Problema di Cauchy.
Salve a tutti. Mi trovo a dover affrontare questo problema di Cauchy. Ecco il testo.
${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$
In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .
Ecco la mia idea.
Tratto questa equazione come "a variabili separabili".
$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.
Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$
Arrivando direttamente alla separazione delle variabili
$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $
Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.
PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima
Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo
$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$
Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$
$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$
Quindi $alpha=0$
Mettendo le cose insieme
$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$
Per le proprietà dei logaritmi
$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$
$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$
Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.
La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.
Parto da qua per intenderci
$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$
Cosa ne pensate?
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!
${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$
In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .
Ecco la mia idea.
Tratto questa equazione come "a variabili separabili".
$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.
Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$
Arrivando direttamente alla separazione delle variabili
$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $
Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.
PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima
Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo
$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$
Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$
$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$
Quindi $alpha=0$
Mettendo le cose insieme
$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$
Per le proprietà dei logaritmi
$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$
$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$
Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.
La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.
Parto da qua per intenderci
$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$
Cosa ne pensate?
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!
Risposte
penso che hai scordato le proprieta' delle potenze nell'ultimo passaggio....
"Luca.Lussardi":
penso che hai scordato le proprieta' delle potenze nell'ultimo passaggio....
Grazie per la risposta.. Ti riferisci a questo passaggio?
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$
Corretto in
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+2e^(x)$
Ne approfitterei inoltre per chiedere conferma degli estremi di integrazione da me usati, facendo variare tra $y$ ed $y_0$ il primo integrale e tra $0$ e $2$ il secondo. Grazie mille per la disponibilità!
Non ci siamo.. comunque gli estremi non van bene a destra... devi integrare tra 0 e x in dt.
"Luca.Lussardi":
Non ci siamo.. comunque gli estremi non van bene a destra... devi integrare tra 0 e x in dt.
Si, la correzione è sicuramente un errore bello grosso, stavo cercando di capire dove avevo sbagliato e ho fatto di peggio
.Mi puoi dare lumi su dove asserisci che ho dimenticato le proprietà delle potenze (cosa che potrebbe anche essere vera, visto che devo fare un esame di analisi avanzata della specialistica qualche anno dopo analisi 2, e nonostante avessi fatto gli esami di matematica con molta passione ora sono un po' arrugginito....
)Comunque da soluzione la funzione dopo l'integrazione dovrebbe diventare: $log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$ cosa che smette di essere vera cambiando gli estremi di integrazione da te suggeriti e che reputo essere decisamente più sensati della mia scelta. Ho preso un esercizio sfortunato con soluzione sbagliata che mi sta portando in una direzione pericolosa?
Gli estremi corretti sono $0$ e $x$ perche' devi integrare tra $0$ e $x$ entrambi i membri. Le proprieta' delle potenze sembrano esserti antipatiche: $\log x-\log y=\log (x/y)$. Infine, tieni conto che devi necessariamente trovare una soluzione definita su tutto $\mathbb R$ dal momento che resta incastrata tra $y=0$ e $y=4$.
"Luca.Lussardi":
Gli estremi corretti sono $0$ e $x$ perche' devi integrare tra $0$ e $x$ entrambi i membri. Le proprieta' delle potenze sembrano esserti antipatiche: $\log x-\log y=\log (x/y)$. Infine, tieni conto che devi necessariamente trovare una soluzione definita su tutto $\mathbb R$ dal momento che resta incastrata tra $y=0$ e $y=4$.
Quindi anche il primo integrale sarebbe scorretto, in quanto io ho integrato tra $y_0$ ed $y$. Quella proprietà è proprio quella che io credo di avere usato, in questo modo:
$log(y)-log(4-y)=log(y/(4-y))$
Poi, moltiplicando tutto per $-1$ posso scrivere analogamente
$log(y_0)-log(4-y_0)=log(y_0/(4-y_0))$
E' lecito scriverlo? Sempre grazie mille per la disponibilità.
