Carica in moto
Stavo svolngendo un esercizio:
Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.
La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo
$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$
$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.
Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.
Una carica elettrica q si muove, con velocità angolare costante e molto elevata, lungo una circonferenza di raggio R. Si calcoli il valore del campo magnetico generato dalla carica lungo l’asse della traiettoria circolare.
Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.
La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo
$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$
$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.
Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.
Risposte
Come dicevo, usando il caso generale, con riferimento alla figura [nota]Visto che qui ancora non si riesce a postare in codice FidoCadJ 
.[/nota], sottintendendo i passaggi intermedi,
possiamo andare a ottenere il campo magnetico B usando l'equazione di Ampère Maxwell,
$\oint_C\vec {B}\cdot \text{d}\vec{\l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}$
nella quale il flusso del campo elettrico potrà essere determinato via prodotto fra superficie della calotta sferica (relativa alla sfera con centro O, e raggio r) di bordo C e campo elettrico in P
$\Phi_E=(q\ (1-\cos\alpha))/(2\epsilon_0$
che visto che il moto di $q$ porterà ad avere un $\alpha$ e quindi un flusso funzione del tempo.
Derivandolo otterremo
$\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=(q v\ \sin^2\alpha)/{2 r\epsilon_0}$
e quindi, vettorialmente scrivendo, alla
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
NB Come ti dicevo alcuni post fa, la tua idea risolutiva poteva abbreviare tutto questo lungo calcolo semplicemente andando a "modificare" la tua relazione integrale con la seguente
$\vecB(P)= \(mu_0I)/(4pi) (d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
a patto di usare, come dicevo, una appropriata corrente I; ... sfruttando una "licenza analitica" che farebbe rabbrividire molti matematici del Forum.
.[/nota], sottintendendo i passaggi intermedi,
possiamo andare a ottenere il campo magnetico B usando l'equazione di Ampère Maxwell,
$\oint_C\vec {B}\cdot \text{d}\vec{\l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}$
nella quale il flusso del campo elettrico potrà essere determinato via prodotto fra superficie della calotta sferica (relativa alla sfera con centro O, e raggio r) di bordo C e campo elettrico in P
$\Phi_E=(q\ (1-\cos\alpha))/(2\epsilon_0$
che visto che il moto di $q$ porterà ad avere un $\alpha$ e quindi un flusso funzione del tempo.
Derivandolo otterremo
$\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=(q v\ \sin^2\alpha)/{2 r\epsilon_0}$
e quindi, vettorialmente scrivendo, alla
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
NB Come ti dicevo alcuni post fa, la tua idea risolutiva poteva abbreviare tutto questo lungo calcolo semplicemente andando a "modificare" la tua relazione integrale con la seguente
$\vecB(P)= \(mu_0I)/(4pi) (d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
a patto di usare, come dicevo, una appropriata corrente I; ... sfruttando una "licenza analitica" che farebbe rabbrividire molti matematici del Forum.
Scusate l'intromissione ma sto seguendo la discussone perché mi trovo a studiare le stesse cose. La mia è una domanda inerente al vostro discorso quindi spero di non nuocere troppo intervenendo.
Ho letto la risposta precedente ma trovo alcuni punti che non ho capito e vorrei tanto capirli.
Non capisco se la sfera è centrata in O (punto in cui origina r) come possa avere calotta di bordo C che è spostata da O nel disegno.
Non riesco a capire come arrivi $cos\alpha$ dato che se la calotta è centrata in O come dicevamo il prodotto scalare della normale uscente dalla calotta e il versore del raggio vettore r è sempre parallelo e concorde.
Sempre in questa formula non capisco dove sia il $4pi$ ed $\epsilon_0$, perchè il campo elettrico dovrebbe avere modulo $1/(4pi\epsilon_0)q/r^2$ e nel suo flusso non compare nulla delle costanti.
Non ho proprio capito come esca il quadrato del seno dalla derivazione.
E perché compare una velocità?
Come dicevo sopra qui sparisce $epsilon_0$ ma come mai? In nessuna formula prima era prima era presente in modo che si elidesse.
Scusami ma non ho davvero capito, spero avrai voglia di aiutarmi e ti ringrazio molto.
Ho letto la risposta precedente ma trovo alcuni punti che non ho capito e vorrei tanto capirli.
nella quale il flusso del campo elettrico potrà essere determinato via prodotto fra superficie della calotta sferica (relativa alla sfera con centro O, e raggio r) di bordo C e campo elettrico in P
Non capisco se la sfera è centrata in O (punto in cui origina r) come possa avere calotta di bordo C che è spostata da O nel disegno.
$\Phi_E=(q\ (1-\cos\alpha))/2$
Non riesco a capire come arrivi $cos\alpha$ dato che se la calotta è centrata in O come dicevamo il prodotto scalare della normale uscente dalla calotta e il versore del raggio vettore r è sempre parallelo e concorde.
