Studio successione
Salve ragazzi,
Mi è stata data la seguente successione da studiare:
$$\begin{cases}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_{n+1}=\sqrt{|a_n|-a_n^2}\end{cases}$$
Calcolando i primi termini sembra che questa sia decrescente. Procedo per induzione:
$$\begin{array}{l}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}$$
Base induttiva: $a_1 > a_2$
Ipotesi induttiva: $a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb{N}$
Voglio provare che $a_{n+1} > a_{n+2}\ \forall n\in\mathbb{N}$
Se sviluppo quest'ultima ottengo:
$$\begin{array}{l}
a_{n+1} > a_{n+2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\sqrt{|a_{n+1}|-a_{n+1}^2}\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-a_{n+1}^2\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-|a_n|+a_n^2\\
2(|a_n|-a_n^2)>|a_{n+1}|\\
2\cdot a_{n+1}^2-|a_{n+1}|>0\\
|a_{n+1}|>\frac{1}{2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\frac{1}{2}\\
|a_n|-a_n^2>\frac{1}{4}\\
4a_n^2-4|a_n|+1<0\\
(2|a_n|-1)^2<0\end{array}$$
Quest'ultima è banalmente falsa quindi non posso concludere che è decrescente. Allora così per caso calcolo i termini della successione con excel e mi accorgo che la successione converge a $\frac{1}{2}$ a partire da $n=5$. Ma come faccio ad arrivare a tale risultato con metodi analitici?
Mi è stata data la seguente successione da studiare:
$$\begin{cases}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_{n+1}=\sqrt{|a_n|-a_n^2}\end{cases}$$
Calcolando i primi termini sembra che questa sia decrescente. Procedo per induzione:
$$\begin{array}{l}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}$$
Base induttiva: $a_1 > a_2$
Ipotesi induttiva: $a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb{N}$
Voglio provare che $a_{n+1} > a_{n+2}\ \forall n\in\mathbb{N}$
Se sviluppo quest'ultima ottengo:
$$\begin{array}{l}
a_{n+1} > a_{n+2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\sqrt{|a_{n+1}|-a_{n+1}^2}\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-a_{n+1}^2\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-|a_n|+a_n^2\\
2(|a_n|-a_n^2)>|a_{n+1}|\\
2\cdot a_{n+1}^2-|a_{n+1}|>0\\
|a_{n+1}|>\frac{1}{2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\frac{1}{2}\\
|a_n|-a_n^2>\frac{1}{4}\\
4a_n^2-4|a_n|+1<0\\
(2|a_n|-1)^2<0\end{array}$$
Quest'ultima è banalmente falsa quindi non posso concludere che è decrescente. Allora così per caso calcolo i termini della successione con excel e mi accorgo che la successione converge a $\frac{1}{2}$ a partire da $n=5$. Ma come faccio ad arrivare a tale risultato con metodi analitici?
Risposte
Dal calcolo con excel, ti sembra che la successione sia decrescente? In quel caso, ricontrolla il conto lungo, lì dentro un errore si può nascondere facilmente.
E' crescente o per meglio dire non decrescente $\forall n\geq 2$. Questo è quello che ottengo su Excel:
"mbistato":Intanto, la successione è ben definita (deve essere \( -1 \leqq a_n \leqq 1\), sennò stai prendendo la radice quadrata di un numero negativo; lo è), ed è sempre maggiore di zero (questo è ovvio).
come faccio ad arrivare a tale risultato con metodi analitici?
Pongo \( f(x) = \sqrt{\lvert x\rvert - x^2} \) per ogni \( x\geqq 0 \). Nota che, se la successione converge a qualcosa, questo qualcosa è un punto fisso di \( f \), perché \( f \) è continua. E I punti fissi di \( f \) sono \( 0 \) (che la successione non assume) e \( 1/2 \).
Poi, chiaro, così non hai dimostrato che \( 1/2 \) è il limite.
Grazie per la tua risposta marco2132k.
Qual è il teorema che assicura la convergenza al punto fisso? Me lo puoi linkare?
Poi, se so che la successione è non decrescente per n>=2 e che converge a 1/2 non posso dire che
$$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=1/2?$$
Qual è il teorema che assicura la convergenza al punto fisso? Me lo puoi linkare?
Poi, se so che la successione è non decrescente per n>=2 e che converge a 1/2 non posso dire che
$$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=1/2?$$
Beh, \( f \) è continua... c:
Chiaro. È il teorema di Brouwer.
AAAAHH.
