[Ex] - Compattezza di operatori di tipo Volterra
Problema. Sia \( u \in C^1 ([0,1]) \) strettamente crescente con \( u(0) \ge 0 \). Per \( f \in C([0,1]) \) si definisca \[ T_u (f) (x) = \frac{1}{u(x)} \int_0^x f(t) u'(t) \, dt. \]
Mostrare che:
1. \(T \in L(C([0,1])) \);
2. \(T \) è compatto se e solo se \( u(0) > 0 \).
In ogni caso, calcolare lo spettro di \(T\).
Mostrare che:
1. \(T \in L(C([0,1])) \);
2. \(T \) è compatto se e solo se \( u(0) > 0 \).
In ogni caso, calcolare lo spettro di \(T\).
Risposte
Mi scuso, probabilmente non sono stato chiaro. dissonance ha contestato (a ragione) la mia frase: $\lambda=0$ è un autovalore per $T_u$.
Facciamo il punto.
Se \(u(0)>0\), abbiamo dimostrato tutto: l'operatore \(T_u\) è compatto, non ha autovalori e il suo spettro è \(\{0\}\).
Se \(u(0)=0\), non abbiamo dimostrato quasi niente: non sappiamo se \(T_u\) è compatto o no, e sappiamo solo che \(1\) è un suo autovalore.
---
Ok, vediamo di aggiungere qualcosa di nuovo nel caso \(u(0)=0\).
1) Lo \(0\) è un valore spettrale, perché
\[
T_u f=g\quad \iff \quad \int_0^x fu'\, dy=u(x)g(x), \]
e quindi, affinché l'equazione possa essere soddisfatta, \(g\) deve essere differenziabile per ogni \(x\ne 0\). Perciò \(T_u\) non è surgettivo. Ragionando come per il caso precedente, vediamo che \(0\) non è un autovalore.
2) L'operatore \(T_u\) non è compatto. Infatti, assumendo senza perdita di generalità che \(u\) è definita su \([0, \infty)\) ed è limitata, e definendo \(f_n(x):=u(nx)\), si ottiene una successione equilimitata tale che
\[\tag{1}
(T_u f_n)'(0)=u'(0)n.\]
In particolare, tale successione non può essere equicontinua in \(x=0\); ricordiamo che una successione di funzioni \(v_n\) è equicontinua in \(0\) se per ogni \(\epsilon\) esiste \(\delta_\epsilon\) indipendente da \(n\) e tale che \(\lvert v_n(x)\rvert\le \epsilon\) per ogni \(\lvert x\rvert <\delta_\epsilon\).
Resta da dimostrare (1); a tale scopo osserviamo che il rapporto incrementale per \(T_u f_n\) in \(0\) è uguale a
\[
\frac{T_u f_n(x)-T_u f_n(0)}{x}=\frac{1}{xu(x)}\int_0^x u(ny)u'(y)\, dy = \frac{u(nx)u'(x)}{u(x)} + o(1), \]
da cui, prendendo il limite per \(x\to 0\), segue subito (1), visto che
\[
\frac{u(nx)}{u(x)}=n+o(1).\]
Se \(u(0)>0\), abbiamo dimostrato tutto: l'operatore \(T_u\) è compatto, non ha autovalori e il suo spettro è \(\{0\}\).
Se \(u(0)=0\), non abbiamo dimostrato quasi niente: non sappiamo se \(T_u\) è compatto o no, e sappiamo solo che \(1\) è un suo autovalore.
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Ok, vediamo di aggiungere qualcosa di nuovo nel caso \(u(0)=0\).
1) Lo \(0\) è un valore spettrale, perché
\[
T_u f=g\quad \iff \quad \int_0^x fu'\, dy=u(x)g(x), \]
e quindi, affinché l'equazione possa essere soddisfatta, \(g\) deve essere differenziabile per ogni \(x\ne 0\). Perciò \(T_u\) non è surgettivo. Ragionando come per il caso precedente, vediamo che \(0\) non è un autovalore.
2) L'operatore \(T_u\) non è compatto. Infatti, assumendo senza perdita di generalità che \(u\) è definita su \([0, \infty)\) ed è limitata, e definendo \(f_n(x):=u(nx)\), si ottiene una successione equilimitata tale che
\[\tag{1}
(T_u f_n)'(0)=u'(0)n.\]
In particolare, tale successione non può essere equicontinua in \(x=0\); ricordiamo che una successione di funzioni \(v_n\) è equicontinua in \(0\) se per ogni \(\epsilon\) esiste \(\delta_\epsilon\) indipendente da \(n\) e tale che \(\lvert v_n(x)\rvert\le \epsilon\) per ogni \(\lvert x\rvert <\delta_\epsilon\).
Resta da dimostrare (1); a tale scopo osserviamo che il rapporto incrementale per \(T_u f_n\) in \(0\) è uguale a
\[
\frac{T_u f_n(x)-T_u f_n(0)}{x}=\frac{1}{xu(x)}\int_0^x u(ny)u'(y)\, dy = \frac{u(nx)u'(x)}{u(x)} + o(1), \]
da cui, prendendo il limite per \(x\to 0\), segue subito (1), visto che
\[
\frac{u(nx)}{u(x)}=n+o(1).\]
Ma guarda un po' che roba!
