Teorema del limite di funzione composta
Salve a tutti. Riguardo al teorema del limite delle funzioni composte, ho voluto analizzare il limite della seguente funzione:
$ lim_(x -> 0+)log(x*sin(1/x)) $
Dunque, constatato che $ y=f(x)=x*sin(1/x) $ e $ g(y)=log(y) $ , teoricamente io non posso applicare il teorema del limite della funzione composta, per 2 motivi:
- $ g(y) $ non è continua in 0 ( $ lim_(x ->0+) f(x) $ ), non essendo neppure definita per tale valore
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Tuttavia, tramite un software sono venuto a conoscenza del fatto che tale limite esiste (meno infinito), ed è lo stesso che otterrei se applicassi il teorema. Quindi, la mia domanda è:
si tratta di una casualità, oppure nella mia analisi c'è qualcosa di errato?
$ lim_(x -> 0+)log(x*sin(1/x)) $
Dunque, constatato che $ y=f(x)=x*sin(1/x) $ e $ g(y)=log(y) $ , teoricamente io non posso applicare il teorema del limite della funzione composta, per 2 motivi:
- $ g(y) $ non è continua in 0 ( $ lim_(x ->0+) f(x) $ ), non essendo neppure definita per tale valore
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Tuttavia, tramite un software sono venuto a conoscenza del fatto che tale limite esiste (meno infinito), ed è lo stesso che otterrei se applicassi il teorema. Quindi, la mia domanda è:
si tratta di una casualità, oppure nella mia analisi c'è qualcosa di errato?
Risposte
"gugo82":
Errato forse no, dipende da quale forma vuoi usare e quale conosci.
Ma per confronto si fa prima.
P.S.: Il commento sui software è comunque valido.
Se leggi il post con cui ho aperto la discussione, lo capisci. Per come lo conosco io, nessuna ipotesi è verificata, poi non so se tu conosci una ancora più "debole".
"Mathita":
Nono, il teorema del confronto.
Sul mio libro, ne vengono indicati due. Uno è quella che ha usato Gugo (e che coinvolge due funzioni), l'altro invece è il teorema dei due carabinieri.
Quali sono le ipotesi del primo teorema del confronto, quello usato da gugo, per intenderci. Mi chiedo se, nella forma in cui lo riporta il tuo libro, possa essere effettivamente applicato al caso in esame. Te lo chiedo perché solitamente è richiesto che le funzioni siano definite in un intorno (destro, sinistro, eventualmente bucato) del valore a cui tende $x$.
"Mathita":
Quali sono le ipotesi del primo teorema del confronto, quello usato da gugo, per intenderci. Mi chiedo se, nella forma in cui lo riporta il tuo libro, possa essere effettivamente applicato al caso in esame. Te lo chiedo perché solitamente è richiesto che le funzioni siano definite in un intorno (destro, sinistro, eventualmente bucato) del valore a cui tende $x$.
Ed è così anche nel caso del mio libro, infatti non ho avuto problemi a comprenderne l'applicazione. Quello che però adesso mi chiedo, è se l'applicazione del teorema di sostituzione sarebbe stata comunque errata, oppure esiste una condizione più debole di cui non sono a conoscenza, visto che applicandolo, il risultato finale viene comunque corretto.
Così, su due piedi, non conosco un risultato più debole rispetto a quelli che sono riportati nel file pdf.
Altra domanda: perché non hai battuto ciglio sullo svolgimento di gugo? (Attenzione, non sto dicendo che quella di gugo sia una dimostrazione sbagliata.)
In ogni caso, capita molto spesso di raggiungere il risultato corretto con un ragionamento errato: è quello che io chiamo botta di cul... Ehm fortuna. Secondo me, i più bravi (vedi gugo, dissonance, piloeffe, Antonio...) potrebbero tranquillamente creare un teorema sul limite di funzioni composte ad hoc aggiustando le ipotesi e facendo in modo che comprenda anche il tuo caso particolare.
Altra domanda: perché non hai battuto ciglio sullo svolgimento di gugo? (Attenzione, non sto dicendo che quella di gugo sia una dimostrazione sbagliata.)
In ogni caso, capita molto spesso di raggiungere il risultato corretto con un ragionamento errato: è quello che io chiamo botta di cul... Ehm fortuna. Secondo me, i più bravi (vedi gugo, dissonance, piloeffe, Antonio...) potrebbero tranquillamente creare un teorema sul limite di funzioni composte ad hoc aggiustando le ipotesi e facendo in modo che comprenda anche il tuo caso particolare.
"Mathita":
Così, su due piedi, non conosco un risultato più debole rispetto a quelli che sono riportati nel file pdf.
Altra domanda: perché non hai battuto ciglio sullo svolgimento di gugo? (Attenzione, non sto dicendo che quella di gugo sia una dimostrazione sbagliata.)