Se \( f \) è continua, per ogni successione convergente \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) hai che anche \( (f(x_n))_{n\in \mathbb N} \) converge, e
\[
\lim_{n\to \infty N}f(x_n) = f\big(\lim_{n\to \infty}x_n\big)\text{.}
\] Questo vale anche per \( (a_n)_{n\in \mathbb N} \), naturalmente, la quale è definita ponendo \( a_{n + 1} = f(a_n) \) per ogni \( n\geqq 2 \) (e \( a_1 = 3/4 \)).
Se \( f \) è continua, per ogni successione convergente \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) hai che anche \( (f(x_n))_{n\in \mathbb N} \) converge, e
\[
\lim_{n\to \infty N}f(x_n) = f\big(\lim_{n\to \infty}x_n\big)\text{.}
\] Questo vale anche per \( (a_n)_{n\in \mathbb N} \), naturalmente, la quale è definita ponendo \( a_{n + 1} = f(a_n) \) per ogni \( n\geqq 2 \) (e \( a_1 = 3/4 \)).
Si può pure ragionare da statistici 
$a_(n+1)=sqrt(|a_n|-a_n^2)=sqrt(|a_n|(1-|a_n|)$
Il valore iniziale $a_1=3/4<1$ assicura che il radicando sia SEMPRE positivo e inferiore ad uno per tutti gli $a_n$ quindi possiamo eliminare anche il modulo (per induzione...il prodotto fra un numero p fra zero ed uno per (1-p) è ancora un numero positivo compreso fra zero ed uno...e così via).
Inoltre sappiamo che la media geometrica $<=$ la media aritmetica, pertanto:
$a_(n+1)=sqrt(a_n(1-a_n))<=(a_n+(1-a_n))/2=1/2$
Infine da $a_2<1/2$ in poi la serie è monotona strettamente crescente perchè la media geometrica è compresa fra i due numeri, quindi $a_3>a_2$ e così via.
Ergo la serie converge a 1/2
$a_(n+1)=sqrt(|a_n|-a_n^2)=sqrt(|a_n|(1-|a_n|)$
Il valore iniziale $a_1=3/4<1$ assicura che il radicando sia SEMPRE positivo e inferiore ad uno per tutti gli $a_n$ quindi possiamo eliminare anche il modulo (per induzione...il prodotto fra un numero p fra zero ed uno per (1-p) è ancora un numero positivo compreso fra zero ed uno...e così via).
Inoltre sappiamo che la media geometrica $<=$ la media aritmetica, pertanto:
$a_(n+1)=sqrt(a_n(1-a_n))<=(a_n+(1-a_n))/2=1/2$
Infine da $a_2<1/2$ in poi la serie è monotona strettamente crescente perchè la media geometrica è compresa fra i due numeri, quindi $a_3>a_2$ e così via.
Ergo la serie converge a 1/2
Bel colpo Bokonon,
mi permetto solo un appunto: quella proposta è una successione, non una serie...
mi permetto solo un appunto: quella proposta è una successione, non una serie...
"Bokonon":
Infine da $a_2 < 1/2 $ in poi la serie è monotona strettamente crescente perchè la media geometrica è compresa fra i due numeri, quindi $a_3 > a_2 $ e così via.
Ergo la serie converge a 1/2
@pilloeffe Giusto 
Già che ci sono, vorrei descrivere il primo ragionamento/intuizione che mi era balzato in testa ma che poi non ho formalizzato perchè attratto dalla media geometrica.
Partendo dal fatto (già assodato nel precedente mio post) che:
$p_(n+1)=sqrt(p_nq_n)$ dove $q_n=1-p_n$
ho ragionato per simmetria impostando una successione identica ma con valore iniziale $q_1=1/4$ ovvero:
$q_(n+1)=sqrt(p_nq_n)$ dove $p_n=1-q_n$
Va da se che il rapporto $p_(n+1)/q_(n+1)=1$ quindi se una successione converge ad un valore $alpha$ anche la seconda lo farà.
Sotto questa ipotesi abbiamo che $lim_(n->oo) p_n=alpha rArr lim_(n->oo) q_n=1-alpha$ da cui $alpha=1-alpha rArr alpha=1/2$
Partendo dal fatto (già assodato nel precedente mio post) che:
$p_(n+1)=sqrt(p_nq_n)$ dove $q_n=1-p_n$
ho ragionato per simmetria impostando una successione identica ma con valore iniziale $q_1=1/4$ ovvero:
$q_(n+1)=sqrt(p_nq_n)$ dove $p_n=1-q_n$
Va da se che il rapporto $p_(n+1)/q_(n+1)=1$ quindi se una successione converge ad un valore $alpha$ anche la seconda lo farà.
Sotto questa ipotesi abbiamo che $lim_(n->oo) p_n=alpha rArr lim_(n->oo) q_n=1-alpha$ da cui $alpha=1-alpha rArr alpha=1/2$
"marco2132k":
AAAAHH.
