Carica in moto
Stavo svolngendo un esercizio:
Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.
La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo
$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$
$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.
Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.
Una carica elettrica q si muove, con velocità angolare costante e molto elevata, lungo una circonferenza di raggio R. Si calcoli il valore del campo magnetico generato dalla carica lungo l’asse della traiettoria circolare.
Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.
La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo
$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$
$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.
Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.
Risposte
La componente radiale ruota insieme alla carica, quella assiale è costante.
In effetti non mi è molto chiaro cosa ci vuol dire dicendo che la carica ruota molto velocemente
In effetti non mi è molto chiaro cosa ci vuol dire dicendo che la carica ruota molto velocemente
Concordo con mgrau, e ricordo che il campo magnetico generato da una carica in movimento in un generico punto P, indicato con $\vec r$ il vettore congiungente la carica al punto, e ottenibile dalla
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
e non può esserci nessuna elisione della componente radiale, visto che la carica non possiede il dono dell'ubiquità.
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
e non può esserci nessuna elisione della componente radiale, visto che la carica non possiede il dono dell'ubiquità.
"RenzoDF":
non può esserci nessuna elisione della componente radiale, visto che la carica non possiede il dono dell'ubiquità.
Giusto perché facevo l'errore di considerare la carica come fosse una corrente e quindi immaginavo contributi che si elidevano facendo l'integrale, il punto è che -invece- è una carica in moto.
Lacosa strana però è che nella soluzione scrive:
(che era la mia idea)
Quindi mi sembra sfruttare con ambivalenza sia la carica come fosse una corrente (perché ruota velocemente e infatti usa il suo omega) e poi sfruttare il fatto che non si elidano i vari contributi del campo B lungo il filo essendo la carica non ubiqua come osservi.
*****
PS:
Tra l'altro questa come si dimostra?
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
io conosco solo quellache riportavo sopra che indicavo come ampere-laplace.
"maurizius":
... questa come si dimostra?
$vecB(P)=mu_0 /(4pi) (qvec v imes hat r)/ r^2 $ ...
Semplicemente usando la legge di Ampère-Maxwell, e in particolare il termine aggiuntivo del grande fisico scozzese; lascio a te i dettagli analitici della dimostrazione.
Puoi dirmi in che corso stai affrontando questo problema?
E' un corso di fisica 2 di unipd (CDL LT fisica) che sto seguendo per diletto in realtà.
Il libro su cui mi appoggio è questo: Bettini
Il fatto che nel libro non mi pare di aver trovato quella formula, posso chiederti qualche dettaglio in più? Perché la legge di ampere-laplace (quindi ho bisogno di filo e correnti) so dimostrarla con il potenziale vettore nel gauge di coulomb portando una approssimazione per grandi distanze (dal circuito/filo) nella risoluzione dell'integrale risultante. E' simile aquella che indichi tu... però ho bisogno di un filoe corrente! E' ovvio che non valga per singola carica.
Mentre per "ampere-maxwell" ho sempre inteso l'equazione di M. con l'agiunta del contributo della corrente di spostamento (ma qui mi pare non c'entri molto, quindi credo tu intenda altro?).
Se hai un link leggo volentieri, perché non ho idea di come impostare la faccenda
.
Ti ringrazio.
Il libro su cui mi appoggio è questo: Bettini
Il fatto che nel libro non mi pare di aver trovato quella formula, posso chiederti qualche dettaglio in più? Perché la legge di ampere-laplace (quindi ho bisogno di filo e correnti) so dimostrarla con il potenziale vettore nel gauge di coulomb portando una approssimazione per grandi distanze (dal circuito/filo) nella risoluzione dell'integrale risultante. E' simile aquella che indichi tu... però ho bisogno di un filoe corrente! E' ovvio che non valga per singola carica.
Mentre per "ampere-maxwell" ho sempre inteso l'equazione di M. con l'agiunta del contributo della corrente di spostamento (ma qui mi pare non c'entri molto, quindi credo tu intenda altro?).
Se hai un link leggo volentieri, perché non ho idea di come impostare la faccenda
.Ti ringrazio.
