All'inizio rotolamento puro, ma poi..?
Ciao a tutti!
Ho un dubbio che riguarda la teoria di diversi esercizi sulla dinamica del corpo rigido.
Supponiamo di avere un disco o un anello che si muove di rotolamento puro e che, ad un certo punto, andrà a urtare un corpo oppure una molla.
Cosa succederà alla dinamica del mio disco/anello?
Prendiamo come esempio tre casi, nei quali, dall'istante iniziale, il corpo si muove di rotolamento puro
$a)$ disco che si trova su piano inclinato e va ad "impattare" su una molla posta alla base del piano inclinato, comprimendola, per poi tornare indietro
(il disco comincia a muoversi una volta rimossa la forza $F$ del disegno)
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'istante in cui tocca la molla, oppure no? Perché?
$b)$ disco che rotola su un piano inclinato e, arrivato alla base di tale piano, continuerà a rotolare sul pavimento, considerando
caso $b1)$ coefficiente di attrito del pavimento uguale a quello del piano inclinato
caso $b2)$ coefficiente di attrito del pavimento diverso a quello del piano inclinato
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro una volta toccato il pavimento, oppure no? Perché?
$c)$ urto elastico del disco (che si muove di rotolamento puro su un pavimento orizzontale) con un punto materiale.
Nota: urto elastico in assenza di vincoli implica conservazione energia cinetica, conservazione quantità di moto e conservazione momento angolare.
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'urto, oppure no? Perché?
Ho un dubbio che riguarda la teoria di diversi esercizi sulla dinamica del corpo rigido.
Supponiamo di avere un disco o un anello che si muove di rotolamento puro e che, ad un certo punto, andrà a urtare un corpo oppure una molla.
Cosa succederà alla dinamica del mio disco/anello?
Prendiamo come esempio tre casi, nei quali, dall'istante iniziale, il corpo si muove di rotolamento puro
$a)$ disco che si trova su piano inclinato e va ad "impattare" su una molla posta alla base del piano inclinato, comprimendola, per poi tornare indietro
(il disco comincia a muoversi una volta rimossa la forza $F$ del disegno)
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'istante in cui tocca la molla, oppure no? Perché?
$b)$ disco che rotola su un piano inclinato e, arrivato alla base di tale piano, continuerà a rotolare sul pavimento, considerando
caso $b1)$ coefficiente di attrito del pavimento uguale a quello del piano inclinato
caso $b2)$ coefficiente di attrito del pavimento diverso a quello del piano inclinato
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro una volta toccato il pavimento, oppure no? Perché?
$c)$ urto elastico del disco (che si muove di rotolamento puro su un pavimento orizzontale) con un punto materiale.
Nota: urto elastico in assenza di vincoli implica conservazione energia cinetica, conservazione quantità di moto e conservazione momento angolare.
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'urto, oppure no? Perché?
Risposte
Cosa significa rotolamento puro? Quale condizione fisica sulle forze di contatro deve essere soddisfatta per avere rotolamento puro?
Capiti bene questi due punti prova ad impostare la risoluzione degli esercizi con formule.
Capiti bene questi due punti prova ad impostare la risoluzione degli esercizi con formule.
Spesso gli studenti pensano che il rotolamento puro sia legato alla esistenza o meno della forza di attrito: non è vero. Il rotolamento puro è una questione cinematica:
1) nel punto di contatto non c’è moto relativo tra i due corpi
2) un archetto $ds =Rd\theta$ è uguale allo spostamento sul piano $dx$ . Quindi, dividendo per il tempo $dt$ , si ha : $ v=\omegaR$, e analogamente per le accelerazioni: $a=alpha R$
Guarda anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=204943
e i link indicati . La forza di attrito può esserci oppure no, per esempio nel rotolamento puro su piano orizzontale, a velocità costante, la forza di attrito è zero. Ma se un disco rotola giù per un piano inclinato, la forza di attrito c’è. Il moto può essere qui rotolamento puro o anche con slittamento (c’è una condizione analitica precisa perché non slitti, che dipende dall’angolo del piano e dal coefficiente di attrito statico).
1) nel punto di contatto non c’è moto relativo tra i due corpi
2) un archetto $ds =Rd\theta$ è uguale allo spostamento sul piano $dx$ . Quindi, dividendo per il tempo $dt$ , si ha : $ v=\omegaR$, e analogamente per le accelerazioni: $a=alpha R$
Guarda anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=204943
e i link indicati . La forza di attrito può esserci oppure no, per esempio nel rotolamento puro su piano orizzontale, a velocità costante, la forza di attrito è zero. Ma se un disco rotola giù per un piano inclinato, la forza di attrito c’è. Il moto può essere qui rotolamento puro o anche con slittamento (c’è una condizione analitica precisa perché non slitti, che dipende dall’angolo del piano e dal coefficiente di attrito statico).
