Centro di massa sfera con asta
Salve a tutti, sono "bloccato" nel secondo punto di questo esercizio, dopo aver trovato la costante k, devo trovare l'accelerazione del centro di massa.
Sono partito dall'usare la seguente formula: \(\displaystyle M = I * \alpha \)
Sapendo che \(\displaystyle \alpha = a * r \), ho ricavato a, ma al momento del calcolo r non si semplifica. Come posso fare?
Sono partito dall'usare la seguente formula: \(\displaystyle M = I * \alpha \)
Sapendo che \(\displaystyle \alpha = a * r \), ho ricavato a, ma al momento del calcolo r non si semplifica. Come posso fare?
Risposte
Considera la seguente immagine:
In cui un disco è imperniato e saldato nella sbarra che ruota. All'istante iniziale le linee verde e rossa coincidono, nell'istante finale non coincidono più. La linea rossa è tracciata su un disco che è imperniato all'asta, essendo impernitato il disco è libero di ruotare attorno al suo centro, dato che all'istante iniziale non ruota e dato che le forze che agiscono sul disco agiscono nel suo centro, anche all'istante finale il disco non ruota, quindi la linea rossa rimane dov'è, ossia il moto compiuto dal disco imperniato non è una rotazione ma una semplice traslazione, ossia mentre la sbarra ruota, il disco trasla, tutti i punti del disco hanno la stessa velocità (dato che è una traslazione), pertanto il momento angolare del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta non è altro che pari al momento angolare del centro del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta (teorema di koenig), ossia $ML^2omega$, essendo $omega$ la velocità di rotazione dell'asta. In questo caso, ossia quando è imp'erniato, il disco si comporta come un semplice punto materiale, è per questo che considerando la sfera imperniata risulta che l'accelerazione iniziale è $g$, proprio perché è la stessa che avrebbe un punto materiale.
L'esercizio da per scontato che la sfera sia saldata (anche perché non saprei come si possa imperniare una sfera a un'asta, con il disco l'esempio è più semplice). La differenza tra saldato e imperniato lo dimostra la linea verde, infatti quando il disco è saldato all'asta, asta e disco formano un tutt'uno, ossia un unico corpo rigido, pertanto se all'istante iniziale la linea verde è ortogonale alla sbarra, allora lo sarà anche all'istante finale, pertanto il disco ruota, infatti la linea verde ha cambiato orientazione, la causa della rotazione del disco, rispetto alla sola traslazione del caso precedente, è dovuta al fatto che con la saldatura, tra asta e disco si esercitano in genere una forza e un momento, è questo momento che causa la rotazione del disco e gli fa mantenere sempre la stessa orintazione rispetto alla sbarra. Qui per il teorema di koenig il momento angolare della sbarra è la somma tra il momento angolare del centro del disco più il momento angolare del disco relativo al suo centro , ossia $ML^2omega+I_Gomega=(ML^2+I_G)omega$ (nota che la velocità di rotazione della sbarra $omega$ è pari alla velocitò di rotazione del disco attorno al suo centro, infatti la linea verde e la sbarra devono mantere sempre la stessa orientazione, se la sbarra ruota di un certo angolo la linea verde ruota dello stesso angolo.
In pratica quindi, per ottenere il risultato dato dall'esercizio, come momento di inerzia della sfera ci devi mettere $ML^2+I_G$, essendo $I_G$ il momento dinerzia della sfera rispetto al suo centro.
In cui un disco è imperniato e saldato nella sbarra che ruota. All'istante iniziale le linee verde e rossa coincidono, nell'istante finale non coincidono più. La linea rossa è tracciata su un disco che è imperniato all'asta, essendo impernitato il disco è libero di ruotare attorno al suo centro, dato che all'istante iniziale non ruota e dato che le forze che agiscono sul disco agiscono nel suo centro, anche all'istante finale il disco non ruota, quindi la linea rossa rimane dov'è, ossia il moto compiuto dal disco imperniato non è una rotazione ma una semplice traslazione, ossia mentre la sbarra ruota, il disco trasla, tutti i punti del disco hanno la stessa velocità (dato che è una traslazione), pertanto il momento angolare del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta non è altro che pari al momento angolare del centro del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta (teorema di koenig), ossia $ML^2omega$, essendo $omega$ la velocità di rotazione dell'asta. In questo caso, ossia quando è imp'erniato, il disco si comporta come un semplice punto materiale, è per questo che considerando la sfera imperniata risulta che l'accelerazione iniziale è $g$, proprio perché è la stessa che avrebbe un punto materiale.
