Spazio di funzioni continue in intervallo chiuso come spazio di Banach

[impe1]

Buongiorno,

sto studiando gli spazi di Banach e mi trovo un po' in difficoltà. Vi illustro i miei dubbi.

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Si consideri lo spazio di tutte le funzioni continue $f(t)$ in un intervallo chiuso $[a,b]$.
Chiamiamo questo spazio $C([a,b])$.

Definisco in tale spazio la norma $||*||_(C^0)$ così definita:

$||f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f(t)|$

Tale applicazione è una norma in quanto soddisfa le proprietà di non negatività, di positiva omogeneità e la disuguaglianza triangolare.

Quello che non comprendo:

Dalle slide del mio professore...
Per dimostrare che lo spazio $C([a,b])$ dotato della norma $||*||_(C^0)$ è uno spazio di Banach, leggo la seguente equazione:

$||f_n-f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f_n(t)-f(t)|=0$

Non riesco a comprendere:

1) chi è $f_n(t)$, come è definita, ed in che modo è legata a $f(t)$

2) perché tale uguaglianza implica che lo spazio sopra citato è uno spazio di Banach

3) come faccio a dire che tale uguaglianza è vera

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Grazie a tutti in anticipo!

[gabriella127]

"3m0o":[quote="dissonance"]Ma si, certo Gabriella.

[/quote]

Bene, allora chiedo di spostarlo in Analisi Superiore, sperando che qui possa avere un seguito, in attesa anche di miei illuminanti prossimi contributi (tra 10-15 anni).

[impe1]

Grazie a tutti per le risposte! Molto istruttive
Personalmente avevo già trovato la risposta al dubbio grazie a Martino ed al link da lui postato. Ad ogni modo, quanto scritto è stato molto utile.
Non ho più risposto perché sono stato parecchio preso da vari problemi (adesso risolti).