Teorema del limite di funzione composta
Salve a tutti. Riguardo al teorema del limite delle funzioni composte, ho voluto analizzare il limite della seguente funzione:
$ lim_(x -> 0+)log(x*sin(1/x)) $
Dunque, constatato che $ y=f(x)=x*sin(1/x) $ e $ g(y)=log(y) $ , teoricamente io non posso applicare il teorema del limite della funzione composta, per 2 motivi:
- $ g(y) $ non è continua in 0 ( $ lim_(x ->0+) f(x) $ ), non essendo neppure definita per tale valore
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Tuttavia, tramite un software sono venuto a conoscenza del fatto che tale limite esiste (meno infinito), ed è lo stesso che otterrei se applicassi il teorema. Quindi, la mia domanda è:
si tratta di una casualità, oppure nella mia analisi c'è qualcosa di errato?
$ lim_(x -> 0+)log(x*sin(1/x)) $
Dunque, constatato che $ y=f(x)=x*sin(1/x) $ e $ g(y)=log(y) $ , teoricamente io non posso applicare il teorema del limite della funzione composta, per 2 motivi:
- $ g(y) $ non è continua in 0 ( $ lim_(x ->0+) f(x) $ ), non essendo neppure definita per tale valore
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Tuttavia, tramite un software sono venuto a conoscenza del fatto che tale limite esiste (meno infinito), ed è lo stesso che otterrei se applicassi il teorema. Quindi, la mia domanda è:
si tratta di una casualità, oppure nella mia analisi c'è qualcosa di errato?
Risposte
Ciao Daken97,
Beh, la funzione logaritmo è continua dove è definita, cioè in $(0, +\infty) $; inoltre l'argomento del logaritmo è una funzione limitata moltiplicata per $x$, per cui $\lim_{x \to 0^+} x \cdot sin(1/x) = 0 $. Quindi naturalmente si ha:
$\lim_{x \to 0^+} log(x \cdot sin(1/x)) = -\infty $
Beh, la funzione logaritmo è continua dove è definita, cioè in $(0, +\infty) $; inoltre l'argomento del logaritmo è una funzione limitata moltiplicata per $x$, per cui $\lim_{x \to 0^+} x \cdot sin(1/x) = 0 $. Quindi naturalmente si ha:
$\lim_{x \to 0^+} log(x \cdot sin(1/x)) = -\infty $
"pilloeffe":
Ciao Daken97,
Beh, la funzione logaritmo è continua dove è definita, cioè in $(0, +\infty) $; inoltre l'argomento del logaritmo è una funzione limitata moltiplicata per $x$, per cui $\lim_{x \to 0^+} x \cdot sin(1/x) = 0 $. Quindi naturalmente si ha:
$\lim_{x \to 0^+} log(x \cdot sin(1/x)) = -\infty $
Ciao Pilloeffe. Sì, il fatto è che, se leggi il testo del teorema, c'è scritto che $ g(y) $ deve essere definita e continua proprio in quel punto, e non semplicemente una "funzione continua". Per questo chiedevo, altrimenti il dubbio non mi sarebbe sorto.
"Daken97":
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Ne sei sicuro?
"LoreT314":
[quote="Daken97"]
-Non esiste un intorno bucato di 0 per cui $ f(x)!=0 $ per ogni x appartenente all'intorno considerato
Ne sei sicuro?[/quote]
Sul libro, la funzione $ x*sin(1/x) $ viene usata per un controesempio simile. Essa, si annulla per ogni valore $ 1/(k*Pi) $ con k intero non nullo.
"Daken97":
deve essere definita e continua proprio in quel punto, e non semplicemente una "funzione continua".
La funzione logaritmo è continua ovunque è definita, cioè in $(0,+\infty)$, in particolare a destra di $0$ (a sinistra ovviamente no, dato che non è definita a sinistra di $0$, pertanto non ha neanche senso chiedersi se è ivi continua: ma non interessa, dato che si sta calcolando il $\lim_{x \to 0^+}$).
"pilloeffe":
[quote="Daken97"]deve essere definita e continua proprio in quel punto, e non semplicemente una "funzione continua".