Il primo integrale va bene, hai gia' di fatto la sostituzione $y(x)\to x$.
"Luca.Lussardi":
Il primo integrale va bene, hai gia' di fatto la sostituzione $y(x)\to x$.
Chiaro. E' corretto invece il modo in cui ho trattato i logaritmi? Grazie mille.
Non capisco gli ultimi passaggi: da $\log(x/y)=a$ trovi $x/y=e^a$...
"Luca.Lussardi":
Non capisco gli ultimi passaggi: da $\log(x/y)=a$ trovi $x/y=e^a$...
Ho applicato la funzione esponenziali ad entrambi i membri
$log(x/y)=a$
$e^(log(x/y))=e^a$
$x/y=e^a$
Ricordo che era possibile una trasformazione di questo tipo. E' possibile? Grazie mille.
Cosi' e' giusta infatti, ma non e' cio' che avevi scritto.
"Luca.Lussardi":
Cosi' e' giusta infatti, ma non e' cio' che avevi scritto.
Se è giusta allora dovrebbe anche tornare
$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$
Al di la del fatto che $2x$ non sia corretto per gli estremi di integrazione. Mi sto ora concentrando per essere certo di aver chiaro il passaggio algebrico.
Infatti ho scomposto il logaritmo per la proprietà che ho appena trascritto sopra (sostituendo alla formula generale $x=y$ e $y=4-y$) e poi applicato la funzione esponenziale ad entrambi i membri.
Mi potresti confermare che è corretto? Grazie mille per la disponibilità.
Ci risiamo con le proprieta' delle potenze... sei sicuro di aver applicato correttamente la proprieta' citata poco sopra?
Ho un dubbio, sei sicuro che $y_0 \in [0,4] $ ?
"Luca.Lussardi":
Ci risiamo con le proprieta' delle potenze... sei sicuro di aver applicato correttamente la proprieta' citata poco sopra?
Sono sincero, sto impazzendo a trovare l'errore. Per la mia logica è corretto, ma se mi contraddici sarà sicuramente sbagliato. Mi potresti esplicitare il calcolo corretto? Non per pigrizia, ma vorrei vedere cosa sbaglio. Grazie mille per la disponibilità.
"Pazzuzu":
Ho un dubbio, sei sicuro che $y_0 \in [0,4] $ ?
Ciao, la richiesta del problema è di esplicitare le soluzioni, in particolare per $y_0 \in [0,4]$.
Devo anche tracciare un grafico delle soluzioni al variare di $y_0$, ma la cosa più importante è trovare la soluzione in quanto poi il grafico viene di conseguenza.
Ho sbagliato gli estremi dell'integrale a destra, come mi è stato suggerito nei post precedenti. Per il resto l'idea ti sembra corretta? Grazie mille.
Da $log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$ non hai $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$ ma $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)e^(2x)$: $e^{x+y}=e^xe^y$.
"Luca.Lussardi":
Da $log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$ non hai $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$ ma $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)e^(2x)$: $e^{x+y}=e^xe^y$.
Sul primo membro non ci piove. Sul secondo continuo ad avere dubbi. In particolare su $e^(2x):e^(x+y)$. Infatti se torno indietro non riesco a trovare la forma di partenza
Inoltre presumo che l'ultima uguaglianza da te scritta sia $e^(2x):e^(x+y)=e^xe^y$
Ma non sarebbe
$e^(2x)/(e^xe^y)=e^x/e^y$
Grazie ancora per la disponibilità.
Erano due punti di ortografia, non una divisione... era solo per ricordarti che proprieta' delle potenze hai ignorato fino ad adesso.
Sono d'accordo con Lussardi, ripassa le proprietà delle potenze! Oppure se già le conosci, stai più attento quando le usi. Io inoltre mi preoccuperei anche di controllare la validità delle operazioni che hai compiuto. Per esempio, esistono dei punti dove log(x/y) è priva di significato?
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