All'inizio rotolamento puro, ma poi..?
Ciao a tutti!
Ho un dubbio che riguarda la teoria di diversi esercizi sulla dinamica del corpo rigido.
Supponiamo di avere un disco o un anello che si muove di rotolamento puro e che, ad un certo punto, andrà a urtare un corpo oppure una molla.
Cosa succederà alla dinamica del mio disco/anello?
Prendiamo come esempio tre casi, nei quali, dall'istante iniziale, il corpo si muove di rotolamento puro
$a)$ disco che si trova su piano inclinato e va ad "impattare" su una molla posta alla base del piano inclinato, comprimendola, per poi tornare indietro
(il disco comincia a muoversi una volta rimossa la forza $F$ del disegno)
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'istante in cui tocca la molla, oppure no? Perché?
$b)$ disco che rotola su un piano inclinato e, arrivato alla base di tale piano, continuerà a rotolare sul pavimento, considerando
caso $b1)$ coefficiente di attrito del pavimento uguale a quello del piano inclinato
caso $b2)$ coefficiente di attrito del pavimento diverso a quello del piano inclinato
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro una volta toccato il pavimento, oppure no? Perché?
$c)$ urto elastico del disco (che si muove di rotolamento puro su un pavimento orizzontale) con un punto materiale.
Nota: urto elastico in assenza di vincoli implica conservazione energia cinetica, conservazione quantità di moto e conservazione momento angolare.
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'urto, oppure no? Perché?
Ho un dubbio che riguarda la teoria di diversi esercizi sulla dinamica del corpo rigido.
Supponiamo di avere un disco o un anello che si muove di rotolamento puro e che, ad un certo punto, andrà a urtare un corpo oppure una molla.
Cosa succederà alla dinamica del mio disco/anello?
Prendiamo come esempio tre casi, nei quali, dall'istante iniziale, il corpo si muove di rotolamento puro
$a)$ disco che si trova su piano inclinato e va ad "impattare" su una molla posta alla base del piano inclinato, comprimendola, per poi tornare indietro
(il disco comincia a muoversi una volta rimossa la forza $F$ del disegno)
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'istante in cui tocca la molla, oppure no? Perché?
$b)$ disco che rotola su un piano inclinato e, arrivato alla base di tale piano, continuerà a rotolare sul pavimento, considerando
caso $b1)$ coefficiente di attrito del pavimento uguale a quello del piano inclinato
caso $b2)$ coefficiente di attrito del pavimento diverso a quello del piano inclinato
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro una volta toccato il pavimento, oppure no? Perché?
$c)$ urto elastico del disco (che si muove di rotolamento puro su un pavimento orizzontale) con un punto materiale.
Nota: urto elastico in assenza di vincoli implica conservazione energia cinetica, conservazione quantità di moto e conservazione momento angolare.
Il corpo continuerà a muoversi di rotolamento puro dopo l'urto, oppure no? Perché?
Risposte
"ralf86":
Per favore posta un disegno con i dati minimi e le incognite del problema. Esprimi i risultati finali solo in fuzione dei dati, non cambiare le lettere altrimenti non si capisce.
"ralf86":
Inoltre, ad esempio ti sei chiesto a che altezza la molla agisce sul cilindro? È orizzontale? La molla esercita una forza sull'asse del cilindro o sulla sulerficie laterale del cilindro tramite attrito? Chiarisci la fisica del problema...
Ho ipotizzato che la molla sia orizzontale e disposta alla stessa altezza del centro di massa del cilindro.
"ralf86":
Durante la compressione della molla in generale può agire una forza di attrito tra cilindro e piano orizzontale. Includi nella cardinale.
Quindi, se scrivo la seconda cardinale rispetto al centro di massa del disco, durante la compressione della molla ho che la forza peso e la forza elastico danno momento nullo, mentre l'unica forza che crea momento è la forza di attrito.
In formule: $I_C ddot(phi)= RF_a$
"ralf86":
La compressione della molla non è corretta. Il cilindro ha energia di rotazione e traslazione, tu hai incluso solo la rotazioni.
Ho incluso solo le rotazioni perché se il disco si muove di rotolamento puro posso descrivere l'energia cinetica come un energia puramente rotazionale, ovvero relativa alla rotazione che avviene attorno al punto di contatto.
Un errore comunque l'ho fatto, perché ho scritto $I_C= 1/2MR^2$ , mentre, utilizzando Huygens Steiner avrei dovuto scrivere $I_C=3/2MR^2$, da cui $1/2I_Cdot(phi)^2=3/4MR^2dot(phi)^2$
"ralf86":
Inoltre se durante la compressione il cilindro striscia allora devi includere il lavoro della forza di attrito.