L'esercizio da per scontato che la sfera sia saldata (anche perché non saprei come si possa imperniare una sfera a un'asta, con il disco l'esempio è più semplice). La differenza tra saldato e imperniato lo dimostra la linea verde, infatti quando il disco è saldato all'asta, asta e disco formano un tutt'uno, ossia un unico corpo rigido, pertanto se all'istante iniziale la linea verde è ortogonale alla sbarra, allora lo sarà anche all'istante finale, pertanto il disco ruota, infatti la linea verde ha cambiato orientazione, la causa della rotazione del disco, rispetto alla sola traslazione del caso precedente, è dovuta al fatto che con la saldatura, tra asta e disco si esercitano in genere una forza e un momento, è questo momento che causa la rotazione del disco e gli fa mantenere sempre la stessa orintazione rispetto alla sbarra. Qui per il teorema di koenig il momento angolare della sbarra è la somma tra il momento angolare del centro del disco più il momento angolare del disco relativo al suo centro , ossia $ML^2omega+I_Gomega=(ML^2+I_G)omega$ (nota che la velocità di rotazione della sbarra $omega$ è pari alla velocitò di rotazione del disco attorno al suo centro, infatti la linea verde e la sbarra devono mantere sempre la stessa orientazione, se la sbarra ruota di un certo angolo la linea verde ruota dello stesso angolo.
In pratica quindi, per ottenere il risultato dato dall'esercizio, come momento di inerzia della sfera ci devi mettere $ML^2+I_G$, essendo $I_G$ il momento dinerzia della sfera rispetto al suo centro.
"Vulplasir":
Considera la seguente immagine:
In cui un disco è imperniato e saldato nella sbarra che ruota. All'istante iniziale le linee verde e rossa coincidono, nell'istante finale non coincidono più. La linea rossa è tracciata su un disco che è imperniato all'asta, essendo impernitato il disco è libero di ruotare attorno al suo centro, dato che all'istante iniziale non ruota e dato che le forze che agiscono sul disco agiscono nel suo centro, anche all'istante finale il disco non ruota, quindi la linea rossa rimane dov'è, ossia il moto compiuto dal disco imperniato non è una rotazione ma una semplice traslazione, ossia mentre la sbarra ruota, il disco trasla, tutti i punti del disco hanno la stessa velocità (dato che è una traslazione), pertanto il momento angolare del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta non è altro che pari al momento angolare del centro del disco rispetto al centro di rotazione dell'asta (teorema di koenig), ossia $ML^2omega$, essendo $omega$ la velocità di rotazione dell'asta. In questo caso, ossia quando è imp'erniato, il disco si comporta come un semplice punto materiale, è per questo che considerando la sfera imperniata risulta che l'accelerazione iniziale è $g$, proprio perché è la stessa che avrebbe un punto materiale.
L'esercizio da per scontato che la sfera sia saldata (anche perché non saprei come si possa imperniare una sfera a un'asta, con il disco l'esempio è più semplice). La differenza tra saldato e imperniato lo dimostra la linea verde, infatti quando il disco è saldato all'asta, asta e disco formano un tutt'uno, ossia un unico corpo rigido, pertanto se all'istante iniziale la linea verde è ortogonale alla sbarra, allora lo sarà anche all'istante finale, pertanto il disco ruota, infatti la linea verde ha cambiato orientazione, la causa della rotazione del disco, rispetto alla sola traslazione del caso precedente, è dovuta al fatto che con la saldatura, tra asta e disco si esercitano in genere una forza e un momento, è questo momento che causa la rotazione del disco e gli fa mantenere sempre la stessa orintazione rispetto alla sbarra. Qui per il teorema di koenig il momento angolare della sbarra è la somma tra il momento angolare del centro del disco più il momento angolare del disco relativo al suo centro , ossia $ML^2omega+I_Gomega=(ML^2+I_G)omega$ (nota che la velocità di rotazione della sbarra $omega$ è pari alla velocitò di rotazione del disco attorno al suo centro, infatti la linea verde e la sbarra devono mantere sempre la stessa orientazione, se la sbarra ruota di un certo angolo la linea verde ruota dello stesso angolo.
In pratica quindi, per ottenere il risultato dato dall'esercizio, come momento di inerzia della sfera ci devi mettere $ML^2+I_G$, essendo $I_G$ il momento dinerzia della sfera rispetto al suo centro.
Dunque torna esattamente così se non sbaglio:
$a = (m*g * r^2) / (2/5 * m * r^2 + m(4r)^2) = (m*g * r^2) / (2/5 * m * r^2 + m* 16 * r^2) = (g) / (2/5 + 16) = 0.59 m/s^2$ il risultato non torna ancora
Il momento della forza peso è $mg4r$, comunque non c'è bisogno di citare l'intero messaggio precedente
Allora dovrebbe essere:
$\alpha = a / r = (m*g * 4* r) / (2/5 * m * r^2 + m(4r)^2) => a = (m*g * 4 * r^2) / (2/5 * m * r^2 + m* 16 * r^2) = (g * 4) / (2/5 + 16) = 2.39 m/s^2$ sbaglio ancora?
$\alpha = a / r = (m*g * 4* r) / (2/5 * m * r^2 + m(4r)^2) => a = (m*g * 4 * r^2) / (2/5 * m * r^2 + m* 16 * r^2) = (g * 4) / (2/5 + 16) = 2.39 m/s^2$ sbaglio ancora?
Si, $alpha=a/(4r)$, dovrebbe risultare $40/41g$
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