Problema di Cauchy.

[lo92muse]

Salve a tutti. Mi trovo a dover affrontare questo problema di Cauchy. Ecco il testo.

${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$

In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .

Ecco la mia idea.

Tratto questa equazione come "a variabili separabili".

$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.

Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$

Arrivando direttamente alla separazione delle variabili

$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $

Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.

PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima

Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo

$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$

Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$

$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$

Quindi $alpha=0$

Mettendo le cose insieme

$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$

Per le proprietà dei logaritmi

$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$

$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$

$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$

$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$

Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.

La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.

Parto da qua per intenderci

$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$

$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$

Cosa ne pensate?

Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!

[Luca.Lussardi]

Si, ma quello che cercavo di farti fare e' arrivare a tutte le conclusioni a cui arrivi facendo un normale studio di funzione senza avere la forma esplicita della soluzione, dimentica che puoi integrare l'equazione esattamente, fai finta che non sia possibile, riesci a ricostruire il grafico della soluzione? questo e' lo studio qualitativo di un problema di Cauchy.

[lo92muse]

"Luca.Lussardi":Si, ma quello che cercavo di farti fare e' arrivare a tutte le conclusioni a cui arrivi facendo un normale studio di funzione senza avere la forma esplicita della soluzione, dimentica che puoi integrare l'equazione esattamente, fai finta che non sia possibile, riesci a ricostruire il grafico della soluzione? questo e' lo studio qualitativo di un problema di Cauchy.

Ho capito il punto. Dunque, per ora ho ricavato solo informazioni sulla monotonicità. Per i flessi, mi viene in mente di fare:

$y'=y(4-y)$

$y''=1(4-y)+y(-1)=4-y-y=4-2y$

Studio il segno di $y''$, trovo un punto di flesso in $y=2$, e ho già capito come sono rivolte le concavità.

Prima hai accennato a dei limiti all'infinito (di $y'$). Che informazioni mi aggiugono? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Occhio a fare la derivata seconda: da $y'=4y-y^2$ hai $y''=4y'-2yy'=...$

[Camillo]

Si è trovata analiticamente la soluzione del PdC che è : $y(x)=( 4y_0*e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$

Considero ora i casi $y_0 >4 ; y_0<0 $

*Caso $ y_0>4 $; il denominatore della soluzione si annulla per $x= 1/4 ln( 1-4/y_0)$ che risulta sempre $< 0 $.
La funzione ha quindi un asintoto verticale di equazione $x= 1/4 ln( 1-4/y_0)$.
Possiamo concludere che l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è $ (1/4 ln( 1-4/y_0) ,+oo)$

*Caso $y_0 <0 $ ; il denominatore si annulla sempre per $x = 1/4 ln( 1-4/y_0)$ che però in questo caso è $>0 $.
Quindi l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è : $ ( -oo, 1/4 ln( 1-4/y_0)) $

DOMANDA : Come si potrebbe determinare l'intervallo massimale senza aver trovato la soluzione analitica ma solo con lo studio qualitativo del PdC ??

[Luca.Lussardi]

Puoi dimostrare con la sola teoria se l'intervallo massimale e' limitato o no, eventualmente puoi avere una stima sugli estremi di esso, ovviamente e' arduo arrivare ad averlo esattamente senza che sia nota la soluzione esplicita, ma spesso e' sufficiente sapere solo se la soluzione esplode in tempo finito o no.