"ralf86":
Cosa significa rotolamento puro? Quale condizione fisica sulle forze di contatro deve essere soddisfatta per avere rotolamento puro?
Capiti bene questi due punti prova ad impostare la risoluzione degli esercizi con formule.
rotolamento puro significa che il punto di contatto ha velocità nulla, che il disco non striscia, e che c'è un legame ben preciso tra la velocità del centro di massa e la velocità rotazionale, ovvero quelle specificate da Shackle.
La condizione fisica sulle forze di contatto è $F_s <= muN$
Nonostante io conosca ciò, non riesco a rispondere alle domande $a$ e $c$
"Shackle":
Spesso gli studenti pensano che il rotolamento puro sia legato alla esistenza o meno della forza di attrito: non è vero. Il rotolamento puro è una questione cinematica:
1) nel punto di contatto non c’è moto relativo tra i due corpi
2) un archetto $ds =Rd\theta$ è uguale allo spostamento sul piano $dx$ . Quindi, dividendo per il tempo $dt$ , si ha : $ v=\omegaR$, e analogamente per le accelerazioni: $a=alpha R$
Guarda anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=204943
e i link indicati . La forza di attrito può esserci oppure no, per esempio nel rotolamento puro su piano orizzontale, a velocità costante, la forza di attrito è zero. Ma se un disco rotola giù per un piano inclinato, la forza di attrito c’è. Il moto può essere qui rotolamento puro o anche con slittamento (c’è una condizione analitica precisa perché non slitti, che dipende dall’angolo del piano e dal coefficiente di attrito statico).
Ciao Shackle grazie per la risposta.
Il link non conduce a nessun thread purtroppo, "L’argomento richiesto non esiste".
Come dicevo a ralf86, non capisco tuttavia cosa possa succedere nei casi $a$ e $c$ (specialmente il caso $a$).
Se il disco si muove di rotolamento puro e va ad incontrare una molla, e poi risale su, continua a muoversi di rotolamento puro?
Come “l’argomento non esiste” ? Eppure l’ho inviato stamattina alle 9:25 MAh! .
Lo invio di nuovo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8444600
Lo invio di nuovo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8444600
"Shackle":
Come “l’argomento non esiste” ? Eppure l’ho inviato stamattina alle 9:25 MAh! .
Lo invio di nuovo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8444600
Okay, ora me lo fa leggere.
Ma quello che non capisco è: se un corpo si muove di rotolamento puro e cambia istantaneamente qualcosa che non riguarda il coefficiente di attrito ed il suolo, cosa succede? Come ad esempio l'andare ad impattare su una molla di massa nulla
Cosa succede? Come ad esempio l'andare ad impattare su una molla di massa nulla
Molto verosimilmente succede che l’energia traslazionale del corpo diventa energia elastica della molla, che si comprime e poi si allunga dando un impulso al corpo ...Ma non si può parlare cosí in generale!
"Shackle":
Molto verosimilmente succede che l’energia traslazionale del corpo diventa energia elastica della molla, che si comprime e poi si allunga dando un impulso al corpo ...Ma non si può parlare cosí in generale!
E semplicemente, non si sa se il corpo incomincerà a rototraslare o se probabilmente continuerà a rotolare senza strisciare?
"Shackle":Cosa succede? Come ad esempio l'andare ad impattare su una molla di massa nulla
Molto verosimilmente succede che l’energia traslazionale del corpo diventa energia elastica della molla, che si comprime e poi si allunga dando un impulso al corpo ...Ma non si può parlare cosí in generale!
Un amico mi ha fatto notare che, quando il corpo arriva a comprimere la molla "al massimo", ovvero dal momento in cui il disco si ferma e riparte sotto la spinta della molla, sarà come l'esempio di un disco a cui viene impresso una forza esterna iniziale. Quindi, molto probabilmente, rototraslerà.
Cosa succede invece nell'intervallo di tempo da quando, scendendo, incontra la molla, a quando si ferma?
Bisogna esaminare le condizioni caso per caso. Non ti posso rispondere in maniera generale.
Se il corpo arriva di moto di rotolamento puro sulla molla, e il coefficiente d'attrito e' sufficientemente elevato, il corpo rotola fino a fermarsi. Quando la molla rilascia, poiche non e' stata sprecata energia, il corpo riparte di moto di puro rotolamento, esattamente come era arrivato, solo nel verso opposto.
Se durante la compressione della molla il coefficiente di attrito statico non e' sufficiente a garantire il moto di puro rotolamento, a un punto intermedio si instaura la rototraslazione.
Quando la molla e' compressa al massimo, in generale la velocita' angolare non sara' nulla e quando la molla rilascia ci sara' sicuramente roto-traslazione alla ripartenza.
