Successione ricorsiva
Potreste illustrarmi i passaggi per la risoluzione della seguente successione ricorsiva?
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
Risposte
Passando ai logaritmi in base $3$ dalla relazione iniziale:
$3^(a_(n+1))=5*2^(a_n)$
ricavi immediatamente:
$a_(n+1)=log_3 (5*2^(a_n))=log_3 5+log_3 2^(a_n)$;
applicando all'ultimo addendo al terzo membro la formula del cambiamento di base per il logaritmo riesci a scrivere:
$a_(n+1)=log_3 5+(log_2 2^(a_n))/(log_2 3)$
ossia:
$a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n$
che è una semplice relazione ricorsiva.
Prova a partire da qui.
$3^(a_(n+1))=5*2^(a_n)$
ricavi immediatamente:
$a_(n+1)=log_3 (5*2^(a_n))=log_3 5+log_3 2^(a_n)$;
applicando all'ultimo addendo al terzo membro la formula del cambiamento di base per il logaritmo riesci a scrivere:
$a_(n+1)=log_3 5+(log_2 2^(a_n))/(log_2 3)$
ossia:
$a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n$
che è una semplice relazione ricorsiva.
Prova a partire da qui.
L'ottimo procedimento di gugo si può completare fino alla formula esplicita di $a_n$.
Usando solo log in base 3 si può scrivere l'equazione al seguente modo:
$a_(n+1)=a_n*log_3 2+log_3 5$
Per semplicità poniamo $log_3 2=a,log_3 5=b$ per cui si ha :
(1) $a_(n+1)-a*a_n=b$
la (1) è un'ordinaria equazione alle differenze finite che si risolve abbastanza agevolmente.Infatti l'equazione omogenea corrispondente è $a_(n+1)-a*a_n=0$ e l'equazione caratteristica associata è $lambda^(n+1)-a lambda^n=0$ da cui ,scartando soluzioni banali,si ricava $lambda=a$.
Pertanto,tenuto conto che b è costante,la soluzione generale della (1) si può porre nella forma
$a_n=C_o*a^n+C_1$
Sostituendo nella (1) risulta l'identità:
$C_o*a^(n+1)+C_1-C_o*a^(n+1)-aC_1=b$ da cui abbiamo $C_1=b/(1-a)$ e quindi si ha:
$a_n=C_o*a^n+b/(1-a)$
Imponendo ora la condizione iniziale $a_o=1$ si trae che $C_o=(1-a-b)/(1-a)$
In definitiva risulta che :
$a_n=(1-a-b)/(1-a)*a^n+b/(1-a)$
dove a e b sono le costanti prima definite.
Ciao
Usando solo log in base 3 si può scrivere l'equazione al seguente modo:
$a_(n+1)=a_n*log_3 2+log_3 5$
Per semplicità poniamo $log_3 2=a,log_3 5=b$ per cui si ha :
(1) $a_(n+1)-a*a_n=b$
la (1) è un'ordinaria equazione alle differenze finite che si risolve abbastanza agevolmente.Infatti l'equazione omogenea corrispondente è $a_(n+1)-a*a_n=0$ e l'equazione caratteristica associata è $lambda^(n+1)-a lambda^n=0$ da cui ,scartando soluzioni banali,si ricava $lambda=a$.
Pertanto,tenuto conto che b è costante,la soluzione generale della (1) si può porre nella forma
$a_n=C_o*a^n+C_1$
Sostituendo nella (1) risulta l'identità:
$C_o*a^(n+1)+C_1-C_o*a^(n+1)-aC_1=b$ da cui abbiamo $C_1=b/(1-a)$ e quindi si ha:
$a_n=C_o*a^n+b/(1-a)$
Imponendo ora la condizione iniziale $a_o=1$ si trae che $C_o=(1-a-b)/(1-a)$
In definitiva risulta che :
$a_n=(1-a-b)/(1-a)*a^n+b/(1-a)$
dove a e b sono le costanti prima definite.
Ciao
"bad.alex":
Potreste illustrarmi i passaggi per la risoluzione della seguente successione ricorsiva?
