quell'istante infinitesimo dt in cui si calcola l'accelerazione iniziale, oltre a traslare, ruota perché deve essere un tutt'uno con l'asta (ossia se un certo punto della sfera forma un certo angolo con l'asta, quello stesso punto in qualsiasi altro istante deve formare lo stesso angolo con l'asta), nel caso di sfera imperniata con l'asta, essa è libera nel perno, quando l'asta si muove, la sfera non ruota attorno al perno (se esso è liscio chiaramente), quindi nell'istante iniziale è come se fosse una semplice sfera in caduta libera. Non sorprende quindi che se l'asta fosse saldata l'accelerazione non sarebbe $g$ (che è il caso dato per scontato, che tanto scontato non è, dal testo)
La tua risposta sarebbe giusta se la sfera non fosse saldata all'asta, ma vi fosse imperniata, in quel caso la sfera si può considerare come un punto materiale, in effetti il testo non dice nulla a riguardo se è imperniata o saldata all'asta. Il caso di sfera saldata e imperniata costituiscono due moti fenomenologicamente diversi, una sfera che cade libera non è uguale a una sfera che cade vincolata con saldatura all'asta, ma è uguale a una sfera che cade imperniata all'asta (ovviamente nell'istante iniziele), infatti nel caso di saldatura la sfera ruota con l'asta, nel caso fosse imperniata all'asta la sfera, all'istante iniziale non ruota in maniera infinitesima con l'asta, quindi è come se fosse libera, in quel caso la sua accelerazione sarebbe g. Il testo non specifica se è saldata o imperniata, quindi direi che non ha soluzione.
Il problema dell'accelerazione è che essa è qualcosa tra due istanti infinitesimi, nel caso di sfera saldata e imperniata (o libera), l'istante iniziale del moto è lo stesso per entrambe, ma l'istante "infinitesimo" finale è diverso, nel caso dell'asta saldata essa, in quell'istante infinitesimo dt in cui si calcola l'accelerazione iniziale, oltre a traslare, ruota perché deve essere un tutt'uno con l'asta (ossia se un certo punto della sfera forma un certo angolo con l'asta, quello stesso punto in qualsiasi altro istante deve formare lo stesso angolo con l'asta), nel caso di sfera imperniata con l'asta, essa è libera nel perno, quando l'asta si muove, la sfera non ruota attorno al perno (se esso è liscio chiaramente), quindi nell'istante iniziale è come se fosse una semplice sfera in caduta libera. Non sorprende quindi che se l'asta fosse saldata l'accelerazione non sarebbe $g$ (che è il caso dato per scontato, che tanto scontato non è, dal testo)
In pratica quindi, l'equazione $M=Ialpha$ vale sempre sia se la sfera è saldata sia se la sfera è imperniata all'asta, ciò che cambia è il momento di inerzia della sfera. Infatti se la sfera è saldata il suo momento di inerzia rispetto a O si trova come $I_O=I_G+mL^2$, essendo $L$ la distanza del baricentro da O, nel caso di sfera imperniata all'asta, la sfera è equivalente a un punto materiale, il suo momento di inerzia rispetto a $O$ è pari a $I_O=mL^2$, si vede chiaramente che nel primo caso l'accelerazione iniziale non è g, nel secondo è g.
Prova a fare i conti....
Non ci vuole nessun conto, $M=Ialpha$ vale sempre, $M$ è lo stesso sia che l'asta sia imperniata sia che l'asta sia saldata, ciò che cambia è $I$, puoi fare quanti conti ti pare, ma se $I$ varia in base a come è fissata la sfera, otterrai due risultati diversi, soprattutto, se la sfera è saldata, la sua accelerazione NON è $g$. Se ti piacciono i conti, mostrameli tu applicando la seconda cardinale,e mostrami che l'accelerazione, nel caso di sfera saldata, vale $g$, io non ho bisogno dei conti per dire in anticipo che non è vero.
Magari non ci vorrà nessun conto per dire che l'accelerazione non è g, ma forse ci vorrà per sapere QUANTO è. Che è proprio quello che voleva sapere il nostro amico che ha proposto il problema, e a questo punto anch'io
Beh quello è un problema minore, una volta appurato che il testo da per scontato che la sfera sia saldata basta applicare e risolvere la seconda cardinale, cosa che dovrebbe saper fare, e il risultato dovrebbe essere quello dato dal testo, se non lo è allora è sbagliato il testo.
Hai ragione. Viene 40/41g. Questa volta il fiuto mi ha giocato un brutto scherzo.
"Vulplasir":
Beh quello è un problema minore, una volta appurato che il testo da per scontato che la sfera sia saldata basta applicare e risolvere la seconda cardinale, cosa che dovrebbe saper fare, e il risultato dovrebbe essere quello dato dal testo, se non lo è allora è sbagliato il testo.
Allora ragazzi, scusate il ritardo, ho provato a fare quello che mi avete detto, spero di averlo applicato bene:
Allora mi hai detto che il momento d'inerzia della sfera rispetto al perno O è $mL^2$, quindi:
$F_p $ è riferito alla forza peso della sfera.
$F_{p} * r = I * \alpha => \alpha = (F_p * r) / I $, sostituendo si ottiene : $a/r = (m * g * r) / (m * r^2) => a = (m*g*r^2) / (m*r^2) $ semplificando ottengo che $a = 9.8 m/s^2$, dove sbaglio?
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