Quindi l'esercizio che devi fare e'
Un cilindro di massa m, che si muove su una superficie orizzontale scabra con moto di puro rotolamento con velocita' lineare $v_0$, colpisce una molla scarica di costante nota k.
Tovare:
1 - Il coefficiente d'attrito statico minimo $mu_s$ necessario a garantire il rotolamento puro durante la compressione della molla.
2 - La massima compressione della molla
3 - Il tempo necessario a comprimere la molla
Si suppongano ora le stessa condizioni dell'esercizio precedente, ma il coefficiente d'attrito statico della superfice sia in questo caso $mu_[s1]=1/2mu_s$ e quello d'attrito dinamico sai $mu_d=0.15mu_[s1]$
Trovare
La legge del moto del corpo durante la compressione e durante la fase di rilascio della molla
Il tempo T necessario per instaurare il rotolamento puro (per questa parte, si contino i tempi a partire dall' istante di rilascio della molla a fine compressione).
Quanto vale l'energia cinetica persa tra il momento di impatto e il momento di rilascio.
Posta i conti e il ragionamento per favore.
Se durante la compressione della molla il coefficiente di attrito statico non e' sufficiente a garantire il moto di puro rotolamento, a un punto intermedio si instaura la rototraslazione.
Quando la molla e' compressa al massimo, in generale la velocita' angolare non sara' nulla e quando la molla rilascia ci sara' sicuramente roto-traslazione alla ripartenza.
Quindi l'esercizio che devi fare e'
Un cilindro di massa m, che si muove su una superficie orizzontale scabra con moto di puro rotolamento con velocita' lineare $v_0$, colpisce una molla scarica di costante nota k.
Tovare:
1 - Il coefficiente d'attrito statico minimo $mu_s$ necessario a garantire il rotolamento puro durante la compressione della molla.
2 - La massima compressione della molla
3 - Il tempo necessario a comprimere la molla
Si suppongano ora le stessa condizioni dell'esercizio precedente, ma il coefficiente d'attrito statico della superfice sia in questo caso $mu_[s1]=1/2mu_s$ e quello d'attrito dinamico sai $mu_d=0.15mu_[s1]$
Trovare
La legge del moto del corpo durante la compressione e durante la fase di rilascio della molla
Il tempo T necessario per instaurare il rotolamento puro (per questa parte, si contino i tempi a partire dall' istante di rilascio della molla a fine compressione).
Quanto vale l'energia cinetica persa tra il momento di impatto e il momento di rilascio.
Posta i conti e il ragionamento per favore.
"professorkappa":
...
Quindi l'esercizio che devi fare e'
...
Posta i conti e il ragionamento per favore.
Grazie professorkappa, ora non sono a casa e non ho modo di scrivere. Domani dopo pranzo quando tornerò a casa, sarà la prima cosa che farò.
Ho modificato i commenti perché avevo letto male l'esercizio proposto da professorkappa.
Avevo scritto una marea di sciocchezze, quindi riparto.
Allora, prima di tutto impongo il rotolamento puro, dunque $ddot(x_g)=ddot(phi)R$
dopodiché scrivo prima cardinale:
$Mddot(x_g) =0 rArr dot(x_g) =v_0$
da cui $dot(phi)= v_0/R$,
quindi, affinchè ci sia rotolamento puro durante la compressione della molla, è necessario che
$mu_s >= F_a/N$
Dato che la forza di attrito non c'è su questo piano orizzontale, perché, se ci fosse, nella prima cardinale avrei una forza lungo l'orizzontale e dunque un'accelerazione, pervengo al seguente risultato, che però mi suona strano:
$mu_s >= 0/(Mg)=0 $
E' giusto?
Continuo a rispondere in un altro commento
Avevo scritto una marea di sciocchezze, quindi riparto.
"professorkappa":
Quindi l'esercizio che devi fare e'
Un cilindro di massa m, che si muove su una superficie orizzontale scabra con moto di puro rotolamento con velocita' lineare $v_0$, colpisce una molla scarica di costante nota k.
Tovare:
1 - Il coefficiente d'attrito statico minimo $mu_s$ necessario a garantire il rotolamento puro durante la compressione della molla.
Allora, prima di tutto impongo il rotolamento puro, dunque $ddot(x_g)=ddot(phi)R$
dopodiché scrivo prima cardinale:
$Mddot(x_g) =0 rArr dot(x_g) =v_0$
da cui $dot(phi)= v_0/R$,
quindi, affinchè ci sia rotolamento puro durante la compressione della molla, è necessario che
$mu_s >= F_a/N$
Dato che la forza di attrito non c'è su questo piano orizzontale, perché, se ci fosse, nella prima cardinale avrei una forza lungo l'orizzontale e dunque un'accelerazione, pervengo al seguente risultato, che però mi suona strano:
$mu_s >= 0/(Mg)=0 $
E' giusto?