In ogni caso, capita molto spesso di raggiungere il risultato corretto con un ragionamento errato: è quello che io chiamo botta di cul... Ehm fortuna. Secondo me, i più bravi (vedi gugo, dissonance, piloeffe, Antonio...) potrebbero tranquillamente creare un teorema sul limite di funzioni composte ad hoc aggiustando le ipotesi e facendo in modo che comprenda anche il tuo caso particolare.
Non ho battuto ciglio semplicemente perché ha applicato un teorema differente, e per cui sono verificate tutte le ipotesi. Per il resto, so bene che i teoremi esprimono condizioni solamente sufficienti affinché possa verificarsi una tesi (è logica), però Gugo stesso ha detto che non sarebbe stato errato applicare il teorema di sostituzione, perciò suppongo che un altro modo ci sia, visto che entrambe le condizioni che ho citato nel post iniziale, non sono verificate. È su questo punto che attendo una risposta.
Penso di aver trovato una versione del teorema che potrebbe fare al caso tuo.
Siano $X,Y$ due insiemi non vuoti di $\mathbb{R}$; $x_0$ un punto di accumulazione per $X$, $y_0$ un punto di accumulazione per $Y$; $f: X\to Y$ e $g: Y\to \mathbb{R}$ due funzioni tali che: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0; \ \lim_{y\to y_0}g(y)=l\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$$. Se esiste $\delta>0$ tale che $\forall x\in X\setminus\{x_0\}$ con $|x-x_0|<\delta$ si ha che $f(x)\ne y_0$, allora $\lim_{x\to x_0}g(f(x))=l$
In spoiler una possibile dimostrazione. Spero regga.
Nota importante: $X$ non è il dominio massimale di $f(x)$: dev'essere tale che $f(X)\subseteq Y$.
Edit. Ho scritto la dimostrazione alle 6 di mattina: la probabilità che ci siano errori è prossima all'1. Ogni intervento, commento, correzione, critica sono benvenuti.
Siano $X,Y$ due insiemi non vuoti di $\mathbb{R}$; $x_0$ un punto di accumulazione per $X$, $y_0$ un punto di accumulazione per $Y$; $f: X\to Y$ e $g: Y\to \mathbb{R}$ due funzioni tali che: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0; \ \lim_{y\to y_0}g(y)=l\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$$. Se esiste $\delta>0$ tale che $\forall x\in X\setminus\{x_0\}$ con $|x-x_0|<\delta$ si ha che $f(x)\ne y_0$, allora $\lim_{x\to x_0}g(f(x))=l$
In spoiler una possibile dimostrazione. Spero regga.
Nota importante: $X$ non è il dominio massimale di $f(x)$: dev'essere tale che $f(X)\subseteq Y$.
Edit. Ho scritto la dimostrazione alle 6 di mattina: la probabilità che ci siano errori è prossima all'1. Ogni intervento, commento, correzione, critica sono benvenuti.
"Mathita":
Penso di aver trovato una versione del teorema che potrebbe fare al caso tuo.
Siano $X,Y$ due insiemi non vuoti di $\mathbb{R}$; $x_0$ un punto di accumulazione per $X$, $y_0$ un punto di accumulazione per $Y$; $f: X\to Y$ e $g: Y\to \mathbb{R}$ due funzioni tali che: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0; \ \lim_{y\to y_0}g(y)=l\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$$. Se esiste $\delta>0$ tale che $\forall x\in X\setminus\{x_0\}$ con $|x-x_0|<\delta$ si ha che $f(x)\ne y_0$, allora $\lim_{x\to x_0}g(f(x))=l$
In spoiler una possibile dimostrazione. Spero regga.
Nota importante: $X$ non è il dominio massimale di $f(x)$: dev'essere tale che $f(X)\subseteq Y$.
Edit. Ho scritto la dimostrazione alle 6 di mattina: la probabilità che ci siano errori è prossima all'1. Ogni intervento, commento, correzione, critica sono benvenuti.
Innanzitutto, è doveroso un ringraziamento da parte mia per il la pazienza e il tempo che mi hai dedicato, anche in orari proibitivi. Però non ho sciolto un dubbio... ma nel mio esercizio specifico, questa forma è applicabile? Perché a me sembra in realtà un modo diverso per scrivere la "condizione debole" che ho citato all'inizio, la quale non era verificata.
Tranquillo, sono abbastanza mattiniero. 
Se la dimostrazione è corretta, la tua $f(x)$ non può annullarsi mai in $$X\setminus\{x_0\}=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)>0\right\}\setminus\{0\}$$. Per inciso: con $X$ intendo il sottoinsieme del dominio di $f(x)$ tale che $f(X)\subseteq Y=(0,+\infty)$.
Se la dimostrazione è corretta, la tua $f(x)$ non può annullarsi mai in $$X\setminus\{x_0\}=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)>0\right\}\setminus\{0\}$$. Per inciso: con $X$ intendo il sottoinsieme del dominio di $f(x)$ tale che $f(X)\subseteq Y=(0,+\infty)$.
"Mathita":
Tranquillo, sono abbastanza mattiniero.