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
vi ringrazio moltissimo. proverò subito ad applicare questa formula alle altre....in caso.....tornerò da voi!!!
un abbraccio, alex
"bad.alex":
[quote="bad.alex"]Potreste illustrarmi i passaggi per la risoluzione della seguente successione ricorsiva?
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
nn riesco ad arrivare al risultato corretto
ho svolto i seguenti passaggi:
$an + 1= log ( 5 - 2^(an)$
$an + 1 = log 5 + anlog 2$
$an - anlog 2 = log 5 -1$
$an ( 1 - log 2) = log 5 -1$
$an (log 3 - log 2) = log 5 -log 3$
$an log (3/2) = log(5/3) $
.... nn mi si chieda perchè io abbia fatto così...
il problema che nn so come arrivare al risultato ..avrei dovuto determinare la monotonia e calcolarne il limite...ma come si fa???
il log è in base 3 e il risultato è $ lim an= log 5 $ log di 5 in base 3/2..... per ogni appartenente ai numeri naturali
scusatemi.... ma nn sto riuscendo davvero....
vi ringrazio moltissimo. proverò subito ad applicare questa formula alle altre....in caso.....tornerò da voi!!!
un abbraccio, alex
[/quote]
Al primo membro hai $3^(a_((n+1)))$ che è diverso da $3^(a_n +1)=3*3^(a_n)$.
Questo è il tuo errore: al membro destro della definizione per ricorrenza figura il termine generale della successione (cioè $a_n$), mentre al sinistro figura il termine successivo (cioè $a_((n+1))$).
Le relazioni che abbiamo scritto manlio ed io ti consentono di ricavare $a_((n+1))$ a partire da $a_0=1$ e quindi, per conoscere $a_n$ basta shiftare gli indici di $1$ verso sinistra: ad esempio se trovi una formula finale del tipo:
$a_(n+1)=f(n,a_0)$
per ricavare esplicitamente $a_n$ basta sostituire $n-1$ al posto di $n$, così:
$a_n=f(n-1,a_0)$.
P.S.: alex, attento ai [quote]!
Questo è il tuo errore: al membro destro della definizione per ricorrenza figura il termine generale della successione (cioè $a_n$), mentre al sinistro figura il termine successivo (cioè $a_((n+1))$).
Le relazioni che abbiamo scritto manlio ed io ti consentono di ricavare $a_((n+1))$ a partire da $a_0=1$ e quindi, per conoscere $a_n$ basta shiftare gli indici di $1$ verso sinistra: ad esempio se trovi una formula finale del tipo:
$a_(n+1)=f(n,a_0)$
per ricavare esplicitamente $a_n$ basta sostituire $n-1$ al posto di $n$, così:
$a_n=f(n-1,a_0)$.
P.S.: alex, attento ai [quote]!
uhm....
non riesco a seguirti...nn sto capendo....puoi illustrarmi...sono bloccato da ieri con quest esercizio e su internet nn trovo spiegazioni sufficienti....=(
non riesco a seguirti...nn sto capendo....puoi illustrarmi...sono bloccato da ieri con quest esercizio e su internet nn trovo spiegazioni sufficienti....=(
"bad.alex":
uhm....
non riesco a seguirti...nn sto capendo....puoi illustrarmi...sono bloccato da ieri con quest esercizio e su internet nn trovo spiegazioni sufficienti....=(
per favore...aiutatemi a svolgerla...devo imparare un metodo al più presto....
Non capisco dove sia la tua difficoltà.
Ti sono stati indicati tutti i passaggi ed è stato corretto l'errore che commettevi, quindi aspettiamo delucidazioni in merito.
Ti sono stati indicati tutti i passaggi ed è stato corretto l'errore che commettevi, quindi aspettiamo delucidazioni in merito.
"gugo82":
Non capisco dove sia la tua difficoltà.
Ti sono stati indicati tutti i passaggi ed è stato corretto l'errore che commettevi, quindi aspettiamo delucidazioni in merito.
sn fermo a :
$an+ 1= anlog2 + log 5 $
in base 3....nn so come proseguire ora...come si arriva a quel risultato???l'unico modo per svolgerla era scorretto....please....
"bad.alex":
[quote="gugo82"]Non capisco dove sia la tua difficoltà.