La funzione logaritmo è continua ovunque è definita, cioè in $(0,+\infty)$, in particolare a destra di $0$ (a sinistra ovviamente no, dato che non è definita a sinistra di $0$, pertanto non ha neanche senso chiedersi se è ivi continua: ma non interessa, dato che si sta calcolando il $\lim_{x \to 0^+}$).[/quote]
Sì, ma torno a ripetere che il testo del teorema, chiede che tale funzione sia "definita e continua in quel punto", e non semplicemente una "funzione continua in tutto il suo dominio". Nel momento in cui $ log(y) $ non è definita per $ y=0 $, il teorema non si può applicare... poi, grazie ai software so che alla fine verrebbe uguale, però per questo chiedevo se fosse una casualità, oppure ci fosse qualcosa di errato nella mia analisi.
"Daken97":
Sul libro, la funzione $ x*sin(1/x) $ viene usata per un controesempio simile. Essa, si annulla per ogni valore $ 1/(k*Pi) $ con k intero non nullo.
Si certo hai ragione, ho confuso $f$ con $log(...) $
"LoreT314":
[quote="Daken97"]
Sul libro, la funzione $ x*sin(1/x) $ viene usata per un controesempio simile. Essa, si annulla per ogni valore $ 1/(k*Pi) $ con k intero non nullo.
Si certo hai ragione, ho confuso $f$ con $log(...) $[/quote]
Quindi, le ipotesi per applicare il teorema non sono rispettate, ma ciononostante, il risultato è lo stesso?
"pilloeffe":
Dai un'occhiata ad esempio qui.
Già l'ho visto, e infatti neppure in quell'esempio sussistono le ipotesi per applicare quel teorema (" $ f(x) $ " è la stessa), e a differenza del mio, applicandolo viene un risultato errato. Però ripeto, la funzione deve essere "DEFINITA e continua in quel punto", e non soltanto "continua in tutto il proprio dominio". Poi, applicando il teorema, nel mio esempio specifico il risultato viene ugualmente giusto, ma non è comunque il modo corretto di procedere, perché quelle ipotesi NON sono verificate.
"Tramite un software" is the new "mi ha detto mio cuggino"... 
La funzione assegnata non ha limite per $x -> 0^+$.
*** EDIT: Forse no, ho detto una cazzata.
Dammi un po' di tempo e calma che ti rispondo in maniera sensata.
*** EDIT2: Sì, ho detto una cazzata. Decisamente.
Infatti, in $"Dom"(f) nn ]0,+oo[$ hai $x sin(1/x) <= x$ e dunque $log(x sin(1/x)) <= log x$. Il risultato segue per confronto.
La funzione assegnata non ha limite per $x -> 0^+$.
*** EDIT: Forse no, ho detto una cazzata.
Dammi un po' di tempo e calma che ti rispondo in maniera sensata.
*** EDIT2: Sì, ho detto una cazzata. Decisamente.
Infatti, in $"Dom"(f) nn ]0,+oo[$ hai $x sin(1/x) <= x$ e dunque $log(x sin(1/x)) <= log x$. Il risultato segue per confronto.
"gugo82":
"Tramite un software" is the new "mi ha detto mio cuggino"...
@Daken97
Il punto è (almeno in gran parte) decisamente quello che ti sta dicendo gugo82...una volta che hai intuito quale dovrebbe essere il limite puoi sempre, nel dubbio, verificarlo con la definizione.
Il problema per la funzione che proponi consiste, se mai, nel capire come è fatto il dominio "vicino a $0^+$" per assicurarsi che $0$ sia un suo punto di accumulazione destro (lo è)....e infatti, visto che ti interessa il limite a destra di $0$ ci si può semplificare la vita restringendosi fin da subito a studiare l'intersezione $A=]0; K[\cap D_f$ fra il dominio e un intervallo del tipo $]0; K[$ (con $K>0$), e si trova facilmente che $0$ è di accumulazione destro
per $D_f$.
Per la verifica del limite ("con la disequazione") puoi anche sfruttare il fatto che $\lim_{x->0; x\in A} x\sin(1/x)=0^+$ per dedurre l'esistenza degli intorni destri di $0$ richiesti dalla definizione di limite...
Domanda (sempre per Daken97): secondo te quanto fa $\lim_{x->0}\sqrt{x^2(|x|-1)}$? e secondo il software? nel caso il software ti dica che viene $0$...che problema c'è?