"maurizius":
E' un corso di fisica 2 di unipd ...
Tenuto da quale docente?
... Mentre per "ampere-maxwell" ho sempre inteso l'equazione di M. con l'agiunta del contributo della corrente di spostamento (ma qui mi pare non c'entri molto, quindi credo tu intenda altro?)...
No no, intendevo proprio quello!
Dai, che non è difficile, provaci; se poi non ci riesci ti aiuto io.
"RenzoDF":
Tenuto da quale docente?
Il Prof. Simonetto. Potrebbe essere che lo tratta dopo e non ci sono ancora arrivato? O forse ho perso proprio quella lezione? Ne parla nel corso? Ora sono curioso!
Ad ogni modo provo a rifletterci
Quel problema da dove arriva?
"RenzoDF":
:smt023
Quel problema da dove arriva?
Ah no, il problema non c'entra con il corso. Mi diverto a prenderne un po' in giro. E' dell'università di torino il pdf di esercitazione, sempre di fisica II.
Per questo mi chiedevo se il corso che seguivo lo trattasse (mi incuriosiva), magari ci sono delle varianti.
Ok, ci sentiamo più tardi.
Volentieri
Giusto per indirizzarti, considerando la circonferenza C normale alla direzione della velocità, con centro sulla stessa e passante per il generico punto P, applicando Ampère-Maxwell, vista l'assenza di correnti di conduzione, avrai che
$\oint_C\vec {B}\cdot \text{d}\vec{\l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}$
e da questa la relazione cercata.
$\oint_C\vec {B}\cdot \text{d}\vec{\l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}$
e da questa la relazione cercata.
Credo di non aver capito le simmetrie che penso vorresti sfruttare a primo membro nel calcolo dell'integrale; ipotizzo che prendi una circonferenza siffatta così da avere nell' integrale $\vecB$//$\vecdl$?
Ma se così fosse non capisco per quale motivo la linea di campo di B sia una circonferenza che avvolge v. Voglio dire: perché è una circonferenza e non un ellissoide? (Ad esempio in una spira circolare non è un cerchio il campo B che la avvolge)
Secondo dubbio, non capisco come calcolo la variazione dell'integrale di flusso nel tempo del campo elettrico.
Sono un po' ottuso
Ma se così fosse non capisco per quale motivo la linea di campo di B sia una circonferenza che avvolge v. Voglio dire: perché è una circonferenza e non un ellissoide? (Ad esempio in una spira circolare non è un cerchio il campo B che la avvolge)
Secondo dubbio, non capisco come calcolo la variazione dell'integrale di flusso nel tempo del campo elettrico.
Sono un po' ottuso
Considera semplicemente che la particella carica si sta muovendo con moto rettilineo uniforme con velocità $vecv $, di conseguenza il campo magnetico generato dal suo moto non potrà che avere simmetria cilindrica con asse coincidente con la direzione di $vec v$.
Considerata quindi la particolare linea di forza del campo che passa per il generico punto P, determini il flusso del campo elettrico attraverso la più "conveniente" superficie che la abbia per bordo, e infine derivi questo flusso rispetto al tempo; visto il movimento, questo flusso sarà funzione del tempo, non credi?
Considerata quindi la particolare linea di forza del campo che passa per il generico punto P, determini il flusso del campo elettrico attraverso la più "conveniente" superficie che la abbia per bordo, e infine derivi questo flusso rispetto al tempo; visto il movimento, questo flusso sarà funzione del tempo, non credi?
Sposto interamente sotto (vide infra) poiché il post seguente si collegava a una domanda prima.
La risposta al tuo precedente post te la darò successivamente ma riprendendo quello iniziale
In questo modo vai sostanzialmente ma erroneamente a considerare la carica distribuita lungo la circonferenza; se però la consideri "concentrata", scrivendo
$\vecB(P)= \(mu_0I)/(4pi) (d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
anche la tua idea può funzionare ugualmente bene.
NB L'unica "particolarità" sarà usare una appropriata corrente I.
"maurizius":
... La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva: ...
