Problema di Cauchy.
Salve a tutti. Mi trovo a dover affrontare questo problema di Cauchy. Ecco il testo.
${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$
In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .
Ecco la mia idea.
Tratto questa equazione come "a variabili separabili".
$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.
Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$
Arrivando direttamente alla separazione delle variabili
$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $
Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.
PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima
Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo
$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$
Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$
$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$
Quindi $alpha=0$
Mettendo le cose insieme
$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$
Per le proprietà dei logaritmi
$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$
$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$
Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.
La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.
Parto da qua per intenderci
$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$
Cosa ne pensate?
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!
${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$
In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .
Ecco la mia idea.
Tratto questa equazione come "a variabili separabili".
$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.
Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$
Arrivando direttamente alla separazione delle variabili
$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $
Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.
PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima
Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo
$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$
Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$
$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$
Quindi $alpha=0$
Mettendo le cose insieme
$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$
Per le proprietà dei logaritmi
$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$
$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$
$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$
Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.
La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.
Parto da qua per intenderci
$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$
Cosa ne pensate?
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!
Risposte
"Pazzuzu":Questo e' piu' delicato e richiede la teoria delle equazioni ordinarie, ma, come ho gia' detto, basta osservare che ogni soluzione massimale con dato $y_0\in (0,4)$ e' costretta a restare tra $y=0$ e $y=4$ senza mai toccare queste due rette, in particolare verra' anche definita su tutto $\mathbb R$. La prova del 9 sara' controllare che la soluzione ottenuta integrando esplicitamente e' proprio fatta cosi'...
Per esempio, esistono dei punti dove log(x/y) è priva di significato?
Infatti non mi sono voluto sbilanciare, è giusto per ricordarci che gli estremi dell'intervallo potrebbero essere pericolosi!
"Luca.Lussardi":
Erano due punti di ortografia, non una divisione... era solo per ricordarti che proprieta' delle potenze hai ignorato fino ad adesso.
Grande!! Era proprio per quel motivo che non mi veniva. E' una proprietà che conosco molto bene, in quanto elementare.
Non riuscivo a visualizzarla in questo contesto.
In pratica se ho $log(x/y)+a = x/y*e^a$ applicando la funzione esponenziale.
Ho trovato così la soluzione, che coincide con quella assegnata:
$y/(4-y)=y_0/(4-y_0)e^(2x)$
Tramite passaggi algebrici che qui non trascrivo, ottengo
$y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$
Questa dovrebbe essere la funzione da studiare nell'intervallo $y in [0,4]$. Come vi sembra?
Un'ultima nota:
$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $
Il secondo integrale in questo caso l'ho considerato definito, in quanto so che la variabile $in [0,4]$, giusto?
Grazie mille.
No, il secondo integrale deve essere $\int_0^x1dt$, non ti viene $y=y(x)$ dalla tua uguaglianza precedente...
Innanzitutto buona domenica
Quello che ho fatto io è stato esplicitare la variabile $y$ ottenendo una relazione che vede $y$ in funzione di $x$ e del parametro $y_0$, reale, in questo caso limitato all'intervallo assegnatomi, coincidente con la soluzione dell'esercizio.
Ora, al di la dell'esercizio fine a se stesso, vorrei chiederti se mi sta sfuggendo qualcosa, in quanto vorrei chiarirmi bene le idee, per poter poi affrontare esercizi mano a mano più complessi.
Grazie, come sempre.
Quello che ho fatto io è stato esplicitare la variabile $y$ ottenendo una relazione che vede $y$ in funzione di $x$ e del parametro $y_0$, reale, in questo caso limitato all'intervallo assegnatomi, coincidente con la soluzione dell'esercizio.
Ora, al di la dell'esercizio fine a se stesso, vorrei chiederti se mi sta sfuggendo qualcosa, in quanto vorrei chiarirmi bene le idee, per poter poi affrontare esercizi mano a mano più complessi.
Grazie, come sempre.