Se la dimostrazione è corretta, la tua $f(x)$ non può annullarsi mai in $$X\setminus\{x_0\}=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)>0\right\}\setminus\{0\}$$. Per inciso: con $X$ intendo il sottoinsieme del dominio di $f(x)$ tale che $f(X)\subseteq Y=(0,+\infty)$.
Benissimo, però ho un ultimisaimo dubbio... tenendo conto di questa versione, nel caso in cui la "mia" $ g(y) $ fosse stata $ sign(y) $ (insomma, la "funzione segno") cosa avrebbe fatto saltare il banco? Lo chiedo perché so per certo che, nel caso della funzione $ sign(x*sin(1/x)) $, applicando il teorema di sostituzione viene un risultato errato.
Non vedo perché il risultato venga errato... Visto che il limite non esiste.
"gugo82":
Non vedo perché il risultato venga errato... Visto che il limite non esiste.
Eh, ma se applichi (sbagliando) il teorema di sostituzione, giungi ad un'altra conclusione. Perciò chiedevo cos'è che faceva "saltare il banco", ovviamente in riferimento alla versione del teorema che ha fornito Mathita.
EDIT: in riferimento al teorema di sostituzione, posso al limite congetturare che esso sia valido anche nel caso in cui $ g(y) $ non sia definita in $ lim_(x -> c) f(x) $, ma è una cosa che va dimostrata.
Il "teorema fino a prova contraria" che ho fornito io non lo puoi usare. Chi è $X$ in questa circostanza? Chi è $y_0$? Esiste il $\delta$ del "teorema fino a prova contraria"?
"Daken97":
[quote="gugo82"]Non vedo perché il risultato venga errato... Visto che il limite non esiste.
Eh, ma se applichi (sbagliando) il teorema di sostituzione, giungi ad un'altra conclusione. Perciò chiedevo cos'è che faceva "saltare il banco" [...][/quote]
La stupidità di chi non controlla le ipotesi?
E comunque non è chiaro come vorresti applicare il teorema...
"gugo82":
[quote="Daken97"][quote="gugo82"]Non vedo perché il risultato venga errato... Visto che il limite non esiste.
Eh, ma se applichi (sbagliando) il teorema di sostituzione, giungi ad un'altra conclusione. Perciò chiedevo cos'è che faceva "saltare il banco" [...][/quote]
La stupidità di chi non controlla le ipotesi?
E comunque non è chiaro come vorresti applicare il teorema...[/quote]
Non lo volevo applicare (anche perché già sapevo che sarebbe stato errato, come ho scritto sopra), ma semplicemente capire quali erano le ipotesi che venivano meno. Comunque, poco male, se riuscissi a dimostrare che sarebbe sufficiente anche la condizione che ho citato sopra nell'EDIT, tutto diventerebbe più semplice.
Ma infatti a nessuno importa se $g$ è definita in $lim_(x -> c) f(x)$...
"gugo82":
Ma infatti a nessuno importa se $g$ è definita in $lim_(x -> c) f(x)$...
No, intendo dire un'altra cosa, in riferimento al post con cui ho aperto il thread. Dunque, nell'ipotesi è richiesto che $ g(y) $ sia "definita e continua in $ lim_(x -> c)f(x) $" ... ora, quello che io ho congetturato, e che mi piacerebbe dimostrare, è che basterebbe anche che $ g(y) $ NON sia definita in $ lim_(x -> c)f(x) $. Spero di essermi spiegato.
Perfetto... dopo svariate ricerche, sono riuscito a trovare una versione del teorema che fa esattamente al caso mio, e che conferma anche la congettura che ho citato sopra. Comunque, grazie a tutti, alla prossima.
Qual è il Teorema che fa al caso tuo? Ti va di scrivere l'enunciato o di inserire il link di una pagina che lo riporti, per favore? Tra l'altro, nella forma in cui l'ho riportato io, la funzione esterna non deve essere necessariamente definita in $y_0$. L'unica clausola è che $y_0$ sia un punto di accumulazione per $Y$.
Edit: mi va bene anche un riferimento bibliografico.
Edit: mi va bene anche un riferimento bibliografico.
"Mathita":
Qual è il Teorema che fa al caso tuo? Ti va di scrivere l'enunciato o di inserire il link di una pagina che lo riporti, per favore? Tra l'altro, nella forma in cui l'ho riportato io, la funzione esterna non deve essere necessariamente definita in $y_0$. L'unica clausola è che $y_0$ sia un punto di accumulazione per $Y$.
Edit: mi va bene anche un riferimento bibliografico.
Michele Mininni, Lezioni di analisi matematica 1... pagina 89.
Un aspetto (a mio parere) fondamentale che viene chiarito, riguardo ad una delle ipotesi, è che la "condizione debole" deve valere in un intorno del valore in cui voglio calcolare il limite, INTERSECATO CON IL DOMINIO DELLA FUNZIONE... quest'ultima precisazione, che ho mostrato in maiuscolo, ha chiarito ogni mio dubbio.
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