Ti sono stati indicati tutti i passaggi ed è stato corretto l'errore che commettevi, quindi aspettiamo delucidazioni in merito.
sn fermo a :
$an+ 1= anlog2 + log 5 $
in base 3....nn so come proseguire ora...come si arriva a quel risultato???l'unico modo per svolgerla era scorretto....please....[/quote]
gugo82...devo chiederti davvero di illustrarmi passaggio per passaggio perchè sto trovando parecchie difficoltà... nn sono riuscito a seguire la spiegazione di manlio....ti prego...abbi pazienza...perchè io la sto perdendo con questo esercizio....e so che nn è difficile....
Ma cos'è che ti tormenta? Il passaggio al log in base 3 o la risoluzione vera e propria dell'equazione ?
Come ti è stato già detto non devi scrivere $a_n+1$ ma $a_(n+1)$.Insomma quel "n+1" è un indice che sta ad indicare l' "n+1 esimo" termine della ricorsione.Pertanto l'equazione esatta è:
$a_(n+1)=a_n log_3 2+log_3 5$
Quanto alla risoluzione c'è il metodo dell'equazione caratteristica che è poi quello che ti ho indicato e che ,per un caso così comune, mi sembra il più adatto.
Ciao
Come ti è stato già detto non devi scrivere $a_n+1$ ma $a_(n+1)$.Insomma quel "n+1" è un indice che sta ad indicare l' "n+1 esimo" termine della ricorsione.Pertanto l'equazione esatta è:
$a_(n+1)=a_n log_3 2+log_3 5$
Quanto alla risoluzione c'è il metodo dell'equazione caratteristica che è poi quello che ti ho indicato e che ,per un caso così comune, mi sembra il più adatto.
Ciao
"manlio":
Ma cos'è che ti tormenta? Il passaggio al log in base 3 o la risoluzione vera e propria dell'equazione ?
Come ti è stato già detto non devi scrivere $a_n+1$ ma $a_(n+1)$.Insomma quel "n+1" è un indice che sta ad indicare l' "n+1 esimo" termine della ricorsione.Pertanto l'equazione esatta è:
$a_(n+1)=a_n log_3 2+log_3 5$
Quanto alla risoluzione c'è il metodo dell'equazione caratteristica che è poi quello che ti ho indicato e che ,per un caso così comune, mi sembra il più adatto.
Ciao
sin qui ci sono arrivato....mi tormenta il fatto che il risultato finora ottenuto nn mi sia uguale a log 5 in base 3/2....perchè nn saprei come arrivarci....
l'equaz. caratteristica mi ha fatto confondere negli ultimi passaggi : $an= C0a^(n) + b/(1-a)$
questo il mio limite ma vorrei superarlo....come posso arrivare a quel risultato?questo il tormento
L'equazione caratteristica riguardo un capitolo di matematica discreta relativo appunto alla risoluzione di equazioni alle differenze finite.Se non le hai studiate non vedo come potresti arrivarci sebbene l'argomento ,almeno per le equazioni lineari a coefficienti costanti, sia piuttosto accessibile.Per certi versi e' simile (ma non eguale !!) a quello sulle equazioni differenziali ,sempre lineari a coefficienti costanti.
Ciao
Ciao
"manlio":
L'equazione caratteristica riguardo un capitolo di matematica discreta relativo appunto alla risoluzione di equazioni alle differenze finite.Se non le hai studiate non vedo come potresti arrivarci sebbene l'argomento ,almeno per le equazioni lineari a coefficienti costanti, sia piuttosto accessibile.Per certi versi e' simile (ma non eguale !!) a quello sulle equazioni differenziali ,sempre lineari a coefficienti costanti.
Ciao
mai studiate e mi sorprende che siano dati esercizi senza neanche spiegazione da parte di un docente. ma se potessi osservare il passaggio seguente dell'equazione corretta forse potrei arrivare a qualcosa di più facile...l'esempio sarebbe concreto.
