Studio successione

[mbistato]

Salve ragazzi,

Mi è stata data la seguente successione da studiare:

$$\begin{cases}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_{n+1}=\sqrt{|a_n|-a_n^2}\end{cases}$$

Calcolando i primi termini sembra che questa sia decrescente. Procedo per induzione:
$$\begin{array}{l}
a_1=\frac{3}{4}\\
a_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}$$

Base induttiva: $a_1 > a_2$
Ipotesi induttiva: $a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb{N}$
Voglio provare che $a_{n+1} > a_{n+2}\ \forall n\in\mathbb{N}$

Se sviluppo quest'ultima ottengo:

$$\begin{array}{l}
a_{n+1} > a_{n+2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\sqrt{|a_{n+1}|-a_{n+1}^2}\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-a_{n+1}^2\\
|a_n|-a_n^2>|a_{n+1}|-|a_n|+a_n^2\\
2(|a_n|-a_n^2)>|a_{n+1}|\\
2\cdot a_{n+1}^2-|a_{n+1}|>0\\
|a_{n+1}|>\frac{1}{2}\\
\sqrt{|a_n|-a_n^2}>\frac{1}{2}\\
|a_n|-a_n^2>\frac{1}{4}\\
4a_n^2-4|a_n|+1<0\\
(2|a_n|-1)^2<0\end{array}$$

Quest'ultima è banalmente falsa quindi non posso concludere che è decrescente. Allora così per caso calcolo i termini della successione con excel e mi accorgo che la successione converge a $\frac{1}{2}$ a partire da $n=5$. Ma come faccio ad arrivare a tale risultato con metodi analitici?

[ghira1]

"Martino":[quote="ghira"]Bisogna avere $|f^{\prime}(x)|<=1$ al punto fisso, tutto qui.

Scusa non sono ferrato su queste cose, questa condizione che scrivi è necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite?[/quote]

Se comici abbastanza vicino, mi pare di sì. Se cominci da un valore troppo lontano dal punto fisso, possono succedere altre cose. Nel nostro caso possiamo andare a $\infty$ se $a>1$ e cominciamo con $x=1000$ per esempio.

[ghira1]

cf. https://it.wikipedia.org/wiki/Diagramma_a_ragnatela