Continuo a rispondere in un altro commento
"professorkappa":
2 - La massima compressione della molla
Per conoscere la massima compressione della molla faccio considerazioni energetiche.
Sapendo che $L_0$ è la lunghezza della molla a riposo, dato che dovrò avere conservazione dell'energia meccanica, scrivo che l'energia potenziale elastica finale sarà uguale all'energia cinetica iniziale.
Chiamo $C$ il punto di contatto tra disco e piano in modo da scrivere l'energia cinetica puratamente rotazionale.
$ 1/2I_Cdot(phi)^2 = 1/2k(L-L_0)^2 rArr 1/2 1/2MR^2dot(x_g)^2/R^2 =1/2k(L-L_0)^2$
$(L-L_0)^2= 1/4Mdot(x_g)^2 2/k$
$ (bar(L-L_0))= dot(x_g) sqrt(1/2M /k)$
NOTA
Come ha fatto notare ralf86, ho scritto male $I_C$
"professorkappa":
3 - Il tempo necessario a comprimere la molla
Per conoscere il tempo necessario a comprimere la molla devo utilizzare la prima cardinale, in cui (se suppongo che la molla giaccia sulla retta di azione orizzontale passante per il centro di massa del disco) posso scrivere
$Mddot(x_G)= -k(Deltax)$
A questo punto basterà studiare questo nuovo moto.
Scriverò la legge oraria, che sarà uguale alla legge oraria di una molla alla quale è connessa un punto materiale di massa M, e che parte dalla condizione di riposo della molla $x(0)=0$ e con una velocità iniziale $v_0$.
Quando la suddetta legge oraria sarà uguale alla quantità precedentemente trovata, ovvero $(bar(L-L_0))$, troverò il tempo $bar(t)$. E' corretto?
"professorkappa":
...
Si suppongano ora le stessa condizioni dell'esercizio precedente, ma il coefficiente d'attrito statico della superfice sia in questo caso $mu_[s1]=1/2mu_s$ e quello d'attrito dinamico sai $mu_d=0.15mu_[s1]$
Trovare
La legge del moto del corpo durante la compressione e durante la fase di rilascio della molla
Qua mi sono bloccato.
Mi viene detto che $mu_[s1]=1/2mu_s$, ma io non conosco il $mu_s$ precedente, che pensavo dovesse essere semplicemente maggiore di zero.
Non so cosa fare.
Quando la molla ha massima compressione il cilindro ha velocita nulla. Pensaci, deve essere cosi per forza. Riesci a completare ora i punti 2 e 3?
"ralf86":
Quando la molla ha massima compressione il cilindro ha velocita nulla. Pensaci, deve essere cosi per forza. Riesci a completare ora i punti 2 e 3?
Caspita, hai ragione.
Il problema proposto da professorkappa riguarda un piano orizzontale, non inclinato.
"ralf86":
Il problema proposto da professorkappa riguarda un piano orizzontale, non inclinato.
Ho modificato i commenti precedenti tenendo conto del fatto che l'esercizio proposto da professorkappa si svolge su un piano orizzontale.
Per favore posta un disegno con i dati minimi e le incognite del problema. Esprimi i risultati finali solo in fuzione dei dati, non cambiare le lettere altrimenti non si capisce. Inoltre, ad esempio ti sei chiesto a che altezza la molla agisce sul cilindro? È orizzontale? La molla esercita una forza sull'asse del cilindro o sulla sulerficie laterale del cilindro tramite attrito? Chiarisci la fisica del problema, in particolare deve essere chiaro come i corpi si scambiano le forze, fai ipotesi ragionevoli, deve essere qualcosa che ha senso e che chiunque possa riprodurre tramite esperimento. Il disegno è fondamentale e fa chiarezza sia a te che a chi legge.
Durante la compressione della molla in generale può agire una forza di attrito tra cilindro e piano orizzontale. Includi nella cardinale.
La compressione della molla non è corretta. Il cilindro ha energia di rotazione e traslazione, tu hai incluso solo la rotazioni. Inoltre se durante la compressione il cilindro striscia allora devi includere il lavoro della forza di attrito.
Sei al primo anno di ingegneria?
Durante la compressione della molla in generale può agire una forza di attrito tra cilindro e piano orizzontale. Includi nella cardinale.
La compressione della molla non è corretta. Il cilindro ha energia di rotazione e traslazione, tu hai incluso solo la rotazioni. Inoltre se durante la compressione il cilindro striscia allora devi includere il lavoro della forza di attrito.
Sei al primo anno di ingegneria?
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