....nn ci arrivo io...ma potrei seguirti...annche se nn più in forma generalizzata...nn saprei neanche dire cosa sia un'eq differenziale...nn per mancanza di stdio...
dal momento che devo calcolarmi il lim della successione an nn posso risolvere l'equazione $anlog 2 - log 5= 0$ ?
sempre il tutto in base 3....
nn so come svolgerla....nn so cosa inventarmi .... nè so dove poter andare a controllare perchè già dove potevo ho dato un'occhiata ma mancano di esempi...quindi mi muovo alla cieca....vi ringrazio
sempre il tutto in base 3....
nn so come svolgerla....nn so cosa inventarmi .... nè so dove poter andare a controllare perchè già dove potevo ho dato un'occhiata ma mancano di esempi...quindi mi muovo alla cieca....vi ringrazio
Ti do qualche indicazione di massima.
Supponiamo allora che si abbia da risolvere un'equazione alle differenze di questa fatta:
$y_(n+1)-a y_n=b$ (cioé proprio quella in questione) con a e b costanti note.Proviamo a risolvere prima quella omogenea $y_(n+1)-a y_n=0$ ponendo $y_n=C_oz^n$.In tal modo essa diventa :
$C_o z^(n+1)-a C_o z^n=0$ ,che è poi (a meno del fattore $C_o$) l'equazione caratteristica .La sua soluzione ,diversa da 0, è z=a e quindi si ha $y_n=C_o a^n$
Volendo ora tener conto anche della b ,possiamo porre la soluzione generale nella forma $y_n=C_o a^n+C_1$
e da questo punto in poi tutto procede come ti ho già scritto nel mio primo post.
Spero di esserti stato utile non escludendo che vi possano essere metodi alternativi più semplici.
Ciao
Supponiamo allora che si abbia da risolvere un'equazione alle differenze di questa fatta:
$y_(n+1)-a y_n=b$ (cioé proprio quella in questione) con a e b costanti note.Proviamo a risolvere prima quella omogenea $y_(n+1)-a y_n=0$ ponendo $y_n=C_oz^n$.In tal modo essa diventa :
$C_o z^(n+1)-a C_o z^n=0$ ,che è poi (a meno del fattore $C_o$) l'equazione caratteristica .La sua soluzione ,diversa da 0, è z=a e quindi si ha $y_n=C_o a^n$
Volendo ora tener conto anche della b ,possiamo porre la soluzione generale nella forma $y_n=C_o a^n+C_1$
e da questo punto in poi tutto procede come ti ho già scritto nel mio primo post.
Spero di esserti stato utile non escludendo che vi possano essere metodi alternativi più semplici.
Ciao
Senti Alex ma tu devi trovare anche il limite della successione o che altro ? Forse se postassi il quesito nella sua interezza ci capiremmo meglio.
Ciao
Ciao
"manlio":
Ti do qualche indicazione di massima.
Supponiamo allora che si abbia da risolvere un'equazione alle differenze di questa fatta:
$y_(n+1)-a y_n=b$ (cioé proprio quella in questione) con a e b costanti note.Proviamo a risolvere prima quella omogenea $y_(n+1)-a y_n=0$ ponendo $y_n=C_oz^n$.In tal modo essa diventa :
$C_o z^(n+1)-a C_o z^n=0$ ,che è poi (ameno del fattore $C_o$) l'equazione caratteristica .La sua soluzione ,diversa da 0, è z=a e quindi si ha $y_n=C_o a^n$
Volendo ora tener conto anche della b ,possiamo porre la soluzione generale nella forma $y_n=C_o a^n+C_1$
e da questo punto in poi tutto procede come ti ho già scritto nel mio primo post.
Spero di esserti stato utile non escludendo che vi possano essere metodi alternativi più semplici.
Ciao
seguire tutti questi parametri nn mi è facile....yn =an ?
"manlio":
Senti Alex ma tu devi trovare anche il limite della successione o che altro ? Forse se postassi il quesito nella sua interezza ci capiremmo meglio.
Ciao
sia (an) la successione definita per ricorrenza nel modo seguente: a0 = 1
$ 3^(an +1) = 5 * 2^(an)$
provare che è monotona e trovarne il limite
Ok, allora facciamo tutto più semplicemente.
Ti avverto però che il post è un po' lungo!
Confido che tu abbia capito come sono arrivato a scrivere la relazione:
(*) $a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n$
quindi partirò da questo punto, cercando l'espressione generale di $a_n$ sostituendo a ritroso.