Sempre in questa formula non capisco dove sia il $4pi$ ed $\epsilon_0$, perchè il campo elettrico dovrebbe avere modulo $1/(4pi\epsilon_0)q/r^2$ e nel suo flusso non compare nulla delle costanti.
Derivandolo otterremo
$\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=(q v\ \sin^2\alpha)/{2 r}$
Non ho proprio capito come esca il quadrato del seno dalla derivazione.
E perché compare una velocità?
e quindi, vettorialmente scrivendo, alla
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
Come dicevo sopra qui sparisce $epsilon_0$ ma come mai? In nessuna formula prima era prima era presente in modo che si elidesse.
Scusami ma non ho davvero capito, spero avrai voglia di aiutarmi e ti ringrazio molto.
"alifasi":
... Non capisco se la sfera è centrata in O (punto in cui origina r) come possa avere calotta di bordo C che è spostata da O nel disegno. ...
Penso non sia difficile convincersi che, per una sfera con centro in O e raggio r, si possa individuare una sua calotta sferica che abbia per bordo la circonferenza C.
"alifasi":
... Non riesco a capire come arrivi $cos\alpha$ dato che se la calotta è centrata in O come dicevamo il prodotto scalare della normale uscente dalla calotta e il versore del raggio vettore r è sempre parallelo e concorde. ...
Esatto, scegliamo quella calotta proprio per quel parallelismo, che ci permette di determinare il flusso, senza scomodare nessun integrale di superficie, via semplice prodotto campo superficie.
Come ben sai l'area della calotta si determina con
$A=2\pi r h$
dove $h$ rappresenta l'altezza della stessa che, usando il semiangolo $\alpha$ di apertura del cono sotteso, può essere scritta come
$A=2\pi r^2 (1-\cos \alpha)$
"alifasi":
... Sempre in questa formula non capisco dove sia il $4pi$ ed $\epsilon_0$, perchè il campo elettrico dovrebbe avere modulo $1/(4pi\epsilon_0)q/r^2$ e nel suo flusso non compare nulla delle costanti. ...
Il $4pi$ si va parzialmente a semplificarsi con il $2pi$ dell'area, ma hai ragione per $\epsilon_0$, che me lo sono perso per strada
e che ora vado subito a correggere (grazie)."alifasi":
... Non ho proprio capito come esca il quadrato del seno dalla derivazione. ... E perché compare una velocità ...
Escono a causa della dipendenza dell'angolo dalla proiezione della velocità, nella determinazione di \(\ d\alpha/dt\).
Direi che hai ragione su tutto 
, ovviamente!
Sono stato tratto in inganno dall'idea che avevo del campo B che pensavo si trovasse attorno alla particella (con simmetria circolare attorno ad essa). Invece riguardando meglio spiegazione e disegno mi pare che sia presente anche spostato "in avanti" rispetto alla carica q (ossia ha una simmetria cilindrica lungo tutto il moto della particella e non solo attorno ad essa). Non capisco questo fatto però, perché? Capito questo ho capito tutto, perché preso per buono questo fatto il ragionamento fila perfettamente, però se non me lo dicevi tu mica ci arrivavo a questa configurazione.
Grazie di nuovo!
, ovviamente!Sono stato tratto in inganno dall'idea che avevo del campo B che pensavo si trovasse attorno alla particella (con simmetria circolare attorno ad essa). Invece riguardando meglio spiegazione e disegno mi pare che sia presente anche spostato "in avanti" rispetto alla carica q (ossia ha una simmetria cilindrica lungo tutto il moto della particella e non solo attorno ad essa). Non capisco questo fatto però, perché? Capito questo ho capito tutto, perché preso per buono questo fatto il ragionamento fila perfettamente, però se non me lo dicevi tu mica ci arrivavo a questa configurazione.
Grazie di nuovo!
"alifasi":
... mi pare che sia presente anche spostato "in avanti" rispetto alla carica q (ossia ha una simmetria cilindrica lungo tutto il moto della particella e non solo attorno ad essa). Non capisco questo fatto però, perché? ...
Scusa, ma secondo te, una particella carica in moto, dovrebbe generare un campo magnetico esclusivamente in una zona limitata e particolare dello spazio?
No beh effetivamente no (zona limitata no, però pensavo in un intorno di essa), però non so bene come spiegarlo, provo così: se la particella non è ancora passata nel punto dove tracciamo C e calcolo la circuitazione di B, come fa ivi ad esserci già un campo B con simmetria circolare?
Mi manca questa intuizione credo
Mi manca questa intuizione credo
EDIT: nel senso che se una particella si muove lungo una retta infinita lungo tutta la retta ho campo B disposto in simmetria cilindrica avvolto attorno ad essa?
Immaginavo B si "formasse" volta per volta in modo isolato in un intorno della particella.
Immaginavo B si "formasse" volta per volta in modo isolato in un intorno della particella.
Voi forse dirmi che se sei "seduto" in P, con la carica q in avvicinamento, non "misuri" un campo elettrico variabile nel tempo? 