Nel caso \(u(0)=0\), *formalmente*\(^{[1]}\), ogni \(\lambda\ne 0\) è un autovalore e \(u^{\frac1\lambda-1}\) è un autovettore. Infatti, sempre formalmente:
\[
\frac{1}{u(x)}\int_0^x u^{\frac1\lambda-1}(y) u'(y)\, dy = \frac{1}{u(x)}[\lambda u^{\frac1\lambda}(y)]_{y=0}^{y=x} = \lambda u^{\frac1\lambda-1}(x).\]
Solo che \(u^{\frac1\lambda-1}\) non è in \(C([0, 1])\) se \(\lvert\lambda\rvert >1\). Questo dimostra che tutto il disco unitario \(\{z\in \mathbb C\ |z|\le 1\}\), meno l'origine, è costituito da autovalori di \(T_u\).
Non so cosa succede fuori dal disco unitario, ma 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 ha scritto che se \(|z|>1\) allora \(z\) non è un valore spettrale. @080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: Come hai fatto a dimostrarlo? Hai usato il fatto che \(\lVert T_u\rVert=1\)?
EDIT; ma certo, siccome la norma operatoriale \(\lVert T_u\rVert\) è 1, lo spettro deve essere contenuto in \(\{\lvert z \rvert\le 1\}\). Infatti, se \(\lvert \lambda \rvert>1\), allora \(T_u-\lambda I\) ammette l'inversa
\[
-\sum_{n=0}^\infty \lambda^{1-n}T_u^n.\]
CONCLUSIONE. Lo spettro di \(T_u\) è \(\{\lvert z \rvert \le 1\}\). Interessante osservare che, per ogni \(\epsilon>0\), lo spettro di \(T_{u+\epsilon}\) è \(\{0\}\). Uno si aspetterebbe che lo spettro sia, in qualche senso, una funzione continua della \(u\), ma è falso. Interessante.
P.S.: Una osservazione che vorrei registrare, l'operatore \(T_u\) può essere scritto nella forma
\[
T_u f(x)=\int_0^1 K(x, y)f(y)\, dy,\quad \text{ con }K(x, y)=\mathbf 1_{\{y\le x\}} \frac{u'(y)}{u(x)}.\]
---
[1] In matematica, "formalmente" significa che chi scrive non si è preoccupato di controllare che quanto dice abbia senso. In particolare, io non mi sono preoccupato di controllare che quanto scritto sopra abbia senso.
Nel caso \(u(0)=0\), *formalmente*\(^{[1]}\), ogni \(\lambda\ne 0\) è un autovalore e \(u^{\frac1\lambda-1}\) è un autovettore. Infatti, sempre formalmente:
\[
\frac{1}{u(x)}\int_0^x u^{\frac1\lambda-1}(y) u'(y)\, dy = \frac{1}{u(x)}[\lambda u^{\frac1\lambda}(y)]_{y=0}^{y=x} = \lambda u^{\frac1\lambda-1}(x).\]
Solo che \(u^{\frac1\lambda-1}\) non è in \(C([0, 1])\) se \(\lvert\lambda\rvert >1\). Questo dimostra che tutto il disco unitario \(\{z\in \mathbb C\ |z|\le 1\}\), meno l'origine, è costituito da autovalori di \(T_u\).
Non so cosa succede fuori dal disco unitario, ma 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 ha scritto che se \(|z|>1\) allora \(z\) non è un valore spettrale. @080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: Come hai fatto a dimostrarlo? Hai usato il fatto che \(\lVert T_u\rVert=1\)?
EDIT; ma certo, siccome la norma operatoriale \(\lVert T_u\rVert\) è 1, lo spettro deve essere contenuto in \(\{\lvert z \rvert\le 1\}\). Infatti, se \(\lvert \lambda \rvert>1\), allora \(T_u-\lambda I\) ammette l'inversa
\[
-\sum_{n=0}^\infty \lambda^{1-n}T_u^n.\]
CONCLUSIONE. Lo spettro di \(T_u\) è \(\{\lvert z \rvert \le 1\}\). Interessante osservare che, per ogni \(\epsilon>0\), lo spettro di \(T_{u+\epsilon}\) è \(\{0\}\). Uno si aspetterebbe che lo spettro sia, in qualche senso, una funzione continua della \(u\), ma è falso. Interessante.
P.S.: Una osservazione che vorrei registrare, l'operatore \(T_u\) può essere scritto nella forma
\[
T_u f(x)=\int_0^1 K(x, y)f(y)\, dy,\quad \text{ con }K(x, y)=\mathbf 1_{\{y\le x\}} \frac{u'(y)}{u(x)}.\]
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[1] In matematica, "formalmente" significa che chi scrive non si è preoccupato di controllare che quanto dice abbia senso. In particolare, io non mi sono preoccupato di controllare che quanto scritto sopra abbia senso.