Ho assunto che il cilindro non strisci durante la compressione della molla. E' la parte di esercizio che rimane ancora un po' oscura.
Dai miei calcoli avrei che sarebbe sufficiente che il coefficiente di attrito con il pavimento sia maggiore di zero. Mi pare un po' strano.
"ralf86":
Sei al primo anno di ingegneria?
Purtroppo sì
.
Grazie. Aggiungi la forza di attrito anche nella prima cardinale e risolvi prima e seconda seconda cardinale insieme. Qual'e' il minimimo coefficiente di attrito statico per non avere strisciamento del cilindro durante la compressione della molla. Qual'e' l'equazione del moto del cilindro dall'istante in cui inizia il contatto molla all'istante in cui la molla ha massima compressione?
"ralf86":
Grazie. Aggiungi la forza di attrito anche nella prima cardinale e risolvi prima e seconda seconda cardinale insieme.
Per studiare il moto durante la compressione della molla, pongo un SDR fisso con origine dove si trova il centro di massa del disco quando esso tocca la molla, e scrivo
$I_Gddot(phi) = I_Gddot(x)/R= RF_a rArr F_a=I_Gddot(x)/R^2$
$mddot(x)= -kx_G - F_a rArr mddot(x) + I_Gddot(x)/R^2 = -kx_G $
$rArr ddot(x) (m+ 1/2m) = -kx_G$
$ddot(x) = -2/3k/mx_G$
"ralf86":
Qual'e' il minimimo coefficiente di attrito statico per non avere strisciamento del cilindro durante la compressione della molla.
$mu_s >= F_a/N= (I_Gddot(x)/R^2)/(Mg) =1/2(ddot(x))/g= mu_[min]$
Mmmmmm...sento puzza di errore.
"ralf86":
Qual'e' l'equazione del moto del cilindro dall'istante in cui inizia il contatto molla all'istante in cui la molla ha massima compressione?
$ddot(x) = -2/3k/mx_G$
?
Ciao Tauto.
Mi sembra che ci sei. Scriverei x a destra no xG, per consistenza con il membro di sinistra. E' un'equazione differenziale, risolvi con le condizioni iniziali e trova x in funzione del tempo x(t), dal momento in cui il cilindro inizia a toccare la molla a quando la molla ha massima compressione.
Sostituisci x(t) trovata sopra e calcola il minimo coefficiente di attrito in modo esplicito.
"anonymous_58f0ac":
$ddot(x) = -2/3k/mx_G$
Mi sembra che ci sei. Scriverei x a destra no xG, per consistenza con il membro di sinistra. E' un'equazione differenziale, risolvi con le condizioni iniziali e trova x in funzione del tempo x(t), dal momento in cui il cilindro inizia a toccare la molla a quando la molla ha massima compressione.
"anonymous_58f0ac":
$mu_s >= F_a/N= (I_Gddot(x)/R^2)/(Mg) =1/2(ddot(x))/g= mu_[min]$
Mmmmmm...sento puzza di errore.
Sostituisci x(t) trovata sopra e calcola il minimo coefficiente di attrito in modo esplicito.
"ralf86":
Mi sembra che ci sei. Scriverei x a destra no xG, per consistenza con il membro di sinistra. E' un'equazione differenziale, risolvi con le condizioni iniziali e trova x in funzione del tempo x(t), dal momento in cui il cilindro inizia a toccare la molla a quando la molla ha massima compressione.
$ddot(x) = -2/3k/mx$
$x(t)=v_0 3/2 m/k sin(sqrt(2/3k/m)t)$
...
$mu_s >= |F_a|/|N|= (I_Gddot(x)/R^2)/(Mg) =1/2(ddot(x))/g= mu_[min]$
$mu_[min]= 1/2(ddot(x))/g = 1/2(-2/3k/mx)/g$
$ = = 1/2((-2/3k/m v_0 3/2 m/k sin(sqrt(2/3k/m)t)))/g = (v_0 sin(sqrt(2/3k/m)t))/g$
Dato che il valore massimo del seno è $1$, direi che il coefficiente minimo è $v_0/g$.
E' un approssimazione non corretta?
Mi pare che la soluzione x(t) soddisfi l'equazione differenziale ma non le condizioni iniziali. Ok il ragionamento nella seconda parte. Rivedi i calcoli con la soluzione x(t) corretta
E' sbagliato anche il coefficiente d'attrito minimo mi pare.
"professorkappa":
E' sbagliato anche il coefficiente d'attrito minimo mi pare.
Ho rifatto i calcoli ed ho ottenuto gli stessi risultati sia di $x(t)$, sia di $mu$.