Non ti viene $y$ in funzione di $x$ se non metti nell'integrale a destra la $x$ come estremo di integrazione... La procedura formale che c'e' dietro le equazioni a variabili separabili e' questa: $y'(x)=b(y(x))f(x)$ porta, dietro opportune considerazioni sugli zeri di $b$, a $\frac{y'(x)}{b(y(x))}=f(x)$. Quest'ultima, se la condizione iniziale e' $y(x_0)=y_0$, si integra tra $x_0$ e $x$, per cui hai $\int_{x_0}^x\frac{y'(t)}{b(y(t))}dt=\int_{x_0}^xf(t)dt$. Ora nel primo integrale sostituisci $y(t)=s$ e hai la forma $\int_{y_0}^y\frac{1}{b(s)}ds=\int_{x_0}^xf(t)dt$ che e' la formula risolutiva pronta per l'applicazione. Osserva che l'integrale a destra ha $x$ come estremo di integrazione.
"Luca.Lussardi":
Non ti viene $y$ in funzione di $x$ se non metti nell'integrale a destra la $x$ come estremo di integrazione... La procedura formale che c'e' dietro le equazioni a variabili separabili e' questa: $y'(x)=b(y(x))f(x)$ porta, dietro opportune considerazioni sugli zeri di $b$, a $\frac{y'(x)}{b(y(x))}=f(x)$. Quest'ultima, se la condizione iniziale e' $y(x_0)=y_0$, si integra tra $x_0$ e $x$, per cui hai $\int_{x_0}^x\frac{y'(t)}{b(y(t))}dt=\int_{x_0}^xf(t)dt$. Ora nel primo integrale sostituisci $y(t)=s$ e hai la forma $\int_{y_0}^y\frac{1}{b(s)}ds=\int_{x_0}^xf(t)dt$ che e' la formula risolutiva pronta per l'applicazione. Osserva che l'integrale a destra ha $x$ come estremo di integrazione.
Ok, quindi riscrivendo in modo corretto dovrei avere:
$ int_(y_0)^(y) 1/(s(4-s)) ds = log(y)-log(4-y)-log(y_0)+log(4-y_0)$
$int_(0)^(x) 1 dx = x$
Mettendo poi insieme le cose
$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=x$
Che, rifacendo i passaggi algebrici di prima, porta a
$y=(4y_0e^x)/(4-y_0+y_0e^x)$
Che dovrebbe rispondere alla domanda del problema. La cosa che non mi torna è che la soluzione $y(x)$ ha esattamente questa forma, soltanto che l'esponenziale è $e^(4x)$ invece di $e^x$.
Mi sta sfuggendo l'ennesimo dettaglio (se così si può definire)? Grazie mille.
Ti sei perso un $4$ quando hai fatto la primitiva di $\frac{1}{s(4-s)}$...
"Luca.Lussardi":
Ti sei perso un $4$ quando hai fatto la primitiva di $\frac{1}{s(4-s)}$...
Perfetto, ora torna tutto. Mi sento quasi in imbarazzo per questi errori banali ma in questo momento, essendo passato un po' di tempo dai vari esami di matematica della triennale di ingegneria, le mie certezze non sono poi più così forti ma spero entro breve di tornare come ai tempi d'oro.
Quindi, ricapitolando $y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$ è la risposta al problema dato ed andrà valutata per $y in [0,4]$. Corretto? Grazie molte davvero per tutto.
"lo92muse":
Quindi, ricapitolando $ y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x)) $ è la risposta al problema dato ed andrà valutata per $ y in [0,4] $.
Questo lo puoi verificare tu stesso.
Comunque, personalmente, visto che ti si chiede uno studio al variare di $y_0 \in [0,4]$, imposterei la trattazione in maniera leggermente diversa.
Ricapitolando :
\( \begin{cases} y'=4y-y^2 \\ y(0)=y_0 \end{cases} \)
dove $y_0 \in [0,4]$.
Iniziamo a tirare fuori un pò di qualità : $ 4y-y^2 $ è una funzione continua su tutto \( \mathbb{R} \), sempre derivabile e con derivata prima continua. Quindi esiste un intorno del punto $(x=0,y_0)$ dove la soluzione esiste ed'è unica.
Iniziamo col caso $y_0=4$ , si vede subito che $y(x)= 4$ è una soluzione del problema in un intorno di $x=0$. Lo stesso vale per il caso $y_0=0$, dove $y(x) = 0 $ risolve il problema in un intorno di $x=0$.
Rimane da trattare il caso $y_0 \in (0,4)$.