Wow, dissonance, che figata! 
(sì, mi esalto con queste cose...) Ho bisogno di un po' di tempo per assimilare meglio ciò che hai scritto.
Ad una prima lettura, non mi è chiara solo una cosa: perché $|\lambda|\le 1$? Io avrei imposto $0<\lambda\le 1$.
Per il caso $u(0)=0$, pensavo di risolvere l'equazione $T_{u}(f)(x)=\lambda f(x)$ differenziando i due membri nell'intervallo $(0,1]$ e imponendo poi la continuità delle soluzioni in zero, nella speranza che l'imposizione fornisse informazioni sugli autovalori.
(sì, mi esalto con queste cose...) Ho bisogno di un po' di tempo per assimilare meglio ciò che hai scritto.Ad una prima lettura, non mi è chiara solo una cosa: perché $|\lambda|\le 1$? Io avrei imposto $0<\lambda\le 1$.
Per il caso $u(0)=0$, pensavo di risolvere l'equazione $T_{u}(f)(x)=\lambda f(x)$ differenziando i due membri nell'intervallo $(0,1]$ e imponendo poi la continuità delle soluzioni in zero, nella speranza che l'imposizione fornisse informazioni sugli autovalori.
Hai ragione su \(\lambda\) e infatti ho scritto da qualche parte \(\lambda \ne 0\). Per \(\lambda = 0\) avevamo già stabilito che si tratta di un valore spettrale che non è un autovalore.
Quanto a risolvere l'equazione, è proprio ciò che ho fatto io, anzi, in realtà lo hai fatto tu nel caso \(u(0)\ne 0\). L'equazione è sempre la stessa. Se la risolvi così, senza tanti patemi d'animo, ti accorgi che, formalmente (eh eh), le potenze ne sono una soluzione. Quindi a questo punto butti via l'equazione e ficchi le potenze direttamente nell'integrale. Sorpresa! Sono degli autovettori. Allora vai sul forum e scrivi direttamente che hai trovato degli autovettori, SENZA specificare come hai fatto.
Quanto a risolvere l'equazione, è proprio ciò che ho fatto io, anzi, in realtà lo hai fatto tu nel caso \(u(0)\ne 0\). L'equazione è sempre la stessa. Se la risolvi così, senza tanti patemi d'animo, ti accorgi che, formalmente (eh eh), le potenze ne sono una soluzione. Quindi a questo punto butti via l'equazione e ficchi le potenze direttamente nell'integrale. Sorpresa! Sono degli autovettori. Allora vai sul forum e scrivi direttamente che hai trovato degli autovettori, SENZA specificare come hai fatto.
"dissonance":
[...]
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: Come hai fatto a dimostrarlo? Hai usato il fatto che \(\lVert T_u\rVert=1\)?
EDIT; ma certo, siccome la norma operatoriale \(\lVert T_u\rVert\) è 1, lo spettro deve essere contenuto in \(\{\lvert z \rvert\le 1\}\). Infatti, se \(\lvert \lambda \rvert>1\), allora \(T_u-\lambda I\) ammette l'inversa
\[
-\sum_{n=0}^\infty \lambda^{1-n}T_u^n.\] [...]
Eh sì
Mi sembra che l'esercizio sia concluso.
Una nota: per confutare la compattezza di \(T_u\) quando \( u(0)=0\) si può considerare la successione di funzioni \[ f_n (x) = \begin{cases} 2^n x & \text{se } x \in [0, 2^{-n}] \\ 1 & \text{se } x \in (2^{-n},1] \end{cases} \]e mostrare che \( T_u f_n \) non ammette sottosuccessioni di Cauchy.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Una nota: per confutare la compattezza di \(T_u\) quando \( u(0)=0\) si può considerare la successione di funzioni \[ f_n (x) = \begin{cases} 2^n x & \text{se } x \in [0, 2^{-n}] \\ 1 & \text{se } x \in (2^{-n},1] \end{cases} \]e mostrare che \( T_u f_n \) non ammette sottosuccessioni di Cauchy.
Certamente. Anche qua, si può usare lo stesso metodo che dicevo prima. Infatti,
\[
(T_u f_n)'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{2^n\int_0^x yu'(y)\, dy}{xu(x)} = \lim_{x\to 0}2^n\frac{\frac12 u'(0)x^2+O(x^3)}{u'(0)x^2+O(x^3)}=2^{n-1}.\]
E quindi la successione non è equicontinua in \(0\) e, pertanto, non può avere sottosuccessioni di Cauchy.
[ot]Questo era un esercizio preso da un esame di Analisi Funzionale che ho fatto qualche anno fa.[/ot]
[ot]Volevo solo ringraziare dissonance e 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: sono stati pazienti e molto gentili a guidarmi nella soluzione di questo problema che mi ha divertito un sacco, sebbene sia un esercizio standard. 
[/ot]
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Anche a me è piaciuto!
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