Supponi di fissare $n$ in modo che si abbia $n-1 in NN$: tenendo presente che la (*) implica:
$a_n=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-1)$
dalla relazione precedente, sostituendo il valore di $a_n$ e facendo dei semplici passaggi algebrici, ricavi:
$a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n=log_3 5+1/(log_2 3)*(log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-1))=(log_3 5+1/(log_2 3)*log_3 5)+1/((log_2 3)^2)*a_(n-1)$
quindi sussiste la:
1) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3))+1/((log_2 3)^2)*a_(n-1)$;
se $n$ è anche tale che $n-2 in NN$, allora la (*) implica:
$a_(n-1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-2)$
e puoi sostituire nella 1) ottenendo, con i soliti passaggi algebrici, la:
2) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3)+1/((log_2 3)^2))+1/((log_2 3)^3)*a_(n-2)$;
ancora, se supponi che $n$ sia abbastanza grande e che $n-3 in NN$, sempre per la (*) hai:
$a_(n-2)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-3)$
cosicchè, sostituendo nella 2) ed operando i soliti passaggi, riconosci che vale la:
3) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3)+1/((log_2 3)^2)+1/((log_2 3)^3))+1/((log_2 3)^4)*a_(n-3)$.
Focalizza la tua attenzione ancora sui secondi membri di 1, 2, 3): vedi:
- innanzituto, che i primi addendi somigliano alle somme parziali della serie geometrica di ragione $1/(log_2 3)$ moltiplicate per il fattore $log_3 5$;
- che l'esponente del logaritmo nel fattore numerico che moltiplica i termini $a_(n-1), a_(n-2), a_(n-3)$ aumenta con l'aumentare delle sostituzioni a ritroso (infatti in 1) avevamo fatto una sostituzione e figurava il $(log_2 3)^2$; in 2) avevamo fatto due sostituzioni e figurava il $(log_2 3)^3$; in 3) avevamo fatto tre sostituzioni e figurava il $(log_2 3)^4$);
- infine, cosa più importante, che gli indici dei termini della successione presenti ai secondi membri di 1, 2, 3) vanno diminuendo sempre più, quindi questo processo di sostituzione all'indietro è possibile finchè al secondo membro non compare il primo termine della successione, ossia $a_0$.
Fatte queste considerazioni, possiamo porci la domanda: Quante sostituzioni a ritroso sono possibili nella (*) fino a far comparire al secondo membro il termine iniziale $a_0$?
Puoi contare sulle dita (semmai fissando di volta in volta $n=1$, $n=2$, $n=3$ etc...) e rispondere subito che: Le sostituzioni a ritroso necessarie a far comparire il termine $a_0$ al secondo membro della (*) sono esattamente $n$ !
Supponiamo di aver fatto tutte queste sostiuzioni. Come apparirà il secondo membo di (*) alla fine del procedimento?
Stanti le osservazioni fatte precedentemente è chiaro che troveremo una situazione del genere:
$a_(n+1)=log_3 5*\sum_(k=0)^n(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^(n+1))*a_0$.
Ricordando che il termine iniziale $a_0$ della tua successione è pari ad $1$ dalla precedente ricaviamo:
(**) $quad a_(n+1)=log_3 5*\sum_(k=0)^n(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^(n+1))$
che è una relazione nella forma $a_(n+1)=f(n,a_0)$; sostituendo $n-1$ al posto di $n$ in ambo i membri della (**) ricaviamo l'espressione esplicita dei termini della tua successione:
E) $quad a_n=log_3 5*\sum_(k=0)^(n-1)(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^n)$.
Da qui in poi puoi anche proseguire da solo: per calcolare il limite della successione ${a_n}$ basta passare al limite ambo i membri della E), ricordare la formula per la somma della serie geometrica con ragione $<1$ ed anche il limite della funzione esponenziale con base $<1$ quando l'esponente tende all'infinito (ricorda che $3>2 => log_2 3>1 => 1/(log_2 3)<1$!).
Se hai ancora problemi sono sempre qui.
Ti avverto però che il post è un po' lungo!
Confido che tu abbia capito come sono arrivato a scrivere la relazione:
(*) $a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n$
quindi partirò da questo punto, cercando l'espressione generale di $a_n$ sostituendo a ritroso.
Supponi di fissare $n$ in modo che si abbia $n-1 in NN$: tenendo presente che la (*) implica:
$a_n=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-1)$
dalla relazione precedente, sostituendo il valore di $a_n$ e facendo dei semplici passaggi algebrici, ricavi:
$a_(n+1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_n=log_3 5+1/(log_2 3)*(log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-1))=(log_3 5+1/(log_2 3)*log_3 5)+1/((log_2 3)^2)*a_(n-1)$
quindi sussiste la:
1) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3))+1/((log_2 3)^2)*a_(n-1)$;
se $n$ è anche tale che $n-2 in NN$, allora la (*) implica:
$a_(n-1)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-2)$
e puoi sostituire nella 1) ottenendo, con i soliti passaggi algebrici, la:
2) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3)+1/((log_2 3)^2))+1/((log_2 3)^3)*a_(n-2)$;
ancora, se supponi che $n$ sia abbastanza grande e che $n-3 in NN$, sempre per la (*) hai:
$a_(n-2)=log_3 5+1/(log_2 3)*a_(n-3)$
cosicchè, sostituendo nella 2) ed operando i soliti passaggi, riconosci che vale la:
3) $a_(n+1)=log_3 5 *(1+1/(log_2 3)+1/((log_2 3)^2)+1/((log_2 3)^3))+1/((log_2 3)^4)*a_(n-3)$.
Focalizza la tua attenzione ancora sui secondi membri di 1, 2, 3): vedi:
- innanzituto, che i primi addendi somigliano alle somme parziali della serie geometrica di ragione $1/(log_2 3)$ moltiplicate per il fattore $log_3 5$;
- che l'esponente del logaritmo nel fattore numerico che moltiplica i termini $a_(n-1), a_(n-2), a_(n-3)$ aumenta con l'aumentare delle sostituzioni a ritroso (infatti in 1) avevamo fatto una sostituzione e figurava il $(log_2 3)^2$; in 2) avevamo fatto due sostituzioni e figurava il $(log_2 3)^3$; in 3) avevamo fatto tre sostituzioni e figurava il $(log_2 3)^4$);
- infine, cosa più importante, che gli indici dei termini della successione presenti ai secondi membri di 1, 2, 3) vanno diminuendo sempre più, quindi questo processo di sostituzione all'indietro è possibile finchè al secondo membro non compare il primo termine della successione, ossia $a_0$.
Fatte queste considerazioni, possiamo porci la domanda: Quante sostituzioni a ritroso sono possibili nella (*) fino a far comparire al secondo membro il termine iniziale $a_0$?
Puoi contare sulle dita (semmai fissando di volta in volta $n=1$, $n=2$, $n=3$ etc...) e rispondere subito che: Le sostituzioni a ritroso necessarie a far comparire il termine $a_0$ al secondo membro della (*) sono esattamente $n$ !
Supponiamo di aver fatto tutte queste sostiuzioni. Come apparirà il secondo membo di (*) alla fine del procedimento?
Stanti le osservazioni fatte precedentemente è chiaro che troveremo una situazione del genere:
$a_(n+1)=log_3 5*\sum_(k=0)^n(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^(n+1))*a_0$.
Ricordando che il termine iniziale $a_0$ della tua successione è pari ad $1$ dalla precedente ricaviamo:
(**) $quad a_(n+1)=log_3 5*\sum_(k=0)^n(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^(n+1))$
che è una relazione nella forma $a_(n+1)=f(n,a_0)$; sostituendo $n-1$ al posto di $n$ in ambo i membri della (**) ricaviamo l'espressione esplicita dei termini della tua successione:
E) $quad a_n=log_3 5*\sum_(k=0)^(n-1)(1/(log_2 3))^k + 1/((log_2 3)^n)$.
Da qui in poi puoi anche proseguire da solo: per calcolare il limite della successione ${a_n}$ basta passare al limite ambo i membri della E), ricordare la formula per la somma della serie geometrica con ragione $<1$ ed anche il limite della funzione esponenziale con base $<1$ quando l'esponente tende all'infinito (ricorda che $3>2 => log_2 3>1 => 1/(log_2 3)<1$!).
Se hai ancora problemi sono sempre qui.
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