Poichè $4y-y^2$ non è mai nulla, possiamo fare moltiplicazioni e divisioni in tutta tranquillità :
$(y')/(4y-y^2) = 1$
Piccolo cambio di variabile $t=x$ per comodità e integriamo :
\( \int_{x_0}^{x} (y(t)')/(4y(t)-y(t)^2)dt = \, \int_{x_0}^{x}1dt \)
Ora di nuovo un cambio di variabile $s= y(t)$. Differenziandolo $ds=y'dt$ e sostituendo:
*(per quanto riguarda gli estremi di integrazione basta ricordarsi che $x_0 = t_0 ->s_0=y(t_0)=y_0 ; s=y(t)=y(x)$) *
\( \int_{y_0}^{y(x)} ds/(4s-s^2) = \, \int_{x_0}^{x}1dt \) che diventa*($x_0=0$)*:
$[(1/4ln|s|-1/4ln|4-s|)]_{y_0}^{y(x)} = x $
Tenuto conto del fatto che $y_0$ e $4-y_0$ sono quantità sempre strettamente positive :
$ln|y(x)-ln|4-y(x)|-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Bisogna richiedere inoltre che oltre che nel punto $x=0$, la $y(x)$ sia sempre strettamente limitata dalle rette $y=0$ e $y=4$ (questo deriva dal fatto che la $y(x)$ è almeno una funzione continua e non potendosi annullare, né assumere il valore $4$, è costretta tra queste due rette a causa delle condizioni iniziali che la definiscono, in quest'ultimo caso, strettamente positiva in $x=0$):
$ln(y(x))-ln(4-y(x))-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Dopo opportune manipolazioni :
$y(x) = (4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$
che è l'unica soluzione del problema iniziale, per $y_0 \in (0,4)$ , almeno in un opportuno intorno del punto $(x,y)= (0,y_0)$.
Io la imposterei diversamente ancora. Ok sull'applicazione del teorema di esistenza e unicita' che da' una ed una sola soluzione massimale per ogni dato iniziale. Osservare quindi che se $y_0=0$ uno ha l'unica soluzione $y=0$ e se $y_0=4$ uno ha l'unica soluzione $y=4$. Osservare quindi a questo punto che la soluzione massimale con $y_0\in(0,4)$ deve stare tra $y=0$ e $y=4$, quindi non puo' mai accadere che tale soluzioni annulli l'espressione $4y-y^2$. Adesso che siamo certi di cio' possiamo passare all'integrazione esplicita.
Purtroppo non sono ancora così bravo nell'analisi qualitativa, e mi tocca fare ancora un sacco di conti. Sicuramente la tua impostazione è più elegante della mia, io ho dovuto tirare giù una montagna di calcoli e considerazioni. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Complessivamente va bene anche la tua, si tratta solo di cosa logicamente, a mio modo di vedere, viene prima. E' importante, qui, osservare da subito che la soluzione massimale con dato $y_0\in (0,4)$ e' costretta a star confinata tra $y=0$ e $y=4$, non toccando mai queste due rette. Solo dopo che si e' certi di questo si puo' tranquillamente integrare mettendo al denominatore $4y-y^2$.
"Pazzuzu":
Purtroppo non sono ancora così bravo nell'analisi qualitativa, e mi tocca fare ancora un sacco di conti. Sicuramente la tua impostazione è più elegante della mia, io ho dovuto tirare giù una montagna di calcoli e considerazioni.
"Luca.Lussardi":
Complessivamente va bene anche la tua, si tratta solo di cosa logicamente, a mio modo di vedere, viene prima. E' importante, qui, osservare da subito che la soluzione massimale con dato $ y_0\in (0,4) $ e' costretta a star confinata tra $ y=0 $ e $ y=4 $, non toccando mai queste due rette. Solo dopo che si e' certi di questo si puo' tranquillamente integrare mettendo al denominatore $ 4y-y^2 $.
Grazie mille ad entrambi per la spiegazione chiara e le idee che avete proposto!
Andando a dover valutare questo risultato per via grafica quale sarebbe la strada migliore? Lo studio di funzione? Grazie mille.
