Carica in moto

[maurizius1]

Stavo svolngendo un esercizio:

Una carica elettrica q si muove, con velocità angolare costante e molto elevata, lungo una circonferenza di raggio R. Si calcoli il valore del campo magnetico generato dalla carica lungo l’asse della traiettoria circolare.

Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.

La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:

$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$

A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo

$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$

$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.

Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.

[RenzoDF]

Provo anch'io a essere più esplicito , usando la già ricordata "licenza analitica"

$I=q/\{text{d}t}$

e quindi

$\vecB(P)= \(mu_0I )/(4pi) \{text{d}\vecsxx\vecu_r)/r^2= \(mu_0)/(4pi)\cdot q/\{text{d}t}
\cdot \text{d}s(\ \hat u_s \times \hat u_r)/r^2= \(mu_0)/(4pi)\cdot q \cdot v
\cdot (\ \hat u_s \times \hat u_r)/r^2=\mu_0 /(4\pi) (q\vec v \times \hat r)/ r^2 $

ora scappo prima che qualche "matematico" mi insulti.

[maurizius1]

Ok mi pare la stessa in effetti, ho indicato dq ma effetivamente è un errore, era più corretto q essendo tutta la "particella".

Ho voluto esprimere omega come nella soluzione deltesto ma non è utile, fermandomi prima di far intervenire i radianti e senza esplicitare $v=omegar=(d\theta)/(dt)r$:

$I=q/(dt)=(qv)/(ds)$

che inserita in

$\vecB(P)= \(mu_0I )/(4pi) \{text{d}\vecsxx\vecu_r)/r^2$

Sempre con questa elasticità e grande abuso dei "d(qualcosa)" ma vedo che sullo stesso libro di testo abbondano queste libertà.

PS: A proposito della licenza.... Ho letto poco fa un passaggio $kdz=Mdz=dI => k=M=(dI)/(dz)$ oook riguardo l'equivalenza tra oggetto magnetizzato e infinite spire infinitesime. Devo ancora capire come formalizzare matematicamente meglio passaggi del genere .