"RenzoDF":
Voi forse dirmi che se sei "seduto" in P, con la carica q in avvicinamento, non "misuri" un campo elettrico variabile nel tempo?
Eh sì, hai ragione. Sono stupido! Non ci avevo pensato
Al massimo cambia l'intensità di B forse? (non sono certo nemmeno di questo però, perché la variazione nel tempo dipende dalla velocità della q e non dall'intensità del campo E che più vicino sarà più intenso) però un B ci sarebbe!
Niente come non detto, sono un idot!
EDIT: no ma che diamine sto farneticando!
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
mi suggerisce che cambia proprio perché cambia l'angolo alfa
"alifasi":
... Al massimo cambia l'intensità di B forse? (non sono certo nemmeno di questo però, perché la variazione nel tempo dipende dalla velocità della q e non dall'intensità del campo E che più vicino sarà più intenso) però un B ci sarebbe!
Certo che cambia B (nel tempo): come vedi dalla relazione finale, il campo magnetico dipende sia da $r$ sia da $\alpha$; potresti provare a tracciarne l'andamento \(B_P(t)\).
Vorrei ringraziarti molto per il tempo dedicatomi RendoDF. Mi è chiara la tua spiegazione e sei stato gentilissimo.
Buona giornata
Buona giornata
"alifasi":
Niente come non detto, sono un idot!
EDIT: no ma che diamine sto farneticando!
$\vecB(P)=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $
mi suggerisce che cambia proprio perché cambia l'angolo alfa
Sì ho fatto ammenda troppo tardi aggiungendo un edit mentre rispondevi, perdonami, certe volte dovrei mordermi la lingua (le dita).
Mi unisco inoltre ai ringraziamenti. Sei stato davvero paziente nonostante le mie domande stupide, grazie grazie!
@maurizius
Ora rimarrebbe da chiarire la “strada breve” che ti suggerivo.
Ora rimarrebbe da chiarire la “strada breve” che ti suggerivo.
Aspetta, ma la strada breve mi pare proprio quella che avevo svolto all'inizio, solo che avevo sbagliato considerando contributi che si eliminavano, che non è vero:
(poi avevo sbagliato ad integrare pensando a contributi che si elidevano)
Qui posso scrivere correttamente, ora:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2pir)(\vecu_sxx\vecu_r)/r^2$ (tanto sono tutte costanti rispetto all' integrazione compreso us x ur)
Ora basta scomporlo nelle due componenti con la relazione del seno e coseno e cosiderando:$r=R^2+z^2$
Il mio errore era nell'integrazione, la I l'ho trovata avendo il periodo $I=(qomega)/(2pi)$.
$\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e sfuttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int_0^(2pir)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$
(poi avevo sbagliato ad integrare pensando a contributi che si elidevano)
Qui posso scrivere correttamente, ora:
$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2pir)(\vecu_sxx\vecu_r)/r^2$ (tanto sono tutte costanti rispetto all' integrazione compreso us x ur)
Ora basta scomporlo nelle due componenti con la relazione del seno e coseno e cosiderando:$r=R^2+z^2$
Il mio errore era nell'integrazione, la I l'ho trovata avendo il periodo $I=(qomega)/(2pi)$.
"maurizius":
... la I l'ho trovata avendo il periodo $I=(qomega)/(2pi)$. ...
Dicevamo però che la corrente non puoi trovarla in quel modo, e anche ora stai ancora integrando, mentre la corrente è nella realtà soltanto "locale".
Ahhh perdonami allora! Misunderstanding: avevo capito che dicessi la stessa cosa, cioè di soprassedere sul fatto che non fosse propriamente corretto ma fattibile.
Allora devo ragionarci in altro modo... ci proverò, mi era venuto solo in mente quel modo ammeto .
Allora devo ragionarci in altro modo... ci proverò, mi era venuto solo in mente quel modo ammeto
.
Devi semplicemente osservare che siamo in presenza di una carica (che ipotizziamo puntiforme), che si muove con velocità $v$ in quel particolare punto.
Non che vada molto oltre un: $I=(dqomega)/(d heta)$ :.
Non ho capito la tua risposta.
Aggiungo che, visto che la carica q ha una velocità v=ds/dt, significa che si sposta di ds nel tempo dt.
Aggiungo che, visto che la carica q ha una velocità v=ds/dt, significa che si sposta di ds nel tempo dt.
Provo a essere più esplicito: dicevo che cercando di far comparire un omega come nella soluzione del testo essendo noto che $I=(Deltaq)/(Deltat)$ scrivo...
$I=(dq)/(dt)=(dqv)/(ds)=(dqomegar)/(d hetar)$ da cui quella sopra, e non mi pareva un gran risultato. Quindi ero bloccato .
$I=(dq)/(dt)=(dqv)/(ds)=(dqomegar)/(d hetar)$ da cui quella sopra, e non mi pareva un gran risultato. Quindi ero bloccato
.
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