Per quanto riguarda il Teorema che citi: esprime solo una condizione sufficiente, non è un'equivalenza. Se vuoi, l'esempio che proponi mostra che le ipotesi del teorema (di solito si dà la disgiunzione inclusiva di due casi) non costituiscono una condizione necessaria per la validità di quanto espresso nella tesi. Piuttosto dovresti studiare attentamente la dimostrazione e capire se essa cade inesorabilmente nel tuo caso oppure con qualche piccola modifica ad hoc porta comunque al risultato...
"alessio76":
[quote="gugo82"]"Tramite un software" is the new "mi ha detto mio cuggino"...
@Daken97
Il punto è (almeno in gran parte) decisamente quello che ti sta dicendo gugo82...una volta che hai intuito quale dovrebbe essere il limite puoi sempre, nel dubbio, verificarlo con la definizione.
Il problema per la funzione che proponi consiste, se mai, nel capire come è fatto il dominio "vicino a $0^+$" per assicurarsi che $0$ sia un suo punto di accumulazione destro (lo è)....e infatti, visto che ti interessa il limite a destra di $0$ ci si può semplificare la vita restringendosi fin da subito a studiare l'intersezione $A=]0; K[\cap D_f$ fra il dominio e un intervallo del tipo $]0; K[$ (con $K>0$), e si trova facilmente che $0$ è di accumulazione destro
per $D_f$.
Per la verifica del limite ("con la disequazione") puoi anche sfruttare il fatto che $\lim_{x->0; x\in A} x\sin(1/x)=0^+$ per dedurre l'esistenza degli intorni destri di $0$ richiesti dalla definizione di limite...
Domanda (sempre per Daken97): secondo te quanto fa $\lim_{x->0}\sqrt{x^2(|x|-1)}$? e secondo il software? nel caso il software ti dica che viene $0$...che problema c'è?
Per quanto riguarda il Teorema che citi: esprime solo una condizione sufficiente, non è un'equivalenza. Se vuoi, l'esempio che proponi mostra che le ipotesi del teorema (di solito si dà la disgiunzione inclusiva di due casi) non costituiscono una condizione necessaria per la validità di quanto espresso nella tesi. Piuttosto dovresti studiare attentamente la dimostrazione e capire se essa cade inesorabilmente nel tuo caso oppure con qualche piccola modifica ad hoc porta comunque al risultato...[/quote]
So benissimo che i teoremi, per definizione, esprimono delle condizioni sufficienti e non necessarie, è alla base della logica. Il fatto è che, se bisogna risolvere un esercizio, non si può fare affidamento sui software, e dato che in questo caso non si può applicare quel teorema (perché convenite anche voi che le ipotesi non sono verificate), fra le righe chiedevo anche come avreste proceduto per calcolare tale limite.
Comunque sì, forse dalla dimostrazione può emergere una condizione ancora più "debole" di quella, in ogni caso, aspetto Gugo, che ha una risposta praticamente a tutto.
"Daken97":
...fra le righe chiedevo anche come avreste proceduto per calcolare tale limite...
La risposta in realtà dipende anche da cosa è stato fatto nel corso...Comunque, un modo, come ti ho scritto, è con la noiosa definizione (dopo aver individuato il candidato limite)...
Una domanda: conosci il teorema ponte (o teorema di caratterizzazione)? Secondo me, se lo usi insieme al teorema del confronto per successioni, puoi arrivare al risultato. Scusami se sono criptico, ma sono da mobile ed è difficile scrivere qualsiasi formula. Appena rientro, provo a scrivere meglio la cosa.
"gugo82":
*** EDIT2: Sì, ho detto una cazzata. Decisamente.
Infatti, in $"Dom"(f) nn ]0,+oo[$ hai $x sin(1/x) <= x$ e dunque $log(x sin(1/x)) <= log x$. Il risultato segue per confronto.
Sapevo che una risposta l'avresti trovata.
Comunque, confermi che procedere con il teorema di sostituzione, concettualmente sarebbe stato errato, nonostante il risultato finale sia quello giusto?
Errato forse no, dipende da quale forma vuoi usare e quale conosci.
Ma per confronto si fa prima.
P.S.: Il commento sui software è comunque valido.
Ma per confronto si fa prima.
P.S.: Il commento sui software è comunque valido.
@daken97. Giusto per curiosità, quale enunciato hai del teorema del confronto?
"Mathita":
@daken97. Giusto per curiosità, quale enunciato hai del teorema del confronto?
Aspetta, ma parli del teorema del confronto o del Teorema di caratterizzazione/teorema ponte?
Nono, il teorema del confronto.
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