Se \( f \) è continua, per ogni successione convergente \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) hai che anche \( (f(x_n))_{n\in \mathbb N} \) converge, e
\[
\lim_{n\to \infty N}f(x_n) = f\big(\lim_{n\to \infty}x_n\big)\text{.}
\] Questo vale anche per \( (a_n)_{n\in \mathbb N} \), naturalmente, la quale è definita ponendo \( a_{n + 1} = f(a_n) \) per ogni \( n\geqq 2 \) (e \( a_1 = 3/4 \)).
Visto che l'esercizio è stato risolto correttamente, è il momento di sottolineare ancora una volta (marco l'ha già detto, ma repetita iuvant) che questo metodo identifica solo i candidati limiti, ma non dice nulla sull'esistenza del limite.
Una successione ricorsiva \(a_{n+1}=f(a_n)\) può benissimo non convergere affatto, infischiandosene dei punti fissi di \(f\). Mi piace molto questo esempio;
\[
\begin{cases}
a_{n+1}=\frac{1}{a_n}, \\
a_0 \ne 0.
\end{cases}
\]
Come dice marco, se \(a_n\to a\) allora necessariamente \(a=1/a\) e quindi \(a=\pm 1\). Solo che, se \(a_0\) non è né \(1\) né \(-1\), allora
\[
a_1=\frac{1}{a_0}, \ a_2=\frac{1}{a_1}=a_0,\ a_3=\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a_0}, \ldots\]
e così via. Quindi la successione non converge, perché oscilla infinitamente tra \(a_0\) e \(1/a_0\).
Esercizio pertinente:
Se $x_0=0$ e $x_{n+1}=a^{x_n}$, per quali $a$ reali positivi la successione $x_n$ è convergente?
Se $x_0=0$ e $x_{n+1}=a^{x_n}$, per quali $a$ reali positivi la successione $x_n$ è convergente?
Un altro modo di procedere è questo. Si ha \( f(x) < x \) per ogni \( 1/2 < x < 1 \). Allora, ha senso far vedere che la successione sta sempre in quel range lì: in tal caso, infatti, è decrescente, quindi ammette limite; limite che, per quanto detto su, non può che essere \( 1/2 \).
E così è, naturalmente (si vede per induzione).
Comunque non è farina del mio sacco, a me hanno semplicemente insegnato a farle così.
@ghira La funzione \( f(x) = a^x \) non dovrebbe avere punti fissi per agli \( a>1 \) (il che me cancella tutti), e averne per \( a<1 \); ma non ho voglia di pensarci di più ora (ci ritorno tra un po').
Domanda piuttosto idiota: la disuguaglianza \( 1 + x\leqq e^x \) si generalizza (e, eventualmente, come) a una base qualsiasi?
E così è, naturalmente (si vede per induzione).
Comunque non è farina del mio sacco, a me hanno semplicemente insegnato a farle così.
@ghira La funzione \( f(x) = a^x \) non dovrebbe avere punti fissi per agli \( a>1 \) (il che me cancella tutti), e averne per \( a<1 \); ma non ho voglia di pensarci di più ora (ci ritorno tra un po').
Domanda piuttosto idiota: la disuguaglianza \( 1 + x\leqq e^x \) si generalizza (e, eventualmente, come) a una base qualsiasi?
"marco2132k":
@ghira La funzione \( f(x) = a^x \) non dovrebbe avere punti fissi per agli \( a>1 \) (il che me cancella tutti), e averne per \( a<1 \); ma non ho voglia di pensarci di più ora (ci ritorno tra un po').
È vero che c'è un punto fisso per ogni $0
0
1
1.4142135623731
1.63252691943815
1.76083955588003
1.84091086929101
1.89271269682851
1.9269997018471
ecc. ecc.
2
e sappiamo, ovviamente, che $\sqrt{2}^2=2$, quindi non è una sorpresa.
"ghira":
Esercizio pertinente:
Se $x_0=0$ e $x_{n+1}=a^{x_n}$, per quali $a$ reali positivi la successione $x_n$ è convergente?
Se non ho sbagliato dovrebbe venire
"Martino":
Ho cercato in giro perché la cosa stava diventando complessa, e ho trovato questo!
Problema molto interessante
Problema molto interessante
"Martino":
Ho cercato in giro perché la cosa stava diventando complessa, e ho trovato questo!
Problema molto interessante
Bisogna avere $|f^{\prime}(x)|<=1$ al punto fisso, tutto qui.
"ghira":Scusa non sono ferrato su queste cose, questa condizione che scrivi è necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite?
Bisogna avere $|f^{\prime}(x)|<=1$ al punto fisso, tutto qui.
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