Se hai la soluzione esplicita si, io ti consiglio di fare due cose, a titolo di esercizio:
1) studia la soluzione trovata facendo un normale studio di funzione;
2) cerca di rifare lo studio della soluzione senza sapere che forma ha, usando solo l'equazione differenziale e la teoria delle equazioni ordinarie: si chiama studio qualitativo ed e' di grande interesse dal momento che quasi mai uno riesce a trovare la forma esplicita della soluzione ma necessita di sapere che andamento ha.
1) studia la soluzione trovata facendo un normale studio di funzione;
2) cerca di rifare lo studio della soluzione senza sapere che forma ha, usando solo l'equazione differenziale e la teoria delle equazioni ordinarie: si chiama studio qualitativo ed e' di grande interesse dal momento che quasi mai uno riesce a trovare la forma esplicita della soluzione ma necessita di sapere che andamento ha.
"Luca.Lussardi":
Se hai la soluzione esplicita si, io ti consiglio di fare due cose, a titolo di esercizio:
1) studia la soluzione trovata facendo un normale studio di funzione;
2) cerca di rifare lo studio della soluzione senza sapere che forma ha, usando solo l'equazione differenziale e la teoria delle equazioni ordinarie: si chiama studio qualitativo ed e' di grande interesse dal momento che quasi mai uno riesce a trovare la forma esplicita della soluzione ma necessita di sapere che andamento ha.
Grazie mille per la risposta. Quello che ho iniziato a fare è stato valutare il segno di $y'(x)=y(4-y)$
Ottenendo così informazioni sulla monotonicità della funzione $y(x)$.
In particolare ho valutato che essa sarà:
decrescente per valori di $y>4$,
crescente per valori di $y in [0,4]$
e decrescente per $y<0$.
E' un buon inizio come valutazione? Grazie mille.
Si, e' il punto iniziale perche' se applichi la teoria gia' solo questa informazione ti dice qualcosa sull'andamento delle soluzioni. Potresti andare avanti cercando di riottenere tutto quello che hai ottenuto studiandola esplicitamente, e' un ottimo esercizio. Se hai da chiedere posta qua che lo facciamo assieme.
"Luca.Lussardi":
Si, e' il punto iniziale perche' se applichi la teoria gia' solo questa informazione ti dice qualcosa sull'andamento delle soluzioni. Potresti andare avanti cercando di riottenere tutto quello che hai ottenuto studiandola esplicitamente, e' un ottimo esercizio. Se hai da chiedere posta qua che lo facciamo assieme.
Buongiorno
Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$
Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.
Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.
Inoltre direi che per non contraddire l'unicità della soluzione deve valere:
Per $y_0 in [0,4]$ si avrà $y in [0,4]$ nel sottoinsieme di $mathbb(R)$
E analogamente
Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$
Unisco il tutto allo studio del post precedente e ho già ricavato più informazioni solamente applicando la teoria. Cosa ne pensi? Grazie mille.
Ti correggo qualche punto.
ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.
Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.
Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0
Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.
Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...
Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.
"lo92muse":
Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$
ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.
"lo92muse":
Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.
Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.
"lo92muse":
Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.
Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0
"lo92muse":
Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$
Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.
Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...
Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.
"Luca.Lussardi":
Ti correggo qualche punto.
[quote="lo92muse"]
Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$
ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.
"lo92muse":
Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.
Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.
"lo92muse":
Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.
Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0
"lo92muse":
Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$
Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.
Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...
Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.[/quote]
Tutto chiarissimo grazie alle annotazioni.
Esattamente, qualche dubbio in più su come sia meglio procedere mi viene quando devo studiare la soluzione quando $y_0$ è al di fuori di $[0,4]$, in particolare quando $y_0$ è negativo o maggiore di $4$. Soprattutto se devo disegnarne poi il grafico (mi ritrovo con due variabili in teoria, $x$ ed $y_0$ che devo fare variare).
Ho dimotrato che è crescente nell'intervallo $[0,4]$ grazie alla valutazione dei punti critici, così come ho capito che decresce al di fuori, sia che sia negativa che maggiore di $4$.
Fatto questo passerei alla soluzione $y(x)$ tramite l'integrazione e la separazione delle variabili, ed è qui, nel doverne disegnare il grafico il problema. Ho diverse inormazioni, ma vorrei capire una procedura il più formale possibile per arrivare ad una valutazione grafica.
Sto ragionando bene? Grazie mille come sempre.
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