In questo modo vai sostanzialmente ma erroneamente a considerare la carica distribuita lungo la circonferenza; se però la consideri "concentrata", scrivendo
$\vecB(P)= \(mu_0I)/(4pi) (d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
anche la tua idea può funzionare ugualmente bene.
NB L'unica "particolarità" sarà usare una appropriata corrente I.
Non ho capito il tuo ultimo post in relazione al mio precedente , però si l'idea del primo post era quella e credo fosse quello che voleva dire l'autore dell'esercizio dicendo "circola velocemente", insomma instradare in quella risoluzione approssimata)
Però al momento mi interessava dimostrare quanto hai proposto perché mi hai messo la pulce nell'orecchio
, però si l'idea del primo post era quella e credo fosse quello che voleva dire l'autore dell'esercizio dicendo "circola velocemente", insomma instradare in quella risoluzione approssimata)Però al momento mi interessava dimostrare quanto hai proposto perché mi hai messo la pulce nell'orecchio
Allora, lascia perdere il tuo caso particolare e considera la particella carica con moto rettilineo uniforme, fatti un disegno, andando a considerare un generico punto P nello spazio, a distanza R dalla direzione del moto, usa l'angolo $\alpha$ fra la velocità $\vec v$ e il vettore $\vec r$ che collega la posizione della carica con P per determinare la superficie della calotta sferica e il flusso attraverso la stessa.
Tornando all'argomento:
Sì, certo infatti avevo sostituito i nella
Però avevo sbagliato a integrare perché dicevo essendo la carica vista comecorrente ha simmetria nell'integrazione. Invece il punto è considerarla ambivalente ossia che genera una I, però non ubiqua quindi punto per punto non si elide dB su z e nella direzione radiale come invece succede per una spira effettivamente percorsa da corrente.
Sì, certo infatti avevo sostituito i nella
La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
Però avevo sbagliato a integrare perché dicevo essendo la carica vista comecorrente ha simmetria nell'integrazione. Invece il punto è considerarla ambivalente ossia che genera una I, però non ubiqua quindi punto per punto non si elide dB su z e nella direzione radiale come invece succede per una spira effettivamente percorsa da corrente.
Purtroppo oggi ho avuto problemi di accesso, però volevo trascrivere la formula che avevo scritto ieri dopo il tuo suggerimento e dove forse ero stato poco chiaro nel post oramai nella pagina precedente e che riporto interamente qui per mantenere l'ordine .
Cercavo in effetti di scrivere la formula per la carica in moto e ho fatto come poi hai consigliato nell'ultimo post di ieri, ma non riuscivo a capire come esprimere la variazione nel tempo del flusso di E.
Copio da sopra riassumento e provo a essere più esplicito emeno confusionario:
- con r indico il vettore posizione che indica la particella in moto
- R è il raggio che collega la particella in moto al punto P nello spazio.
Maxwell possiamo riscriverla come: $2piRB=\mu_0\epsilon_0d/(dt)\int_(\Sigma)q/(4pi\epsilon_0R^2)d \Sigma $
Il punto è che mi sembravano tutte costanti (rispetto al tempo) nell'integrale, quindi sbagliavo qualcosa perché non capisco cosa vado a derivare che sia funzione del tempo.
.Cercavo in effetti di scrivere la formula per la carica in moto e ho fatto come poi hai consigliato nell'ultimo post di ieri, ma non riuscivo a capire come esprimere la variazione nel tempo del flusso di E.
Copio da sopra riassumento e provo a essere più esplicito emeno confusionario:
- con r indico il vettore posizione che indica la particella in moto
- R è il raggio che collega la particella in moto al punto P nello spazio.
Maxwell possiamo riscriverla come: $2piRB=\mu_0\epsilon_0d/(dt)\int_(\Sigma)q/(4pi\epsilon_0R^2)d \Sigma $
Il punto è che mi sembravano tutte costanti (rispetto al tempo) nell'integrale, quindi sbagliavo qualcosa perché non capisco cosa vado a derivare che sia funzione del tempo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo