Successione ricorsiva
Potreste illustrarmi i passaggi per la risoluzione della seguente successione ricorsiva?
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
va benissimo in forma generale in modo tale da poter capirne lo svolgimento
$3^(an + 1) = 5*2^(an)$
posto che a(0) = 1
come si può determinare la monotonia?
spero di poter apprendere qualcosa....
ormai i professori non sanno nemmeno rispondere alle domande degli allievi
grazie anticipatamente, alex
Risposte
Ora che conosco l'esatta formulazione del quesito ci provo anch'io.
Comincio col dimostrare che la successione e' crescente ,procedendo per induzione.Supponiamo allora che ,per un certo n,sia $a_(n+1)>a_n$ e dimostro che è pure $a_(n+2)>a_(n+1)$. Infatti dalla relazione di ricorsione si ha che:
$a_(n+2)=log_3 5+a_(n+1)* log _3 2$ e quindi per l'ipotesi fatta abbiamo che $a_(n+2)>log_3 5+ a_n*log_3 2=a_(n+1)$ c.v.d.Poiché è $a_1=log_3 10>1=a_0$ sarà pure $a_2>a_1,a_3>a_2...$ . Dimostro ora che la successione è limitata.Infatti abbiamo:
$a_n e da qui ricavo che è : $a_n<(log_3 5)/(log _3 3/2)=log _(3/2) 5$
Si può concludere che la successione è convergente.Questo ci permette di passare al limite direttamente nella relazione di partenza:
$lim_(n->oo)3^(a_(n+1))=5*lim_(n->oo) 2^(a_n)$ ed indicando con L il limite della successione si puo scrivere che :
$3^L=5*2^L$ . Passando ai logaritmi si ha infine $L=log_(3/2) 5$
Ciao
Comincio col dimostrare che la successione e' crescente ,procedendo per induzione.Supponiamo allora che ,per un certo n,sia $a_(n+1)>a_n$ e dimostro che è pure $a_(n+2)>a_(n+1)$. Infatti dalla relazione di ricorsione si ha che:
$a_(n+2)=log_3 5+a_(n+1)* log _3 2$ e quindi per l'ipotesi fatta abbiamo che $a_(n+2)>log_3 5+ a_n*log_3 2=a_(n+1)$ c.v.d.Poiché è $a_1=log_3 10>1=a_0$ sarà pure $a_2>a_1,a_3>a_2...$ . Dimostro ora che la successione è limitata.Infatti abbiamo:
$a_n
Si può concludere che la successione è convergente.Questo ci permette di passare al limite direttamente nella relazione di partenza:
$lim_(n->oo)3^(a_(n+1))=5*lim_(n->oo) 2^(a_n)$ ed indicando con L il limite della successione si puo scrivere che :
$3^L=5*2^L$ . Passando ai logaritmi si ha infine $L=log_(3/2) 5$
Ciao
A occhio e croce viene lo stesso risultato se passo al limite la forma chiusa E) che ho trovato in precedenza... devo applicare un paio di cambiamenti di base ma sì, è proprio lo stesso! 
Mi spiace non aver pensato subito alla dimostrazione per induzione: sono stato fin troppo brutale.
Complimenti manlio!
Mi spiace non aver pensato subito alla dimostrazione per induzione: sono stato fin troppo brutale.
Complimenti manlio!
"gugo82":
A occhio e croce viene lo stesso risultato se passo al limite la forma chiusa E) che ho trovato in precedenza... devo applicare un paio di cambiamenti di base ma sì, è proprio lo stesso!
Mi spiace non aver pensato subito alla dimostrazione per induzione: sono stato fin troppo brutale.
Complimenti manlio!
nn so davvero come ringraziarvi...ho provato a svolgere anche un altro esercizio sempre con a stessa richiesta e il metodo da voi illustratemi e.....mi risulta.....grazie immensamente grazie.....
scusatemi per il tempo che avete trascorso per risolvere un mio problema.
con affetto, alex
Prego!
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