Potreste mostrarmi dove sbaglio?
È difficile risponderti se non posti i tuoi calcoli per trovare x(t).
Sopra vedo i seguenti errori:
1) La derivata di x(t) all'istante iniziale non fa vo (condizione iniziale).
2) le unità di misura di x(t) sono incorrette. Riguardati le tecniche di soluzione delle equazioni differenziali.
3) il risultato per il coefficiente di attrito ha unità di misura incorrette (s^2). Se correggi x(t) dovresti ottenere il coefficiente di attrito corretto.
Questi a mio avviso sono errori gravi, significa che non verifichi i risultati che ottieni.
Sopra vedo i seguenti errori:
1) La derivata di x(t) all'istante iniziale non fa vo (condizione iniziale).
2) le unità di misura di x(t) sono incorrette. Riguardati le tecniche di soluzione delle equazioni differenziali.
3) il risultato per il coefficiente di attrito ha unità di misura incorrette (s^2). Se correggi x(t) dovresti ottenere il coefficiente di attrito corretto.
Questi a mio avviso sono errori gravi, significa che non verifichi i risultati che ottieni.
"ralf86":
È difficile risponderti se non posti i tuoi calcoli per trovare x(t).
Hai ragione, sono proprio tocco. Ho commesso un errore nel calcolare la $x(t)$. Sono stato troppo sicuro di me.
$ddot(x) = -2/3k/mx$
$x(t)= x(0)cos(omegat) + (v(0))/omega sin(omegat)$
$x(0)=0$ $^^ v(0)=v_0$ $^^ omega=sqrt(2/3k/m)$ $rArr x(t)=v_0 sqrt(3/2 m/k) sin(sqrt(2/3k/m)t)$
quindi
$dot(x)(t)=v_0cos(sqrt(2/3k/m)t)$
$dot(x)(0)= v_0$
Condizioni iniziali soddisfatte.
Tornando al coefficiente di attrito.
$mu_s >= |F_a|/|N|= (I_Gddot(x)/R^2)/(Mg) =1/2(ddot(x))/g= mu_[min]$
$mu_[min]= 1/2(ddot(x))/g = 1/2(-2/3k/mx)/g$
$ = 1/2((-2/3k/m v_0 sqrt(3/2 m/k) sin(sqrt(2/3k/m)t)))/g $
$ = 1/2((-sqrt(3m)/(3m)(2k)/(sqrt(2k)) v_0 sin(sqrt(2/3k/m)t)))/g $
$ = 1/2((-sqrt(3m)/(3m)(sqrt(2k)) v_0 sin(sqrt(2/3k/m)t)))/g $
Dal momento che il valore massimo del seno è 1
$ = 1/2((-sqrt(3m)/(3m)(sqrt(2k)) v_0 ))/g =mu_[min]$
Analisi dimensionale = $[ (1/sqrt(kg) sqrt(N/m) m/s)(m/s^2)] = [ (1/sqrt(kg)sqrt(kg)1/sm/s)/ (m/s^2)] = 1 $
Chiedo scusa per la sbadatezza di prima.
Bene, direi che ci siamo ora. Scriverei quelle radici e frazioni in modo più compatto, ma ci siamo. Il punto 1 proposto da professorkappa è fatto. Se puoi/vuoi posta i calcoli per i rimanenti punti.
Vedi, quello proposto da professorkappa è un esercizio molto istruttivo che ti permette di capire l'argomento. Ti consiglio vivamente di svolgerlo,anche solo per conto tuo. In generale poi, se senti che non hai capito un fenomeno e non riesci a padroneggiare le formule, prova prima a inventarti esercizi in situazioni semplici e a risolvere. Non serve che li prendi dal libro. Poi aggiungi difficoltà all'esercizio, varia dati iniziali per vedere come come cambia il risultato. Domandati se ha senso che una grandezza cresca o diminuisca. Prova a risolvere in più modi possibili con tutte le leggi che sai. Spesso la strada non è unica.
Vedi, quello proposto da professorkappa è un esercizio molto istruttivo che ti permette di capire l'argomento. Ti consiglio vivamente di svolgerlo,anche solo per conto tuo. In generale poi, se senti che non hai capito un fenomeno e non riesci a padroneggiare le formule, prova prima a inventarti esercizi in situazioni semplici e a risolvere. Non serve che li prendi dal libro. Poi aggiungi difficoltà all'esercizio, varia dati iniziali per vedere come come cambia il risultato. Domandati se ha senso che una grandezza cresca o diminuisca. Prova a risolvere in più modi possibili con tutte le leggi che sai. Spesso la strada non è unica.
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